12高數(shù)第十二章

1、高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 第一節(jié)第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì) 第十二章第十二章 無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù) 第二節(jié)第二節(jié) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 第三節(jié)第三節(jié) 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 第四節(jié)第四節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù) 基本要求：基本要求：了解函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用；了解函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用； 熟悉常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)的概念及熟悉常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)的概念及 其特點(diǎn)；掌握常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法、其特點(diǎn)；掌握常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法、 冪級(jí)數(shù)的收斂性、函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)的收斂性、函數(shù)展成冪級(jí)數(shù) 及其運(yùn)算。及其運(yùn)算。 重點(diǎn)：重點(diǎn)：比值審斂法；冪級(jí)數(shù)收斂半徑及收

2、斂區(qū)比值審斂法；冪級(jí)數(shù)收斂半徑及收斂區(qū) 間的求法。間的求法。 難點(diǎn)：難點(diǎn)：條件收斂的判定；冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法；條件收斂的判定；冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法； 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開。函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開。 問題的提出問題的提出 1. 1. 計(jì)算圓的面積計(jì)算圓的面積 正六邊形的面積正六邊形的面積 正十二邊形的面積正十二邊形的面積 正正 形的面積形的面積 n 23 n aaaA 21 即即 n 10 3 1000 3 100 3 10 3 3 1 . 2 1 a 21 aa n aaa 21 R 第一節(jié)第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì) 一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 1. 1. 級(jí)數(shù)的定

3、義級(jí)數(shù)的定義: : n n n uuuuu 321 1 一般項(xiàng)一般項(xiàng) (常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng))無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù) 級(jí)數(shù)的部分和級(jí)數(shù)的部分和 n i inn uuuus 1 21 部分和數(shù)列部分和數(shù)列 , 11 us , 212 uus , 3213 uuus , 21nn uuus 2. 2. 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散: : 當(dāng)當(dāng)n無無限限增增大大時(shí)時(shí), ,如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1n n u的的部部分分和和 數(shù)數(shù)列列 n s有有極極限限s, , 即即 ssn n lim 則則稱稱無無窮窮級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1n n u收收斂斂, ,這這時(shí)時(shí)極極限限s叫叫做做級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1n n u的的和和. .并并 寫寫成成

4、321 uuus 如如果果 n s沒沒有有極極限限, ,則則稱稱無無窮窮級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1n n u發(fā)發(fā)散散. . 即即 常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) ) n n s lim存存在在( (不不存存在在) ) 余項(xiàng)余項(xiàng) nn ssr 21nn uu 1i in u 即即 ssn 誤誤差差為為 n r )0lim( n n r 無窮級(jí)數(shù)收斂性舉例：無窮級(jí)數(shù)收斂性舉例：KochKoch雪花雪花. . 做法：先給定一個(gè)正三角形，然后在每條邊上對(duì)做法：先給定一個(gè)正三角形，然后在每條邊上對(duì) 稱的產(chǎn)生邊長(zhǎng)為原邊長(zhǎng)的稱的產(chǎn)生邊長(zhǎng)為原邊長(zhǎng)的1/31/3的小正三角形如此的小正三角形如此 類推在每條凸邊上

5、都做類似的操作，我們就得到類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到 了面積有限而周長(zhǎng)無限的圖形了面積有限而周長(zhǎng)無限的圖形“KochKoch雪花雪花” 觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程 ; 4 3 , 3 1 1 A P 面積為面積為 周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為 設(shè)三角形設(shè)三角形 第一次分叉：第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 112 12 AAA PP 面積為面積為 周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為 依次類推依次類推 第第 次分叉：次分叉：n 周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為 , 2 , 1) 3 4 ( 1 1 nPP n n 面積為面積為 ) 9 1 (43 1 12 1 AAA nn nn 1 12 1 2 11 ) 9 1 (43

6、) 9 1 (43 9 1 3AAAA nn ) 9 4 ( 3 1 ) 9 4 ( 3 1 ) 9 4 ( 3 1 3 1 1 22 1 n A , 3 , 2 n 于是有于是有 n n Plim ) 9 4 1 3 1 1(lim 1 AAn n . 5 32 ) 5 3 1( 1 A 雪花的面積存在極限（收斂）雪花的面積存在極限（收斂） 結(jié)論：雪花的周長(zhǎng)是無界的，而面積有界結(jié)論：雪花的周長(zhǎng)是無界的，而面積有界 例例 1 1 討討論論等等比比級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)( (幾幾何何級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)) ) n n n aqaqaqaaq 2 0 )0( a 的的收收斂斂性性. . 解解 時(shí)時(shí)如如果果1 q 12 n

7、n aqaqaqas q aqa n 1 , 11q aq q a n ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q 0lim n n q q a sn n 1 lim 收斂收斂 ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q n n qlim n n slim 發(fā)散發(fā)散 時(shí)時(shí)如如果果1 q ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q nasn 發(fā)散發(fā)散 ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q aaaa級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)變變?yōu)闉?不不存存在在 n n s lim 發(fā)散發(fā)散 綜上綜上 發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 收收斂斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,1 ,1 0 q q aq n n 解解 )12)(12( 1 nn un), 12 1 12 1 ( 2 1 nn )12()12( 1 53 1 31 1 nn sn ) 12 1 12

8、 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 3 1 1( 2 1 nn ), 12 1 1( 2 1 n ) 12 1 1( 2 1 limlim n s n n n , 2 1 . 2 1 , 和和為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂 例例 2 2 判判別別無無窮窮級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) )12()12( 1 53 1 31 1 nn 的的收收斂斂性性. . 二、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)二、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 性性質(zhì)質(zhì) 1 1 如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1n n u收收斂斂, ,則則 1n n ku亦亦收收斂斂. . 結(jié)論結(jié)論: : 級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù), , 斂散性不變斂散性不變. .

9、性性質(zhì)質(zhì)2 2 設(shè)設(shè)兩兩收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1n n us, , 1n n v, , 則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1 )( n nn vu收收斂斂, ,其其和和為為 s. . 結(jié)論結(jié)論: : 收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減. . 性性質(zhì)質(zhì) 3 3 若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1n n u收收斂斂, ,則則 1kn n u也也收收斂斂 )1( k. .且且其其逆逆亦亦真真. . 證明證明 nkkk uuu 21 nkkkn uuu 21 , kkn ss k n kn n n n ss limlimlim 則則 類似地可以證明在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不類似地可以證明在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不 影響級(jí)數(shù)的

10、斂散性影響級(jí)數(shù)的斂散性. 證明證明 )()( 54321 uuuuu , 21 s , 52 s , 93 s , nm s .limlimssn n m m 則則 注意注意收斂級(jí)數(shù)去括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂收斂級(jí)數(shù)去括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂. ) 11 () 11 (例例如如 收斂收斂 1111 發(fā)散發(fā)散 事實(shí)上，對(duì)級(jí)數(shù)事實(shí)上，對(duì)級(jí)數(shù) 1n n u任意加括號(hào)任意加括號(hào) )( )()( 1 11 1 211 kk pp ppp uu uuuu 若記若記 kk ppk uub 1 1 則加括號(hào)后級(jí)數(shù)成為則加括號(hào)后級(jí)數(shù)成為 1k k b 記記 1n n u 的部分和為的部分和為 n s 1k

11、k b 的部分和記為的部分和記為 k 則則 k pk s 由數(shù)列和子數(shù)列的關(guān)系知由數(shù)列和子數(shù)列的關(guān)系知 存在，存在， n n s lim k k lim 必定存在必定存在 k k lim存在存在 n n s lim未必存在未必存在 1.1.定義定義: :，中中各各項(xiàng)項(xiàng)均均有有如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)0 1 n n n uu 這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù). .這種級(jí)數(shù)非常重要，這種級(jí)數(shù)非常重要， 以后我們將會(huì)看到許多級(jí)數(shù)的斂散性判定問題以后我們將會(huì)看到許多級(jí)數(shù)的斂散性判定問題 都可歸結(jié)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性問題都可歸結(jié)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性問題 2.2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件:

12、 : n sss 21 部分和數(shù)列部分和數(shù)列 為單調(diào)增加數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列. . n s 定理定理 .有有界界部部分分和和所所成成的的數(shù)數(shù)列列正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂 n s 第二節(jié)第二節(jié) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義 定理定理1比較審斂法比較審斂法均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，和和設(shè)設(shè) 11n n n n vu 且且), 2, 1( nvu nn , ,若若 1n n v收收斂斂, ,則則 1n n u收收斂斂； 反反之之，若若 1n n u發(fā)發(fā)散散，則則 1n n v發(fā)發(fā)散散. . 二、二、比較審斂法比較審斂法 例例 1 1 討討論論 P P- -級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) pppp

13、 n 1 4 1 3 1 2 1 1的的收收斂斂性性. .)0( p 解解, 1 p設(shè)設(shè), 11 nn p .級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散則則 P , 1 p設(shè)設(shè) 由圖可知由圖可知 n n pp x dx n 1 1 pppn n s 1 3 1 2 1 1 n n pp x dx x dx 1 2 1 1 o y x )1( 1 p x y p 1234 n p x dx 1 1) 1 1( 1 1 1 1 p np1 1 1 p ,有界有界即即 n s.級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂則則 P 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) ,1 ,1 p p P 重要參考級(jí)數(shù)重要參考級(jí)數(shù): : 幾何級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù), P

14、-, P-級(jí)數(shù)級(jí)數(shù), , 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù). . 比較審斂法是一基本方法，雖然有比較審斂法是一基本方法，雖然有 用，但應(yīng)用起來卻有許多不便，因?yàn)樗?，但?yīng)用起來卻有許多不便，因?yàn)樗?需要建立定理所要求的不等式，而這種需要建立定理所要求的不等式，而這種 不等式常常不易建立，為此介紹在應(yīng)用不等式常常不易建立，為此介紹在應(yīng)用 上更為方便的極限形式的比較審斂法上更為方便的極限形式的比較審斂法 例例 2 2 證證明明級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1 )1( 1 n nn 是是發(fā)發(fā)散散的的. 證明證明, 1 1 )1( 1 nnn , 1 1 1 n n 發(fā)散發(fā)散而級(jí)數(shù)而級(jí)數(shù) . )1( 1 1 n nn 發(fā)發(fā)散散級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)

15、設(shè)設(shè) 1n n u是是正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), ,如如果果)(lim 1 數(shù)數(shù)或或 n n n u u 則則1 時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂; ;1 時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 1 時(shí)時(shí)失失效效. . 三、比值審斂法三、比值審斂法 比值審斂法的優(yōu)點(diǎn)比值審斂法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級(jí)數(shù)不必找參考級(jí)數(shù). .直接從級(jí)數(shù)本直接從級(jí)數(shù)本 身的構(gòu)成身的構(gòu)成即通項(xiàng)來判定其即通項(xiàng)來判定其 斂散性斂散性 兩點(diǎn)注意兩點(diǎn)注意: 1 1. .當(dāng)當(dāng)1 時(shí)時(shí)比比值值審審斂斂法法失失效效; ; , 1 1 發(fā)發(fā)散散級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)例例 n n , 1 1 2 收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) n n )1( 2 2. .條條件件是是充充分分的的, ,而而非非必必要

16、要. . , 2 3 2 )1(2 nnn n n vu 例例 , 2 )1(2 11 收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) n n n n n u , )1(2(2 )1(2 1 1 nn n n n a u u 但但, 6 1 lim 2 n n a , 2 3 lim 12 n n a.limlim 1 不存在不存在 n n n n n a u u 解解 )1( 1 1 n ),(0 n . ! 1 1 收斂收斂故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù) n n ! 1 )!1( 1 1 n n u u n n )2( ! 10 10 )!1( 1 1 n n u u n n n n 10 1 n ),( n . 10 ! 1 發(fā)散發(fā)散

17、故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù) n n n )3( )22()12( 2)12( limlim 1 nn nn u u n n n n , 1 比值審斂法失效比值審斂法失效, 改用比較審斂法改用比較審斂法 , 1 2)12( 1 2 nnn , 1 1 2 收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) n n . )12(2 1 1 收斂收斂故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù) n nn 一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)一、交錯(cuò)級(jí)數(shù) 正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù). . n n n n n n uu 11 1 )1()1(或或 )0( n u其中其中 第三節(jié)第三節(jié) 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 解解 2 )1(2 )1( ) 1 ( xx x x x )2(0

18、 x , 1 單單調(diào)調(diào)遞遞減減故故函函數(shù)數(shù) x x , 1 nn uu 1 limlim n n u n n n 又又. 0 原級(jí)數(shù)收斂原級(jí)數(shù)收斂. 二、絕對(duì)收斂與條件收斂二、絕對(duì)收斂與條件收斂 定義定義1 1: : 正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù) . . 證明證明 ), 2 , 1()( 2 1 nuuv nnn 令令 , 0 n v顯顯然然, nn uv 且且, 1 收斂收斂 n n v ),2( 11 n nn n n uvu又又 1n n u收收斂斂. 上定理的作用：上定理的作用： 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 若若 1n n u發(fā)

19、發(fā)散散, ,而而 1n n u收收斂斂, , 則則稱稱 1n n u為為條條件件收收斂斂. . 解解 , 1sin 22 nn n , 1 1 2 收收斂斂而而 n n , sin 1 2 n n n 收斂收斂 故由定理知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂故由定理知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 將正項(xiàng)級(jí)數(shù)的檢比法和檢根法應(yīng)用于判定任意項(xiàng)將正項(xiàng)級(jí)數(shù)的檢比法和檢根法應(yīng)用于判定任意項(xiàng) 級(jí)數(shù)的斂散性可得到如下定理級(jí)數(shù)的斂散性可得到如下定理 定義定義1 1: : 設(shè)設(shè)),(,),(),( 21 xuxuxu n 是是定定義義在在RI 上上的的函函 數(shù)數(shù), ,則則 )()()()( 21 1 xuxuxuxu n n n 稱稱為為定定義

20、義在在區(qū)區(qū)間間I上上的的( (函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)) )無無窮窮級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). . ,1 2 0 xxx n n 例例如如級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 第四節(jié)第四節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 收斂點(diǎn)與收斂域收斂點(diǎn)與收斂域: : 如如果果Ix 0 , ,數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1 0 )( n n xu收收斂斂, , 則則稱稱 0 x為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù))( 1 xu n n 的的收收斂斂點(diǎn)點(diǎn), , 函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù))( 1 xu n n 的的所所有有收收斂斂點(diǎn)點(diǎn)的的全全體體稱稱為為收收斂斂域域, , 所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為發(fā)散域發(fā)散域. . 3.3.和函數(shù)和函數(shù): : 在在收收斂斂域域上上, ,函函

21、數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和是是x的的函函數(shù)數(shù))(xs, , 稱稱)(xs為為函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù). . )()()()( 21 xuxuxuxs n (定義域是定義域是?) 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和),(xsn 余項(xiàng)余項(xiàng) )()(limxsxsn n )()()(xsxsxr nn 0)(lim xr n n 注意注意 (x在收斂域上在收斂域上) 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問題的收斂問題,實(shí)質(zhì)上實(shí)質(zhì)上 是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題. 解解由達(dá)朗貝爾判別法由達(dá)朗貝爾判別法 )( )( 1 xu xu n n xn n 1 1 1 )( 1 1

22、n x ,20時(shí)時(shí)或或即即 xx 原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. , 1 1 1 )1( x 當(dāng)當(dāng) , 11 x , 1|1|)3( x當(dāng)當(dāng), 20 xx或或 ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 1 )1( n n n 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) ,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 1 1 n n 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) )., 0)2,( 故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)楣始?jí)數(shù)的收斂域?yàn)?收斂收斂; 發(fā)散發(fā)散; , 1 1 1 )2( x 當(dāng)當(dāng), 11 x ,02時(shí)時(shí)即即 x原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散. 二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性 1.1.定義定義2 2: : 形如形如 n n n xxa)( 0 0 的級(jí)數(shù)稱為的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù). . ,0 0 0 n n n

23、 xax 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)其中其中 n a為為冪級(jí)數(shù)系數(shù)冪級(jí)數(shù)系數(shù). 2.2.收斂性收斂性: : ,1 2 0 xxx n n 例例如如級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) ;,1收收斂斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x;,1發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x );1 , 1( 收斂域收斂域);, 11,( 發(fā)發(fā)散散域域 證明證明應(yīng)應(yīng)用用達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾判判別別法法對(duì)對(duì)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0n n n xa n n n n n xa xa 1 1 lim x a a n n n 1 lim ,x 設(shè)設(shè) n n n a a 1 lim (或或 n n n alim) (1) 則則當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí), 1 R; (3) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0 R. (2) 當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí), R; ,)0(l

24、im)1( 1 存存在在如如果果 n n n a a 由比值審斂法由比值審斂法, , 1 |時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,| 0 收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) n n n xa . 0 收收斂斂絕絕對(duì)對(duì)從從而而級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) n n n xa , 1 |時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x ,| 0 發(fā)發(fā)散散級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) n n n xa 開始開始并且從某個(gè)并且從某個(gè) n |,| 1 1 n n n n xaxa 0| n nx a . 0 n n n xa發(fā)發(fā)散散從從而而級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) , 0)2( 如如果果, 0 x ),(0 1 1 n xa xa n n n n 有有,| 0 收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) n n n xa . 0 收收斂斂絕絕對(duì)對(duì)從從而而級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)

25、 n n n xa; R收收斂斂半半徑徑 ,)3( 如如果果 , 0 x. 0 n n n xa必必發(fā)發(fā)散散級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) )|01( 0 收收斂斂使使知知將將有有點(diǎn)點(diǎn)否否則則由由定定理理 n n n xax . 0 R收斂半徑收斂半徑 定理證畢定理證畢. 若若 1n n n xa在在 x0 處收斂處收斂 則則 | 0 xR 1n n nx a在在 x0 處發(fā)散處發(fā)散 若若 則則 | 0 xR 若若 1n n nx a在在 x0 處條件收斂處條件收斂 則則 | 0 xR 這是冪級(jí)數(shù)收斂的特性這是冪級(jí)數(shù)收斂的特性 注注利用該定理求收斂半徑要求所有的利用該定理求收斂半徑要求所有的 0 n a 或只有有限

26、個(gè)或只有有限個(gè)0 n a 例例1 1 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間: ;)1()1( 1 n x n n n ;)()2( 1 n n nx ; ! )3( 1 n n n x .) 2 1 ( 2 )1()4( 1 n n n n x n 解解 )1( n n n a a 1 lim 1 lim n n n 1 1 R ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x , )1( 1 n n n 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為該級(jí)數(shù)收斂該級(jí)數(shù)收斂 ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x , 1 1 n n 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為 該級(jí)數(shù)發(fā)散該級(jí)數(shù)發(fā)散 故故收收斂斂區(qū)區(qū)間間是是 1 , 1( . ;)()2( 1 n n nx n n n a limn n

27、lim , oR 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)只只在在0 x處處收收斂斂, ; ! )3( 1 n n n x n n n a a 1 lim 1 1 lim n n , 0 , R 收斂區(qū)間收斂區(qū)間),(. , .) 2 1 ( 2 ) 1()4( 1 n n n n x n n n n a a 1 lim 1 2 lim n n n 2 , 2 1 R , 2 1 2 1 收收斂斂即即 x,) 1 , 0(收收斂斂 x ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 1 1 n n 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為發(fā)散發(fā)散 ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, ) 1( 1 n n n 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為 收斂收斂 故收斂區(qū)間為故收斂區(qū)間為(0,1. 如缺項(xiàng)，如缺項(xiàng)， 則則 n

28、n n a a 1 lim 必不存在，必不存在， 但冪級(jí)數(shù)并不是沒有收斂半徑，此時(shí)不能但冪級(jí)數(shù)并不是沒有收斂半徑，此時(shí)不能 套用定理，可考慮直接用比值法或根值法求收斂套用定理，可考慮直接用比值法或根值法求收斂 半徑半徑 注：注： 三、收斂?jī)缂?jí)數(shù)及其和函數(shù)的性質(zhì)三、收斂?jī)缂?jí)數(shù)及其和函數(shù)的性質(zhì) 1.1.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)代數(shù)運(yùn)算性質(zhì): : , 21 00 RRxbxa n n n n n n 和和的的收收斂斂半半徑徑各各為為和和設(shè)設(shè) 21, minRRR (1) 加減法加減法 00n n n n n n xbxa. 0 n n n xc RRx, (其中其中 ) nnn bac (2) 乘法乘法 )()

29、( 00 n n n n n n xbxa. 0 n n n xc RRx, (其中其中 ) 0110 bababac nnnn (3) 除法除法 )0( 0 n n n xb收斂域內(nèi)收斂域內(nèi) 0 0 n n n n n n xb xa . 0 n n n xc (相除后的收斂區(qū)間比原來相除后的收斂區(qū)間比原來 兩級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間小得多兩級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間小得多) 2.2.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì): : (1) 冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0n n n xa的的和和函函數(shù)數(shù))(xs在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間 ),(RR 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù),在在端端點(diǎn)點(diǎn)收收斂斂,則則在在端端點(diǎn)點(diǎn)單單側(cè)側(cè)連連續(xù)續(xù). (2) 冪級(jí)數(shù)

30、冪級(jí)數(shù) 0n n n xa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間 ),(RR 內(nèi)可積內(nèi)可積,且對(duì)且對(duì)),(RRx 可逐項(xiàng)積分可逐項(xiàng)積分. x n n n x dxxadxxs 0 0 0 )()(即即 0 0 n x n n dxxa . 1 1 0 n n n x n a (收斂半徑不變收斂半徑不變) (3) 冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0n n n xa的的和和函函數(shù)數(shù))(xs在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間 ),(RR 內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo), 并并可可逐逐項(xiàng)項(xiàng)求求導(dǎo)導(dǎo)任任意意次次. 0 )()( n n n xaxs即即 0 )( n n n xa . 1 1 n n nx na (收斂半徑不變收斂半徑不變) 2

31、1)(xxxs, 1 1 x ) 11( x 兩邊積分得兩邊積分得 )1ln()( 0 xdtts x )1ln()0()(xsxs 即即),1ln()(xxs ,1時(shí)時(shí)又又 x . 1 ) 1( 1 1 收收斂斂 n n n ).1ln() 1( 1 1 x n x n n n ) 11( x 解解 ,)1()( 1 1 n n n n x xs, 0)0( s顯顯然然 例例3 求和函數(shù)求和函數(shù) 1 )1( n n xnn 解解 收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)?11 x 記記 11 1 ) 1() 1( nn nn xnnxxnn 1 1 ) 1()( n n xnnxs11 x 則則 x dxxsxs

32、0 1 )()( 1 )1( n n xn x dxxs 0 1 )( 1 1 n n x x x 1 2 11 x 并求并求 1 2 )1( n n nn 的和的和 )()( 1 xsxs 3 )1( 2 x 故故 3 1 )1( 2 )1( x x xnn n n 2 )1( 1 1 x 11 x 故故 1 1 1 1 11 )( 2 1 x x x x xs 8 2 )1( 1 n n nn 常用已知和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)常用已知和函數(shù)的冪級(jí)數(shù) ; 1 1 )1( 0 x x n n ; 1 1 )1()2( 2 0 2 x x n nn ; 1 1 )3( 2 0 2 x x n n ; !

33、)4( 0 x n n e n x ;sin )!12( )1()5( 1 12 1 x n x n n n );1ln( 1 )1()6( 0 1 x n x n n n 由于冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)確定了一個(gè)和函由于冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)確定了一個(gè)和函 數(shù)，因此我們就有可能利用冪級(jí)數(shù)來表示函數(shù)，因此我們就有可能利用冪級(jí)數(shù)來表示函 數(shù)。如果一個(gè)函數(shù)已經(jīng)表示為冪級(jí)數(shù)，那末數(shù)。如果一個(gè)函數(shù)已經(jīng)表示為冪級(jí)數(shù)，那末 該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分等問題就迎刃而解。該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分等問題就迎刃而解。 第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù) 證明證明 即即內(nèi)內(nèi)收收斂斂于于在在),()()( 00 0 xfxuxxa n

34、 n n n n xxaxxaaxf)()()( 0010 一、泰勒級(jí)數(shù)一、泰勒級(jí)數(shù) 逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次,得得 1 0021 )()(2)( n n xxnaxxaaxf )(23)1(!)( 01 )( xxannanxf nn n 即即得得令令, 0 xx ), 2 , 1 , 0()( ! 1 0 )( nxf n a n n 泰勒系數(shù)泰勒系數(shù) 泰勒系數(shù)是唯一的泰勒系數(shù)是唯一的,.)(的展開式是唯一的的展開式是唯一的xf 如果如果)(xf在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x處任意階可導(dǎo)處任意階可導(dǎo), ,則冪級(jí)數(shù)則冪級(jí)數(shù) n n n xx n xf )( ! )( 0 0 0 )( 稱為稱為)(xf

35、在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x的的泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù). . n n n x n f 0 )( ! )0( 稱為稱為)(xf在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x的的麥克勞林級(jí)數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù). . 問題問題 n n n xx n xf xf)( ! )( ?)( 0 0 0 )( 泰勒級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于泰勒級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)? 不一定不一定. 定義定義 0, 0 0, )( 2 1 x xe xf x 例例如如 在在x=0點(diǎn)任意可導(dǎo)點(diǎn)任意可導(dǎo), ), 2 , 1 , 0(0)0( )( nf n 且且 0 0)( n n xxf的的麥麥?zhǔn)鲜霞?jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為 . 0)(),( xs內(nèi)內(nèi)和和函函數(shù)數(shù)該該級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在 ).

36、()(,0 xfxfx于于的麥?zhǔn)霞?jí)數(shù)處處不收斂的麥?zhǔn)霞?jí)數(shù)處處不收斂外外除除 定定理理 2 2 )(xf在在點(diǎn)點(diǎn) 0 x的的泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), ,在在)( 0 xU 內(nèi)內(nèi)收收 斂斂于于)(xf在在)( 0 xU 內(nèi)內(nèi)0)(lim xRn n . . 證明證明必要性必要性,)(能展開為泰勒級(jí)數(shù)能展開為泰勒級(jí)數(shù)設(shè)設(shè)xf )()( ! )( )( 0 0 0 )( xRxx i xf xf n i n i i ),()()( 1 xsxfxR nn )()(lim 1 xfxsn n )(limxRn n )()(lim 1 xsxf n n ;0 充分性充分性),()()( 1 xRxsxf nn

37、)()(lim 1 xsxf n n )(limxRn n , 0 ),()(lim 1 xfxsn n 即即 ).()(xfxf的泰勒級(jí)數(shù)收斂于的泰勒級(jí)數(shù)收斂于 定理定理 3 3 設(shè)設(shè))(xf在在)( 0 xU上有定義上有定義, ,0 M, ,對(duì)對(duì) ),( 00 RxRxx , ,恒有恒有 Mxf n )( )( ), 2 , 1 , 0( n, ,則則)(xf在在),( 00 RxRx 內(nèi)可展內(nèi)可展 開成點(diǎn)開成點(diǎn) 0 x的泰勒級(jí)數(shù)的泰勒級(jí)數(shù). . 證明證明 1 0 )1( )( )!1( )( )( n n n xx n f xR , )!1( 1 0 n xx M n ),( 00 Rx

38、Rxx ,),( )!1( 0 1 0 收斂收斂在在 n n n xx , 0 )!1( lim 1 0 n xx n n , 0)(lim xRn n 故故 ),( 00 RxRxx . 0的 的泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)可可展展成成點(diǎn)點(diǎn)x 二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù) 1.1.直接法直接法( (泰勒級(jí)數(shù)法泰勒級(jí)數(shù)法) ) 步驟步驟:; ! )( )1( 0 )( n xf a n n 求求 ,)(0lim)2( )( MxfR n n n 或或討論討論 ).(xf斂斂于于則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)收收 例例1.)(展開成冪級(jí)數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)將將 x exf 解解,)( )(xn

39、exf ), 2 , 1 , 0(. 1)0( )( nf n nx x n xxe ! 1 ! 2 1 1 2 , 0 M上上在在,MM xn exf )( )( M e nx x n xxe ! 1 ! 2 1 1 2 由于由于M的任意性的任意性,即得即得 ),( ! 1 ! 2 1 1 2 xx n xxe nx 例例2.sin)(的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開成展開成將將xxxf 解解 ), 2 sin()( )( n xxf n , 2 sin)0( )( n f n , 0)0( )2( n f ,)1()0( )12(nn f ), 2 , 1 , 0( n )( )( xf n 且且)

40、2 sin( n x1 ),( x )!12( )1( ! 5 1 ! 3 1 sin 12 53 n x xxxx n n ),( x 例例3.)()1()(的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開開成成將將xRxxf 解解,)1)(1()1()( )(nn xnxf ),1()1()0( )( nf n ), 2 , 1 , 0( n n x n n xx ! )1()1( ! 2 )1( 1 2 n n n a a 1 lim 1 n n , 1 , 1 R 若若設(shè)設(shè)內(nèi)內(nèi)在在,)1 , 1( n x n n xxs ! )1()1( 1)( 1 )!1( )1()1( )1()( n x n n xxs n x n n xxxsx )!1( )1