整式的運(yùn)算技巧

1、整式的運(yùn)算整式的加減一、整式的有關(guān)概念1 單項(xiàng)式(1) 概念：注意：?jiǎn)雾?xiàng)式中數(shù)與字母或字母與字母之間是乘積關(guān)系，例如：-可以看成-x，所以-是單項(xiàng)式；而-表示2與x的商，所以-不是單項(xiàng)式，2 22x2凡是分母中含有字母的就一定不是單項(xiàng)式1(2) 系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù) .例如：x2y的21系數(shù)是-；2二r的系數(shù)是2二.2注意：?jiǎn)雾?xiàng)式的系數(shù)包括其前面的符號(hào)；當(dāng)一個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是1或-1 時(shí)，“1”通常省略不寫(xiě)，但符號(hào)不能省略.如：-xy,a2b3c等；二是數(shù)字，不 是字母.(3) 次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù).注意：計(jì)算單項(xiàng)式的次數(shù)時(shí)，不要漏掉字

2、母的指數(shù)為 1的情況.如2xy3z2 的次數(shù)為1 3 6，而不是5；切勿加上系數(shù)上的指數(shù)，如25xy2的次數(shù)是3, 而不是8； -2二xy2的次數(shù)是5，而不是6.2 多項(xiàng)式(1) 概念：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式.其含義是：必須由單項(xiàng)式組成； 體現(xiàn)和的運(yùn)算法則.(2) 項(xiàng)：在多項(xiàng)式中，每一個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中不含字母的項(xiàng) 叫常數(shù)項(xiàng)；一個(gè)多項(xiàng)式含有幾個(gè)單項(xiàng)式就叫幾項(xiàng)式.例如：2x2-3y-1共含有有三 項(xiàng)，分別是2x2,-3y,-1，所以2x2-3y-1是一個(gè)三項(xiàng)式.注意：多項(xiàng)式的項(xiàng)包括它前面的符號(hào)，如上例中常數(shù)項(xiàng)是-1,而不是1.(3) 次數(shù)：多項(xiàng)式中，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的

3、次數(shù).注意：要防止把多項(xiàng)式的次數(shù)與單項(xiàng)式的次數(shù)相混淆，而誤認(rèn)為多項(xiàng)式的次 數(shù)是各項(xiàng)次數(shù)之和.例如：多項(xiàng)式2x2y2 -3x4y 5xy2中，2x2y2的次數(shù)是4, -3x4y 的次數(shù)是5，5xy2的次數(shù)是3,故此多項(xiàng)式的次數(shù)是5,而不是4 5 12.3. 整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱做整式.4 降幕排列與升幕排列(1) 降幕排列：把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來(lái) 叫做把這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)字母的降幕排列.(2) 把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來(lái)叫做把這 個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)字母的升幕排列注意：降(升)幕排列的根據(jù)是：加法的交換律和結(jié)合律；把一個(gè)多項(xiàng) 式按降(升)幕重新

4、排列，移動(dòng)多項(xiàng)式的項(xiàng)時(shí)，需連同項(xiàng)的符號(hào)一起移動(dòng)；在 進(jìn)行多項(xiàng)式的排列時(shí)，要先確定按哪個(gè)字母的指數(shù)來(lái)排列例如：多項(xiàng)式 xy2 _x4 _y4 _3x2y32x3y 按 x 的升幕排歹U為：一y4 xy23x2 y3-2x3 yx4 ； 按 y的降幕排列為：-y4 -3x2y3 xy2 _2x3y _ x4.二、整式的加減1 同類項(xiàng)：所含的字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同 類項(xiàng)注意：同類項(xiàng)與其系數(shù)及字母的排列順序無(wú)關(guān) 例如：2a2b3與- 3b3a2是同類項(xiàng)；而2a2b3與5a3b2卻不是同類項(xiàng)，因?yàn)橄嗤淖帜傅闹笖?shù)不同2 合并同類項(xiàng)1)概念：把多項(xiàng)式中相同的項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并同

5、類項(xiàng) 注意：合并同類項(xiàng)時(shí)，只能把同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，不是同類項(xiàng)的不能合并， 如2a，3b=5ab顯然不正確；不能合并的項(xiàng)，在每步運(yùn)算中不要漏掉(2) 法則：合并同類項(xiàng)就是把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)， 字母和字母的指數(shù)保持不變.注意：合并同類項(xiàng)，只是系數(shù)上的變化，字母與字母的指數(shù)不變，不能將 字母的指數(shù)相加；合并同類項(xiàng)的依據(jù)是加法交換律、 結(jié)合律及乘法分配律； 兩個(gè)同類項(xiàng)合并后的結(jié)果與原來(lái)的兩個(gè)單項(xiàng)式仍是同類項(xiàng)或者是0.3. 去括號(hào)與填括號(hào)(1) 去括號(hào)法則：括號(hào)前面是“ + ”，把括號(hào)和它前面的“ + ”去掉，括 號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都不變號(hào)；括號(hào)前面是把括號(hào)和它前面的“-”去掉，括號(hào) 內(nèi)的各

6、項(xiàng)都改變符號(hào).注意：去括號(hào)的依據(jù)是乘法分配律，當(dāng)括號(hào)前面有數(shù)字因數(shù)時(shí)，應(yīng)先利用 分配律計(jì)算，切勿漏乘；明確法則中的“都”字，變符號(hào)時(shí)，各項(xiàng)都變；若不變符號(hào)，各項(xiàng)都不變.例如：a b-c =a，b-c;a- b-c =a-b，c :當(dāng)出現(xiàn)多層括號(hào)時(shí)，一般由里向外逐層去括號(hào)，如遇特殊情況，為了簡(jiǎn)便運(yùn)算也可由外 向內(nèi)逐層去括號(hào).(2) 填括號(hào)法則：所添括號(hào)前面是“ + ”號(hào)，添到括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都不變號(hào)；所添括號(hào)前面是“-”號(hào)，添到括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都改變符號(hào).注意：添括號(hào)是添上括號(hào)和括號(hào)前面的“ + ”或它不是原來(lái)多項(xiàng) 式的某一項(xiàng)的符號(hào)“移”出來(lái)的；添括號(hào)和去括號(hào)的過(guò)程正好相反，添括號(hào)是否正確，可用去括號(hào)來(lái)

7、檢驗(yàn).例如：a，b-c = a，b-c;a-b，c = a -b - c .4. 整式的加減整式的加減實(shí)質(zhì)上是去括號(hào)和合并同類項(xiàng)，其一般步驟是：(1) 如果有括號(hào)，那么先去括號(hào)；(2)如果有同類項(xiàng)，再合并同類項(xiàng).注意：整式運(yùn)算的結(jié)果仍是整式.類型一：用字母表示數(shù)量關(guān)系01 填空題：(1) 香蕉每千克售價(jià) 3元，m千克售價(jià)。溫度由5C上升tC后是；C0每臺(tái)電腦售價(jià)x元，降價(jià)10%后每臺(tái)售價(jià)為 o(4) 某人完成一項(xiàng)工程需要a天，此人的工作效率為。思路點(diǎn)撥：用字母表示數(shù)量關(guān)系，關(guān)鍵是理解題意，抓住關(guān)鍵詞句，再用適當(dāng)?shù)?式子表達(dá)出來(lái)。舉一反三：變式某校學(xué)生給“希望小學(xué)”郵寄每?jī)?cè)“元的圖書(shū)240冊(cè)，若

8、每?jī)?cè)圖書(shū)的郵費(fèi) 為書(shū)價(jià)的5%,則共需郵費(fèi) o類型二：整式的概念2指出下列各式中哪些是整式，哪些不是。372、3 2 二 lx + 1; (2)a= 2; (3)n; (4)S= n R ; (5) 1 ; (6)1；總結(jié)升華：判斷是不是整式，關(guān)鍵是了解整式的概念，注意整式與等式、不等式 的區(qū)別，等式含有等號(hào)，不等式含有不等號(hào)，而整式不能含有這些符號(hào)。舉一反三：變式把下列式子按單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式進(jìn)行歸類。1_5x2y，la b， x+ y2 5，-， 29， 2ax+ 9b 5， 600xz，1 axy， xyz11 ， . 1 。分析：本題的實(shí)質(zhì)就是識(shí)別單項(xiàng)式、多項(xiàng)式和整式。單項(xiàng)式中數(shù)和字母

9、、字母和 字母之間必須是相乘的關(guān)系，多項(xiàng)式必須是幾個(gè)單項(xiàng)式的和的形式。類型三：同類項(xiàng)3若- 與 是同類項(xiàng)，那么a,b的值分別是()(A) a=2, b= 1o(B) a=2, b=1。(C) a= 2, b= 1 o(D) a= 2, b=1。思路點(diǎn)撥：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是明確同類項(xiàng)定義，即字母相同且相同字母的指 數(shù)相同，要注意同類項(xiàng)與系數(shù)的大小沒(méi)有關(guān)系。解析：由同類項(xiàng)的定義可得：a仁b,且2a+b=3，解得 a=2, b= 1，故選A。舉一反三：63 / 41變式在下面的語(yǔ)句中，正確的有（）2 2一1 a2b3與1 a3b2是同類項(xiàng)x2yz與一zx2y是同類項(xiàng);同類項(xiàng)；字母相同的項(xiàng)是同類項(xiàng)。

10、A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)2 解析：中一 1 a2b3與1 a3b2所含的字母都是a, b,但a的次數(shù)分別是2,3, b的次數(shù)分別是3,2,所以它們不是同類項(xiàng)；中所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，所以I刃x2yz與一zx2y是同類項(xiàng)；不含字母的項(xiàng)（常數(shù)項(xiàng)）都是同類 項(xiàng)，正確，根據(jù)可知不正確。故選 B。類型四：整式的加減4. 化簡(jiǎn)m n（m+n）的結(jié)果是（）（A） 0。（ B） 2m0（ C） 2n。（ D） 2m 2n。思路點(diǎn)撥：按去括號(hào)的法則進(jìn)行計(jì)算，括號(hào)前面是“-”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“-”號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都改變符號(hào)。解析：原式=m n m n= 2n，故選（C）。 舉

11、一反三：變式 計(jì)算：2xy+3xy=。分析：按合并同類項(xiàng)的法則進(jìn)行計(jì)算,把系數(shù)相加所得的結(jié)果作為系數(shù)， 字母和 字母的指數(shù)不變。注意不要出現(xiàn) 5x2y2的錯(cuò)誤。答案：5xy。働115. （化簡(jiǎn)代入求值法）已知x ： , y=-,求代數(shù)式（5x2y 2xy2 3xy）2 2（2xy+ 5x y 2xy ）思路點(diǎn)撥：此題直接把x、y的值代入比較麻煩，應(yīng)先化簡(jiǎn)再代入求值。 解析：原式=5x2y 2xy2 3xy 2xy 5x2y + 2xy2= 5xy當(dāng) x二一 ：,y= 一 時(shí)，原式二一5Xf nX1 5丿總結(jié)升華：求代數(shù)式的值的第一步是“代入”，即用數(shù)值替代整式里的字母；第 二步是“求值”，即按

12、照整式中指明的運(yùn)算，計(jì)算出結(jié)果。應(yīng)注意的問(wèn)題是：當(dāng) 整式中有同類項(xiàng)時(shí)，應(yīng)先合并同類項(xiàng)化簡(jiǎn)原式，再代入求值。舉一反三：1變式1當(dāng)x = 0, x = L , x=-2時(shí)，分別求代數(shù)式的2x2 x + 1的值 解：當(dāng) x= 0 時(shí)，2x2 x + 1= 2X 02 0+ 1 = 1；丄 2丄+匚圧一丄+|=當(dāng) x= 2 時(shí)，2x2 x+ 1 = 2xl2 丿 24 2;當(dāng) x = -2 時(shí)，2x2 x + 1= 2X(-2) 2( -2)+ 1= 2X4+2+ 1= 11?？偨Y(jié)升華：一個(gè)整式的值，是由整式中的字母所取的值確定的，字母取值不同, 一般整式的值也不同；當(dāng)整式中沒(méi)有同類項(xiàng)時(shí)，直接代入計(jì)算

13、，原式中的系數(shù)、 指數(shù)及運(yùn)算符號(hào)都不改變。但應(yīng)注意，當(dāng)字母的取值是分?jǐn)?shù)或負(fù)數(shù)時(shí)，代入時(shí)， 應(yīng)將分?jǐn)?shù)或負(fù)數(shù)添上括號(hào)。變式2先化簡(jiǎn)，再求值。2 2 2 23(2x y 3xy ) (xy 3x y)，其中 x= 1，y = 1。解：3(2x2y 3xy2) (xy2 3x2y) = (6x2y 9xy2) xy2 + 3x2y2 2 2 2 2 2=6x y 9xy xy + 3x y= 9x y 10xy。當(dāng) x = _ ， y = 1 時(shí)，原式=9 X - - X ( 1) 10 X 一 X ( 1)=總結(jié)升華：解題的基本規(guī)律是先把原式化簡(jiǎn)為9x2y 10xy2，再代入求值，化簡(jiǎn)降低了運(yùn)算難度

14、，使計(jì)算更加簡(jiǎn)便，體現(xiàn)了化繁為簡(jiǎn)，化難為易的轉(zhuǎn)化思想。變式3求下列各式的值。(1) (2x2x 1)13丿 I 彳丿，其中 x = 2解析：(1) (2x2 x 1)(2) 2mn + ( 3m) 3(2n mn)，其中 m+ n = 2， mn= 3。2x2x 1 x2 + x + 二 + 3x2 3- = 4x2 4當(dāng) x =22 時(shí)，原式=4X f 丿4= 9 4= 5(2) 2mn + ( 3m) 3(2 n mn)=2mn 6m 6n + 3mn=5mn 6(m+ n) 當(dāng) m+ n = 2，mn= 3 時(shí) 原式=5 X ( 3) 6 X 2 = 27。類型五：整體思想的應(yīng)用6. 已

15、知X2+ x + 3的值為7,求2x2+ 2x 3的值。思路點(diǎn)撥：該題解答的技巧在于先求X2 + X的值，再整體代入求解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué) 中的整體思想。解析：由題意得 X2 + X + 3= 7,所以 X2 + X = 4,所以 2(x2 + x) = 8,即 2x2 + 2x= 8, 所以 2x2 + 2x 3 = 8 3= 5?？偨Y(jié)升華：整體思想就是在考慮問(wèn)題時(shí)，不著眼于它的局部特征，而是將具有共 同特征的某一項(xiàng)或某一類看成一個(gè)整體的數(shù)學(xué)思想方法。運(yùn)用這種方法應(yīng)從宏觀 上進(jìn)行分析，抓住問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)和本質(zhì)特征，全面關(guān)注條件和結(jié)論，加以研究、 解決，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。在中考中該思想方法比較常見(jiàn)，尤其

16、在化簡(jiǎn)題中經(jīng)常用到。 舉一反三：變式1已知X2 + X 1 = 0,求代數(shù)式X3+ 2X2 7的值。分析：此題由已知條件無(wú)法求出X的值，故考慮整體代入。解析：/ X2 + X 1 = 0,二 x2= 1 X, X3 + 2x2 7 = x(1 x) + 2(1 x) 7 = X X2+ 2 2x 7=-x2-x-5 =( -x2-x+1 ) -6 = 6。變式2當(dāng)X = 1時(shí)，代數(shù)式px3 + qx+ 1的值為2003,則當(dāng)x= 1時(shí)，代數(shù)式px3 + qx + 1 的值為()A、一 2001 B、一2002 C、一 2003 D、 2001分析：這是一道求值的選擇題，顯然 p, q的值都不知

17、道，仔細(xì)觀察題目，不難發(fā)現(xiàn)所求的值與已知值之間的關(guān)系。解析：當(dāng) X = 1 時(shí)，px3 + qx+ 1 = p+ q+ 1 = 2003,而當(dāng) x = 1 時(shí)，px3 + qx + 1 =p q+ 1,可以把 p+ q 看做一個(gè)整體，由 p+ q+ 1 = 2003 得 p+ q= 2002, 于是p q = (p+ q) = 2002,所以原式=2002+ 1 = 2001。故選 A。變式3已知A = 3x3 2x+ 1, B = 3x2 2x + 1, C = 2x2 + 1,則下列代數(shù)式中化 簡(jiǎn)結(jié)果為3x3 7x2 2的是()A、A + B+ 2C B、A + B 2C C、A B 2C

18、 D、A B+ 2C 分析：將 A ,3B, C的式子分別代入A , B, C, D四個(gè)選項(xiàng)中檢驗(yàn)，如：A B 2C = 3x 2x + 1 (3x2 2x+ 1) 2(2x2+ 1) = 3x3 2x + 1 3x2 + 2x 1 4x2 2 = 3x3 7x22。答案：C變式4化簡(jiǎn)求值。(1) 3(a+ b c) + 8(a b c) 7(a+ b c) 4(a b c),其中 b = 2(2) 已知 a b= 2,求 2(a b) a+ b+ 9 的值。分析：(1)常規(guī)解法是先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng)，但此題可將 a+ b c, a b c分別視為一個(gè)“整體”，這樣化簡(jiǎn)較為簡(jiǎn)便；(2)若

19、想先求出a, b的值，再 代入求值，顯然行不通，應(yīng)視 a b為一個(gè)“整體”。解析：(1)原式=3(a+ b c) 7(a+ b c) + 8(a b c) 4(a- b c)=4(a+ b c) + 4(a b c)=4a 4b+ 4c+ 4a 4b 4c= 8b。因?yàn)閎= 2,所以原式=8X 2= 16o(2) 原式=2(a b) (a b) + 9=(a b) + 9因?yàn)閍 b= 2,所以原式二2 + 9二11類型六：綜合應(yīng)用7. 已知多項(xiàng)式3(ax2 + 2x 1) (9x2 + 6x 7)的值與x無(wú)關(guān)，試求5a2 2& 3a+ 4)的值。思路點(diǎn)撥：要使某個(gè)單項(xiàng)式在整個(gè)式子中不起作用，一

20、般是使此單項(xiàng)式的系數(shù)為0即可.解析：3(ax2 + 2x 1) (9x2 + 6x 7)2 2 2=3ax + 6x 3 9x 6x + 7 = (3a 9)x + 4。因?yàn)樵降闹蹬cx無(wú)關(guān)，故3a 9二0,所以a= 3。又因?yàn)?5a2 2(a2 3a+ 4) = 5a2 2a2 + 6a 8 = 3a2 + 6a 8, 所以當(dāng) a= 3 時(shí)，原式=3 X 32 + 6 X 3 8 = 37?？偨Y(jié)升華：解答此類題目一定要弄清題意，明確題目的條件和所求，當(dāng)題目中的 條件或所求發(fā)生了變化時(shí)，解題的方法也會(huì)有相應(yīng)的變化。舉一反三：變式1當(dāng)a(x工0)為何值時(shí)，多項(xiàng)式 3(ax2 + 2x 1) (9

21、x2 + 6x 7)的值恒等為4。 解析：3(ax2 + 2x 1) (9x2 + 6x 7)2 2 2 =3ax + 6x 3 9x 6x+ 7= (3a 9)x + 4。因?yàn)?3a 9)x2 + 4 = 4,所以(3a 9)x2 = 0。又因?yàn)?x工0,故有 3a 9= 0。即 a= 3, 所以當(dāng)a= 3時(shí)，多項(xiàng)式3(ax2 + 2x 1) (9x2 + 6x 7)的值恒等于4。變式2當(dāng)a= 3時(shí)，多項(xiàng)式3(ax2 + 2x 1) (9x2 + 6x 7)的值為多少？ 解析：3(ax2 + 2x 1) (9x2 + 6x 7)2 2=3ax + 6x 3 9x 6x + 7=(3a 9)x

22、2+ 4,當(dāng)a= 3時(shí)，2原式=(3X 3 9)x + 4 = 4。8. 已知關(guān)于x的多項(xiàng)式(a 1)x5+ x|b+21 2x + b是二次三項(xiàng)式，則a=,b =。分析：由題意可知a 1 = 0,即a= 1, |b+ 2|= 2,即b= 4或0,但當(dāng)b= 0時(shí), 不符合題意，所以b= 4。答案：1, 4舉一反三：變式若關(guān)于的多項(xiàng)式：八廠-廠、一+” ,化簡(jiǎn)后是 四次三項(xiàng)式，求m, n的值答案：m=5, n=-1方法技巧篇一整式的加減技巧、根據(jù)系數(shù)特征分組合并同類項(xiàng)的合并實(shí)際上是系數(shù)的加減，因此，如何根據(jù)系數(shù)的特征進(jìn)行分組合并是合并同類項(xiàng)時(shí)的一種技巧1 2222123 222例 1 計(jì)算： _

23、 x2y+ x y2- ( x2y+ Xy2-1)+( 2-x2 y- x y2)2 3223分析：先去括號(hào)，得，原式=x2y+ xy2 - x2y- x y2 +1+2- 3X2y- -x y2，注意這232232132個(gè)多項(xiàng)式共有三類，第一類是x2y，系數(shù)分別是一，-1和-,第二類是xy2，系數(shù)分別是2 22122，-和-2，第三類是常數(shù)項(xiàng)，分別是3 23解法如下是最簡(jiǎn)便的1和2.各類合并時(shí)，考慮各類系數(shù)的特征，易得解:原式=訂2戶討2-幾-lxy2+1+2-32 22x y-2-x y-1 _x y +（1+2）2.123 222 22=（ x y- x y）+（ x y - x y22

24、332 2=-x y+0- x y+3c2=-2 x y+3.評(píng)注：按系數(shù)特征合并同類項(xiàng)，一般是將系數(shù)為相反數(shù)的同類項(xiàng)分為一組，系數(shù)能夠湊整的同類項(xiàng)分為一組，系數(shù)是同分母的同類項(xiàng)分為一組二、按整體進(jìn)行合并如果多項(xiàng)式出現(xiàn)若干部分相同，則可以把相同的這部分視為整體進(jìn)行合并111例 2 計(jì)算：9(x-1)+7( 1- x)-x-1.2221111分析：本題中的(1- x)可化為-(x-1)， - x+1可化為-(x-1)-2，因此,22221先把(丄x-1 )作為整體進(jìn)行合并.2解：原式=9( 1 x-1)-7（1 x-1）-（1 x-1）-222=（9-7-1）（1 x-1）2-2=（-x-1）-

25、2= - x-3.22評(píng)注：運(yùn)用整體思想進(jìn)行整式加減運(yùn)算時(shí)，常常需要選擇合適的“整體”，然后添括號(hào),再進(jìn)行合并，然后再去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)三、逆向合并一般情況下，在合并同類項(xiàng)時(shí)大多是將系數(shù)相加減，但有時(shí)反過(guò)來(lái)，視系數(shù)為“類”進(jìn) 行合并可以收到意想不到的效果 例3計(jì)算：口 4 一口心-4 ；23236分析：注意到同分母的幾組式子，將它們分別相加易于計(jì)算，于是解：原式=x -2y_23_xy_3x-y)+ ( )-223361 ()=(x-y)21 /、 x_y36=0.(x-y )評(píng)注：本題從系數(shù)入手，無(wú)意中構(gòu)造出（x-y ）這個(gè)整體，然后于運(yùn)用整體思想得到了巧妙的解決，真是“無(wú)心插柳柳成蔭”由

26、上幾例可見(jiàn)，合并同類項(xiàng)與有理數(shù)運(yùn)算一樣，如果能夠先觀察一下題目特征而不急于動(dòng)筆，然后針對(duì)題目特征，打破常規(guī)解法，靈活運(yùn)用一些技巧，則可以起到化繁為簡(jiǎn)，事半 功倍的效果方法技巧篇二整式的加減一、直接代入求值法例 當(dāng)x =0、x =2、x=2時(shí)，分別求代數(shù)式的 2xx1的值.二、化簡(jiǎn)代入求值法例 已知 x = -丄，y = -1，求代數(shù)式（5x2y -2xy2 -3xy） _（2xy - 5x2y -2xy2）的值.53解法1:因式分解法解法2 :降次法例2代數(shù)式3x2 -4x 6的值為9,則x2 -x 6的值為（）3A. 7 B . 18 C . 12 D . 9例3已知x - =5，求x2 冷

27、的值.Xx2解法1:平方法解法2:配方法*例4 已知y=ax3，bx-5中，當(dāng)x =-3時(shí)，y =7，則當(dāng)x =3時(shí)，y的值是（）A. -3 B . -7 C . -17 D . 7三、說(shuō)理題解法舉例例1做游戲，猜數(shù)字：讓對(duì)方任想一個(gè)數(shù)，讓他做如下運(yùn)算：乘5,再加上6,再乘4,再加上9，再乘5,把得數(shù)告訴你，然后（你只要從中減去165,再除以100）你就 可以說(shuō)出他原來(lái)的數(shù).用數(shù)字驗(yàn)證：比如，某人想的一個(gè)數(shù)是7,那么，第一步，7X5 得35,第二步，35+6得41，第三步,41 X4得164,第四步，164+9得173，第五步，173X5 得865 .他告訴你：865,于是你就算出（865-

28、165）十100=7 .你自己也可舉例，結(jié)果總對(duì)， 你知道其中的奧妙嗎？例2在數(shù)學(xué)自習(xí)課上，張老師出了一道整式求值題，張老師把所要求值的整式（7a3 -6a3b 3a2b） -（-3a3 -6a3b 3a2b 10a3 -3）寫(xiě)完后，讓小剛同學(xué)任意說(shuō)出一組 a ,b的值，再計(jì)算結(jié)果.當(dāng)小剛說(shuō)完：“ a=2010,b=2011” 后，小莉很快說(shuō)出了答案“ 3”.同學(xué)們都感到其名其妙，覺(jué)得不可思議，張老師滿意地說(shuō)：“這個(gè)答案準(zhǔn)確無(wú)誤”親愛(ài)的同學(xué)，為何能小莉快速得出結(jié)果？例3小明和小亮在同時(shí)計(jì)算這樣一道求值題：“當(dāng)a =_3時(shí)，求整式7a2 5a （4a -1） 4a2 （2a2 a - 1）的值小

29、亮正確求得結(jié)果為7,而小明在計(jì)算時(shí)，錯(cuò)把 a=-3看成了 a=3，但計(jì)算的結(jié)果卻也正確，你相信嗎？你能說(shuō)明為什么嗎？四、探索規(guī)律題的解法1觀察題目中的不變量與變量，不變量照寫(xiě)，變量用序號(hào)來(lái)表示（序號(hào)為n）例 研究下列算式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？請(qǐng)你把找出的規(guī)律用含正整數(shù)n的公式表示.13 1 =4 =22 , 2 4 1 =9 =32 , 3 5 1 =16 =42 , 4 61 =25 =52 ,2. 將所給的條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，再找?guī)律例觀察等式：1222=41 , 2232 =12 1 ,3242=24 1 , 4252=40 +1,，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？請(qǐng)你把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含正整數(shù)n的公式表示

30、.第康T層第2層 第2和繪圖第第科共有圖們自上圖中都按圈的方式填上一串連續(xù)的正整數(shù)1, 2, 3,數(shù)是;第1層00-00如OO中的圓 圖12層：（1）圖往下，在每個(gè)圓圈4,，則最底層最左邊這個(gè)圓圈中的（2）我們自上往下，在每個(gè)圓圈中都按圈的方式填上一串連續(xù)的整數(shù) -21 ,，求圖中所有圓圈中各數(shù)的絕對(duì)值之和. 例 用正方形的普通水泥磚（圖中白色小正方形） 圖的方式鋪人行道，像這樣，第n個(gè)圖形需要彩 色水泥磚多少塊？ 五、用字母表示數(shù)的思想用字母表示數(shù)是代數(shù)的一個(gè)重要特點(diǎn)，是 整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的知識(shí)，是從算術(shù)過(guò)渡到 代數(shù)的橋梁.用字母表示數(shù)能夠把數(shù)量關(guān)系一般地、-23 , -22 ,4.借助于

31、表格進(jìn)行觀察和彩色水泥磚（圖中灰色小正方形）按如簡(jiǎn)明地表示出來(lái)，它是列代數(shù)式的基3. 借助于圖形觀察找規(guī)律例1柜臺(tái)上放著一堆罐頭，它們擺放的形狀見(jiàn)下圖第一層有2X3聽(tīng)罐頭，第二層有3X4聽(tīng)罐頭，第三層有4X5聽(tīng)罐頭.根據(jù)這堆罐頭排列的規(guī)律，第n（n為正整數(shù)）層有聽(tīng)罐頭（用含n的式子表例2圖是由若干個(gè)小圓圈堆成的一個(gè)形如正三角形的圖案，最上面一層有一個(gè)圓圈，以 下各層均比上一層多一個(gè)圓圈，一共堆了 n層，將圖倒置后與原圖拼成圖的形狀，這樣我們可以算出圖中所有圓圈的個(gè)數(shù)為12 3 . n =衛(wèi) .2礎(chǔ)深刻理解用字母表示數(shù)的意義，掌握它的方法及規(guī)律，是學(xué)好代數(shù)的關(guān)鍵.例I如圖是某個(gè)月份的日歷，像圖中

32、那樣，用一個(gè)十字框在圖中任意圈住五個(gè)數(shù)，如果中間的數(shù)用a表示，則圈住的五個(gè)數(shù)字的和可用含a的代數(shù)式表示為 .例2如圖是2002年6月份的日歷，現(xiàn)有一長(zhǎng)方形在日歷任意框4個(gè)數(shù)，請(qǐng)用一個(gè)等式表示a、b、c、d之間的關(guān)系：例3小紅對(duì)小麗說(shuō)：“有一種游戲，其規(guī)則是；你任想一個(gè)數(shù)， 把這個(gè)數(shù)乘2，加上6.再把結(jié)果乘2,再減去8,再把結(jié)果除以 的2倍.你不用告訴我你所想的數(shù)是什么，我就能知道結(jié)果.”果？六、觀察、比較、歸納、猜想的數(shù)學(xué)思想例1觀察按下列順序排列的等式：SuIMo2dFr6Sa7345*】9inLI123141516171819202)222訂24252728yU2V302：242S2A27

33、2S292,最后再減去你所想的數(shù) 請(qǐng)你說(shuō)明小紅為什么知道結(jié)9 0 1=1, 9 12=11, 猜想：第n個(gè)等式（n為正整數(shù)） 例2衢州市是中國(guó)歷史文化名城， 是中國(guó)圍棋文化的重要發(fā)樣地，如圖是用棋子擺 成的“巨”字，那么第4個(gè)“巨”字的棋子數(shù)是;按以上規(guī)律繼續(xù)下去，第 n個(gè)“巨”字 所需要棋子數(shù)是 .例3觀察圖中的四個(gè)點(diǎn)陣，s表示每個(gè)點(diǎn)陣中的點(diǎn)個(gè)數(shù)，按照?qǐng)D形中的點(diǎn) 的個(gè)數(shù)變化規(guī)律，猜想第n個(gè)點(diǎn)陣中的點(diǎn)的個(gè)數(shù) 為（）A. 3n -2 B . 3n -1C. 4n 1 D . 4n -3例4按一定的規(guī)律排列的一列數(shù)依次為：9 2 3 =21, 9 3 4 =31 , 可以表示成 .衢州市爛柯山 J

34、r1 1 12 ， 3， 10丄 丄 丄15 ， 26 ， 35 ，按此規(guī)律排列下去，七、整體思想所謂整體思想，就是將具有共同特征的某一項(xiàng)或某一類看成一個(gè)整體，加以確定、解 決，這樣往往能使問(wèn)題的解答簡(jiǎn)潔、明快，在求代數(shù)式的值時(shí)，有時(shí)問(wèn)題中的量或字母沒(méi) 有直接給出，往往考慮使用“整體思想”來(lái)解答.這列數(shù)中的第7個(gè)數(shù)是，用整數(shù)n表示第n個(gè)數(shù)是整體化簡(jiǎn)已知：a-b =3, b-c =5，求(ab)2 (b c)2 (a-c)2 的值.整體變形求解對(duì)于某些比較復(fù)雜的條件，如果對(duì)其進(jìn)行整體變形，則可收到事半功倍的效果.例 1 若 a2 +a =0，貝V 2a2 +2a +2007 的值為.例2當(dāng)卅=4

35、時(shí)，求代數(shù)式獸-爲(wèi)的值.八、方程思想例1若2a2xb3與3a4b6是同類項(xiàng)，求3y3 4x3 y _4y3 2x3y的值.例2若兩個(gè)單項(xiàng)式2a3b2m與3anbn的和仍是一個(gè)單項(xiàng)式，則m=, n=.九、分類討論思想所謂分類討論思想，是對(duì)事物分情況加以討論的思想，它是根據(jù)事物的特點(diǎn)按照某一 標(biāo)準(zhǔn)不重復(fù)、不遺漏地對(duì)事物分別歸類，分類討論思想既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一 種解題策略，對(duì)于同學(xué)們良好的思想品質(zhì)的形成具有重要意義.例 1 若 a =3,b = 2，則 a+b =.例 2 化簡(jiǎn)：b _3 + 4 _b .十、數(shù)形結(jié)合思想在列代數(shù)式時(shí)，常常能遇到另外一種類型題：給你提供一定的圖形，通過(guò)對(duì)圖

36、形的觀 察探索，搜集圖形透露的信息，并根據(jù)相關(guān)的知識(shí)去列出相應(yīng)的代數(shù)式.例 如圖，已知小正方形的邊長(zhǎng)、圓弧的半徑均為a,計(jì)算圖中陰影部分的面積.練習(xí)題：一、填空題1. 在校舉行的運(yùn)動(dòng)會(huì)上，小勇和小剛都進(jìn)入了一百米決賽，小勇用了x秒，小剛用了 15秒，小勇獲得了冠軍，小勇比小剛快 秒.2. 計(jì)算：(2xy y) ( y+xy ) =.3. 在代數(shù)式(1 )ab; (2)丄;(3)乞;(4)丄;(5) -，;(6)b2 -2b 1;(7) - pq2；(8)空a3 x+23兀中單項(xiàng)式有 ;多項(xiàng)式有 ;整式有.4. 根據(jù)去括號(hào)法則，在下面各式中方框里填牛”或”號(hào).(1) a ( b+c) =aD b

37、c;(2) a( b c d) =a b+c+d .25. 當(dāng)x= 2時(shí)，代數(shù)式一x +2x 1的值是.6. 把多項(xiàng)式2x2 3x+x 3+2按x的降幕排列是 .7. 有理數(shù)a, b, c在數(shù)軸上的位置如圖測(cè)所示，則| a b | | a c | = A1JQ 5I&已知(a 3) 3與I b 1 |互為相反數(shù)，那么 a+b=1的規(guī)律拼成一列圖案.9.如圖測(cè)，用黑白兩種顏色的正方形紙片，按黑色紙片數(shù)逐漸加(1) 第4個(gè)圖案中有白色紙片 張；(2)第n個(gè)圖案中有白色紙片 張.第3個(gè)10.如果代數(shù)式2y2+3y+7的值是8，那么代數(shù)式4y2+6y 9的值為.二、化簡(jiǎn)下列各題：422422(1) 5

38、a +3a b 10 3a b+a 1 ；(2) 2 (2x +9y) 3 ( 5x 4y);2 2 2 2(3)( a ab) + (2ab b ) 2 (a +b ).三、化簡(jiǎn)求值(1) 2x 4x 2y( 3x 2y+1 )，其中 x= 3, y=2007 ;2 2 2 2 2 2(2) xy 2y 24xy ( 3y x y) +5 ( 3y + x y)，其中 x=1 , y= 2.5四、 某服裝廠生產(chǎn)一種西裝和領(lǐng)帶， 西裝每套定價(jià)200元，？領(lǐng)帶每條定價(jià)40元廠方在開(kāi) 展促銷活動(dòng)期間，向客戶提供兩種優(yōu)惠方案： 買(mǎi)一套西裝送一條領(lǐng)帶； 西裝和領(lǐng)帶都按 定價(jià)的90%付款.現(xiàn)某客戶要到該

39、服裝廠購(gòu)買(mǎi)西裝 20套，領(lǐng)帶乂?條(x20):(1) 若該客戶按方案購(gòu)買(mǎi)，需付款 元.(用含x的代數(shù)式表示)；？若該客戶按方案購(gòu)買(mǎi)，需付款 元.(用含x的代數(shù)式表示)(2) 若x=30，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明此時(shí)按哪種方案購(gòu)買(mǎi)較為合算？(3) 當(dāng)x=30時(shí)，你能給出一種更為省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案嗎？試寫(xiě)出你的購(gòu)買(mǎi)方法.整式的加減提高測(cè)試題姓名班級(jí)學(xué)號(hào)、填空題(本題20分，每小題4分)：1 .僅當(dāng) a=, b=, c =時(shí)，等式 a x2 bx + c = x2+ 2x + 3成立;2 .僅當(dāng)b =, c =時(shí)，5x 3y 2與23 x by c是同類項(xiàng)；3 .煤礦十月份生產(chǎn)a噸煤，比九月份增產(chǎn)45%煤礦九月份生

40、產(chǎn)煤 噸；4. 當(dāng)3v a V 4時(shí)，化簡(jiǎn)| a 3| | a 6|得的結(jié)果是,它是一個(gè) 數(shù);5. n張長(zhǎng)為acm的紙片，一張接一張的貼成一個(gè)長(zhǎng)紙條，每張貼合部分的長(zhǎng) 度都是bcm,這個(gè)紙條的總長(zhǎng)應(yīng)是 cm .、計(jì)算下列各題(本題30分，每小題10分)：1. 5a n a n ( 7a n) + ( 3a n)；解：2. (2x 3x + 6x + 5) ( x 6x + 9)；解：3. 9x 159 4x （11y 2x） - 10y + 2x.解：三 先化簡(jiǎn)再求代數(shù)式的值：11. 5a + a +（ 5a 2a ） 2 （a 3a ），其中 a=；2解：2、a 4 + 3a b 6a 2b

41、2 3a b2 + 4a b + 6a 2b 7a 2b2 2a 4,其中 a= 2, b =1.解：四（本題10分）已知&=竺，且x為小于10的自然數(shù)，求正整數(shù)a的值.x-2解：五（本題10分）代數(shù)式15 （a+ b） 2的最大值是多少？當(dāng)（a+ b） 2 3取最小值時(shí)，a與 b有什么關(guān)系？解：六（本題10分）當(dāng) a0, bv0 時(shí)，化簡(jiǎn) |5 b| + | b 2a| + |1 + a|.解：整式的乘法（一）幕的乘法運(yùn)算一、知識(shí)點(diǎn)講解:1、同底數(shù)幕相乘：aman =推廣：an11an2anannan1n2nnn（ n1,n2, n3,，nn 都是正整數(shù)）同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。注

42、意底數(shù)可以是多項(xiàng)式或單項(xiàng)式。如：（a b）2|_（a b）3 二（a b）5注意：正確處理運(yùn)算中的“符號(hào)”，避免以下錯(cuò)誤，女口：- 2=-:=1例1、計(jì)算：(1)25x x983(2) (2) x(2) x(2)m 41怖/、3/、2/、5(3) aa(4) (x-y) (y-x) ( y - X)變式練習(xí)：1、a16可以寫(xiě)成（)A. a8+a8B. a8 a2Q88C. a af44D. a a2、已知2x=3,那么2x七的值是o3、計(jì)算：(1) a ? a3?a5(2)(_x)2 x5322n(3) x x-3x x(4) (x+y) (x+y)(5) ( n m ( m- n) 2 (

43、n m) 42、幕的乘方：am n二推廣：(a)2卜二anin2n3 (n2,n3都是正整數(shù))幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。如：(-35)2 =31幕的乘方法則可以逆用：即amn =(am)n =(an)m如: 4(42)3 =(43)2例 2、計(jì)算：(1)( 103) 5(2) (a3)2(3) 2x y25(m n)2( n m)35變式練習(xí)：1、計(jì)算(一x5) 7+ ( x7) 5的結(jié)果是()A2x12B2x35C2x70D . 02、在下列各式的括號(hào)內(nèi)，應(yīng)填入b4的是()A.b12= () 8 B . b12=()6 C.b12= () 3 D . b12=(3、計(jì)算：(1) ( -m

44、)34(2) _ a4 2 . a2 (3)- p2 (-p)4 (-p)35(4)(m) 4+mi0ni+m-m 3 m83、積的乘方：(ab=namnn n n推廣：(q a2 03am)=3 a? a3積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積。如：(-2x3y2z)5 = (-2)5 *(x3)5 (y2)5 z5 =32x15y10z5注意：正確處理運(yùn)算中的“符號(hào)”，避免以下錯(cuò)誤，女口： -二二 1 二、典型例題：例 3、計(jì)算：(1)( ab) 2 (2)( 3x) 2(3) - (3a2b3c)32,3, 、 ,1、20092008(4) 3(x y) (5) (3)(-3)變式練習(xí)：1、如果(

45、 ambn) 3=a9b12, 那么m n的值等于()A. m=9 n=4 B . m=3 n=4 C . m=4, n=3 D . m=9, n=62、下列運(yùn)算正確的是(2 2(A) x x x (B)(xy)22二 xy(C) (x )2、36x(D)3、已知 xn=5,yn=3,則(xy)3n4、計(jì)算：(1)(-a) 3(2)(2x4) 3(3)(-4如04 2-3x3y2 3(5)2 2(-2a b)2 , 2、3(-2a b )510-0.125 43 2 3 1 3(-9)3 (一)3(才3同底數(shù)幕的除法法則：同底數(shù)幕相除， 練習(xí)(8)4 a24 - 3x424、m . nm _n

46、a - a a底數(shù)不變，指數(shù)相減。如：(a = 0, m, n都是正整數(shù)，且m 一 n)(ab)4 + (ab) = (ab)3 = a3b3(1)計(jì)算:a6 十 a2(-a)5 “(-a)2 =(2) 計(jì)算：(a 1)- (a 1)8=.(3) 計(jì)算：(m_n)3 十(n_m)2 =.(4).下列計(jì)算正確的是()A.743(-y) *( y) =y544B.(x+y)*( x+y) =x +y ;C.(a 1) 6r a 1) 2=(a 1) 3 ;5/3、2D . x * ( x ) =x .(5) 計(jì)算：(-a 5，(a2 $ *(-a f的結(jié)果，正確的是()A. a7 ;B.-a6 ;

47、C.-a7 ；D.a6.(6) 若 3x =5 , 3y =4,則 32x今等于()1。D.20.A. ;B.6 ;C.21;45、零指數(shù)a0 =1 ( a=0)，即任何不等于零的數(shù)的零次方等于(二) 整式的乘法一、知識(shí)點(diǎn)講解：1、單項(xiàng)式單項(xiàng)式(1 )系數(shù)相乘作為積的系數(shù)(2 )相同字母的因式，利用同底數(shù)幕的乘法，作為一個(gè)因式(3) 單獨(dú)出現(xiàn)的字母，連同它的指數(shù)，作為一個(gè)因式 積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積，先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值。 相同字母相乘，運(yùn)用同底數(shù)幕的乘法法則。 只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式 單項(xiàng)式乘法法則對(duì)于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用。 單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)

48、式，結(jié)果仍是一個(gè)單項(xiàng)式。如：一2x2y3z 3xy = ?、典型例題:(1) .下列計(jì)算的結(jié)果正確的是()A.( -x2)(-x ) 2=x4BC.(-4 X 103)(8X 105) =-3.2 X 109 D(-a-b )4 (a+b) 3=- (a+b) 7(2).計(jì)算(-5ax) ( 3x y)的結(jié)果是()5 2D . 45ax yA5 25 2.-45ax yB . -15ax yC .-45x5y2(3)(2xy2) ( 1 x2y)=;(-5 a3bc)-(3ac)=.332、2-(-2ab )3233(a bx y) =； (-3a bc)10.已知 am=2, an=3，則

49、a3m+n=;孑m+3n=b2與4a3m+nb5m+8n同類項(xiàng)，那么這兩個(gè)單項(xiàng)式的積是多少?(-5ab2x) (4)(5) .若單項(xiàng)式-3 a2m-n2、單項(xiàng)式多項(xiàng)式 單項(xiàng)式分別乘以多項(xiàng)式的各項(xiàng)； 將所得的積相加注意：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，積仍是一個(gè)多項(xiàng)式，項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同 積是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。 運(yùn)算時(shí)要注意積的符號(hào)，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)。 在混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序，結(jié)果有同類項(xiàng)的要合并同類項(xiàng)。如：2x(2x -3y) -3y(x y) =?二、典型例 2 2(1) ( 4a- b ) (- 2b)(3x y - 2x+1) (- 2xy)222323

50、 32(2) ( 3a2b- 4ab2- 5ab- 1) ? (-2ab2)(3)( - 4a3+12ab-7ab3) (- 4a2)2(4) - 3x? (2x - x+4)2 2(5) 先化簡(jiǎn)，再求值 3a (2a - 4a+3)- 2a ( 3a+4)，其中 a=- 2(6) 先化簡(jiǎn)，再求值：2 (a2b+ab2)- 2 (sb- 1)- ab2- 2,其中 a=- 2，b=2.3、多項(xiàng)式多項(xiàng)式先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。注意：運(yùn)算的結(jié)果一般按某一字母的降幕或升幕排列。、典型例題:(1) (2x+ 3y)(3x 2y)(2)( x+ 2)( x+ 3) -(x+ 6)( x- 1)2(3) 5x C +2x+1 )-( 2x - 3)( x - 5)(4) ( 3x+ 2y)( 2x+ 3y) (x-3y)( 3x+ 4y)(5) (x +a)(x? 6x +b)的展開(kāi)式中，x2項(xiàng)的系數(shù)是2(6) 要使多項(xiàng)式( L 丫 不含關(guān)于x的二次項(xiàng)，則p與q的關(guān) 系是()A.相等B.互為相反數(shù)C.互為倒數(shù)D.乘積為1(7) .若(x+ a)(x+ 2) = x2 5x+ b,貝U a=, b=:(8) .若