4第四章幾何圖形初步

1、第四章 幾何圖形初步4.1 幾何圖形 專題一 立體圖形的平面展開圖1.若下列只有一個圖形不是右圖的展開圖，則此圖為何？（） A B C D2.（2011呼和浩特）將如圖所示表面帶有圖案的正方體沿某些棱展開后,得到的圖形是（） A B C D3.如圖，由六個正方形組成，將它折疊后可以圍成一個正方體，正方體的表面上的數(shù)碼為1,2,3,4,5,6.有3個面上的數(shù)字漏寫了，如果相對面上的數(shù)的和都等于7，求k的值.專題二 從不同的方向看立體圖形 4.如圖是一個長方體被截去一角后得到的幾何體，從上面看這個幾何體得到的平面圖形是（ ）5. 一個長方體的從左面看、上面看得到的平面圖形及相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，則其從

2、正面看得到的平面圖形的面積為（ ）A6 B8 C12 D24 6. 如圖，一個幾何體是由大小相同的小正方體焊接而成，其從前面看、從上面看、從左面看都是“田”字形，則焊接該幾何體所需小正方體的個數(shù)最少為（ ）A3 B4 C5 D67.（2012自貢）分別畫出從正面、左面和上面觀察下圖所示的立體圖形所得到的平面圖形. 專題三 平面圖形與立體圖形的廣泛應(yīng)用8.下面圖1是正方體木塊，若用不同的方法，把它切去一塊，可以得到如圖2、圖3、圖4、圖5不同形狀的木塊（1）我們知道，圖1的正方體木塊有8個頂點，12條棱，6個面請你觀察，將圖2、圖3、圖4、圖5中木塊的頂點數(shù)a、棱數(shù)b、面數(shù)c填入下表：（2）觀察

3、這張表，請你歸納出上述各種木塊的頂點數(shù)a、棱數(shù)b、面數(shù)c之間的數(shù)量關(guān)系，這種數(shù)量是： .（用含a、b、c的一個等式表示）9.如圖，都是由邊長為1的正方體疊成的圖形. 例如第（1）個圖形的表面積為6個平方單位，第（2）個圖形的表面積為18個平方單位，第（3）個圖形的表面積是36個平方單位.依此規(guī)律，則第（5）個圖形的表面積個平方單位.(1)(2)(3)(4)知識要點：1.有些幾何體的各部分在一個平面內(nèi)，它們是平面圖形；2.有些幾何體的各部分不在一個平面內(nèi)，它們是立體圖形；3.有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當(dāng)剪開，可以展開成平面圖形，這樣的平面圖形稱為相應(yīng)立體圖形的展開圖.常見

4、幾何體的展開圖列表如下：4.從不同的方向看同一立體圖形，往往會得到不同形狀的平面圖形. 常見立體圖形從不同方向看得到的平面圖形，列表如下：溫馨提示：1.正方體的展開圖共有11種，分為“四連方”、“三連方”、“二連方”的形式.2.同一個立體圖形從不同的方向看,得到的平面圖形可能相同也可能不同；從同一方向看得到的平面圖形相同的立體圖形體其形狀不一定相同. 方法技巧：1.正方體的展開圖不含有“田”字、“凹”字形狀.2. 正方體的展開圖中相對的面隔1行或者隔1列.3.由三個方向看到的圖形確定幾何體時，應(yīng)先根據(jù)從前面和從上面看到的圖形的情況分析，再結(jié)合從左面看到的圖形的情況定出幾何體，從而便可得到組成這

5、個幾何體的小正方體的個數(shù).答案：1. D 解：選項D的四個三角形面不能折疊成原圖形的四棱錐，而是有一個三角形面與正方形面重合，故選D2. C 解析：由原正方體知，帶圖案的三個面相交于一點，而通過折疊后A、B都不符合，且D折疊后圖案的位置正好相反，所以能得到的圖形是C故選C3. k=4 解析:正方體展開圖的對面隔一行或者隔一列,由題意得k所在的面與3所在的面是相對面，所以k+3=7.解得k=4.4. A 解析:截去上面的一個角后，長方體的下底面不受影響，所以從上面看得到的平面圖形是一個長方形，所以排除C、D選項.因為長方體上底面截去的是右下角，所以從上方看得到的平面圖形中右下角應(yīng)有一條線段,故應(yīng)

6、選A.5. B 解析:由題意得長方體的長是4，寬是3，高是2.從正面看該長方體得到的平面圖形是長方形.長方形的兩邊長分別為4,2，其面積=42=86.D 解析：由從上面看是“田”字形可得底層有4個小正方形.綜合從前面看和從左面看，可得小正方形的塊數(shù)所有可能的情況如圖所示.2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 所以焊接該幾何體所需小正方體的個數(shù)最少為6塊.7. 解析:從這個立體圖形的正面、左面和上面看，得到的平面圖形如圖所示. 從正面看 從左面看 從上面看8. 解析 （1）（2） a+cb=29. 90 解析：本題是一道規(guī)律探究題：第（1）個圖形的表面積為6個平方單位，即61個，第（2

7、）個圖形的表面積為18個平方單位，即6（1+2）個，第（3）個圖形的表面積是36個平方單位，即6（1+2+3）個，故第（5）個圖形的表面積為6（1+2+3+4+5）=90個平方單位.4.2 直線、射線、線段專題一 直線、射線、線段的概念與性質(zhì)1.對于直線AB，線段CD，射線EF，在下列各圖中能相交的是（ ）2.下列語句正確的是（ ）A. 畫直線AB5厘米 B. 過任意三點A、B、C畫直線AB C. 畫射線OB5厘米 D.畫線段AB5cm 3.平面上有四個點A、B、C、D,根據(jù)下列語句畫圖： (1)畫直線AB、CD交于E點; (2)畫線段AC、BD交于點F; (3) 作射線BC; (4)連結(jié)E、

8、F交BC于點G; (5)取一點P,使P在直線AB上又在直線CD上. 4.如圖，平面內(nèi)有公共端點的六條射線OA，OB，OC，OD，OE，OF，從射線OA開始按逆時針方向依次在射線上寫出數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，（1）“17”在射線 上；（2）請任意寫出三條射線上數(shù)字的排列規(guī)律；（3）“2013”在哪條射線上？5.通過閱讀所得的啟示來回答問題（閱讀中的結(jié)論可直接用）閱讀：在直線上有n個不同的點，則此圖中共有多少條線段？分析：通過畫圖嘗試，得表格：6=1+2+3直線上點的個數(shù)共有線段條數(shù)圖形兩者關(guān)系2 34513610n=1+2+（n-1）10=1+2+3+43=1+21=1A1 A2 A1

9、A3 A1 A2 A2 A2A3 A1 A3 A3A1A4 A2A5 A4A4An問題：(1)某學(xué)校九年級共有8個班進行辯論賽，規(guī)定進行單循環(huán)賽（每兩班之間賽一場），那么該校初三年級的辯論賽共有多少場次？(2)有一輛客車,往返兩地,中途停靠三個車站,問有多少種不同的票價?要準(zhǔn)備多少種車票?專題二 兩點之間線段最短的應(yīng)用6.如圖，從A到B最短的路線是（ ） A. AGEB B. ACEB C. ADGEB D. AFEB 7.已知O為圓錐的頂點，M為圓錐底面上一點，點P在OM上一只蝸牛從P點出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行，回到P點時所爬過的最短路線的痕跡如圖所示若沿OM將圓錐側(cè)面剪開并展開，所得側(cè)面展開圖

10、是（）ABCD專題三 與線段有關(guān)的計算9.（2012常德）若圖1中的線段長為1，將此線段三等分，并以中間的一段為邊作等邊三角形，然后去掉這一段，得到圖1，再將圖2中的每一段類似變形，得到圖3，按上述方法繼續(xù)下去得到圖4，則圖4中的折線的總長度為（ ）A2 B C D圖1 圖2 圖3 圖410.（2012菏澤）已知線段AB=8cm，在直線AB 上畫線段BC使BC=3cm，則線段AC= 11.如圖某公司員工分別住在A、B、C三個住宅區(qū)，A區(qū)有30人，B區(qū)有15人，C區(qū)有10人，三個區(qū)在同一條直線上，位置如圖所示，該公司的接送車打算在三個區(qū)選一個區(qū)為?？奎c，為使所有員工步行到?？奎c的路程之和最小，那

11、么?？奎c的位置應(yīng)設(shè)在 .12.如圖，已知E、F兩點把線段AB分成2:3:4，D是線段AB的中點，F(xiàn)D=24，求：AB的長. 13.已知線段AB=10厘米，直線AB上有一點C，且BC=4厘米，M是線段AC的中點，求AM的長知識要點：1.直線是向兩方無限延伸著的；直線上的一點和它一旁的部分叫射線；直線上兩點及兩點間的部分叫線段.2.直線沒有端點；射線有一個端點；線段有兩個端點.3.直線有兩種表示方法：用一個小寫字母表示;用兩個大寫字母來表示.射線有兩種表示方法：用端點兩個大寫字母表示，端點寫在前面；用一個小寫字母表示.線段也有兩種表示方法：是用兩個端點字母表示； 是用一個小寫字母表示.4.經(jīng)過兩點

12、有一條直線，并且只有一條直線.簡單的說：兩點確定一條直線.5.兩點的所有連線中，線段最短.簡單說成：兩點之間，線段最短. 溫馨提示：1.直線和射線都不能度量,沒有長度，沒法比較大?。痪€段可以度量，有長短之分，可以比較大小.2.直線向兩方無限延伸；射線向一方無限延伸，可反向延長射線，線段不能向任何一方延伸，但可以延長線段，或反向延長線段.方法技巧：1.n個不同的點最多確定的直線有123(n1)n(n1)條.2.求兩點之間的最短路徑問題,一般轉(zhuǎn)化為“兩點之間,線段最短”解決.答案：1. B 解析：AB是一條直線，EF是從E向F延伸的射線.所以B中的圖形能相交.2. D 解析：直線、射線無法度量長度

13、，所以A,C錯；過不在同一直線上的三點無法畫出一條直線，故B錯.3. 解析 如圖所示4. 解析：（1）17625，所以17和5在同一條射線上，即在射線OE上；（2）射線OA上所有的數(shù)除以6的余數(shù)為1，；射線OA上數(shù)字的排列規(guī)律：6n5；射線OB上數(shù)字的排列規(guī)律：6n4；射線OC上數(shù)字的排列規(guī)律：6n3；射線OD上數(shù)字的排列規(guī)律：6n2；射線OE上數(shù)字的排列規(guī)律：6n1；射線OF上數(shù)字的排列規(guī)律：6n；（3）20136的余數(shù)為3，因此2013在射線OC上5.解析：（1）取n=8,比賽場次為: .(2)5個站點共有種不同票價,每兩站之間要準(zhǔn)備往返兩種車票，所以需要準(zhǔn)備20種不同的車票.6. D 解

14、析：從點A到點E最短的路線是線段AE,所以從A到B最短的路線是AFEB.7. D 解析：蝸牛繞圓錐側(cè)面爬行的最短路線應(yīng)該是一條線段，因此選項A和B錯誤，又因為蝸牛從P點出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行后，又回到起始點P處，那么如果將選項C、D的圓錐側(cè)面展開圖還原成圓錐后，位于OM上的點P應(yīng)該能夠與OM上的點（P）重合，而選項C還原后兩個點不能夠重合，故選D8. 9. D 解析：第二個圖形在第一個圖形的長的基礎(chǔ)上多了它的長的，同樣，第三個圖形在第二個圖形的基礎(chǔ)上，多了其長的，第四個圖形在第三個圖形的基礎(chǔ)上，多了其長的因為第一個線段長為1；所以第二個圖形的折線的總長度為1(1) ；第三個圖形的折線的總長度為(

15、1) ；第四個圖形的折線的總長度為(1) 10. 5cm或者11cm 解析：若點C在線段AB，則AC=ABBC=83=5（cm）；若點C在線段AB的延長線上，則AC=AB+BC=8+3=11（cm）11. A區(qū) 解析：如果設(shè)在A區(qū)，則所有員工步行的路程為：15100+10300=4500米；如果設(shè)在B區(qū)，則所有員工步行的路程為：30100+10200=5000米；如果設(shè)在C區(qū)，則所有員工步行的路程為：30300+15200=12000米；因為4500600012000，從而確定所選的停車點位應(yīng)設(shè)在A區(qū)12. 解析：因為E、F兩點把線段AB分成2:3:4，所以設(shè)AE=2x，EF=3x，F(xiàn)B=4x

16、，則AB=2x+3x+4x=9x.因為D是線段AB的中點，所以BD=AB=4.5x.所以DF=BDBF=4.5x4x=0.5x.因為FD=24=0.5x，所以x=48.所以AB=948=432.答：AB的長為432.13. 解析：（1）當(dāng)點C在線段AB上時，如圖1，A M C B 因為M是線段AC的中點，所以AM=CM=AC， 又因為AB=10厘米，BC=4厘米，所以AC=ABBC=6厘米，所以AM=3厘米 （2）當(dāng)點C在線段AB的延長線上時，如圖2，A M B C 因為M 是線段AC的中點，所以AM=CM=AC，又因為AB=10厘米，BC=4厘米，所以AC=AB+BC=14厘米，所以AM=7

17、厘米答：AM和長為3厘米或7厘米4.3 角專題一 角的個數(shù)與表示1. 下列說法中正確的個數(shù)是（）由兩條射線組成的圖形叫做角，角的大小與邊的長短無關(guān)，只與兩條邊張開的角度有關(guān)，角的兩邊是兩條射線，把一個角放到一個放大10倍的放大鏡下觀看，角度數(shù)也擴大10倍A1個 B2個 C3個 D4個2.下圖，在已知角內(nèi)畫射線，畫1條射線，圖中共有 3個角；畫2條射線，圖中共有 6個角；畫3條射線，圖中共有 10個角，求畫n條射線所得的角的個數(shù)專題二 鐘面上的角度問題3. 4點10分，時針與分針?biāo)鶌A的小于平角的角為（）A55 B65 C70 D以上結(jié)論都不對4.如圖，在地面上有一個鐘，鐘面的12個粗線段刻度是整

18、點時時針（短針）所指的位置，根據(jù)圖中時針與分針（長針）所指的位置，該鐘面所顯示的時刻是 9時 12分5.周末莉莉跟媽媽去鄉(xiāng)下的外婆家，8點多臨出門她看到墻壁上鐘表的時針與分針正好是重合的，下午2點多她和媽媽回家后，一進門看見鐘表的時針與分針方向相反，正好成一條直線，問莉莉是幾點鐘去姥姥家？幾點鐘回到家？共用了多少時間？專題三 角的折疊與拼接6. 一副三角板不能拼出的角的度數(shù)是（拼接要求：既不重疊又不留空隙）（）A75 B105 C120 D1257一副三角板按如圖所示方式重疊，若圖中DCE=35025則ACB=_.8.如圖，先找到長方形紙的寬DC的中點E，將C過E點折起任意一個角，折痕是EF，

19、再將D過E點折起，使DE和CE重合，折痕是GE，你得到的GEF是直角嗎？為什么？專題四 角的和、差、倍、分9.已知、是兩個鈍角,計算的值,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)算出了四種不同的答案分別為24、48、76、86,其中只有一個答案是正確的,則正確的答案是（ ）A86 B76 C48 D2410.計算： 11.已知一條射線OA，若從點O再引兩條射線OB和OC，使AOB=60，BOC=20，求AOC的度數(shù).12. 已知AOB=BOC，COD=AOD=3AOB，求AOB和COD的度數(shù).13. 已知，O是直線AB上的一點，COD是直角，OE平分BOC.（1）如圖，若AOC=30，求DOE的度數(shù);（2）在如

20、圖中，若AOC=，直接寫出DOE的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）;（3）將圖中的DOC繞頂點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖的位置.探究AOC和DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由；在AOC的內(nèi)部有一條射線OF,滿足：AOC4AOF=2BOE+AOF,試確定AOF 與DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，說明理由.專題五 余角、補角、方位角14（2012孝感）已知是銳角，與互補，與互余，則-的值等于（）A45 B60 C90 D18015. 如圖，OA的方向是北偏東15，OB的方向是西偏北50度（1）若AOC=AOB，則OC的方向是 北偏東70；（2）OD是OB的反向延長線，OD的方向是 南偏東40；（3）BOD可看

21、作是OB繞點O逆時針方向至OD，作BOD的平分線OE，OE的方向是 南偏西50；（4）在（1）、（2）、（3）的條件下，COE= 16016.已知一個角的補角比這個角的余角的3倍大10，求這個角的度數(shù)17.如圖所示：點O是直線AB上的一點，OE平分，OD平分。求：(1) 的度數(shù)；（2）圖中互余的角有多少對？請把它們寫出來.（一定要仔細(xì)哦!）知識要點：1.有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角.2.1度=60分，1分=60秒.1周角=2平角=4直角=360.3.從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線.4.如果兩個角的和等于90（直角），就說這兩個角互為余角；如果兩個

22、角的和等于180（平角），就說這兩個角互為補角.5.同角（等角）的余角相等；同角（等角）的補角相等.溫馨提示：1.與角有關(guān)的注意事項：（1）角的兩條邊是射線，而不是線段，所以無法度量和延長.（2）角的大小與邊的長短粗細(xì)無關(guān)（3）放大鏡不能改變角的度數(shù).（4）平角是一個角，它有角的內(nèi)部，而直線是一條線，故不能說“平角是一條直線”.同理周角是一個角，而不是一條射線，故不能說“周角是一條射線”2.與角的和、差、倍、分有關(guān)的注意事項.（1）度分秒加法：度與度相加，分和分相加，秒和秒相加，計算結(jié)束后，滿60進一；（2）度分秒減法：度與度相減，分和分相減，秒和秒相減，如果不夠減，就向前一位借1，借1就相當(dāng)

23、于60，借1就相當(dāng)于60；（3）度分秒乘法：計算結(jié)束后，滿60進一；60就相當(dāng)于1, 60就相當(dāng)于1.（4）度分秒除法：余1就相當(dāng)于60，余1就相當(dāng)于603.余角與補角中的注意事項：（1）互為余角、互為補角均是指兩個角的關(guān)系，與第三個角無關(guān)；（2）互余、互補的兩個角只與它們的和有關(guān)，而與它們的位置無關(guān)（3）銳角的余角為銳角，銳角的補角為鈍角；鈍角的余角不存在，鈍角的補角為銳角.（4）表示方向時我們一般書寫形式為“南（北）偏東（西）”方法技巧：1.在已知角內(nèi)畫n條射線所得的角的個數(shù)為：1+2+3+（n+1）=.2.時鐘上每格30，時針?biāo)俣?.5度/分鐘，分針?biāo)俣?度/分鐘，這三個結(jié)論是解決時鐘問

24、題的基本工具3.用一副三角板可以畫0180中15的倍數(shù)的角，即15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180共12個角.4.如果互補的兩個角相等，那么這兩個角都是直角5.在沒有給出圖形，角的位置關(guān)系不確定時，需要分類討論.答案：1. B 解析:角是有公共端點的兩條射線所構(gòu)成的圖形,故錯誤；角的大小與邊的長短無關(guān)，只與兩條邊張開的角度有關(guān)，故正確；角的兩邊是兩條射線，故正確；把一個角放到一個放大10倍的放大鏡下觀看，角度數(shù)不變，故錯誤2. 解：因為在已知角內(nèi)畫1條射線，圖中共有3個角，即1+2=3個角；在已知角內(nèi)畫2條射線，圖中共有6個角，即1+2+3=6個角

25、；在已知角內(nèi)畫3條射線，圖中共有10個角，即1+2+3+4=10個角所以在已知角內(nèi)畫n條射線所得的角的個數(shù)為：1+2+3+（n+1）=.3. B 解析：因為4點10分時，分針從12到2轉(zhuǎn)動兩個格轉(zhuǎn)動角度為：302=60，時針轉(zhuǎn)動430=125，所以4點10分時，分針與時針的夾角是12560=65.4. 9時12分 解析：由圖可知，時針過1個大格線，走過60=12分鐘，所以，分針逆時針數(shù)12小格即為12點的位置，所以，該鐘面所顯示的時刻是9時12分5. 解：設(shè)8點x分時針與分針重合，則：6x0.5x=180+60，解得：x=所以約8點43分時莉莉出門去姥姥家設(shè)2點y分時，時針與分針方向相反則：6x0.5x=180+60，解得：y=所以約2點43分時莉莉回家.所以共用了6個小時6. D 解：一副三角板的度數(shù)分別為：30、60、45、45、90，因此可以拼出75、105和120，不能拼出125的角7. 14435解析：因為ACD=BCE=90,故ACE=ACDDCE=90 35025=54035.所以ACB=ACE+BCE=90+54035=14435.8. 解析：GEF是直角.理由如下：由折紙實驗，知3=1，4=2，而1+2+3+4=1800，所以1+2=900，所以GEF是直角9. C 解析: 因