淺談積分不等式的證明

1、淺談積分不等式的證明摘 要積分不等式的證明方法靈活多樣，技巧性和綜合性較強(qiáng)。每種方法有一定的特色，并且有一定的規(guī)律可循。本文綜述了積分不等式的若干方法。通過(guò)對(duì)例題的分析，總結(jié)了求積分不等式的常用方法。這篇文章主要有兩部分組成，其一，利用定積分的性質(zhì)，微分中值定理，積分中值定理，概率論知識(shí)，施瓦茲不等式，二重積分等內(nèi)容，研究了積分不等式的證法。其二，研究了gronwall積分不等式不同的證明方法并加以應(yīng)用。更重要的是，對(duì)某些積分不等式進(jìn)行推廣。關(guān)鍵詞：定積分,概率論，積分不等式，泰勒公式abstract the proof of integral inequality is flexible，s

2、killful and complex . every method has its feature. however, it also has law to obey. the article explains some methods. by analysis course of some examples, i sum up some methods of proving integral inequality.the article mainly has two aspects. firstly, the article explores ten methods of proving

3、integral inequality with the nature of definite integral，mean value theorem of differential, mean value theorem of integral，schwarz inequality, taylor formula, probability knowledge and double integral and so on. secondly, the article has studied the proof of gronwall integral inequality and its app

4、lication. what is more, some integral inequalities have been generalized by the article. keywords:definite integral, probability, integral inequality ,taylor formula.目錄引言.1第一章 積分不等式的證明方法.21.1利用定積分性質(zhì)證明積分不等式.21.2利用中值定理證明積分不等式.31.3利用施瓦茲不等式證明積分不等式.41.4利用二重積分證明積分不等式.51.5利用反證法證明積分不等式.61.6利用線性變換證明積分不等式.71.

5、7利用泰勒公式證明積分不等式.71.8作輔助函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性證明積分不等式.81.9利用概率論方法證明積分不等式.81.10利用gurland不等式證明積分不等式.10第二章 一些特殊積分不等式的證明，推廣，及應(yīng)用.122.1gronwall積分不等式的證明及其應(yīng)用.122.2對(duì)某個(gè)積分不等式的推廣.152.3數(shù)值積分不等式.162.4 steffensen不等式.17結(jié)束語(yǔ).19參考文獻(xiàn).20謝辭.21引 言積分不等式的證明方法靈活多樣，技巧性和綜合性較強(qiáng)。每種方法有一定的特色，并且有一定的規(guī)律可循。本文綜述了積分不等式的若干方法。通過(guò)對(duì)例題的分析，總結(jié)了求積分不等式的常用方法。根據(jù)不同積

6、分不等式特征，采取不同的方法 .此法不論對(duì)初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)都有一定的價(jià)值，它使數(shù)學(xué)的不同分支之間架起了橋梁，對(duì)于我們的創(chuàng)造思維有很大的幫助作用。第一章：積分不等式的證明1.1利用定積分的性質(zhì)證明積分不等式例1：已知在上連續(xù)，對(duì)任意的x,y都有求證：證明： 總結(jié)：此題主要利用定積分的絕對(duì)值不等式性質(zhì)進(jìn)行分析處理例2：試證分析：此題主要可用定積分的性質(zhì)處理因?yàn)槎ǚe分的保不等號(hào)性；若函數(shù)和在區(qū)間上可積，且對(duì)，有，則由此只需證證明：由定積分的保不等號(hào)性，只需證當(dāng)時(shí)，因，所以，即，且，是增函數(shù)，所以即，因而時(shí)，結(jié)論成立。1.2利用中值定理來(lái)證明積分不等式例1：設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，而，求證：證明：由拉格

7、朗日中值定理有：。，于是，而故，即。例2；設(shè)在有連續(xù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)，且，設(shè)，試證：證明：對(duì)在上使用拉格郎日定理，有所以對(duì)上式積分再對(duì)在上施以拉格郎日定理，有所以對(duì)上式積分由得證?？偨Y(jié)：當(dāng)已知在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)。時(shí)，使用拉格郎日定理。，再根據(jù)題意進(jìn)行不等式縮放。有時(shí)也使用積分中值定理，例1：設(shè)在上連續(xù)，試證：證明：由積分中值定理有又故即證。利用施瓦茲不等式證明積分不等式施瓦茲不等式：若函數(shù)，在上可積，則例1：證明證明：取，由施瓦茲不等式有：=即。例2：已知函數(shù)，在上連續(xù)，=1,k為任意實(shí)數(shù)。求證由施瓦茲不等式，有同理由得。1.4利用二重積分證明積分不等式例1設(shè)函數(shù)為上的單調(diào)減少且大于0的連續(xù)函數(shù)，求證：

8、證明：令 =同理i=兩邊相加整理得2i=，命題得證?？偨Y(jié)：當(dāng)題設(shè)條件中告知被積函數(shù)減少或增加時(shí)，并沒(méi)有指明是否可導(dǎo)，且積分區(qū)間相同時(shí)，將命題化為差式利用變量的對(duì)稱式化為二重積分來(lái)進(jìn)行證明。例2：證明施瓦茲不等式若在上可積，則證明： 由不等式知：=。利用反證法證明積分不等式當(dāng)命題只對(duì)某一個(gè)別點(diǎn)成立時(shí)，最好使用反證法例1：設(shè)函數(shù)為上連續(xù)，求證：存在一點(diǎn)x當(dāng)時(shí)，使證明：反證法：若時(shí)，則因此，是連續(xù)的，必有這與相矛盾，存在一點(diǎn)x當(dāng)時(shí)，使。1.6利用線性變換證明積分不等式如果問(wèn)題涉及到函數(shù)在上的均值，那么對(duì)均值作線性變換。即令有目的是將定義在不同區(qū)間上的兩個(gè)定積分都化為區(qū)間上的定積分，統(tǒng)一區(qū)間后的兩個(gè)定

9、積分，就易于比較了。例1：設(shè)為上單調(diào)增加的可積函數(shù)，則證明：當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，只需證，經(jīng)線性變換后，即證，由于上單調(diào)增加，利用定積分的單調(diào)性知結(jié)論成立。1.7利用泰勒公式證明積分不等式當(dāng)被積函數(shù)有高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，又已知最高階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)時(shí)，用泰勒公式證明例1：設(shè)，求證證明：將在處展開成一階泰勒公式由于將上式兩邊在上對(duì)積分得，即 =即。1.8.作輔助函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性證明積分不等式把不等式中所有積分上限或下限相同的字母也改為x，移項(xiàng)使不等式的一端為0，則令另一端的式子為，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為0，則用單調(diào)性來(lái)證明不等式即可，值得說(shuō)的是，題設(shè)中若僅知被積函數(shù)在某區(qū)間上連續(xù)時(shí)，一般都用此法。例1：設(shè)在上連續(xù)且單調(diào)減少，

10、證明證明：設(shè)，。利用概率論方法證明積分不等式在概率論中，連續(xù)性隨機(jī)變量的概論分布函數(shù)，數(shù)學(xué)期望與積分有一定聯(lián)系，這使得用概論論思想方法證明某些積分不等式成為可能。預(yù)備知識(shí)定理：設(shè)為隨機(jī)變量，若為連續(xù)上凸函數(shù)，則有；若為連續(xù)下凸函數(shù)，則有定理：若是一個(gè)二維隨機(jī)變量，又則有例1：證明cauchy不等式若與在上連續(xù)，則證明：設(shè)隨機(jī)變量的概率分布及概率密度分別為則由定理2知，把以上各式代入即得證。例2：證明凸函數(shù)不等式設(shè)為在上連續(xù)的下凸函數(shù)，則證明設(shè)隨機(jī)變量的概率分布及概率密度分別為為下凸函數(shù)，有定理1知成立此即又故將上式兩端積分 ，可得綜上可知原不等式成立?？偨Y(jié)：用概率論思想方法證明積分不等式，關(guān)鍵

11、在于構(gòu)造概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)。本節(jié)各證明過(guò)程中涉及到的隨機(jī)變量都是一維連續(xù)的。如果構(gòu)造適當(dāng)?shù)亩S連續(xù)隨機(jī)變量，還可以用概率論的方法證明許多與二重積分相關(guān)的不等式。利用gurland不等式證明積分不等式gurland不等式:定理：設(shè)，是兩個(gè)同向單調(diào)函數(shù)，且至少有一個(gè)連續(xù)，則，若是兩個(gè)反向單調(diào)函數(shù)，則不等式反號(hào)。例1：設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，且單調(diào)增加，證明證明：設(shè)x隨機(jī)變量概率密度為：=由單調(diào)增加知 代入得證：例2：設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，函數(shù)且單調(diào)減少，證明證明：設(shè)x隨機(jī)變量概率密度為：=由單調(diào)減少知 代入得證： 。第二章 一些特殊積分不等式的證明，推廣，及應(yīng)用gronwall積分不等式的證明及其應(yīng)

12、用 gronwall積分不等式定理：設(shè)k為非負(fù)常數(shù)，函數(shù)，在閉區(qū)間上連續(xù)非負(fù)，且滿足不等式 則，特別是錯(cuò)誤證法一：設(shè)，用乘不等式的兩邊：，用乘以不等式的兩邊：兩邊從a到t積分；并由,得所以?？偨Y(jié)：上述證明過(guò)程中有一個(gè)不嚴(yán)密的地方：不等式是不正確的。這里不等式是在兩邊同乘以dt得到的。但由數(shù)學(xué)分析的知識(shí)可知，dt是t自變量的增量,而增量是可正可負(fù)的。直接用dt乘以在的兩邊而保持不等號(hào)不變號(hào)不變得到式的做法是錯(cuò)誤的。正確證法一：設(shè)，用乘不等式的兩邊：用乘以不等式的兩邊兩邊從a到t積分, 所以錯(cuò)誤證法二：由條件不等式得：兩邊從a到t積分,得由上式不等式和條件不等式，得總結(jié)：上述證明過(guò)程中有一個(gè)不嚴(yán)密

13、的地方：不等式是不正確的。因gronwall不等式條件中要求ko, ,這樣就不能保證是不恒為0的。正確證法二：當(dāng)k0時(shí)，由條件不等式得：兩邊從a到t積分,得由上式不等式和條件不等式，得當(dāng)k=0時(shí)，條件這時(shí)不等式變?yōu)?結(jié)論變?yōu)槭聦?shí)上，從而而由任意性可知綜上例1：利用gronwall積分不等式證明一階微分方程lipschitz存在唯一性定理中的唯一性部分。已知初值函數(shù)有解，證明其解唯一。證明：初值問(wèn)題的等價(jià)積分方程是設(shè)是初值問(wèn)題的解，假若還有另一解，則因有 其中常數(shù)。由定理有即即：，同理可證：，證畢。2.2對(duì)某積分不等式的一個(gè)推廣參考文獻(xiàn)有結(jié)論：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格增加，n等份將區(qū)間，取，則有不等式

14、。推廣定理：，取，則有證明：設(shè)，是函數(shù)在區(qū)間上關(guān)于等n份分法的上和，在區(qū)間上嚴(yán)格增加, 于是就有現(xiàn)證式中等式不成立，為此我們證明存在數(shù)列的一個(gè)子列，使嚴(yán)格減少于，若能如此，則有考慮子列，由于在上嚴(yán)格增加，對(duì)每個(gè)由，就有此時(shí)=可見子列嚴(yán)格減少由darboux定理得由于且有的一個(gè)子列，嚴(yán)格減少于，所以。推論1：，取，則有不等式。推論2：取，則有不等式。推論3：，則。2.3數(shù)值積分不等式參考文獻(xiàn)有結(jié)論：令，若若f在區(qū)間內(nèi)可微且當(dāng)0x1時(shí)，則。推廣定理：令若f在區(qū)間內(nèi)可微，且當(dāng)axb時(shí)，則證明：令n由積分中值定理，存在，使得又由微分中值定理有，存在，使得，從而。 steffensen不等式 ：定理：設(shè)

15、在上可積，f在上單調(diào)減少，式中則：。證明：= = =。結(jié)束語(yǔ)從以上文章分析可見，根據(jù)不同積分不等式特征，采取不同的方法 .此法不論對(duì)初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)都有一定的價(jià)值，它使數(shù)學(xué)的不同分支之間架起了橋梁，對(duì)于我們的創(chuàng)造思維有很大的幫助作用。這篇文章主要有兩部分組成，其一，利用定積分的性質(zhì)，微分中值定理，積分中值定理，概率論知識(shí)，施瓦茲不等式，二重積分等內(nèi)容，研究了積分不等式的證法。其二，研究了gronwall積分不等式不同的證明方法并加以應(yīng)用。更重要的是，對(duì)某些積分不等式進(jìn)行推廣。參考文獻(xiàn) 匡繼昌常用不等式山東：科技出版社，2005，321-425 吳良森 數(shù)學(xué)分析習(xí)題北京：科技出版社，1998 50-98 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 數(shù)學(xué)分析，上海：高等教育出版社，2003 26-65 雷發(fā)社高等數(shù)學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)100講陜西：科學(xué)技術(shù)出版社，2001 58-236 陳文燈題型集與練習(xí)題，北京：高等教育出版社，2005 66-198 王高雄等常微分方程北京：高等教育出版社，2001 65-153 東北師大數(shù)學(xué)系常微分方程北京：高等教育出版社，2002 321-403 張偉年常微分方程北京：高等教育出版社，2006 94-163 劉玉鏈 數(shù)學(xué)分析講義北京：高等教育出版社，1990 45-123