算子 Microsoft Word 972003 ument

1、第三節(jié)V算子和匕算子 3.1 J算子為方便計，我們引入倒三角形算子文檔它也稱為哈密頓（Hamilton ）算子，“匸”讀作那布拉，只是一個 運算符號（即是一個微分子運算符號，又是一個矢量運算符號），當(dāng)數(shù) 量函數(shù)或矢量函數(shù)從右方“乘”（數(shù)乘、點乘、叉乘）一時，就有完全確定的意義，即規(guī)定：Vug =嚴(yán)2約+坷尸零）-敢 3y dzdAxj4z守詈心會晉滬（牛著*這樣，梯度、散度、旋度就可以分別簡記為旳血.div A = V AraM= xA.算子有好多條運算規(guī)則，利用這些規(guī)則來推導(dǎo)有關(guān)梯度、散度、旋度的恒等式是比較方便的，關(guān)于這方面的基本內(nèi)容可參看本章第四節(jié)將r作用到數(shù)量函數(shù)和矢量函數(shù)，其運算僅包

2、含一階微分運算，因而匚是一階微分算子下面我們對數(shù)量函數(shù)和矢量函數(shù)兩次使用算子對函數(shù)兩次使用算子-只有以下五處情況:1。/.1/_ -I2。. , , * ._/ 卜3。.| J-I4。 - A I .亠 15。. 1丄：一 1其中2o和4o可以驗證V x (%) - rotgradu. =。V (V x j4) - divrofA.=。特別重要的是1。，我們有dx dy5可咤血=耳+詁荻怕煜埶XXXX第四節(jié) 算子的運算=i + jk,在討論梯度、散度、旋度時，我們引進了算子而g血血V覽，曲函M卩蟲，冊注=廠:且在前面一些章節(jié)和習(xí)題中我們證明了不少有關(guān)梯度、散度、旋度的恒等式.例如：(1)div

3、 1 V I 4，- - -=.4 - .4 7.： 3刊 2(rot)Agrad(dnA)-( 2 +2 +3)j4(2) rotSx dy dz川：.1 .- !-1 等這些等式我們都是利用梯度、散度、旋度的表達方式進行計算而得到的，計算常較復(fù)雜，所得的結(jié)果也難于記憶，現(xiàn)在我們歸結(jié)出幾條 算子的運算法則，以供參考V = i+/ + 注意到- 是一個符號矢量，又是一個微分算子，這就決定了 L在運算中的二重性，既要當(dāng)做一個矢量來進行矢量運算， 又要進行微分運算1、加法規(guī)則（口甘十“功十解口 VF （oA + _/?5） - trV j4 + fN 5Vxg4+0衣）冰7*十網(wǎng)遲（其中盤、B是常

4、量）.2、乘法規(guī)則V（utj） = y（z）十 （jew） V （uA） = 7 - 十可上（悅4）57曲）-章存（必）十 這里記號“ J”表示了中的微分運算只作用在鼻上，同樣規(guī)定記號6,的意義，例如也（4仍巧（4殲丿廠JA）3、的作用方式一一定要作用在一人數(shù)量函數(shù)或矢量函數(shù)時才有實際意義，其作用方式有三種：%，讀作“=乘m，讀作“點乘”，廠門，讀作注意到“的后面必需是數(shù)量函數(shù)，而“ ” “匸；”后面必需矢量函數(shù)才有意義不然，如, -或：是沒有意義的 實際上，加法規(guī)則中的三個等式，我們在習(xí)題中利用梯度、旋度、散度的表達式已證明過，對于乘法規(guī)則中的幾個等式， 在這里只證明其中的一個，其他的讀者可

5、自行證明之現(xiàn)在來證明證明0(13)T(4片十舛勺十凡g(4込+竺退滬3x 肚 rJ 導(dǎo)忒月J乙(川Q可以看到，加法規(guī)則和乘法規(guī)則與導(dǎo)數(shù)的運算法則相似 在的運算中時常要用到下列公式：(3.1)(3.2)(3.3)門 /.門 r J) id山心Ja (iX) 住)- h這里舉一個例子說明這些公式的用法例1寫出的表達式.可利用公式（7.1 ），注意到這公式右方第一項還可寫成：（說）& b（a c） 址口）JJJ但將這公式用到-1上情況就不一樣了，將所有可能采取的各種次序?qū)懺谙旅妫海╒4）v 芯箱 c-vjv 由于在中，上要受到前面兩個 丁的作用，因此只能寫成 -1-.對公式右邊第二項情況也是類似的于

6、是有V否xww 亠 幻ms恤-ffiS3B H*A=V電 pg鶴冠汙F電寫=M老3塁S.I 孝-r-匕 U-TxQ4A+CI uTXAXB A+TXAXPWVH 気XA稔崔芒=弋二女33(3.4) 減去(3.6)即得(3.5)式.(3.4) , (3.5)兩式分別稱為第一，第二格林公式，在數(shù)學(xué)物理方程中要用到現(xiàn)在將常用的一些公式寫在下面以備查用 (有些沒有證明過的留待讀者 在習(xí)題中加以證明)V(uv)-mVp4vVl( VM)+4J?.:- i -: JVX(V) -00.-1丄：A ： _1 丄 蘭 ! - -1.V匚 A 勢當(dāng)-冷： 工，4Vx(7x = 7) -V3/l(4-V)r-.4