13第十三章 達(dá)朗貝爾原理(動(dòng)靜法)

1、 第九章第九章 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程 第十章第十章 動(dòng)量定理動(dòng)量定理 第十一章第十一章 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 第十二章第十二章 動(dòng)能定理動(dòng)能定理 第十三章第十三章 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理 第十四章第十四章 虛位移原理虛位移原理 3 本章介紹動(dòng)力學(xué)的一個(gè)重要原理達(dá)朗貝爾原達(dá)朗貝爾原 理理。應(yīng)用這一原理，就將動(dòng)力學(xué)問題從形式上轉(zhuǎn)化 為靜力學(xué)問題，從而根據(jù)關(guān)于平衡的理論來求解。 這種用靜力學(xué)解答動(dòng)力學(xué)問題的方法，也稱為動(dòng)靜動(dòng)靜 法法。 達(dá)朗貝爾-J.le R.dAlembert ,17171783。 達(dá)朗貝爾原理：1743年提出。 131 慣性力慣性力 質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)的

2、達(dá)朗貝爾原理 132 質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理 133 剛體慣性力系的簡化剛體慣性力系的簡化 134 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的軸承動(dòng)約束力繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的軸承動(dòng)約束力 第十三章第十三章 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理 5 FN amFI令： 13-1慣性力慣性力 質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理 N FFam 設(shè)質(zhì)點(diǎn)M，質(zhì)量為m，受主動(dòng)力 ， 約束反力 。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第二定律： F N F 可改寫成： 0amFF N 0 IN FFF則有： 假想FI是一個(gè)力，上式在形式上是一個(gè)平衡方程。 FI FI稱為質(zhì)點(diǎn)的慣性力，大小等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘稱為質(zhì)點(diǎn)的慣性力，大小等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加

3、速度的乘 積，方向與質(zhì)點(diǎn)加速度的方向相反。積，方向與質(zhì)點(diǎn)加速度的方向相反。 6 質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理：質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理： 如果在質(zhì)點(diǎn)上除了作用有真實(shí)的主動(dòng)力和約束反力外，再如果在質(zhì)點(diǎn)上除了作用有真實(shí)的主動(dòng)力和約束反力外，再 假想地加上慣性力，則這些力在形式上組成一平衡力系。假想地加上慣性力，則這些力在形式上組成一平衡力系。 0 IN FFF FN FI 7 注注 質(zhì)點(diǎn)慣性力不是作用在質(zhì)點(diǎn)上的真實(shí)力，它是質(zhì)點(diǎn)對(duì)施質(zhì)點(diǎn)慣性力不是作用在質(zhì)點(diǎn)上的真實(shí)力，它是質(zhì)點(diǎn)對(duì)施 力體反作用力的合力。力體反作用力的合力。 該方程對(duì)動(dòng)力學(xué)問題來說只是形式上的平衡，并沒有 改變動(dòng)力學(xué)問題的實(shí)質(zhì)。采用動(dòng)靜法解決動(dòng)力學(xué)問題

4、的最 大優(yōu)點(diǎn)，可以利用靜力學(xué)提供的解題方法，給動(dòng)力學(xué)問題 一種統(tǒng)一的解題格式。 8 列車在水平軌道上行駛，車廂內(nèi)懸掛一單擺， 當(dāng)車廂向右作勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，單擺左偏角度 ， 相對(duì)于車廂靜止。求車廂的加速度 。a 例例1 影片1401 9 選單擺的擺錘為研究對(duì)象 虛加慣性力 ) ( I maFamFI 0cossin , 0 I FmgX tgga 角隨著加速度 的變化而變化，當(dāng) 不變時(shí)， 角也 不變。只要測出 角，就能知道列車的加速度 。擺式加速擺式加速 計(jì)計(jì)的原理。 aa a 解：解： 由動(dòng)靜法, 有 解得 代入將maF I I F 10 對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有的主動(dòng)力、約束反力 與假

5、想的加在質(zhì)點(diǎn)系上各質(zhì)點(diǎn)的慣性力，在形式上組成一平衡 力系。這就是質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理?？捎梅匠瘫硎緸椋?0)()()( 0 N N IiOiOiO Iiii FMFMFM FFF 設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，對(duì)每一個(gè)質(zhì) 點(diǎn)，有 ) ,1,2,. ( 0niFFF IiNii 如將質(zhì)點(diǎn)系受力按內(nèi)力、外力劃分, 又因?yàn)?0)( , 0 )()(i iO i i FmF 0)()( 0 )( )( IiO e iO Ii e i FMFM FF 13-2 質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理 則： 例例2滑輪的半徑為r，物塊A、B的質(zhì)量分別為m1 、m2 ，滑輪 上作用一力偶

6、M，設(shè)繩子不可伸長，不計(jì)繩子和滑輪的 質(zhì)量，求物塊A的加速度和軸承O的約束反力。 A r B O 解： 取滑輪和物塊A、B為研究對(duì)象： a a m1g m2g FIA FIB M FOx FOy , 0 O M 0)()( 2211 rgmamramgmM rmm grmmM a )( )( 21 12 , 1a mFIA , 2a mFIB 慣性力 A r B M O a a m1g m2g FIA FIB FOx FOy , 0 , 0 Ox FX , 0 , 0 2211 amgmamgmFY Oy amgmamgmFOy 2211 ammgmm)()( 2121 在本題中不計(jì)滑輪的質(zhì)量

7、，如果要 考慮滑輪的質(zhì)量，則如何計(jì)算？ 加上滑輪的加上滑輪的慣性力慣性力和和重力重力。 13 13-3 13-3 剛體慣性力系的簡化剛體慣性力系的簡化 應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理求解質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題必須給各質(zhì)點(diǎn)虛 加上它的慣性力。對(duì)于運(yùn)動(dòng)的剛體每個(gè)質(zhì)點(diǎn)加上它的慣性力， 這些慣性力組成一慣性力系。因?yàn)閯傮w有無限個(gè)質(zhì)點(diǎn)，在每個(gè) 質(zhì)點(diǎn)上加慣性力是不可能的，為了應(yīng)用方便，按照靜力學(xué)中力 系的簡化方法將剛體的慣性力系加以簡化，這樣在解題時(shí)就可 以直接施加其簡化結(jié)果，使動(dòng)靜法切實(shí)可行。 常見的剛體運(yùn)動(dòng)有平動(dòng)平動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)。 14 這個(gè)慣性力系簡化為通過質(zhì)心C的合力： 剛體內(nèi)各點(diǎn)的加速度都與

8、質(zhì)心C的加速度 aC相等，任一 質(zhì)點(diǎn)的慣性力 ，組成一同向的平行力系。 CiIi amF cIR amF 一、剛體作平動(dòng)一、剛體作平動(dòng) )( CiCiIiIR amamFF FIn FI1 FI2 aC FIR aC 15 結(jié)論結(jié)論：平動(dòng)剛體的慣性力系可以：平動(dòng)剛體的慣性力系可以簡化為通過質(zhì)心的合力簡化為通過質(zhì)心的合力， 其大小等于剛體的質(zhì)量與加速度的乘積，合力的方其大小等于剛體的質(zhì)量與加速度的乘積，合力的方 向與加速度方向相反。向與加速度方向相反。 FIn FI1 FI2 aC FIR aC i r i m 二、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)二、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)的慣性力為：質(zhì)點(diǎn)的慣性力為：O x z y

9、 j i k i x i y i z Ii F n Ii F i 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，角速度定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，角速度 ，角加速度，角加速度 。 取簡化中心：轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)取簡化中心：轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)O O。 坐標(biāo)系坐標(biāo)系oxyzoxyz如圖示，如圖示，O O 點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸上的一點(diǎn)。點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸上的一點(diǎn)。 取質(zhì)點(diǎn)取質(zhì)點(diǎn) ，其坐標(biāo)分別為：，其坐標(biāo)分別為： i m iii zyx , , 切向慣性力：切向慣性力： 法向慣性力：法向慣性力： iiiiIi rmamF 2 ii n ii n Ii rmamF 慣性力系向慣性力系向O點(diǎn)簡化的主矢為：點(diǎn)簡化的主矢為： CiiIR amamF 慣性力系的主矢在慣性力系的主矢在o o點(diǎn)，

10、垂直點(diǎn)，垂直z z軸。軸。 慣性力系對(duì)慣性力系對(duì) x 軸的矩為：軸的矩為： iiiiiiii n IixIixIixIx zrmzrm FMFMFMM sincos )()()( 2 因?yàn)?sin , cos i i i i i i r y r x 故 iiiiiiIx zymzxmM 2 記 iiiyziiixz zymJzxmJ , （13-9） 稱其為對(duì)于稱其為對(duì)于Z軸的軸的慣性積慣性積，取決于剛體質(zhì)量對(duì)于坐標(biāo)，取決于剛體質(zhì)量對(duì)于坐標(biāo) 軸的分布。軸的分布。 i r i m O x z y j i k i x i y i z Ii F n Ii F i Ii F n Ii F i x y

11、o i r i x i y i 慣性力系對(duì)慣性力系對(duì) x 軸的矩為：軸的矩為： 2 yzxzIx JJM （13-10） 同理可得慣性力系對(duì)同理可得慣性力系對(duì) y 軸的矩為：軸的矩為： 2 xzyzIy JJM （13-11） 慣性力系對(duì)慣性力系對(duì) z 軸的矩為：軸的矩為： )()()( n IizIizIizIz FMFMFMM 0)( n Iiz FM ziii IizIizIz Jrrm FMFMM )( )()( （13-12） i r i m O x z y j i k i x i y i z Ii F n Ii F i 綜上，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，慣性力系向轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn) O 簡 化的主矩為

12、： kMjMiMM IzIyIxIO （13-13） 如果剛體有質(zhì)量對(duì)稱平面且該平面與轉(zhuǎn)軸如果剛體有質(zhì)量對(duì)稱平面且該平面與轉(zhuǎn)軸 z 垂直，簡垂直，簡 化中心化中心 o 取為此平面與轉(zhuǎn)軸取為此平面與轉(zhuǎn)軸 z 的交點(diǎn)，則的交點(diǎn)，則 0 , 0 iiiyziiixz zymJzxmJ 則慣性力系簡化的主矩為：則慣性力系簡化的主矩為： zIzIO JMM （13-13-1） 工程中繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體常常有質(zhì)量對(duì)稱平面。工程中繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體常常有質(zhì)量對(duì)稱平面。 于是得結(jié)論：當(dāng)剛體有質(zhì)量對(duì)稱平面且繞垂直于此對(duì) 稱平面的軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，慣性力系向轉(zhuǎn)軸與對(duì)稱平 面交點(diǎn)簡化時(shí)，得位于此平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶

13、。這個(gè)力等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與 質(zhì)心加速度的方向相反，作用線通過轉(zhuǎn)軸；這個(gè)力偶 的矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積， 轉(zhuǎn)向與角加速度相反， CIR amF zIO JM 21 主矢： )( IiOIO FMM 設(shè)剛體有質(zhì)量對(duì)稱平面對(duì)稱平面，且轉(zhuǎn)軸垂直于 該對(duì)稱平面，如皮帶輪、齒輪、砂輪等。 三、三、有質(zhì)量對(duì)稱平面的對(duì)稱平面的剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 此慣性力系為空間力系，利用對(duì)稱性 可以簡化為在對(duì)稱平面內(nèi)的平面力系，再 向轉(zhuǎn)軸z與對(duì)稱平面的交點(diǎn)O點(diǎn)簡化： iiIiIR amFF 主矩： Ii F iiC ii C amam m rm r對(duì)時(shí)間取二階導(dǎo)數(shù)，得由 CI

14、R amF FIi IR F IO M )( n CC aam FIi Ii F n Ii F IR F IO M 點(diǎn)的主矩為：求得慣性力系對(duì) ，和分解為將 O n IiIiIi FFF )( IiOIO FMM iii rrm 2 iir m zIO JM 向O點(diǎn)簡化結(jié)果為： CIR amF zIO JM 23 向質(zhì)心向質(zhì)心C點(diǎn)簡化：點(diǎn)簡化： CIR amF CIC JM IR F IC M C a 24 假設(shè)剛體具有對(duì)稱平面，并且平行于該平面作平面運(yùn)動(dòng)。 此時(shí)，剛體的慣性力系可先簡化為對(duì)稱平面內(nèi)的平面力系。 剛體平面運(yùn)動(dòng)可分解為隨基點(diǎn)（質(zhì) 心C）的平動(dòng)和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。 CIR aMF CI

15、C JM IR F IC M 四、剛體作平面運(yùn)動(dòng)四、剛體作平面運(yùn)動(dòng) 慣性力系向質(zhì)心慣性力系向質(zhì)心C點(diǎn)簡化：得點(diǎn)簡化：得 25 A端鉸支的均質(zhì)桿長l ,質(zhì)量m, 桿由與水平面成0角位置 靜止落下。求開始落下時(shí)桿AB的角加速度及A點(diǎn)支座反力。 選桿AB為研究對(duì)象 向A點(diǎn)虛加慣性力系： ; 2 ml FIR 0 n n maF IR 解解： 根據(jù)動(dòng)靜法，有 例例3 3 2 ml JM AIA F F FIR FIR I 26 (1) 0cos , 0 0 IR FmgFF A ; sin :)2( 0 mgF n A 得由 (2) 0sin , 0 0 nn n IRA FmgFF (3) 0 2

16、cos , 0)( 0 IAA M l mgFM ; cos 2 3 :)3( 0 l g 得由 cos 4 :(1) 0 mg FA得代入 F F FIR FIR I 27 cos 2 3 3 1 cos 2 2 l g ml l mg 0 , cos 2 3g , , 0 00 此時(shí)時(shí) l t 用用動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理+質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理再求解此題：再求解此題： 解解：選AB為研究對(duì)象 2 cos l mgJ A 由得： 由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理： n An A Fmgma gl amgFma 0 00 sin0 cos 4 3 2 cos 00 cos 4 , sin mg FmgF A n

17、 A F F 0 cos 4 3 2 gl a 28 牽引車的主動(dòng)輪質(zhì)量為m，半徑為R，沿水平直線軌道滾 動(dòng)，設(shè)車輪所受的主動(dòng)力可簡化為作用于質(zhì)心的兩個(gè)力 及驅(qū)動(dòng)力偶矩M，車輪對(duì)于通過質(zhì)心C并垂直于輪盤的軸的回 轉(zhuǎn)半徑為，輪與軌道間摩擦系數(shù)為f , 試求在車輪滾動(dòng)而不滑 動(dòng)的條件下，驅(qū)動(dòng)力偶矩M 之最大值。 TS、 取輪為研究對(duì)象 虛加慣性力系： 2 mJM mRmaF CIC CIR 解：解： 由動(dòng)靜法，得： 例例4 O FIR IC mg 29 (3) 0 , 0)( (2) 0 , 0 (1) 0 , 0 IC C IR MFRMFM SmgNY FTFX 由(1)得TFmRFIR 得代

18、入所以(3) mR TF (4) )()( 222 2 R TR R FTF R FRM mR TF mFRMFRM IC 由(2)得 N= mg+S，要保證車輪不滑動(dòng)， 必須 Ff N =f (mg+S) (5) R TR R SmgfM 22 )( 可見，可見，f 越越 大越不易滑動(dòng)。大越不易滑動(dòng)。 Mmax的值的值 為上式右端的為上式右端的 值。值。 把(5)代入(4)得： O FIR IC mg 13-4 13-4 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的軸承動(dòng)約束力繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的軸承動(dòng)約束力 機(jī)械在轉(zhuǎn)動(dòng)起來之后，軸承的約束力可分為靜約束力和動(dòng)約束機(jī)械在轉(zhuǎn)動(dòng)起來之后，軸承的約束力可分為靜約束力和動(dòng)約束 力（

19、附加動(dòng)反力）。力（附加動(dòng)反力）。 動(dòng)約束力是機(jī)械產(chǎn)生破壞、振動(dòng)與噪聲的主要因素。動(dòng)約束力是機(jī)械產(chǎn)生破壞、振動(dòng)與噪聲的主要因素。 本節(jié)本節(jié)研究內(nèi)容研究內(nèi)容： 1 1 求出繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的軸承全約束力（包括靜約束力和求出繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的軸承全約束力（包括靜約束力和 附加動(dòng)約束力）；附加動(dòng)約束力）； 2 2 推出消除附加動(dòng)約束力的條件。推出消除附加動(dòng)約束力的條件。 B A 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，角速度定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，角速度 ，角加速度，角加速度 。 取簡化中心：轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)取簡化中心：轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)O O。 所有主動(dòng)力向所有主動(dòng)力向O點(diǎn)簡化的結(jié)果：點(diǎn)簡化的結(jié)果： 主矢：主矢： R F主矩：主矩：O M 慣性力系向慣

20、性力系向O點(diǎn)簡化的結(jié)果：點(diǎn)簡化的結(jié)果： 主矢：主矢： IR F 主矩：主矩： IO M Bx F By F Bz F Ax F Ay F O R F O M IO M IR F x z y A A、B B處的處的5 5個(gè)約束反力如圖所示：個(gè)約束反力如圖所示： , , , , BzByBxAyAx FFFFF 慣性力沒有慣性力沒有Z方向的分量（方向的分量（Z方向無加方向無加 速度分量）。速度分量）。 坐標(biāo)系坐標(biāo)系oxyz如圖示，如圖示，o點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸上的一點(diǎn)。點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸上的一點(diǎn)。 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法，動(dòng)靜法，列空間任意力系的列空間任意力系的平衡方程平衡方程如下：如下： 0 , 0 0 ,

21、0 0 , 0 0 , 0 0 , 0 IyyBxAxy IxxAyByx RzBzz IyRyByAyy IxRxBxAxx MMOBFOAFM MMOAFOBFM FFF FFFFF FFFFF 由上述由上述5個(gè)方程解得軸承全反力為：個(gè)方程解得軸承全反力為： 15)-(13 ) () ( 1 ) () ( 1 ) () ( 1 ) () ( 1 RzBz IyIxRyxBy IxIyRxyBx IyIxRyxAy IxIyRxyAx FF OAFMOAFM AB F OAFMOAFM AB F OBFMOBFM AB F OBFMOBFM AB F 止推軸承止推軸承B B沿沿Z Z軸的約束

22、力軸的約束力 與慣性力無關(guān)，與慣性力無關(guān)， Bz F 與與Z Z軸垂直的軸承約束力軸垂直的軸承約束力 顯顯 然與慣性力系的主矢和主矩有關(guān)。然與慣性力系的主矢和主矩有關(guān)。 , , , ByBxAyAx FFFF 由于由于 和和 引起的軸承給軸的約束力稱為附加動(dòng)約引起的軸承給軸的約束力稱為附加動(dòng)約 束力，要使附加動(dòng)約束力等于零，必須有：束力，要使附加動(dòng)約束力等于零，必須有： IR F IO M 0 , 0 IyIxIyIx MMFF 即要使軸承給軸的即要使軸承給軸的附加動(dòng)約束力等于零的條件附加動(dòng)約束力等于零的條件是：是： 慣性力系的主矢等于零，慣性力系對(duì)于慣性力系的主矢等于零，慣性力系對(duì)于x x軸

23、和軸和y y軸的軸的 主矩等于零。主矩等于零。 由式（由式（13135 5）和式（）和式（13131010）、（）、（131311 11 ） ，應(yīng)有：，應(yīng)有： 0 , 0 0 , 0 22 xzyzIyyzxzIx CyIyCxIx JJMJJM maFmaF 由此可見，要使慣性力系的主矢等于零，必須由此可見，要使慣性力系的主矢等于零，必須 ， 即轉(zhuǎn)軸必通過軸心。即轉(zhuǎn)軸必通過軸心。 0 c a 而要使而要使 ，必須有，必須有 ，即剛體，即剛體 對(duì)于轉(zhuǎn)軸對(duì)于轉(zhuǎn)軸Z的慣性積必須等于零。的慣性積必須等于零。 0 , 0 IyIx MM 0 yzxz JJ 結(jié)論：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，避免出現(xiàn)軸承附加動(dòng)反

24、力的結(jié)論：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，避免出現(xiàn)軸承附加動(dòng)反力的 條件是：轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心，剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的慣性積等于零。條件是：轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心，剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的慣性積等于零。 慣性主軸：如果剛體對(duì)于通過某點(diǎn)的Z軸的慣性積 等于零 ，則稱此軸為過該點(diǎn)的慣性主軸。 yzxz JJ 和 中心慣性主軸：通過質(zhì)心的慣性主軸，稱之。 上述結(jié)論可敘述為：避免出現(xiàn)軸承附加動(dòng)反力的條件是：上述結(jié)論可敘述為：避免出現(xiàn)軸承附加動(dòng)反力的條件是： 剛體的轉(zhuǎn)軸應(yīng)是剛體的中心慣性主軸。剛體的轉(zhuǎn)軸應(yīng)是剛體的中心慣性主軸。 靜平衡：剛體的轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心，且剛體除重力外沒有受到 其它主動(dòng)力作用，則剛體可以在任意位置靜止不動(dòng)，這種 現(xiàn)象稱為靜平衡。 動(dòng)平衡

25、：當(dāng)剛體的轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心且為慣性主軸時(shí)，剛體轉(zhuǎn) 動(dòng)時(shí)不出現(xiàn)軸承附加動(dòng)約束力，這種現(xiàn)象稱為動(dòng)平衡。 。 能夠靜平衡的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體不一定能夠?qū)崿F(xiàn)動(dòng)平衡，能夠靜平衡的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體不一定能夠?qū)崿F(xiàn)動(dòng)平衡， 但動(dòng)平衡的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體肯定能夠?qū)崿F(xiàn)靜平衡。但動(dòng)平衡的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體肯定能夠?qū)崿F(xiàn)靜平衡。 例例13138 (P341)8 (P341) 39 根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，以靜力學(xué)平衡方程的形式來建立動(dòng)力 學(xué)方程的方法，稱為動(dòng)靜法。應(yīng)用動(dòng)靜法既可求運(yùn)動(dòng)，例如 加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知運(yùn)動(dòng)，求 質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)約束反力。 應(yīng)用動(dòng)靜法可以利用靜力學(xué)建立平衡方程的一切形式上 的便利。例如，矩心可以任意選取

26、，二矩式，三矩式等等。 因此當(dāng)問題中有多個(gè)約束反力時(shí)，應(yīng)用動(dòng)靜法求解它們時(shí)就 方便得多。 達(dá)朗貝爾原理的應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理的應(yīng)用 40 (1)選取研究對(duì)象選取研究對(duì)象原則與靜力學(xué)相同。 (2)受力分析受力分析畫出全部主動(dòng)力和外約束反力。 應(yīng)用動(dòng)靜法求動(dòng)力學(xué)問題的步驟及要點(diǎn)：應(yīng)用動(dòng)靜法求動(dòng)力學(xué)問題的步驟及要點(diǎn)： (4)虛加慣性力虛加慣性力在受力圖上畫上慣性力和慣性力偶，一定 要在正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析的基礎(chǔ)上。熟記剛體慣性力系的簡化 結(jié)果。 (3)運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析主要是剛體質(zhì)心加速度，剛體角加速度， 標(biāo)出方向。 41 (5)列動(dòng)靜方程列動(dòng)靜方程選取適當(dāng)?shù)木匦暮屯队拜S。 (6)建立補(bǔ)充方程建立補(bǔ)充方程運(yùn)動(dòng)

27、學(xué)補(bǔ)充方程（運(yùn)動(dòng)量之間的關(guān) 系）。 (7)求解求知量。求解求知量。 注注 的方向及轉(zhuǎn)向已在受力圖中標(biāo)出， 建立方程時(shí)，只需按 代入即可。 IOIR MF, OIOCIR JMmaF , 注意：后面的例題中，慣性力的下標(biāo)I用g代替。 例例13-6 (P337) 絞車和梁合重P，絞盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，以加速度a 提升重物。重物的質(zhì)量為m，絞盤的半徑為r，求 由于加速提升重物而對(duì)支座A、B的附加壓力。 解：取梁、絞車和重物為研究對(duì)象，施加慣性力， , maFg r a JJM g 列平衡方程： : 0)( FM B 0)( 32221 ggA MPlmgllFllF : 0 Y 0 gBA FPmgF

28、F )( 1 232 21 r J mlaPlmgl ll FA )()( 1 13211 21 r J mlalllPmgl ll FB 解得： 附加反力： )( 2 21 r J ml ll a FA )( 1 21 r J ml ll a FB 附加反力決定于慣性力系。 例例13-7 (P338) 均質(zhì)圓盤質(zhì)量為mA，半徑為r，細(xì)長桿長l=2r，質(zhì)量為m ，A點(diǎn)為光滑鉸鏈聯(lián)接，作用力F，輪子作純滾動(dòng)。問 ：(1)F力多大能使桿的B端剛剛離開地面？（2）為保證 純滾動(dòng)，輪與地面間的靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)應(yīng)為多大？ a 解：運(yùn)動(dòng)分析、受力分析和施加慣性力。 , amF AgA , maFgCarm

29、r a rmJM AAAg 2 1 2 1 2 AB桿 , 0)(FM A 030cos30sinmgrmar ga 3 整體 : 0 Y , 0mggmF AN , )( gmmF AN :0)( FM A 030cos30sinmgrrFrFM gCSg gmF AS 2 3 解得： : 0 X , 0 gCSgA FFFF , g3) 2 3 ( mm FFFF A gCSgA NSS FfF 要求只滾不滑： gmmfgm ASA )( 2 3 )(2 3 mm m f A A S 48 質(zhì)量為m1和m2的兩重物，分別掛在兩條繩子上，繩又分別 繞在半徑為r1和r2并裝在同一軸的兩鼓輪上，

30、已知兩鼓輪對(duì)于轉(zhuǎn) 軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，系統(tǒng)在重力作用下發(fā)生運(yùn)動(dòng)，求鼓輪的角 加速度。 取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象 解：解： 方法1 用達(dá)朗貝爾原理求解 例例5 49 列補(bǔ)充方程： 虛加慣性力和慣性力偶： JJMamFamF OgOgRgR , , 222111 由動(dòng)靜法： 0 , 0)( 22112211 gOgRgR O MrFrFgrmgrm FM 2211 , rara g Jrmrm rmrm 2 22 2 11 2211 g FgR1 FgR2 0 2221112211 Jramramgrmgrm 代入上式得： 50 方法2 用動(dòng)量矩定理求解 )( 2 22 2 11 222111 Jrm

31、rm JrvmrvmLO g Jrmrm rmrm 2 22 2 11 2211 根據(jù)動(dòng)量矩定理： 2211 2 22 2 11 )( grmgrmJrmrm dt d 取系統(tǒng)為研究對(duì)象 2211 )( grmgrmM e O 51 g Jrmrm rmrm 2 22 2 11 2211 )( 2 2 1 2 1 2 1 2 22 2 11 2 22 22 2 11 Jrmrm JvmvmT gdrmrmJrmrmdWdT)()( 2 2211 2 22 2 11 2 得由 取系統(tǒng)為研究對(duì)象，任一瞬時(shí)系統(tǒng)的 )gdr-mr(m dgrmdgrm gdsmgdsmW 2211 2211 2211

32、 元功 兩邊除以dt，并求導(dǎo)數(shù)，得 方法3 用動(dòng)能定理求解 52 在圖示機(jī)構(gòu)中，沿斜面向上作純滾動(dòng)的圓柱體重為P，半 徑均為R，質(zhì)量均勻分布；鼓輪O重為Q，半徑為R，質(zhì)量均勻 分布；繩子不可伸長，其質(zhì)量不計(jì)，斜面傾角，如在鼓輪上作 用一常力偶矩M， 試求：(1)鼓輪的角加速度？ (2)繩子的拉 力？ (3)軸承O處的支反力？ (4)圓柱體與斜面間的摩擦力（不 計(jì)滾動(dòng)摩擦）？ 例例6 53 解：解： 取輪O為研究對(duì)象，虛加慣性力偶 OOOgO R g Q JM 2 2 1 列出動(dòng)靜方程： (3) 0 sin0 (2) 0cos0 (1) 0 , 0)( TQ , YY T , XX MMTRFM

33、 O O gOO AgAAgR R g P Ma g P F 2 2 1 , 取輪A為研究對(duì)象，虛加慣性力 和慣性力偶MgA如圖示。 gR F 方法方法1 用用達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理求解求解 Mg FgR MgO Q 54 列出動(dòng)靜方程： (5) 0sin , 0 (4) 0sin , 0)( PFFTX MRTRFRPFM gR gAgRC 運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系： ， OAOAA RRa 將MgO 、FgR、MgA 及運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系代入到(1)和(4)式并聯(lián)立求解得： 。 )3( )sin3( , )3( )sin(2 2 RPQ QRMP T g RPQ RPM O Mg FgR 55 代入(2)、(

34、3)、(5)式，得： 。 )3( )sin( , sin )3( )sin3( , cos )3( )sin3( RPQ PRMP F Q RPQ QRMP Y RPQ QRMP X O O 56 (1) 用動(dòng)能定理求鼓輪角加速度。 取系統(tǒng)為研究對(duì)象 )sin( sin 12 PRM PRMW )sin()3( 4 , 2 2 1212 PRMCRPQ g WTT O 得由 )( AO RRv 2 2 2 22 2 2 2 1 )3( 4 22 1 2 1 22 1 )( RPQ g R g P v g P R g Q T CT O AO 常量 g RPQ PRM O 2 )3( )sin(2

35、 兩邊對(duì)t求導(dǎo)數(shù)： )sin(2)3( 4 1 2 OOO PRMRPQ g 方法方法2 用動(dòng)力學(xué)普遍定理求解用動(dòng)力學(xué)普遍定理求解 57 (2) 用動(dòng)量矩定理求繩子拉力 （定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程） 取輪O為研究對(duì)象，由動(dòng)量矩定理得 TRMR g Q O 2 2 RPQ QRMP T )3( )sin3( (3) 用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解軸承O處支反力 取輪O為研究對(duì)象，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理： sin0 , cos0 , TQYYMa TXXMa OCy OCx Q RPQ QRMP Y RPQ QRMP X OO sin )3( )sin3( , cos )3( )sin3( 58 (4) 用剛體平面運(yùn)動(dòng)微分

36、方程求摩擦力 取圓柱體A為研究對(duì)象， 根據(jù)剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 )( OAAA FRJ RPQ PRMP g RPQ PRM R g P RR J F AA )3( )sin( )3( )sin(2 2 1 2 2 方法方法3：用動(dòng)能定理求鼓輪的角加速度：用動(dòng)能定理求鼓輪的角加速度 用達(dá)朗伯原理求約束反力用達(dá)朗伯原理求約束反力（繩子拉力 、軸承O處反 力 和 及摩擦力 ）。 T O X O YF 59 均質(zhì)圓柱體重為P，半徑為R，無滑動(dòng)地沿傾斜平板由靜 止自O(shè)點(diǎn)開始滾動(dòng)。平板對(duì)水平線的傾角為，試求OA=S時(shí)平 板在O點(diǎn)的約束反力。板的重力略去不計(jì)。 解解：(1) 用動(dòng)能定理求速度，加速度 圓柱體作平面運(yùn)動(dòng)。在初始位置時(shí)， 處于靜止?fàn)顟B(tài)，故T1=0；在末位置時(shí)， 設(shè)角速度為，則vC = R , 動(dòng)能為： 例例7 P 60 2 22 2 2 4 3 22 1