1.組合和組合數(shù)的公式

1、 問題一：?jiǎn)栴}一：從甲、乙、丙從甲、乙、丙3 3名同學(xué)中選出名同學(xué)中選出2 2名去參名去參 加某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中加某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中1 1名同學(xué)參加上午的名同學(xué)參加上午的 活動(dòng)，活動(dòng)，1 1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不 同的選法？同的選法？ 問題二：?jiǎn)栴}二：從甲、乙、丙從甲、乙、丙3 3名同學(xué)中選出名同學(xué)中選出2 2名去參名去參 加某天一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？加某天一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？ 2 3 6A 甲、乙；甲、丙；乙、丙甲、乙；甲、丙；乙、丙 3 3 從已知的從已知的 3個(gè)不同個(gè)不同 元素中每元素中每 次取出次取出2 個(gè)元素個(gè)元素 ,

2、, 并成一組并成一組 問題問題2 從已知的從已知的 3 個(gè)不同個(gè)不同 元素中每元素中每 次取出次取出2 個(gè)元素個(gè)元素 , , 按照一定按照一定 的順序排的順序排 成一列成一列. . 問題問題1 排列排列 組合組合 有有 順順 序序 無(wú)無(wú) 順順 序序 一般地，從一般地，從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m （mn）個(gè)元素）個(gè)元素并成一組并成一組，叫做從，叫做從n個(gè)個(gè) 不同元素中取出不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)個(gè)元素的一個(gè)組合組合 排列與組合的排列與組合的 概念有什么共概念有什么共 同點(diǎn)與不同點(diǎn)？同點(diǎn)與不同點(diǎn)？ 組合定義組合定義: : 組合定義組合定義: : 一般地，從一般地，從n個(gè)不同元素中取

3、出個(gè)不同元素中取出m（mn）個(gè)個(gè) 元素元素并成一組并成一組，叫做從，叫做從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)元素的一 個(gè)個(gè)組合組合 排列定義排列定義: : 一般地，從一般地，從n n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m (mn) 個(gè)個(gè) 元素，元素，按照一定的順序排成一列按照一定的順序排成一列，叫做從，叫做從 n 個(gè)不同元素個(gè)不同元素 中取出中取出 m 個(gè)元素的一個(gè)個(gè)元素的一個(gè)排列排列. . 共同點(diǎn)共同點(diǎn): : 都要都要“從從n個(gè)不同元素中任取個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素個(gè)元素” ” 不同點(diǎn)不同點(diǎn): : 排列排列與元素的順序有關(guān)，與元素的順序有關(guān)， 而組合而組合則與元素的順序無(wú)關(guān)則與元素

4、的順序無(wú)關(guān). . 思考一思考一: :ab b與與b ba是相同的排列還是相同的組合是相同的排列還是相同的組合? ?為什么為什么? ? 思考二思考二: :兩個(gè)相同的排列有什么特點(diǎn)兩個(gè)相同的排列有什么特點(diǎn)? ?兩個(gè)相同的組合呢兩個(gè)相同的組合呢? ? ）元素相同；）元素相同； ）元素排列順序相同）元素排列順序相同. 元素相同元素相同 構(gòu)造排列分成兩步完成，先取后排；而構(gòu)造構(gòu)造排列分成兩步完成，先取后排；而構(gòu)造 組合就是其中一個(gè)步驟組合就是其中一個(gè)步驟. 思考三思考三: :組合與排列有聯(lián)系嗎組合與排列有聯(lián)系嗎? ? 判斷下列問題是組合問題還是排列問題判斷下列問題是組合問題還是排列問題? ? (1)(1

5、)設(shè)集合設(shè)集合A=a,b,c,d,e，則集合，則集合A的含有的含有3 3個(gè)元素的子集有個(gè)元素的子集有 多少個(gè)多少個(gè)? ? (2)(2)某鐵路線上有某鐵路線上有5 5個(gè)車站，則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備多少種個(gè)車站，則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備多少種 車票車票? ? 有多少種不同的火車票價(jià)？有多少種不同的火車票價(jià)？ 組合問題組合問題 排列問題排列問題 (3)10(3)10名同學(xué)分成人數(shù)相同的數(shù)學(xué)和英語(yǔ)兩個(gè)學(xué)習(xí)小組名同學(xué)分成人數(shù)相同的數(shù)學(xué)和英語(yǔ)兩個(gè)學(xué)習(xí)小組, ,共有共有 多少種分法多少種分法? ?組合問題組合問題 (4)10(4)10人聚會(huì)，見面后每?jī)扇酥g要握手相互問候人聚會(huì)，見面后每?jī)扇酥g要握手相互問候

6、, ,共需握手共需握手 多少次多少次? ? 組合問題組合問題 (5)(5)從從4 4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2 2個(gè)游覽個(gè)游覽, ,有多少種不同的方法有多少種不同的方法? ? 組合問題組合問題 (6)(6)從從4 4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2 2個(gè)個(gè), ,并確定這并確定這2 2個(gè)風(fēng)景點(diǎn)的游覽順序個(gè)風(fēng)景點(diǎn)的游覽順序, , 有多少種不同的方法有多少種不同的方法? ? 排列問題排列問題 組合問題組合問題 組合是選擇的結(jié)果，組合是選擇的結(jié)果， 排列是選擇后再排序的結(jié)果排列是選擇后再排序的結(jié)果. 1.1.從從 a , b , c三個(gè)不同的元素中取出兩個(gè)元素的所有組三個(gè)不同的元素中取出兩個(gè)元素的所

7、有組 合分別是合分別是: :ab , ac , bc 2.2.已知已知4 4個(gè)元素個(gè)元素a , b , c , d , ,寫出每次取出兩個(gè)元素的寫出每次取出兩個(gè)元素的 所有組合所有組合. . a b c d b c d c d ab , ac , ad , bc , bd , cd (3(3個(gè)個(gè)) ) (6(6個(gè)個(gè)) ) 從從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m（mn）個(gè)元素的個(gè)元素的 所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的個(gè)元素的組合數(shù)組合數(shù)，用符號(hào)，用符號(hào) 表示表示. . m n C 2 4 6C 如如: :從從 a , b , c三個(gè)不

8、同的元素中取出兩個(gè)元素的所三個(gè)不同的元素中取出兩個(gè)元素的所 有組合個(gè)數(shù)是有組合個(gè)數(shù)是: : 如如: :已知已知4 4個(gè)元素個(gè)元素a 、b 、 c 、 d ,寫出每次取出兩個(gè)寫出每次取出兩個(gè) 元素的所有組合個(gè)數(shù)是：元素的所有組合個(gè)數(shù)是： 組合數(shù)組合數(shù): : 是一個(gè)數(shù)，應(yīng)該把它與是一個(gè)數(shù)，應(yīng)該把它與“組合組合”區(qū)別開來區(qū)別開來 m n C 2 3 3C 1.寫出從寫出從a,b,c,d 四個(gè)元素中任取三個(gè)元素的所有組合。四個(gè)元素中任取三個(gè)元素的所有組合。 abc ， abd ， acd ， bcd . bc d dc b a c d 想一想：想一想：從從a,b,c,d 四個(gè)元素中任取三個(gè)四個(gè)元素中任

9、取三個(gè) 元素的所有排列又怎么表示哪？元素的所有排列又怎么表示哪？ 組合排列 abc abd acd bcd abc bac cab acb bca cba abd bad dab adb bda dba acd cad dac adc cda dca bcd cbd dbc bdc cdb dcb 不寫出所有組合，怎樣才能知道組合的種數(shù)？不寫出所有組合，怎樣才能知道組合的種數(shù)？ 你發(fā)現(xiàn)了你發(fā)現(xiàn)了 什么什么? 3 4A 求可分兩步考慮： 3 4 4 C 第一步，（）個(gè)； 3 3 6 A 第二步，（）個(gè)； 333 . 434 CAA 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理， 3 3 4 3 4 3 A C A 從而 m

10、 n C 如何計(jì)算如何計(jì)算: : 組合數(shù)公式 排列與組合是有區(qū)別的，但它們又有聯(lián)系排列與組合是有區(qū)別的，但它們又有聯(lián)系 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到： 因此：因此： 一般地，求從一般地，求從 個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的排個(gè)元素的排 列數(shù)，可以分為以下列數(shù)，可以分為以下2步：步： nm 第第1步，先求出從這步，先求出從這 個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素個(gè)元素 的組合數(shù)的組合數(shù) m n C nm 第第2步，求每一個(gè)組合中步，求每一個(gè)組合中 個(gè)元素的全排列數(shù)個(gè)元素的全排列數(shù) m n A m m m m n m n ACA ! 121 m mnnnn A A

11、 C m m m n m n 這里 ，且 ，這個(gè)公式叫做 * Nnm、 nm 組合數(shù)公式組合數(shù)公式: (1)(2)(1) ! m m n n m m An nnnm C Am 從從 n 個(gè)不同元中取出個(gè)不同元中取出m個(gè)元素的排列數(shù)個(gè)元素的排列數(shù) mmm nmnCAA ! !()! m n n C m nm 0 1. n C我們規(guī)定： 例例1 1計(jì)算：計(jì)算： 4 7 C 7 10 C 32 (3) , n n n CA 已知求 (1)35(2)120 n=8 例例2.2.甲、乙、丙、丁甲、乙、丙、丁4 4支足球隊(duì)舉行單循環(huán)賽支足球隊(duì)舉行單循環(huán)賽 (1)(1)列出所有各場(chǎng)比賽的雙方；列出所有各場(chǎng)比

12、賽的雙方； （2)2)列出所有冠亞軍的可能情況列出所有冠亞軍的可能情況. . （2 2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙?。┘滓摇⒓妆?、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲乙甲、丙甲丙甲、丁甲丁甲、丙乙丙乙、丁乙丁乙、丁丙丁丙 (1) (1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：解： 例3. 1 1 C mn m C m n m n :求證 , ! : ）（ ！ 證明 mnm n C m n )!1()!1( ! 111 mnm n mn m mn m C m n )!1)( ! )!1( 1 mnmn n m m . ! )( ! ! C mnm n m n 例例5.(1)5.(1)凸五邊形有多少條對(duì)角線？凸五邊形有多少條對(duì)角線？ (2)(2)凸凸n n（ n3n3）邊形有多少條對(duì)角線？）邊形有多少條對(duì)角線？ 例例4.(1)4.(1)平面內(nèi)有平面內(nèi)有1010個(gè)點(diǎn)，以其中每個(gè)點(diǎn)，以其中每