高等數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù)的概念 教案

1、 教學(xué)對(duì)象 合班1： 專業(yè) 班 合計(jì) 人 合計(jì)人：合班2 專業(yè) 班 合班3：專業(yè) 班 合計(jì)人 授課日期地點(diǎn) 教學(xué) 內(nèi)容 （課題）第二章 導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)的概念第一節(jié) 計(jì)劃 學(xué)時(shí) 2 教學(xué) 目的 通過學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠： 1. 理解導(dǎo)數(shù)概念，會(huì)用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)； 2. 理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線的切線； 3. 理解可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。 具體目標(biāo)如下： 知識(shí)目標(biāo)： 1.理解導(dǎo)數(shù)的概念； 2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義； 3.把握可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。 技能目標(biāo)： 素養(yǎng)目標(biāo)： 1 會(huì)用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處1培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能的導(dǎo)數(shù)； 力； 2 會(huì)求曲線的切線。 2培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、求實(shí) 的作風(fēng)

2、。教學(xué) 重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的定義。 難點(diǎn)：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。 教學(xué)資源 教材、例子（幻燈片）、課件。 教學(xué)后記 對(duì)培養(yǎng)方案、大綱修改意見 對(duì)授課計(jì)劃修改意見 對(duì)本教案修改意見 需增加資源 其他 教研室主任： 系主任： 教務(wù)處：教學(xué)活動(dòng)流程 教學(xué)步驟與內(nèi)容 教學(xué)目標(biāo) 教學(xué)方法 時(shí)間 A.復(fù)習(xí)內(nèi)容 1極限的定義 2.極限的計(jì)算方法對(duì)前面的知 識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)與鞏固，并為新知識(shí)和新技能的學(xué)習(xí)奠定必要的基礎(chǔ)。 簡述 6mins B.板書課題，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)及主要學(xué)習(xí)內(nèi)容 （略。詳見教案首頁） 展PPT板書(或課題示) 明確本次課的內(nèi)容重點(diǎn)及目 標(biāo) 簡介輔以 PPT展示 2mins 講授新知C.導(dǎo)數(shù)與微分是

3、微積分的基本概念，要更好地理解導(dǎo)數(shù)的概念，應(yīng)從解決實(shí)際問題的背景出發(fā)，在解決問題的過程中自然抽象出導(dǎo)數(shù)的概念。導(dǎo)數(shù)與微分在理論上和實(shí)踐 中都有非常廣泛的應(yīng)用。 一、瞬時(shí)速度、曲線的切線斜率 變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度1. st的與時(shí)間設(shè)一質(zhì)點(diǎn)作變速直線運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)行路程s?s(t)t時(shí)刻的瞬時(shí)速度，求質(zhì)點(diǎn)在關(guān)系為 0?t，分析：如果質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，給時(shí)間一個(gè)增量t?tt間隔內(nèi)的平均速度也就是與時(shí)刻那么質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻00s(t?t)?s(t)tv?v?00 的瞬時(shí)速度為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻00?t在勻速直線運(yùn)動(dòng)中，這個(gè)比值是常數(shù)，但是如果質(zhì)點(diǎn)作變速直線運(yùn)動(dòng)，它的運(yùn)行速度時(shí)刻都在發(fā)生變化，為了計(jì)算tt?考慮質(zhì)

4、點(diǎn)由首先在時(shí)刻瞬時(shí)速度，任給時(shí)間一個(gè)增量0)t?s()ts(?tttV?t00?v 這段時(shí)間的平均速度：到00t? 引入導(dǎo)數(shù)概念 講解 輔以PPT展示 20mins t?很小時(shí)，其平均速度就可以近似地看作當(dāng)時(shí)間間隔?tt越小，接近的程度就越好因此，時(shí)刻的瞬時(shí)速度且0?s0?t?的極限存在，那么，就把當(dāng)時(shí)，如果平均速度?tt：，即時(shí)速體在度時(shí)刻的瞬這個(gè)極限稱為物0s(t?t)?s(t)00lim?limvv 0t?0?t?t?0 曲線切線的斜率2.定義LL是曲線上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn) 設(shè)點(diǎn)P是曲線P0LPP時(shí)，如果割線趨向于點(diǎn)P上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿曲線00LTT處的切為曲線PP存在，則稱直線P在點(diǎn)的極限

5、位置000 線yxPxy f處的附近取一點(diǎn))在點(diǎn)設(shè)曲線方程為)=(，000P(x?x,y?y) 00PP的斜率為那么割線0 f(x?x)?f(x)y?00?tan?P沿曲線趨 如果當(dāng)點(diǎn) ?x?xPPP P處的切線即點(diǎn)時(shí)，割線 向于點(diǎn) 的極限位置存在，00 0?tan?,?0?xPT 趨向切線，割線斜率存在，此刻 0f(x?x)?f(x)?00.?tanlima 的斜率 tan ，即，x?0?x二、導(dǎo)數(shù)的定義 x定義)f?(xy的一個(gè)鄰域內(nèi)有定在點(diǎn): 設(shè)函數(shù)0xyxx?x?函數(shù)仍在上述鄰域內(nèi)（)義。在，處給以增量0?y?y?f(x?x)?f(x)lim存，如果相應(yīng)地有增量00?x0x?x)(xy

6、?f處的導(dǎo)數(shù)在，則稱此極限值為函數(shù).記作：在點(diǎn)0dyy)(xf或，即 或xx?dx0xx?0f(x?x)?f(x)00limx)?f( ?x0x?xf x如果上述極. 處此時(shí)也稱函數(shù) (可導(dǎo)) 在點(diǎn) 0xxf 處不可導(dǎo)(.) 在限不存在，則稱 0 2 、例1fxf xx 處的導(dǎo)數(shù)，即= 1 求函數(shù)() = 在 0/ (1). 總結(jié)概括導(dǎo)數(shù)定義 講解 5mins 解y?：第一步求:222)x(?2?x)x?1?yf(1?x)?f(1)?(1 ?y：第二步求x?2)(?x?y2?x?).0?x?2?x(? x?xy?2?x)?lim(2?lim所以，第三步求極限：x?0?x?0x2?(1)f 三、

7、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 y f xx處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲 = ) (在點(diǎn)函數(shù) 0y f xxf x)處的切線的斜率, ，= 即：() 在點(diǎn) (線00?f(tanx)，圖P46 0Pf xy 處的切線方程為：上點(diǎn))由此可知曲線 = (0y?y?f(x)(x?x) 000法線方程為：?1?(x)?0)(x?x)y?y?(fyf = ，其中000?0(xf)0x ( ).02例2yx 在點(diǎn) = (1, 1) 求曲線 處的切線和法線方 程.22?)(x解：處的切線斜 (1, 1) 即點(diǎn)從例1 知1x? ，所以,率為 2 x yyx 法線，即- 1).- 1.切線方程 = 2 1 = 2(113y?1?(x

8、?1).y?x? 方程，即222 四、導(dǎo)數(shù)的物理意義對(duì)于不同的物理量有著不同的物理意義. 例如變速直)(t)(t?vstss. 即= (的導(dǎo)數(shù)，) 線運(yùn)動(dòng)路程就是速度， 00st) 對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是速度.( 我們也常說路程函數(shù) 五、導(dǎo)函數(shù) xf 的導(dǎo)函數(shù)() 一般地，函數(shù) f(x?x)?f(x)?limx(f)? x?0?x? 會(huì)用定義求函處的數(shù)在一點(diǎn)導(dǎo)數(shù) 幾解理導(dǎo)數(shù)的何意義 會(huì)求曲線的切線 了解導(dǎo)數(shù)的物理意義 理解導(dǎo)函數(shù)的 定義 講解 講解 講練結(jié)合 簡單介紹 講解 7mins 10mins 7mins 3mins 5mins 4例),?(?xxf x () = sin ).求 (的導(dǎo)函數(shù)?

9、yf(x?x)?f(x)解：?f?(x)?limlim ?x?x0?x?0x?sin(x?x)?sinx?lim?x0?x?x?x?2cosx?sin?22?lim ?x0?x?xsin?x?2?limcosx?cosx?：， 即?x2?0?x?2(sin x) ? cos x. sin x.- (cos x)? 類似可得：f(x?x)?f(x)00lim存在，則稱此極如果定義 ?x?0x?f xxxf 記作(處的左導(dǎo)數(shù)，) (在點(diǎn))；同樣，限值為 00)(x?x?x)?ff(00limf 如果存在，則稱此極限值為?x?0x?xf xx ( 處的右導(dǎo)數(shù)，記作 ( ) 在點(diǎn)) .+ 00f xxf x) (顯然，處可導(dǎo)的充要條件是( ) 在- 00f x) 存在且相等( . 及 +0f xI 上每一點(diǎn)可導(dǎo)，則 ) 如果函數(shù) 在區(qū)間(定義f xI I ab, 是閉區(qū)間(，則) 在區(qū)間 如果上可導(dǎo). 稱 fafb) 存在( .()、 端點(diǎn)處可導(dǎo)是指-+六、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 y f xxf 則處可導(dǎo) 定理 如果函數(shù), = ( ) 在點(diǎn)0 xx 在點(diǎn)() 處連續(xù)，其逆不真 。.0 D.課堂小結(jié) 一、導(dǎo)數(shù)的