圓錐曲線知識點歸納

1、圓錐曲線的方程與性質1 .橢圓(1 )橢圓概念平面內與兩個定點 Fi、F2的距離的和等于常數2a (大于IF1F2I)的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離2c叫橢圓的焦距。若 M為橢圓上任意一點，則有| MFj | | MF2 |2a。上)。橢圓的標準方程為:22xy T2ab0)(焦點在x軸上)2x21 ( ab2(焦點在注：以上方程中a,b的大小a b 0，其中b2a2221 和 y_2. 2a b1兩個方程中都有a0的條件，要分清焦點的位置，只要看x2 和 y2的分母的大小。例如橢圓x22ynn )當m n時表示焦點在x軸上的橢圓;表示焦點在y軸上的橢圓。(2)橢圓

2、的性質2x范圍：由標準方程一2a2y_b21知| x| a, |y | b，說明橢圓位于直線 x a ,b所圍成的矩形里;對稱性：在曲線方程里，若以y代替y方程不變，所以若點(x, y)在曲線上時,占八、(x, y)也在曲線上,所以曲線關于x軸對稱，同理，以x代替x方程不變，則曲線關于 y軸對稱。若同時以x代替x , y代替y方程也不變，則曲線關于原點對稱。所以，橢圓關于x軸、y軸和原點對稱。這時，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心;頂點：確定曲線在坐標系中的位置，常需要求出曲線與x軸、y軸的交點坐標。在橢圓的標準方程中，令x 0，得y b，則B1(0, b) ,

3、 B2(0,b)是橢圓與y軸的兩個交點。同理令y 0得x a，即A( a,0),A2(a,0)是橢圓與x軸的兩個交點。所以，橢圓與坐標軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點。同時，線段 氏A、B,B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2a和2b , a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點到焦點的距離為 a ；在Rt OB2F2中,| OB2 | b , QF2 | c , I B2F2 I a， 且 |OF2 I2 I B2F2 I2 |OB2 I2，即 c2 a2 b2 ；c離心率：橢圓的焦距與長軸的比 e 叫橢圓的離心率。：a c 00 e 1，且

4、e越接近1, c就越a接近a，從而b就越小，對應的橢圓越扁；反之，e越接近于0 , c就越接近于0，從而b越接近于a，這時橢圓越接近于圓。當且僅當 a b時，c 0 ,兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2 y2 a2。2 .雙曲線(1) 雙曲線的概念平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數的動點軌跡是雙曲線(II PFi I I PF2 II 2a )。注意：式中是差的絕對值，在0 2a I FiF2 I條件下；IPFi I I PF2 I 2a時為雙曲線的一支；IPF2I IPFiI 2a時為雙曲線的另一支(含 Fi的一支)；當2a I F1F2I時，II PFi I IPF2II 2a表示兩條

5、射 線；當2a I FiF21時，II PFi I IPF2II 2a不表示任何圖形；兩定點 FiF?叫做雙曲線的焦點，I RF? I叫做 焦距。(2) 雙曲線的性質2 2 范圍：從標準方程 令 七 i，看出曲線在坐標系中的范圍：雙曲線在兩條直線x a的外側。即a b22x a , x a即雙曲線在兩條直線 x a的外側。2 2 對稱性：雙曲線 % 七 i關于每個坐標軸和原點都是對稱的，這時，坐標軸是雙曲線的對稱軸，原點a b2 2是雙曲線篤1的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。a b頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線2 x 2 a2與 1的方程里，對稱軸是x,y軸

6、，所b以令y 0得x2 2X ya，因此雙曲線和x軸有兩個交點 A （ a,0）A2（a,0），他們是雙曲線 21的頂點。a b令x 0,沒有實根，因此雙曲線和 y軸沒有交點。1 ）注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點），雙曲線的頂點分別是實軸的兩個端點。2）實軸：線段 A A叫做雙曲線的實軸，它的長等于2a, a叫做雙曲線的實半軸長。虛軸：線段B B2叫做雙曲線的虛軸，它的長等于 2b,b叫做雙曲線的虛半軸長。漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從2 2圖上看，雙曲線 篤 每 1的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近

7、。a b等軸雙曲線:1） 定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：a b ；2） 等軸雙曲線的性質：（1 ）漸近線方程為：y x ； （ 2）漸近線互相垂直。注意以上幾個性質與定義式彼此等價。亦即若題目中出現上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其他幾個亦成立。3）注意到等軸雙曲線的特征a b，則等軸雙曲線可以設為:0），當0時交點在x軸,當0時焦點在y軸上。注意2x162y_92 2y x1與1的區(qū)別：三個量 a,b, c中a,b不同（互換）916c相同，還有焦點所在的坐標軸也變了。3 .拋物線（1）拋物線的概念平面內與一定點F和一條定直線I的距離相等的點的軌跡叫做拋物線（定

8、點F不在定直線I上）。定點F叫做拋物線的焦點，定直線I叫做拋物線的準線。方程y 2 px p o叫做拋物線的標準方程。注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標是F（衛(wèi)，0），它的準線方程是 x P ；2 2（2 ）拋物線的性質一條拋物線，由于它在坐標系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標準方程還有其2 2 2他幾種形式：y 2px，x 2py，x2py.這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程如F表:標準方程y2 2px(p 0)y22px(p 0)x2 2py(p 0)x22py(p 0)Jyl1啜1圖形1J農刁0i-焦點坐標p e，o)2(7,0)

9、2（0,弓）2p(0, p2準線方程px2x衛(wèi)2py 2py乙范圍x 0x 0y 0y 0對稱性x軸x軸y軸y軸頂點(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)離心率e 1e 1e 1e 1說明：(1)通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；(2 )拋物線的幾何性質的特點：有一個頂點，一個焦點，一條準線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；(3)注意強調p的幾何意義：是焦點到準線的距離。4.高考數學圓錐曲線部分知識點梳理一、方程的曲線：在平面直角坐標系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程 f(x,y)=O的實數解建立了如下的關系：(1)曲線上的點的坐標都

10、是這個方程的解；(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點，那么這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。點與曲線的關系：若曲線C的方程是f(x,y)=0 ，則點Po(xo,yo)在曲線C上 f(xo,y o)=0 ;點Po(xo,yo)不在曲線 C上 f(xo,yo)MO。兩條曲線的交點：若曲線Cl, C2的方程分別為fi(x,y)=0,f 2(x,y)=0,則點Po(xo,yo)是Ci, C2的交點fi(xo,yo)0方程組有n個不同的實數解，兩條曲線就有n個不同的交點；方程組沒有實數解，曲線就沒f2(xo,y。) 02、方程：(1)標準方程：圓心在 c(a,b)，半徑為r的圓方程

11、是(x-a) 2+(y-b) 2=r2圓心在坐標原點，半徑為 r的圓方程是x2+y 2=r2一般方程：當D2+E2-4F 0時，一元二次方程x2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為(D,)2 222DE22半徑是 JDE 4F。配方，將方程 x2+y 2+Dx+Ey+F=0 化為(x+ )2+(y+ )2= DE - 4F2224當D2+E2-4F=0時，方程表示一個點(-D ,-旦)；2 2 當D2+E2-4F V0時，方程不表示任何圖形(3) 點與圓的位置關系已知圓心C(a,b),半徑為r,點M的坐標為(xo,yo),則丨MC | V r 點M在圓C內，| MC | =r

12、點 M 在圓 C 上,| MC | r 點 M 在圓 C 內，其中 | MC | = . (x-a)2 (yo - b)2。(4) 直線和圓的位置關系：直線和圓有相交、相切、相離三種位置關系：直線與圓相交有兩個公共點；直線與圓相切有一個公共點；直線與圓相離沒有公共點。Aa Bb C直線和圓的位置關系的判定：(i)判別式法；(ii)利用圓心C(a,b)到直線Ax+By+C=0 的距離d 與V A2B2半徑r的大小關系來判定。三、圓錐曲線的統一定義:平面內的動點P(x,y)到一個定點F(c,O)的距離與到不通過這個定點的一條定直線I的距離之比是一個常數e(e 0),則動點的軌跡叫做圓錐曲線。其中定

13、點F(c,O)稱為焦點，定直線l稱為準線，正常數 e稱為離心率。當0 V eV 1時，軌跡為橢圓；當 e=1時，軌跡為拋物線；當 e 1時，軌跡為雙曲線。四、橢圓、雙曲線、拋物線:橢圓雙曲線拋物線定義1 .到兩定點F1,F2的距離之和為定值2a(2a|F卡2|)的 點的軌跡2 .與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.(0e1 )1 .至倆定點F1,F2的距離之差的絕對值為定值2a(02a1 )與定點和直線的距離相等的點的軌跡軌跡條件點集：（M | | MF1+ |MF2 | =2a, | F 1F2 | V 2a.點集：M | | MF1 | - | MF2 | .=2a, | F2F2

14、| 2a.點集M | MF | =點M到直線I的距離.圖形17ITIP Kh1 / .J11n*方 程標準方程2 2X2 篤 1( a b0) ab2 2xy務 1 (a0,b0)ab2小y 2px參數方程x acos y bsi n（參數為離心角）x asec y bta n（參數為離心角）2X2 Pf (t為參數)y2 pt范圍a x a, b y b|x| a, y Rx 0中心原點0 (0, 0)原點0 (0, 0)頂點(a,0),(a,0),(0,b) , (0,-b)(a,0),(a,0)(0,0)對稱軸x軸，y軸；長軸長2a,短軸長2bx軸，y軸；實軸長2a,虛軸長2b.x軸焦占

15、八 、八、Fi(c,0), F 2(3,0)Fi(c,0), F2(c,0)F(p，0)2準線2a x= 一c準線垂直于長軸，且在橢圓2a x= 一c準線垂直于實軸，且在兩頂點的x=-衛(wèi)2準線與焦點位于頂點兩側，且到頂點的距離相等外.內側.焦距2c (c= va2b2 )/ 2 .22c (c= *ab )離心率ce 一(0 e 1) ae (e 1) ae=1【備注1】雙曲線: 等軸雙曲線：雙曲線 x2 y2 a2稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為叫做已知雙曲線的共軛雙曲線共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線,2 2xy 72 ab互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線:共漸近

16、線的雙曲線系方程:它的雙曲線方程可設為2xa2yb22 2xyab2 22(0)的漸近線方程為一2ba(0).2與 0如果雙曲線的漸近線為b2b 0時，【備注2】拋物線:2(1)拋物線 y =2px(p0)的焦點坐標是(衛(wèi),0)，準線方程x=-衛(wèi)2 22，開口向右；拋物線 y =-2px(po)的焦點坐標是(-,0)，準線方程2P2x= ，開口向左；拋物線 x =2py(p0)2的焦點坐標是(0,衛(wèi))，準線方程y=2p x。2拋物線y =-2px(p0) 上的點M(xO,yO)與焦點F的距離 MFpX02(3)設拋物線的標準方程為y2=2px(p0)，則拋物線的焦點到其頂點的距離為號，頂點到準

17、線的距離號，焦點到準線的距離為P.(4)已知過拋物線2y =2px(p0)焦點的直線交拋物線于A、B兩點，則線段AB稱為焦點弦，設A(x1,y1),B(x2,y2)，則弦長AB =捲x2 +p 或 AB2(a為直線AB的傾斜角)，ymp2 , NX?衛(wèi),AFsin4xi -p ( AF開口向上;2pp拋物線x =-2py( p0 )的焦點坐標是(0,-上)，準線方程y= ，開口向下2 22(2) 拋物線y =2px(p0)上的點M(x0,y0)與焦點F的距離 MF叫做焦半徑).五、坐標的變換:（1） 坐標變換：在解析幾何中，把坐標系的變換（如改變坐標系原點的位置或坐標軸的方向）叫做坐標變換實施

18、坐標變換時，點的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點的坐標與曲線的方程（2）坐標軸的平移：坐標軸的方向和長度單位不改變，只改變原點的位置，這種坐標系的變換叫做坐標軸的平移，簡稱移軸。（3） 坐標軸的平移公式：設平面內任意一點M，它在原坐標系xOy中的坐標是（x,y），在新坐標系x 0y 中的xxhxxh坐標是（x , y ） 設新坐標系的原點 0 在原坐標系xOy中的坐標是（h,k），則或yykyyk叫做平移（或移軸）公式（4）中心或頂點在（h,k）的圓錐曲線方程見下表:方程焦占八、八、焦線對稱軸橢圓2 2(x-h)(y-k)+ =1a2b2(c+h,k)2a x= +hcx=h

19、y=k(x-h)2 . (y-k)22 2 _ ba(h, c+k)2a y= +kcx=hy=k雙曲線2 2(x-h)(y-k).2.2 =*ab(c+h,k)2,a | x= +kcx=hy=k(y-k)2 (x-h)22 .2=*ab(h, c+h)2,a | y= +kcx=hy=k拋物線(y-k) 2=2p(x-h)(衛(wèi) +h,k)2x=-衛(wèi) +h2y=k(y-k) 2=-2p(x-h)(-衛(wèi) +h,k)2衛(wèi) x=+h2y=k(x-h) 2=2p(y-k)p(h, -+k)2p y=- +k2x=h(x-h) 2=-2p(y-k)(h,- +k)2p y= +k2x=h六、橢圓的常用

20、結論:1. 點P處的切線 PT平分APF仆2在點P處的外角.2. PT平分APF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點3.以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相離4.以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切5.若Po(x,yo)在橢圓2每 1上，則過P0的橢圓的切線方程是2baXoXyoyb21.6.若Po(xo,yo)在橢圓2 x 2 a2占 1夕卜，則過P作橢圓的兩條切線切點為bPl、 P2,則切點弦P1P2的直線方程是xx yi22a b1.22xy7.橢圓一221 (a b 0)的左右焦點分別為F1, F 2，點P為橢圓上

21、任意一點abF1PF2，則橢圓的焦點角形的面積為 S F1pF2 b2 tan .22x y8.橢圓一22 1( a b 0)的焦半徑公式 IMF1I a ex0 ,| MF2 | a ex0(FMa bc,0) ,F2(c,O)M(Xo,y。).9.設過橢圓焦點F作直線與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結AP和AQ分別交相應于焦點F的橢圓準線于 M、N兩點，貝U MF丄NF.10.過橢圓一個焦點 F的直線與橢圓交于兩點P、Q, A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M , A2P和A1Q交于點N，貝U MF丄NF.2x4 1的不平行于對稱軸的弦，M(X0,y)為A

22、B的中點，則koM kAB雖，即baK ABb2x。2a y12.若2xP(x0,y0)在橢圓a2爲 1內，則被Po所平分的中點弦的方程是bxxay0y2X。2a【推論】：2x1、若 P(x0,y0)在橢圓一2a22占 1內，則過Po的弦中點的軌跡方程是 篤 baxx2a2x。橢圓一2a(a b o)的兩個頂點為A( a,0) , A2(a,0)，與y軸平行的直線交橢圓于Pi、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡2x方程是a2 y b22x2、過橢圓a2y_1 (a 0, b 0)上任一點A(Xo, yo)任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且kBCb凡(常數)2a y

23、。3、若P為橢圓2 x 2 a每 1 (a b 0)上異于長軸端點的任一點，F1, F 2是焦點，bPF1F2PF2F1,tan cot2 24、設橢圓2X-2ay 1( a b 0)的兩個焦點為F1、F2，P (異于長軸端點)為橢圓上任意一點，在厶PF1F2中,記 F1PF2PF1F2亠 sin,F1F2P，則有一sin sin2x5、若橢圓a2y 1 (ab 0)的左、右焦點分別為F1、F2,左準線為L,則當0ve21時，可在橢圓上求一點P,使得PF1是P到對應準線距離 d與PF2的比例中項.6、P為橢圓2 x 2 a2y 1 (ab 0)上任一點,F1,F2為二焦點，A為橢圓內一定點，則

24、2a | AF2 |PA|IPF1 | 2a IAF1I，當且僅當 代F2,P三點共線時，等號成立2a#醪 1與直線Ax By C 0有公共點的充要條件是 b22 22 2A a B b (Ax。2By 0 C).2x8、已知橢圓a2y1 (a b 0), O為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且 OP OQ . (1)12|OP|12|OQ|14a2b2a2b22 ； ( 2) |OP| 2+|0Q| 2 的最大值為 22 ； (3) S opq 的最小值是一22 .ba ba b2x9、過橢圓a(ab 0)的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于p,則叩| MN

25、|10、已知橢圓2 y b2a b 0) ,A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P(x,0),22a b則 _aa2b211、設P點是橢圓2 y b21 ( a b 0)上異于長軸端點的任一點，F1、F2為其焦點記F1PF2，則(1)|PF1|PF2|2b21 cosPF1F2b2 ta n212、設A、B是橢圓2b21 ( ab 0)的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，PABPBABPAc、22ab |COS .(2)分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1)|PA| 222a c costan tan一 21 e .(3)S PAB2a2b24bV13、已知橢圓22xy2,2a

26、b1 ( a b 0)的右準線I與x軸相交于點E ,過橢圓右焦點F的直線與橢圓相交于 A、B兩點，點C在右準線I上，且BC x軸，則直線AC經過線段EF的中點.14、過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交,則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直16、橢圓焦三角形中 內點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數e(離心率).2 2x y5、若Fo(x0, y0)在雙曲線22a b1 (a 0,b 0)上，則過F0的雙曲線的切線方程是xx-2ayy1.2 2x y6、若Fq(x0, y0)在雙曲線2a b1 (a 0,b 0)夕卜，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2

27、，則切點(注:在橢圓焦三角形中，非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點)17、 橢圓焦三角形中，內心將內點與非焦頂點連線段分成定比e.18、橢圓焦三角形中 半焦距必為內、外點到橢圓中心的比例中項七、雙曲線的常用結論:1、點P處的切線 PT平分APF1F2在點P處的內角.2、PT平分 PF1F2在點P處的內角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩 個端點.3、以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相交.相切.(內切：P在右支；外切：P在左支)4、以焦點半徑 PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓弦P1P2的直線方程是烏 叨 1 .a b227、雙曲線x1 (a

28、 0,b o)的左右焦點分別為 F1, F 2，點P為雙曲線上任意一點RPF?，則雙a b2曲線的焦點角形的面積為S f1pf2 b cot ? 2 28、雙曲線1 (a0,b o)的焦半徑公式：(F/ c,0) , F2(c,0)當M(x0,y0)在右支上時,a b| MF11 ex0 a , | MF2 | ex0a ；當M(X0,y)在左支上時,|MF1|ex0 a ,| MF2 |ex0 a。AP和AQ分別交相9、設過雙曲線焦點 F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結應于焦點F的雙曲線準線于 M、N兩點，貝U MF丄NF.10、過雙曲線一個焦點 F的直線與雙曲

29、線交于兩點P、Q, A1、A2為雙曲線實軸上的頂點， A1P和A2Q交于點M ,A2P和A1Q交于點N，貝U MF丄NF.2x11、AB是雙曲線aK Kb2x。OM AB2，a y即Kabb2xa2y2 x 12、若P)(x0, y0)在雙曲線一2 a2古(a,b )內，則被Po所平分的中點弦的方程是/XX2X-2a2y。2x13、若P0(x0, y0)在雙曲線 a2 2 冷 1 (a 0,b 0)內，則過Po的弦中點的軌跡方程是 肴 baxx2ayoy【推論】：2X1、雙曲線a2占 1 (a 0,b 0)的兩個頂點為 A( a,0),A2(a,0)，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2b2

30、2x y 時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是 21.a b222、過雙曲線21a b(a0,b o)上任一點 A(Xo, yo)任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點,則直線BC有定向且kBC警(常數)a y3、若P為雙曲線2 2篤 每 1 ( a 0,b 0)右(或左)支上除頂點外的任一點a b,Fi, F 2是焦點,PFEPF2F1，則c a亠 c atan cot (或tan cot ).c a 22 c a 222X4、設雙曲線a2_y_b21 (a 0,b 0)的兩個焦點為Fi、F2,P (異于長軸端點)為雙曲線上任意一點，在 PF1F2中，記 F1PF2PF1F2sinc

31、,F1F2P，則有一(si nsin ) ae.2x5、若雙曲線ab21 (a 0,b 0)的左、右焦點分別為F1、F2,左準線為L,則當1 v e0,b 0)的不平行于對稱軸的弦，M(xo,y)為AB的中點，則雙曲線上求一點 P,使得PF1是P到對應準線距離 d與PF2的比例中項.22x y a b2x7、雙曲線2aB2b2C2.8、已知雙曲線2 y_ b21 (b a 0), O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且 OPOQ .2|OQ|A 4,; (2) |OP|2+|OQ| 2的最小值為 譽爲;(3 ) S OPQ的最小值是 a bb a22a b22 .b a2x9、過雙曲線a(a

32、 0,b 0)的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，10、已知雙曲線2 y b21(a 0,b 0),A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P(x,0),2,2小a b,則x或x0aa2 b211、設P點是雙曲線2y 1 (a 0b 0)上異于實軸端點的任一點，F1、為其焦點記F1PF2，則(1)|PF1|PF2|2b21 cosPF1F2b2c%.12、設A、B是雙曲線2 x_ 2 a2占 1 (a 0,b 0)的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點，PABbPBABPA2c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1)| PA| 2嚴!cos2 1|a c cos | tan tan 12e .(3) S pab 2b22a2b22 cot . a|AF2| 2a |PA| |PF11,當且僅當A,F2,P三點共線且 P和代F?在y軸同側時，等號成立2 21 (a 0,b 0)與直線Ax By C 0有公共點的充要條件是A a2x13、已知雙曲線a2占1 (a 0,b 0)的右準線l與x軸相交于點E，過雙曲線右焦點F的直線與雙曲線相交于A、B兩點，點C在右準線I上，且BC x軸，則直線AC經過線段EF的中點.15、過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直16