兩角和與差的余弦公式的五種推導方法之對比

1、僅供個人參考兩角和與差的余弦公式的五種推導方法之對比兩角和與差的余弦公式是三角函數(shù)恒等變換的基礎，其他三角函數(shù)公式都是在此公式基礎上變形得到的，因此 兩角和與差的余弦公式的推導作為本章要推導的第一個公式，往往得到了廣大教師的關注.對于不同版本的教材采 用的方法往往不同，認真體會各種不同的兩角和與差的余弦公式的推導方法，對于提髙學生的分析問題、提出問題、 研究問題、解決問題的能力有很大的作用下面將兩角和與差的余弦公式的五種常見推導方法歸納如下：方法一：應用三角函數(shù)線推導差角公式的方法設角a的終邊與單位圓的交點為Pi，z POP 1=6.則z P0x=a6.過點P作PM丄x軸，垂足為那么0M即為a

2、-6角的余弦線，這里要用表示a 8的正弦、余弦的線段來表示O/Vt過點P作丄0P1，垂足為A,過點A作丄X軸，垂足為B,再過點P作PC丄垂足為C,那么cos6 = OA, sr6=AP9 并且z PAC=z PiOx=a,于是 O/W=O3+BM=OB + CP=OAcosa+APsina=cos8cosa+sinBsina.綜上所述，=cos 比cos 聲 + sin Gsin 0?說明：應用三角函數(shù)線推導差角公式這一方法簡單明了,構思巧妙，容易理解.但這種推導方法對于如何能夠 得到解題思路,存在一走的困難.此種證明方法的另一個問題是公式是在 0均為銳角的情況下進行的證明，因 此還要考慮卩的

3、角度從銳角向任意角的掛廣問題.方法二：應用三角形全等、兩點間的距離公式推導差角公式的方法設Pi(xi. yi), P2(X2. F2),則有|P1P2|=億一兀】十(乃一乃)在直角坐標系內做單位圓，并做出任意角e q+3和一0,它們的終邊分別交單位圓于P2、P3和 卩4 點，單位圓與 x 軸交 J Pi，則 Pi(l,O) P2(cosa, sina)、P3(cos(a+8), sin(a+8)、*2。乩Q).今。鳥=糾0爲乂* , | J閔二隅|二|0劇二比|二1,.早遲|禍|二岡旬 , J(co$ (盤+#) +(siil (盤+ #) 二 J(cos a- cos (十(sin a-.2

4、一 2cos(d+ 0)= 2 -2cosQcos 一 2sin Qsin (一0)9.cos (&+ 0)= cos acos 0- sin sin Q cos (a- = cos a cos /3+sin orsin Q9? ?說明：該推導方法巧妙的將三角形全等和兩點間的距離結合在一起，利用單位圓上與角工0有關的四個點 烈1,0),好(込工跑4),目(臨+0)3(氏+則)嚴(gos(0),sih(0)建立起等式關系，通過將等式的 化簡、變形就可以得到符合要求的和角與差角的三角公式.在此種推導方法中，推導思路的產(chǎn)生是一個難點,另外 對于 丘三點在一條直線和局三點在_條直線上時這一特殊情況”還

5、需要加以解釋、說明.方法三：應用余弦定理.兩點間的距離公式推導差角公式的方法尸(cosG, sin ,2 (cos 禺 sin 0)則應J( cos cos+(sin Q-siti 戸=2- 2(cosiTcos 4-sin or sin. )飪 OPQ 中，.0日0耳+|0娜-2|0刊Qf=l+l 2cosg0)cos (CL- 0)= cos 比 cos 0+ sin sin j3 ?說明：此題的解題思路和構想都是容易實現(xiàn)的因為要求兩角和與差的三角函數(shù)，所以構造出和角和差角是必 須實現(xiàn)的.構造出的和角或差角的余弦函數(shù)又需要和這兩個角的三角函數(shù)建立起等式關系，因此借助于余弦沱理、 兩點間的距

6、離公式建立起等式關系容易出現(xiàn)，因此此種方法是推導兩角和與差的余眩的比較容易理解的一種方法. 但此種方法必須是在學習完余弦左理的前提下才能使用，因此此種方法在必修四中又無法使用.另外也同樣需要考 慮P, 09Q三點在一條直線上的情況.方法四：應用三角形面積公式推導推導差角公式的方法不得用于商業(yè)用途僅供個人參考設* 8是兩個任意角，把血8兩個角的一條邊拼在一起，頂點為6過B點作0B的垂線，交 a 另一邊于 交 8 另一邊于 Ct 則有 5aoac=Sz.o4b+S.ao8c.根據(jù)三角形面積公式,有+網(wǎng)0仙9+0)二扣刖0屮護c|o*|.|O4|0C|sin= |05|+|5C|0| .OB = O

7、Acosa= | sinp).OA OB= |M|o|cosf- ,6) = cqs4- 0) 由向量數(shù)量積的概念，有I II I I 由向量的數(shù)量積的坐標表示，有OA-OB= (cosd,sinQ) (cos 厲sin. )二 coscTcos 0+sinQsm &于是,有cos(G- 0)=CQSdCOS0+sin Qsin j3?說明：應用數(shù)量積推導余弦的差角公式無論是構造兩個角的差，還是得到每個角的三角函數(shù)值都 是容易實現(xiàn)的，而且從向量的數(shù)量積的定義和坐標運算兩種形式求向量的數(shù)量積將二者之間結合起 來，充分體現(xiàn)了向量在數(shù)學中的橋梁作用.綜上所述，從五種不同的推導兩角和與差的余弦公式的過程可以看出，不同的推導方法體現(xiàn)出不 同的數(shù)學特點，不同的巧妙構思，相同的結果.For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den personlichen fur Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour I etude et la recherche uniquement a des fins personnelles; pas a des fins commerci