排列組合解題的技巧-模板

1、排列組合解題的技巧排列組合問題歷來是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，其思考方法獨(dú)特，求 解思路靈活，因而在解題中極易出現(xiàn)“重復(fù)”或“遺漏”的錯(cuò)誤.雖然近幾年高考將側(cè)重點(diǎn)放在兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的考察上 ，但當(dāng)對問題類型把握準(zhǔn)確時(shí)，解答的準(zhǔn) 確性上將會(huì)有很大的提升，解答速度也會(huì)大大提高以下介紹幾類典型排列組合 問題的解答技巧：1、相鄰問題捆綁法例1 6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起的不同排法有()種。A、720 B、360 C、240 D、120解：因甲、乙兩人要排在一起 ，故將甲乙兩人捆在一起視作一人 有種排法,與其余四人進(jìn)行全排列有種排法，由乘法原理可知,共有=240種不同排法，故選(C)。點(diǎn)評

2、:從上述解法可以看出，所謂“捆綁法”，就是對元素進(jìn)行整體 處理的形象化表述，體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的整體思想。對于以“某些元素必須相鄰”為附 加條件的排列組合問題，只要把必須相鄰的元素“捆”成一個(gè)整體，視作一個(gè)“大”元素，再考慮相鄰元素內(nèi)部的排列或組合,就能保證這些元素相鄰而不散 亂。訓(xùn)練：3名男教師,3名女教師,6名學(xué)生站成一排，要求男教師和女教師必須站在一起，且教師不站在兩端，則一共有多少種站法？2、相隔問題插空法例2排一張5個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單(1) 任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種 ？(2) 舞蹈節(jié)目和歌唱節(jié)目間隔排列的方法有多少種 ？解：(1)先排歌唱節(jié)目有種，歌唱節(jié)目及兩端

3、有6個(gè)空位，從這6個(gè)空位中選4個(gè)放入舞蹈節(jié)目，共有種方法,所以任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有種。(3) 先排舞蹈節(jié)目有種排法,在舞蹈節(jié)目和兩端有5個(gè)空位，恰好供5個(gè)歌唱節(jié)目放入,所以舞蹈節(jié)目和歌唱節(jié)目間隔排列的方法種。訓(xùn)練：若將例題當(dāng)中的“4個(gè)舞蹈節(jié)目”改為“5個(gè)舞蹈節(jié)目”，求舞蹈節(jié)目和歌唱節(jié)目間隔排列的方法有多少種？點(diǎn)評:從解題過程可以看出，“插”的策略是解決排列與組合中若干特殊元素互不相鄰問題的常用手段。在具體操作時(shí)，可以先將其它元素排好，再將 所指定的不相鄰的元素“插入”到它們的間隙及兩端位置，從而保證它們不相鄰。3、限定問題優(yōu)限法例3由數(shù)字0,1,2,3,4,5 可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字

4、的四位偶數(shù) ？解:因所求是偶數(shù)，所以個(gè)位必須是0,2,4中的任何一個(gè)，又首位不 能為0,所以分個(gè)位為0時(shí)有種，個(gè)位不為0時(shí)有種。所以共有種。點(diǎn)評：所謂“優(yōu)限法”，即有限制條件的元素（或位置）在解題時(shí)優(yōu)先 考慮,本題對四位偶數(shù)中的個(gè)位數(shù)字有特殊要求，首位數(shù)字又不能為0,故優(yōu)先考 慮。訓(xùn)練本例條件不變，問題改為“求能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且比 20XX大的四位偶數(shù)？” ,應(yīng)如何求解？4、多元問題分類法例4三邊長均為整數(shù)，且最大邊長為11的三角形有多少個(gè)？解:設(shè)三角形的另外兩個(gè)邊分別為 x和y,且不妨設(shè)，要構(gòu)成三角形，必有則分類討論如下：當(dāng)y為11時(shí),x可以為：1, 2,3,11,可有11個(gè)三角 形；

5、當(dāng)y為10時(shí),x可以為:2,3,4,10,可有9個(gè)三角形；當(dāng)y為9時(shí),x可以為:3,4,5,9,可有7個(gè)三角形；當(dāng)y為8時(shí),x可以為:4,5,6,7,8, 可有5個(gè)三角形；當(dāng)y為7時(shí),x可以為:5,6,7,可有3個(gè)三角形；當(dāng)y為6時(shí),x可以為:6,只有1個(gè)三角形；所以所求的三角形有11+9+7+5+3+1=36個(gè)。點(diǎn)評:元素多,取出的情況也多種，可按結(jié)果要求，分成互不相容的幾 類情況分別計(jì)算，最后總計(jì)。訓(xùn)練某城市在中心廣場建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分,如圖,現(xiàn)要栽4種不同顏色的花，每一部分栽種一種且相鄰部分不能栽同種顏色的花，不同的栽種方法有多少種？5、標(biāo)號(hào)排位問題分步法例5 同室4人各寫一

6、張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張 別人送來的賀年卡，則四張賀年卡的分配方式有（）A. 6 種B. 9 種C. 11 種 D. 23 種&n bsp； 解：此題可以看成是將數(shù)字1,2,3,4填入標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)方格里, 每格填一個(gè)數(shù),且每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)不同的填法問題。所以先將1填入2至4號(hào)的3個(gè)方格里有種填法；第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字,填入其它3個(gè)方格,又有種填法;第三步將余下的兩個(gè)數(shù)字填入余下的兩格中,只有1種填法。故共有3X 3X1=9種填法,而選B。點(diǎn)評:把元素排在指定號(hào)碼的位置上稱為標(biāo)號(hào)排位問題。 求解這類問 題可先把某個(gè)元素按規(guī)定排放，第二步再排另一個(gè)元素，

7、如此繼續(xù)下去，依次即可 完成。訓(xùn)練:將標(biāo)有1,2,10的10個(gè)小球投入同樣標(biāo)有1,2,10的圓筒 中,每個(gè)圓筒都不空，且所投小球與圓筒標(biāo)號(hào)均不相同的投法共有多少種？6自由選擇問題住店法例6現(xiàn)有6名同學(xué)去聽同時(shí)進(jìn)行的5個(gè)課外知識(shí)講座，每名同學(xué)可 自由選擇其中的一個(gè)講座，不同的選法的種數(shù)是（）ABCD解:6名同學(xué)每人都可以在5個(gè)課外知識(shí)講座中任選一種，所以均有5 種選法,故總共有種，選A。點(diǎn)評：自由選擇問題可以看成“顧客住店”問題。每名顧客 （元素） 都可以任意選擇旅店 （位置）,因而每個(gè)元素都有位置數(shù)種選法，所以總方法為種。訓(xùn)練:某同學(xué)要將標(biāo)有123,4,5,6的6封信投遞出去,現(xiàn)有三個(gè)不同的信

8、箱供選擇，則有多少種不同的投遞方法？7分配問題隔板法例7高一年級(jí)7個(gè)班級(jí)要組成籃球隊(duì)，共需10名隊(duì)員,每個(gè)班級(jí)至 少要出一名，則不同的組成方法共有多少種？解：由于10名隊(duì)員來自于7個(gè)不同的班級(jí)，每一個(gè)班級(jí)至少要一名，所以問題相當(dāng)于將10名隊(duì)員分成7組,10名隊(duì)員并排站立中間有9個(gè)空格，在這 9個(gè)空格中插入6個(gè)隔板就將10名隊(duì)員分成了 7組,每一組來自于一個(gè)班級(jí)，即 得到了不同的組成方法共計(jì)種點(diǎn)評：“隔板法”所解決的問題有以下特征：(1)被分的元素不加以區(qū)別；(2)被分的元素的個(gè)數(shù)不小于分得的組數(shù);(3)每個(gè)小組至少分得一個(gè)元素。 具備這些條件時(shí)就可以用公式：將個(gè)相同元素分成份時(shí),有種分配方法訓(xùn)

9、練：將10個(gè)相同的小球裝入3個(gè)編號(hào)分別為1,2,3的盒子當(dāng)中, 每次將10個(gè)球裝完，每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)都不小于合資的編號(hào)數(shù)，則不同的裝 法共有多少種？8定序問題縮倍法例8 A、B、C、D E五個(gè)人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊(A、B可以不相鄰),那么不同的排法的種數(shù)是()&n bsp; (A)24(B)60(C)90(D)120解:B在A的右邊與B在A的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5 個(gè)元素全排列數(shù)的一半，即60種，故選(B) o點(diǎn)評:在排列問題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定順序稱為定序問題,這類問題用縮小倍數(shù)的方法解決比較方便快捷。訓(xùn)練：從1,2,3,4,5五個(gè)數(shù)字當(dāng)中任選3個(gè)

10、組成一個(gè)三位數(shù)，其中十 位比個(gè)位數(shù)字大的三位數(shù)共有多少個(gè) ？9有序分配問題逐分法例9有6本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種分法？(1) 平均分給甲、乙、丙三人；(2) 甲得一本，乙得兩本，丙得三本；解:(1)每人得2本，可考慮甲先在 6本書中任取 2本,取法 有種，再由乙在余下的書中取2本,取法有種，最后由丙取余下的2本,有種取法,所有取法為種。(2)選取方法同(1),所以共有取法數(shù)為種。點(diǎn)評:有序分配問題是指把元素按要求分成若干組，常采用逐步分組 法求解。訓(xùn)練:有11名外語翻譯人員，其中5名是英語譯員,4名是日語譯員， 另外兩名英、日都精通，從中找出8人,使他們能組成兩個(gè)翻譯小組，其中4

11、名翻 譯英語,另外4名翻譯日語,這兩個(gè)小組能同時(shí)工作，問這樣的8人名單共可開出 幾張？10匹配問題配對法例10從6雙不同型號(hào)的鞋中任取4只，其中恰有兩只配成一雙的取 法有多少種？解:先在6雙鞋中任取一雙有種取法,再在余下的5雙中任取兩雙,每雙中各取一只有種取法,所以總?cè)》ㄓ蟹N。點(diǎn)評：“配對法”就是將兩個(gè)相關(guān)元素之間建立一一對應(yīng)關(guān)系，如鞋 子配對,鑰匙和鎖配對，比賽選手和比賽場次配對等，利用這些對應(yīng)關(guān)系，使得比 較雜亂的問題簡單化，解答思路明晰化，能夠?qū)㈦y度分步化解，提升解答準(zhǔn)確 度。訓(xùn)練:有111名選手參加乒乓球比賽，比賽采取單淘汰制，需要打多 少場比賽才能產(chǎn)生冠軍？11選排問題先選后排法例1

12、1 有6名男醫(yī)生,4名女醫(yī)生，從中選3名男醫(yī)生和兩名女醫(yī)生 到5個(gè)不同的地區(qū)巡回醫(yī)療，但規(guī)定男醫(yī)生甲不能到地區(qū) A,共有多少種不同的分 派方法？解:分兩類：第一類:甲被選,共有種分派方法；第二類:甲未被選,共有種分派方法；所以共有種分派方法。點(diǎn)評：本題中不僅要選出5名醫(yī)生(元素),還要求分配到5個(gè)地區(qū)(空 位),因此是一道“既選又排”的排列組合綜合問題，解決這類問題的方法是“先 選后排”，同時(shí)要注意特殊元素、特殊位置優(yōu)先安排的原則。訓(xùn)練:從1到9的九個(gè)數(shù)字當(dāng)中取出三個(gè)偶數(shù)四個(gè)奇數(shù)，試問：(1) 能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？(2) 上述七位數(shù)當(dāng)中三個(gè)偶數(shù)排在一起的有幾個(gè) ？(3) (1)中

13、的七位數(shù)當(dāng)中，偶數(shù)排在一起奇數(shù)也排在一起的有幾 12、至少問題間接法例12課外活動(dòng)小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女 各指定一名隊(duì)長?，F(xiàn)從中選5人主持某種活動(dòng)，至少有一名隊(duì)長當(dāng)選的選法有多 少種？解:在選取的人員當(dāng)中，總的選法有種，不包含隊(duì)長在內(nèi)的有，所以總的選法有種。訓(xùn)練：從甲、乙等10名同學(xué)當(dāng)中挑選4名參加某項(xiàng)公益活動(dòng)，要求 甲、乙中至少有1人參加,則不同的挑選方法共有多少種？點(diǎn)評:含“至多”或“至少”的排列組合問題 ，通常用分類法，但是 往往分類較多，討論起來難度較大。本題所用的解法是間接法，即排除法(總體去 雜),適用于反面情況明確且易于計(jì)算的情況。13多排問題單排法例1

14、3兩排座位,第1排3個(gè)座位,第2排5個(gè)座位。若8名學(xué)生入 座(每人1個(gè)座位),則不同的座法有多少種？解:因8名學(xué)生可以在前后兩排座位中隨意入座，再無其他條件，所 以兩排座位可以看成一排來處理，故不同的座法有種。點(diǎn)評:把元素排成幾排的問題，限定條件若不影響問題歸結(jié)為一排考 慮,那么就將多排問題化為一排，再分段處理。訓(xùn)練:12名同學(xué)合影,站成前排4人，后排8人。(1) 總共有多少種不同的站法？(2) 攝影師要從后排8人中抽調(diào)2人到前排，其他人順序不變， 總共有多少種調(diào)整方法？14交叉問題集合法例14從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4名參加4X 100米接力賽,如果甲不跑 第一棒,乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方法？解：設(shè)全集I=6人中任取4人參賽的排列,A=甲跑第一棒的排 列,B=乙跑第四棒的排列,根據(jù)求集合元素個(gè)數(shù)的公式可得參賽方法共有：(種)。說明:某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個(gè)數(shù) 的公式：來求解。訓(xùn)練:從7名運(yùn)動(dòng)員當(dāng)中選出4人參加4X 100米接力,求滿足下列條 件的安排方法數(shù):(1)甲、乙二人都不跑中間兩棒；(2)甲、乙二人不都跑中間兩棒。15多排問題剔重法例15用5個(gè)數(shù)字0,1,1,2,2,組成的五位數(shù)總共有多