11.4 線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析

1、11.4 線性定常系統(tǒng)的線性定常系統(tǒng)的 Lyapunov穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析 q 本節(jié)主要研究本節(jié)主要研究Lyapunov方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用。方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用。 討論的主要問(wèn)題有討論的主要問(wèn)題有: 基本方法基本方法: 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的線性定常連續(xù)系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析 矩陣矩陣Lyapunov方程的求解方程的求解 線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析 線性定常離散系統(tǒng)的線性定常離散系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性定理穩(wěn)定性定理 及穩(wěn)定性分析及穩(wěn)定性分析 q 由上節(jié)知由上節(jié)知, Lyapunov第二法是分析動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的有效第二

2、法是分析動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的有效 方法方法, 但具體運(yùn)用時(shí)將涉及到如何選取適宜的但具體運(yùn)用時(shí)將涉及到如何選取適宜的Lyapunov函數(shù)函數(shù) 來(lái)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。來(lái)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 由于各類(lèi)系統(tǒng)的復(fù)雜性，在應(yīng)用由于各類(lèi)系統(tǒng)的復(fù)雜性，在應(yīng)用Lyapunov第二法時(shí)，第二法時(shí)， 難于建立統(tǒng)一的定義難于建立統(tǒng)一的定義Lyapunov函數(shù)的方法。函數(shù)的方法。 目前的處理方法是，針對(duì)系統(tǒng)的不同分類(lèi)和特性，分別目前的處理方法是，針對(duì)系統(tǒng)的不同分類(lèi)和特性，分別 尋找建立尋找建立Lyapunov函數(shù)的方法。函數(shù)的方法。 本小節(jié)將討論對(duì)線性系統(tǒng)本小節(jié)將討論對(duì)線性系統(tǒng),包括包括 線性定常連續(xù)系統(tǒng)線性定常連續(xù)系統(tǒng) 線

3、性定常離散系統(tǒng)線性定常離散系統(tǒng) 線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng) 如何利用如何利用Lyapunov第二法及如何選取第二法及如何選取Lyapunov函數(shù)來(lái)函數(shù)來(lái) 分析該線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。分析該線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 11.4.1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性定常連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 q 設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 x=Ax 這樣的線性系統(tǒng)具有如下特點(diǎn)這樣的線性系統(tǒng)具有如下特點(diǎn): 1) 當(dāng)系統(tǒng)矩陣當(dāng)系統(tǒng)矩陣A為非奇異時(shí)為非奇異時(shí), 系統(tǒng)有且僅有一個(gè)平衡態(tài)系統(tǒng)有且僅有一個(gè)平衡態(tài)xe=0, 即為狀態(tài)空間原點(diǎn)即為狀態(tài)空間原點(diǎn); 2) 若該系統(tǒng)在平衡態(tài)若該系統(tǒng)在平衡態(tài)xe

4、=0的某個(gè)鄰域上是漸近穩(wěn)定的，則的某個(gè)鄰域上是漸近穩(wěn)定的，則 一定是大范圍漸近穩(wěn)定的一定是大范圍漸近穩(wěn)定的; 3) 對(duì)于該線性系統(tǒng)，其對(duì)于該線性系統(tǒng)，其Lyapunov函數(shù)一定可以選取為二次函數(shù)一定可以選取為二次 型函數(shù)的形式。型函數(shù)的形式。 q 上述第上述第 3) 點(diǎn)可由如下定理中得到說(shuō)明。點(diǎn)可由如下定理中得到說(shuō)明。 q 定理定理11-7 線性定常連續(xù)系統(tǒng)線性定常連續(xù)系統(tǒng) x=Ax 的平衡態(tài)的平衡態(tài)xe=0為漸近穩(wěn)定的充要條件為為漸近穩(wěn)定的充要條件為: 對(duì)任意給定的一個(gè)正定矩陣對(duì)任意給定的一個(gè)正定矩陣Q，都存在一個(gè)正定矩陣，都存在一個(gè)正定矩陣P 為下述為下述Lyapunov方程方程(Lyap

5、unov equation) 的解的解 PA+ATP = - -Q 并且正定函數(shù)并且正定函數(shù)V(x)=xTPx 即為系統(tǒng)的一個(gè)即為系統(tǒng)的一個(gè)Lyapunov函數(shù)函數(shù)。 q 證明證明 (1) 先證充分性。先證充分性。Sufficiency. 即證明，若對(duì)任意的正定矩陣即證明，若對(duì)任意的正定矩陣Q，存在正定矩陣，存在正定矩陣P滿足滿足 方程方程 PA+ATP=-Q, 則平衡態(tài)則平衡態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的。是漸近穩(wěn)定的。 證明思路：證明思路： 由于由于P正定正定, 選擇正定函數(shù)選擇正定函數(shù) V(x)=xTPx為為 Lyapunov函數(shù)函數(shù) 計(jì)算計(jì)算 Lyapunov函函 數(shù)數(shù)V(x)對(duì)時(shí)間對(duì)時(shí)間t

6、的全導(dǎo)數(shù)的全導(dǎo)數(shù)V(x) 通過(guò)判定通過(guò)判定V(x) 的定號(hào)性來(lái)判的定號(hào)性來(lái)判 定平衡態(tài)定平衡態(tài)xe的的 穩(wěn)定性穩(wěn)定性 證明過(guò)程為：證明過(guò)程為： 已知滿足矩陣方程已知滿足矩陣方程 PA+ATP=-Q 的正定矩陣的正定矩陣P存在，故令存在，故令 V(x)=xTPx. 由于由于V(x)為正定函數(shù)，且為正定函數(shù)，且V(x)沿軌線對(duì)時(shí)間沿軌線對(duì)時(shí)間t的全導(dǎo)數(shù)為的全導(dǎo)數(shù)為 V(x)=(xTPx) =(xT)Px+ +xTPx =(Ax)TPx+xTPax =xT(ATP+PA)x =-xTQx 而而Q為正定矩陣，因此為正定矩陣，因此V(x)為負(fù)定函數(shù)。為負(fù)定函數(shù)。 根據(jù)根據(jù)漸近穩(wěn)定性定理漸近穩(wěn)定性定理(定

7、理定理11-4), 即證明了系統(tǒng)的平衡態(tài)即證明了系統(tǒng)的平衡態(tài) xe=0是漸近穩(wěn)定的是漸近穩(wěn)定的, 于是充分性得證。于是充分性得證。 (2) 再證必要性。再證必要性。 Necessity. 即證明即證明: 若系統(tǒng)在若系統(tǒng)在xe=0處是漸近穩(wěn)定的處是漸近穩(wěn)定的, 則對(duì)任意給定的則對(duì)任意給定的 正定矩陣正定矩陣Q, 必存在正定矩陣必存在正定矩陣P滿足矩陣方程滿足矩陣方程 PA+ATP=- -Q 證明思路：證明思路： 由正定矩陣由正定矩陣Q構(gòu)造滿足構(gòu)造滿足矩陣方程矩陣方程 PA+ATP=- -Q 的正定矩陣的正定矩陣P。 證明過(guò)程為證明過(guò)程為： 對(duì)任意給定的正定矩陣對(duì)任意給定的正定矩陣 Q, 構(gòu)造構(gòu)造

8、矩陣矩陣 P 如下如下 T 0 ee d(4) A tAt PQta 由矩陣指數(shù)函數(shù)由矩陣指數(shù)函數(shù) eAt 的定義和性質(zhì)知的定義和性質(zhì)知, 上述被積矩陣函數(shù)上述被積矩陣函數(shù) 的各元素一定是具有的各元素一定是具有 t k e t 形式的諸項(xiàng)之和形式的諸項(xiàng)之和, 其中其中 是是 A 的特征值。的特征值。 因?yàn)橄到y(tǒng)是漸近穩(wěn)定的因?yàn)橄到y(tǒng)是漸近穩(wěn)定的, 則矩陣則矩陣 A 的所有特征值的所有特征值 的實(shí)部一定小于零的實(shí)部一定小于零, 因此上述積分一定存在因此上述積分一定存在, 即即P 為為 有限對(duì)稱(chēng)矩陣。有限對(duì)稱(chēng)矩陣。 又由于又由于 Q 正定正定, 矩陣指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù) eAt 可逆可逆, 則由方程則

9、由方程 (4-a)可知，可知，P為有限的正定矩陣。為有限的正定矩陣。 因此因此，P 為正定矩陣。為正定矩陣。 T 0 ee d(4) A tAt PQta 將矩陣將矩陣 P 的表達(dá)式的表達(dá)式 (4-a) 代入矩陣方程代入矩陣方程 PA+ATP = - -Q 可得可得: T TT T TT 00 0 0 d ee d ee dee d dee A tA A tAt tA tAt A tAt PAA PQtAAQt tQ Q Q t 因此，必要性得證。因此，必要性得證。 T 0 ee d(4) A tAt PQta q 上述定理給出了一個(gè)判別線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的簡(jiǎn)上述定理給出了一個(gè)判別線性

10、定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的簡(jiǎn) 便方法，該方法便方法，該方法 不需尋找不需尋找Lyapunov函數(shù)函數(shù), 不需求解系統(tǒng)矩陣不需求解系統(tǒng)矩陣 A 的特征值的特征值, 只需解一個(gè)矩陣代數(shù)方程即可，只需解一個(gè)矩陣代數(shù)方程即可，計(jì)算簡(jiǎn)便計(jì)算簡(jiǎn)便。 該矩陣方程又稱(chēng)為該矩陣方程又稱(chēng)為L(zhǎng)yapunov矩陣代數(shù)方程矩陣代數(shù)方程。 由上述定理由上述定理, 可得如下關(guān)于正定矩陣可得如下關(guān)于正定矩陣 P 是是Lyapunov矩陣矩陣 方程的唯一解的推論。方程的唯一解的推論。 q 推論推論11-1 如果線性定常系統(tǒng)如果線性定常系統(tǒng) x=Ax 在平衡態(tài)在平衡態(tài) xe=0是漸近穩(wěn)是漸近穩(wěn) 定的定的, 那么那么Lyapunov

11、代數(shù)方程代數(shù)方程 PA+ATP=- -Q 對(duì)給定的任意正定矩陣對(duì)給定的任意正定矩陣Q，存在，存在唯一的正定矩陣解唯一的正定矩陣解P。 q 證明證明 用用反證法反證法證明證明。 即需證明即需證明: Lyapunov代數(shù)方程有兩個(gè)正定矩陣解代數(shù)方程有兩個(gè)正定矩陣解, 但該但該 系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。 設(shè)設(shè)Lyapunov代數(shù)方程有兩個(gè)正定矩陣解代數(shù)方程有兩個(gè)正定矩陣解 P1 和和 P2, 則將則將 P1 和和 P2 代入該方程后有代入該方程后有 P1A+ATP1=-Q P2A+ATP2=-Q 兩式相減，可得兩式相減，可得 (P1-P2)A+AT(P1-P2)=0 因此，有因此，有 T

12、T T 121212 0e(-)(-)ee(-)e A tAtA tAt P P AAP PP P 所以，對(duì)任意的所以，對(duì)任意的t，下式均成立下式均成立: T 12 e(-)e A tAt P P常數(shù) 令令 t=0 和和 t=T( 0), 則有則有 T 1212 -e(-)e A TAT P PP P常數(shù) q由由定理定理11-7可知，當(dāng)可知，當(dāng) P1 和和 P2 為滿足為滿足 Lyapunov 方程方程 的正定矩陣時(shí)，則系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的。的正定矩陣時(shí)，則系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的。 故系統(tǒng)矩陣故系統(tǒng)矩陣 A 為漸近穩(wěn)定的矩陣，矩陣指數(shù)函為漸近穩(wěn)定的矩陣，矩陣指數(shù)函 數(shù)數(shù) eAT 將隨著將隨著 T 而趨于

13、零矩陣，即而趨于零矩陣，即 P1-P2=0 或或 P1=P2 q 在應(yīng)用上述基本定理和推論時(shí)在應(yīng)用上述基本定理和推論時(shí), 還應(yīng)注意下面幾點(diǎn)還應(yīng)注意下面幾點(diǎn): 若若V(x,t)=- -xTQx沿任一條狀態(tài)軌線不恒為零沿任一條狀態(tài)軌線不恒為零, 則則 Q 可取可取 為為非負(fù)定矩陣非負(fù)定矩陣, 而系統(tǒng)在原點(diǎn)漸近穩(wěn)定的而系統(tǒng)在原點(diǎn)漸近穩(wěn)定的充要條件充要條件為為: 存在正定矩陣存在正定矩陣 P 滿足滿足Lyapunov代數(shù)方程。代數(shù)方程。 Q 矩陣只要選成正定的或根據(jù)上述情況選為非負(fù)定的矩陣只要選成正定的或根據(jù)上述情況選為非負(fù)定的, 那么最終的判定結(jié)果將與那么最終的判定結(jié)果將與 Q 的不同選擇無(wú)關(guān)。的不

14、同選擇無(wú)關(guān)。 由由定理定理11-7及其及其推論推論11-1可知可知, 運(yùn)用此方法判定系統(tǒng)的漸運(yùn)用此方法判定系統(tǒng)的漸 近穩(wěn)定性時(shí)近穩(wěn)定性時(shí), 最方便的是最方便的是選取選取 Q 為單位矩陣為單位矩陣, 即即Q=I。 于是于是, 矩陣矩陣 P 的元素可按如下的元素可按如下Lyapunov代數(shù)方程代數(shù)方程: PA+ATP=- -I 求解求解, 然后根據(jù)然后根據(jù)P的正定性來(lái)判定系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。的正定性來(lái)判定系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。 q 下面通過(guò)一個(gè)例題來(lái)說(shuō)明如何通過(guò)求解矩陣下面通過(guò)一個(gè)例題來(lái)說(shuō)明如何通過(guò)求解矩陣Lyapunov方程方程 來(lái)判定線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性。來(lái)判定線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 q 例例11-

15、8 試確定用如下?tīng)顟B(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。試確定用如下?tīng)顟B(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。 2 1 2 1 11 10 x x x x q 解解 設(shè)選取的設(shè)選取的Lyapunov函數(shù)為函數(shù)為 V(x)=xTPx 由由定理定理11-7, 上式中的正定矩陣上式中的正定矩陣 P 滿足滿足Lyapunov方程方程 PA+ATP=- -I. 于是，令對(duì)稱(chēng)矩陣于是，令對(duì)稱(chēng)矩陣 P 為為 2212 1211 pp pp P 將將 P 代入代入Lyapunov方程，可得方程，可得 10 01 11 10 11 10 2212 1211 2212 1211 pp pp pp pp 展開(kāi)后得展開(kāi)后得 10

16、01 22 2 2212221211 22121112 ppppp pppp 因此，得如下聯(lián)立方程組因此，得如下聯(lián)立方程組: 122 0 12 2212 221211 12 pp ppp p 解出解出 p11, p12 和和 p22, 得得 21 13 2 1 2212 1211 pp pp P 為了驗(yàn)證對(duì)稱(chēng)矩陣為了驗(yàn)證對(duì)稱(chēng)矩陣P的正定性的正定性, 用合同變換法檢驗(yàn)如下用合同變換法檢驗(yàn)如下: 由于變換后的對(duì)角線矩陣的對(duì)角線上的元素都大于零由于變換后的對(duì)角線矩陣的對(duì)角線上的元素都大于零, 故矩陣故矩陣P為正定的。因此為正定的。因此, 系統(tǒng)為大范圍漸近穩(wěn)定的。系統(tǒng)為大范圍漸近穩(wěn)定的。 此時(shí)，系統(tǒng)的

17、此時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)和它沿狀態(tài)軌線對(duì)時(shí)間函數(shù)和它沿狀態(tài)軌線對(duì)時(shí)間 t 的的 全導(dǎo)數(shù)分別為全導(dǎo)數(shù)分別為 50 09 6 1 21 13 2 1 )2(3/ ) 1 ()2( )2(3/ ) 1 ()2( 行 列 P TT TT 31 1 ( )0 122 10 ( )0 01 VP VQ xxxxx xxxxx q 例例11-9 控制系統(tǒng)方塊圖如下所示?？刂葡到y(tǒng)方塊圖如下所示。 要求系統(tǒng)漸近穩(wěn)定要求系統(tǒng)漸近穩(wěn)定, 試確定增益的取值范圍。試確定增益的取值范圍。 q 解解 由圖可寫(xiě)出系統(tǒng)的狀態(tài)方程為由圖可寫(xiě)出系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 3 2 1 3 2 1 10 120 010 x x x kx

18、 x x 不難看出不難看出, 原點(diǎn)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。原點(diǎn)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。 選取選取Q為非負(fù)定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則為非負(fù)定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則 000 000 001 Q 由于為非負(fù)定，且只在原點(diǎn)處才恒為零，其他非零狀態(tài)由于為非負(fù)定，且只在原點(diǎn)處才恒為零，其他非零狀態(tài) 軌跡不恒為零。軌跡不恒為零。 因此，對(duì)上述非負(fù)定的因此，對(duì)上述非負(fù)定的 Q，Lyapunov代數(shù)方程和相代數(shù)方程和相 應(yīng)結(jié)論依然成立。應(yīng)結(jié)論依然成立。 設(shè)設(shè)P為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣并代入為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣并代入Lyapunov方程方程, 可得可得 111213111213 122223122223 132333132333 00010000 1200210

19、00 01101001 ppppppk pppppp kpppppp 求得求得 2 1260 1 63 2(6) 06 kkk Pkkk k k 為使原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的為使原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的, 矩陣矩陣 P 須須 為正定。為正定。 采用合同變換法采用合同變換法, 有有 222 (1) (2) 2(1)(3) (2)/3(3) (1) (2) 2(1)(3) (2)/3(3) 12600000 6303030 0606006/3 kkkkk kkkkkk kkk 行行 列列 從而得到從而得到P為正定矩陣的條件為正定矩陣的條件 1220,30,6/30kkk 即即

20、0k0)負(fù)定負(fù)定(0) 半負(fù)定半負(fù)定( 0)且不恒為且不恒為0 (對(duì)任意非零的初始狀態(tài)的解對(duì)任意非零的初始狀態(tài)的解) 該平衡態(tài)漸近穩(wěn)定該平衡態(tài)漸近穩(wěn)定 正定正定(0) 半負(fù)定半負(fù)定( 0)且恒為且恒為0 (對(duì)某一非零的初始狀態(tài)的解對(duì)某一非零的初始狀態(tài)的解) 該平衡態(tài)穩(wěn)定該平衡態(tài)穩(wěn)定 但非漸近穩(wěn)定但非漸近穩(wěn)定 正定正定(0)正定正定(0)該平衡態(tài)不穩(wěn)定該平衡態(tài)不穩(wěn)定 正定正定(0) 半正定半正定( 0)且不恒為且不恒為0 (對(duì)任意非零的初始狀態(tài)的解對(duì)任意非零的初始狀態(tài)的解) 該平衡態(tài)不穩(wěn)定該平衡態(tài)不穩(wěn)定 q 上述定理討論的是一般離散系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性的充分判據(jù)上述定理討論的是一般離散系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定

21、性的充分判據(jù) 類(lèi)似于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，對(duì)于線性定常離散系統(tǒng)，有類(lèi)似于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，對(duì)于線性定常離散系統(tǒng)，有 如下簡(jiǎn)單實(shí)用的如下簡(jiǎn)單實(shí)用的漸近穩(wěn)定判據(jù)漸近穩(wěn)定判據(jù)。 q 定理定理11-9 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 x(k+1)=Gx(k) 其中其中xe=0為其平衡態(tài)。則其平衡態(tài)為漸近穩(wěn)定的為其平衡態(tài)。則其平衡態(tài)為漸近穩(wěn)定的充要條件充要條件為為: 對(duì)任意給定的一個(gè)正定矩陣對(duì)任意給定的一個(gè)正定矩陣Q, 都存在一個(gè)正定矩陣都存在一個(gè)正定矩陣P為為 Lyapunov矩陣代數(shù)方程矩陣代數(shù)方程 GTPG - -P = - - Q (4-b) 的解，并且正定函數(shù)的解，并且正定函數(shù)Vx(k)=x

22、T(k)Px(k)即為系統(tǒng)的一個(gè)即為系統(tǒng)的一個(gè) Lyapunov函數(shù)。函數(shù)。 q 證明證明 (1) 先證充分性。先證充分性。 即證即證: 若對(duì)任意的正定矩陣若對(duì)任意的正定矩陣Q，存在正定矩陣，存在正定矩陣P滿足方程滿足方程 GTPG- -P= - - Q 則平衡態(tài)則平衡態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的。是漸近穩(wěn)定的。 已知滿足該矩陣方程的正定矩陣已知滿足該矩陣方程的正定矩陣P存在，因而令存在，因而令 Vx(k)= xT(k)Px(k)，則，則Vx(k)的差分為的差分為 Vx(k),k=Vx(k+1),k+1 - - Vx(k),k =xT(k+1)Px(k+1) - - xT(k)Px(k) =Gx(k

23、)TPGx(k) - - xT(k)Px(k) =xT(k)(GTPG - - P)x(k) =- -xT(k)Qx(k) 由于由于Q為正定矩陣，則為正定矩陣，則 Vx(k)為負(fù)定函數(shù)。為負(fù)定函數(shù)。 由于由于Vx(k)本身本身為正定函數(shù)，故根據(jù)為正定函數(shù)，故根據(jù)定理定理11-8，即，即 證明了系統(tǒng)的平衡態(tài)證明了系統(tǒng)的平衡態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的。是漸近穩(wěn)定的。 (2) 再證必要性。再證必要性。 即需證即需證: 若系統(tǒng)在若系統(tǒng)在xe=0處是漸近穩(wěn)定的，則對(duì)正定矩陣處是漸近穩(wěn)定的，則對(duì)正定矩陣 Q，必存在正定矩陣，必存在正定矩陣P滿足矩陣方程滿足矩陣方程 GTPG- -P= - - Q。 構(gòu)造矩陣構(gòu)

24、造矩陣P如下如下 0 () kTk k PGQG 當(dāng)系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng) x(k+1)=Gx(k) 漸近穩(wěn)定，即系統(tǒng)矩陣漸近穩(wěn)定，即系統(tǒng)矩陣G的特征值的特征值 的模小于的模小于1時(shí)，上式定義的時(shí)，上式定義的P為有限常數(shù)陣，而且當(dāng)為有限常數(shù)陣，而且當(dāng)Q為為 正定矩陣時(shí)正定矩陣時(shí), P=Q+GTQG+(G2)TQG2 + Q 0 亦為正定矩陣。亦為正定矩陣。 11 00 10 -()-() ()-() - TkTkkTk kk kTkkTk kk G PG PGQGGQG GQGGQG Q 因此，必要性得證。因此，必要性得證。 將矩陣將矩陣P的上述構(gòu)造式代入矩陣方程的上述構(gòu)造式代入矩陣方程(4-b)可得可得

25、 GTPG-P=-Q (4-b) q 與連續(xù)系統(tǒng)類(lèi)似，有如下討論與連續(xù)系統(tǒng)類(lèi)似，有如下討論: 1) 如果對(duì)于某個(gè)非負(fù)定矩陣如果對(duì)于某個(gè)非負(fù)定矩陣Q, Vx(k),k=- -xT(k)Qx(k)沿任沿任 意一條狀態(tài)軌線不恒為零意一條狀態(tài)軌線不恒為零, 那么系統(tǒng)在原點(diǎn)漸近穩(wěn)定的條那么系統(tǒng)在原點(diǎn)漸近穩(wěn)定的條 件為件為: 存在存在正定矩陣正定矩陣P 滿足滿足Lyapunov代數(shù)方程。代數(shù)方程。 2) 可令正定矩陣可令正定矩陣Q=I, 則判定線性定常離散系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定則判定線性定常離散系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定 性只需解如下性只需解如下Lyapunov矩陣代數(shù)方程即可矩陣代數(shù)方程即可: GTPG- -P = - -

26、I q 例例11-10 設(shè)離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 試確定系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的條件。試確定系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的條件。 q 解解 由式由式(4-c)得如下得如下Lyapunov代數(shù)方程代數(shù)方程 展開(kāi)后得如下聯(lián)立方程組展開(kāi)后得如下聯(lián)立方程組: 1 2 0 (1)( ) 0 kk xx 10 01 0 0 0 0 2212 1211 2 1 2212 1211 2 1 pp pp pp pp 1) 1( 0) 1( 1) 1( 2 222 2112 2 111 p p p GTPG-P=-I (4-c) 根據(jù)根據(jù)Sylvester(西爾維斯特西爾

27、維斯特)準(zhǔn)則，要使準(zhǔn)則，要使P為正定，須滿足為正定，須滿足 因此，有因此，有 即只有當(dāng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)在平衡即只有當(dāng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)在平衡 點(diǎn)處才是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的。點(diǎn)處才是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的。 2 1122112212 000ppp pp 12 | 1,| 1 q 例例11-11 試確定用如下?tīng)顟B(tài)方程描述的離散系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)試確定用如下?tīng)顟B(tài)方程描述的離散系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn) 定性。定性。 11 22 (1)( )01 (1)( )0.51 x kx k x kx k q 解解 由式由式(4-c)得如下得如下Lyapunov代數(shù)方程代數(shù)方程: 11121112

28、12221222 00.50110 110.5101 pppp pppp 展開(kāi)后得如下聯(lián)立方程組展開(kāi)后得如下聯(lián)立方程組: 1211 2212 1112 0.251 0.51.50 21 pp pp pp GTPG-P=-I (4-c) 為了驗(yàn)證對(duì)稱(chēng)矩陣為了驗(yàn)證對(duì)稱(chēng)矩陣P的正定性的正定性, 用合同變換法檢驗(yàn)如下用合同變換法檢驗(yàn)如下: 解出解出 p11, p12 和和 p22, 得得 1112 1222 1181 8245 pp P pp :11(2) 8(1)(2) :11(2) 8(1)(2) 11811011 824020055 P 行 列 由于變換后的對(duì)角線矩陣的對(duì)角線上的元素都大于零由于

29、變換后的對(duì)角線矩陣的對(duì)角線上的元素都大于零, 故矩陣故矩陣P為正定的。為正定的。 因此，系統(tǒng)為大范圍漸近穩(wěn)定的。因此，系統(tǒng)為大范圍漸近穩(wěn)定的。 11121112 12221222 00.500.510 0.510.5101 pppp pppp 11 22 (1)( )00.5 (1)( )0.51 x kx k x kx k 由此解出由此解出 q例例11-12 試確定用如下離散系統(tǒng)在原點(diǎn)的穩(wěn)定性。試確定用如下離散系統(tǒng)在原點(diǎn)的穩(wěn)定性。 q解解: 在在Lyapunov方程中，取方程中，取Q=I，得，得 1112 1222 5240 2727 0 40100 2727 pp P pp 從而系統(tǒng)在原點(diǎn)

30、的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。從而系統(tǒng)在原點(diǎn)的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 10.4.3 線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析* q設(shè)線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 x=A(t)x(t) xe=0 則有判定線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)則有判定線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)Lyapunov意義下漸近穩(wěn)意義下漸近穩(wěn) 定性的定理如下。定性的定理如下。 q 定理定理11-10 線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的平衡態(tài)線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的平衡態(tài)xe為大范圍漸近穩(wěn)定為大范圍漸近穩(wěn)定 的充分必要條件為的充分必要條件為: 對(duì)有限的對(duì)有限的 t 和任意給定的正定矩陣和任意給定的正定矩陣Q(t), 都存在一個(gè)

31、正定都存在一個(gè)正定 矩陣矩陣P(t)為下述為下述Lyapunov矩陣微分方程矩陣微分方程的解的解, 并且正定函數(shù)并且正定函數(shù) 即為系統(tǒng)的一個(gè)即為系統(tǒng)的一個(gè) Lyapunov函數(shù)。函數(shù)。 q 證明證明 1) 先證充分性先證充分性。即證。即證: 如果對(duì)任意的正定矩陣如果對(duì)任意的正定矩陣 Q(t)，存在正定矩陣，存在正定矩陣 P(t) 滿足滿足 Lyapunov微分方程，微分方程， 則平衡態(tài)則平衡態(tài) xe=0 是漸近穩(wěn)定的。是漸近穩(wěn)定的。 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )()0 ( ) f f T f t t ttttttt t t t PA P PAPQ P ( , )( ) ( ) ( ) T Vtt P ttxxx 已知滿足已知滿足Lyapunov矩陣微分方程的正定矩陣矩陣微分方程的正定矩陣P(t)和和Q(t)存存 在，故令在，故令 V(x,t)=xT(t)P(t)x(t) 由于由于V(x,t)為正定函數(shù)，且其沿軌線對(duì)時(shí)間為正定函數(shù)，且其沿軌線對(duì)時(shí)間 t 的全導(dǎo)數(shù)為的全導(dǎo)數(shù)為 而而Q(t)為正定矩陣為正定矩陣，則則V(x,t)為負(fù)定函數(shù)。為負(fù)定函數(shù)。 故根據(jù)定理故根據(jù)定理11-4，即證明了系統(tǒng)的平衡態(tài)，即證明了系統(tǒng)的平衡態(tài)xe=0是大范是大范 圍漸近穩(wěn)定的。圍漸近穩(wěn)定的。