矩陣的合同,等價與相似

1、矩陣的合同，等價與相似一、矩陣的合同，等價與相似的定義、性質(zhì)及判定條件（一）矩陣的等價：1、定義：若矩陣a可以經(jīng)過有限次初等變換化為b，則稱矩陣a與b等價，記為。2、性質(zhì)：（1）反身性：即.（2）對稱性：若，則（3）傳遞性：即若，則（4） 若為矩陣，且，則一定存在可逆矩陣（階）和（ 階），使得.其中為階單位矩陣.（5） 設(shè)是兩矩陣，則當(dāng)且僅當(dāng)3、判定：矩陣等價的充要條件：兩個矩陣等價的充要條件為：存在可逆的階矩陣與可逆的 階矩陣，使由矩陣的等價關(guān)系，可以得到矩陣與等價必須具備的兩個條件：（1）矩陣與必為同型矩陣（不要求是方陣）.（2）存在 階可逆矩陣和階可逆矩陣, 使得.（二）矩陣的合同：1、

2、定義：兩個n階方陣a,b，若存在可逆矩陣p，使得成立，則稱a,b合同，記作該過程成為合同變換。2、性質(zhì)：（1）反身性：任意矩陣都與自身合同.（2）對稱性：如果與合同，那么也與合同.（3）傳遞性：如果與合同，又與合同，那么與合同. 因此矩陣的合同關(guān)系也是等價關(guān)系，而且由定義可以直接推得：合同矩陣的秩等.（4） 數(shù)域f上兩個二次型等價的充要條件是它們的矩陣合同.（5） 復(fù)數(shù)域上秩為的二次型，可以用適當(dāng)?shù)臐M秩線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形： 3、判定定義2 設(shè)均為數(shù)域上的階方陣，若存在數(shù)域上的階可逆矩陣，使得,則稱矩陣為合同矩陣（若數(shù)域上階可逆矩陣為正交矩陣），由矩陣的合同關(guān)系，不難得出矩陣與合同必須同時具備的

3、兩個條件： (1) 矩陣與不僅為同型矩陣，而且是方陣.(2) 存在數(shù)域上的階矩陣,（三）矩陣的相似1、定義：n階方陣a,b，若存在一個可逆矩陣p使得成立，則稱矩陣a,b相似，記為。2、性質(zhì)：性質(zhì)3 (1)反身性 ; (2)對稱性 由即得;（3）傳遞性 和即得 總之，合同是一種矩陣之間的等價關(guān)系，而且經(jīng)過非退化的線性替換，新二次型的矩陣與原二次型矩陣是合同的.(4) （其中是任意常數(shù)）；(5）；(6）若與相似，則與相似（為正整數(shù)）；(7) 相似矩陣有相同的秩，而且，如果為滿秩矩陣，那么. 即滿秩矩陣如果相似，那么它們的逆矩陣也相似. (8）相似的矩陣有相同的行列式； 因?yàn)槿绻瑒t有： (9）相似

4、的矩陣或者都可逆，或者都不可逆；并且當(dāng)它們可逆時，它們的逆矩陣相似；設(shè)，若可逆，則從而可逆.且與相似.若不可逆，則不可逆，即也不可逆.下面這個性質(zhì)是一個重要的結(jié)論，因此我們把它寫成以下定理 定理4 相似矩陣的特征值相同.推論3 相似矩陣有相同的跡.3、判定：設(shè)均為數(shù)域上階方陣，若存在數(shù)域上階可逆矩陣使得,則稱矩陣與為相似矩陣（若級可逆矩陣為正交陣，則稱與為正交相似矩陣）由矩陣的相似關(guān)系，不難得到矩陣與相似，必須同時具備兩個條件(1) 矩陣與不僅為同型矩陣，而且是方陣(2) 在數(shù)域上階可逆矩陣，使得二、矩陣的等價、合同和相似之間的聯(lián)系 （一）由以上三種矩陣間的關(guān)系的定義，可以知道每一種矩陣關(guān)系存

5、在所必須具備的條件，但是這三種關(guān)系彼此間存在著密切的聯(lián)系1、相似矩陣必為等價矩陣，等價矩陣未必為相似矩陣證明： 設(shè)階方陣相似，由定義3知存在階可逆矩陣，使得，此時若記, ,則有,因此由定義1得到階方陣等價 反過來，對于矩陣,等價，但是與并不相似，即等價矩陣未必相似2、 對于階方陣，若存在階可逆矩陣 使,(即與等價)，且 (為階單位矩陣)，則與相似證明： 設(shè)對于階方陣與,若存在階可逆矩陣,使,即與等價又知,若記 ,那么,也即,則矩陣也相似3、 合同矩陣必為等價矩陣，等價矩陣未必為合同矩陣證明： 設(shè)階方陣合同，由定義2有，存在階可逆矩陣，使得， 若記,則有因此由定義1得到階方陣等價反過來對于矩陣,

6、等價，但是與并不合同，即等價矩陣未必合同4、 正交相似矩陣必為合同矩陣，正交合同矩陣必為相似矩陣證明：若存在一個正交矩陣,即使得即，則有，即與合同. 同理，若存在一個正交矩陣，即使得即與合同，則有 由此可得1.相似陣、合同陣必為等價陣，但過來必成立2.相似陣為正交相似，合同陣為正交合同時，相似與合同一致.（二）但相似矩陣與合同矩陣有著一定的內(nèi)在聯(lián)系，如果兩者都具有反身性、對稱性和傳遞性，即兩者都是等價關(guān)系另外，在一定條件下，兩者是等價的若矩陣與正交相似，則它們既是相似也是合同的對于相似與合同矩陣之等價條件有以下聯(lián)系1、 如果與都是階實(shí)對稱矩陣，且有相同的特征根則與既相似又合同證明：設(shè)與的特征根

7、均為因?yàn)榕c階實(shí)對稱矩陣，則一定存在一個階正交矩陣 q使得同理，一定能找到一個正交矩陣使得從而有 將上式兩邊左乘和右乘,得由于,有,所以，是正交矩陣，由定理8知與相似2、 若階矩陣與中只要有一個正交矩陣，則與相似且合同證明：不妨設(shè)是正交矩陣，則可逆，取,有，則與相似，又知是正交陣，所以與既相似又合同3、 若與相似且又合同，與相似也合同，則有與 既相似又合同證明: 因?yàn)榕c,與相似，故存在可逆矩陣,，使,令,則且,故與相似又因?yàn)榕c合同，與合同,故存在可逆矩陣,令而故與合同三、矩陣的等價、合同和相似之間的區(qū)別1、矩陣等價：a.同型矩陣而言 b.一般與初等變換有關(guān) c.秩是矩陣等價的不變量，其次，兩同型

8、矩陣相似的本質(zhì)是秩相等2、矩陣相似：a.針對方陣而言 b.秩相等是必要條件 c.本質(zhì)是二者有相等的不變因子3、矩陣合同：a.針對方陣而言，一般是對稱矩陣 b.秩相等是必需條件 c.本質(zhì)是秩相等且正慣性指數(shù)相等，即標(biāo)準(zhǔn)型相同 由以上知，秩是矩陣等價的不變量；不變因子是矩陣相似的不變量；特征值是可對角化矩陣相似的不變量，正負(fù)慣性指數(shù)是對稱矩陣合同的不變量，等價關(guān)系最弱、合同與相似是特殊的等價關(guān)系.由相似和合同一定可以推出等價，而反之不成立.相似與合同不可互推，需要一定的條件.而且等價是經(jīng)過有限次初等變換變得；相似不一定會都與對角陣相似，相似矩陣可看作是同一線性變換在不同基下的矩陣；合同可以通過二次型的非退化的線性替換來理解.結(jié)束語：矩陣中的這三種關(guān)系，在高等代數(shù)中是至關(guān)重要的，他們既包含著聯(lián)系，又