全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)【直接打印】

1、2012年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：評閱試卷時，請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn).第一試，選擇題和填空題只設(shè)7分和0分兩檔；第二試各題，請按照本評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評分檔次給分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評卷時請參照本評分標(biāo)準(zhǔn)劃分的檔次，給予相應(yīng)的分?jǐn)?shù).第一試一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）1已知，那么的大小關(guān)系是 （ ）a. b. c. d.【答】c.因?yàn)椋?，?又 ，而，所以，故.因此.2方程的整數(shù)解的組數(shù)為 （ ）a3. b4. c5. d6.【答】b.方程即，顯然必須是偶數(shù)，所以可設(shè)，則原方程變?yōu)?，它的整?shù)解為從而可求得原方程的整數(shù)解為，共

2、4組.3已知正方形abcd的邊長為1，e為bc邊的延長線上一點(diǎn)，ce1，連接ae，與cd交于點(diǎn)f，連接bf并延長與線段de交于點(diǎn)g，則bg的長為 （ ）a b c d【答】d.過點(diǎn)c作cp/bg，交de于點(diǎn)p.因?yàn)閎cce1，所以cp是beg的中位線，所以p為eg的中點(diǎn).又因?yàn)閍dce1，ad/ce，所以adfecf，所以cfdf，又cp/fg，所以fg是dcp的中位線，所以g為dp的中點(diǎn).因此dggppede.連接bd，易知bdcedc45，所以bde90.又bd，所以bg.2012年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 第1頁（共5頁）4已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為 （ ）a. b0.

3、 c1. d.【答】b.因?yàn)?，所以，從而，故，因此，?因此的最小值為0，當(dāng)或時取得.5若方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根滿足，則實(shí)數(shù)的所有可能的值之和為 （ ）a0. b. c. d.【答】 b.由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以，.又由得，所以，所以，所以.代入檢驗(yàn)可知：均滿足題意，不滿足題意.因此，實(shí)數(shù)的所有可能的值之和為.6由1，2，3，4這四個數(shù)字組成四位數(shù)（數(shù)字可重復(fù)使用），要求滿足.這樣的四位數(shù)共有 （ ）a36個. b40個. c44個. d48個.【答】c.根據(jù)使用的不同數(shù)字的個數(shù)分類考慮：（1）只用1個數(shù)字，組成的四位數(shù)可以是1111，2222，3333，4444，共有4個.

4、（2）使用2個不同的數(shù)字，使用的數(shù)字有6種可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）.如果使用的數(shù)字是1、2，組成的四位數(shù)可以是1122，1221，2112，2211，共有4個；同樣地，如果使用的數(shù)字是另外5種情況，組成的四位數(shù)也各有4個.因此，這樣的四位數(shù)共有6424個.（3）使用3個不同的數(shù)字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，組成的四位數(shù)可以是1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8個.2012年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 第2頁（共5頁）（4）使用4個不同的數(shù)字1，2，3，4，組成的四位數(shù)可以是1243，13

5、42，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8個.因此，滿足要求的四位數(shù)共有4248844個.二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）1已知互不相等的實(shí)數(shù)滿足，則_【答】 .由得，代入得，整理得 又由可得，代入式得，即，又，所以，所以.驗(yàn)證可知：時；時.因此，.2使得是完全平方數(shù)的整數(shù)的個數(shù)為 【答】 1設(shè)（其中為正整數(shù)），則，顯然為奇數(shù)，設(shè)（其中是正整數(shù)），則，即.顯然，此時和互質(zhì)，所以或或解得.因此，滿足要求的整數(shù)只有1個.3在abc中，已知abac，a40，p為ab上一點(diǎn)，acp20，則 【答】 .設(shè)d為bc的中點(diǎn)，在abc外作cae20，則bae60.作ce

6、ae，pfae，則易證aceacd，所以cecdbc.又pfpabaepa60ap，pfce，所以apbc，因此.4已知實(shí)數(shù)滿足，則 【答】 . 2012年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 第3頁（共5頁）因?yàn)?，所?同理可得，.結(jié)合可得，所以.結(jié)合，可得.因此，.實(shí)際上，滿足條件的可以分別為. 第二試 （a)一、（本題滿分20分）已知直角三角形的邊長均為整數(shù)，周長為30，求它的外接圓的面積.解 設(shè)直角三角形的三邊長分別為（），則.顯然，三角形的外接圓的直徑即為斜邊長，下面先求的值.由及得，所以.由及得，所以.又因?yàn)闉檎麛?shù)，所以. 5分根據(jù)勾股定理可得，把代入，化簡得，所以， 10分

7、因?yàn)榫鶠檎麛?shù)且，所以只可能是解得15分所以，直角三角形的斜邊長，三角形的外接圓的面積為. 20分二（本題滿分25分）如圖，pa為o的切線，pbc為o的割線，adop于點(diǎn)d.證明：.2012年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 第1頁（共4頁）證明：連接oa，ob，oc. oaap，adop，由射影定理可得，. 5分2012年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 第4頁（共7頁）又由切割線定理可得，d、b、c、o四點(diǎn)共圓，10分pdbpcoobcodc，pbdcod，pbdcod， 20分，. 25分三（本題滿分25分）已知拋物線的頂點(diǎn)為p，與軸的正半軸交于a、b（）兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)c，pa是abc的外接圓的切線.設(shè)m，若am/bc，求拋物線的解析式.解 易求得點(diǎn)p，點(diǎn)c.設(shè)abc的外接圓的圓心為d，則點(diǎn)p和點(diǎn)d都在線段ab的垂直平分線上，設(shè)點(diǎn)d的坐標(biāo)為.顯然，是一元二次方程的兩根，所以，又ab的中點(diǎn)e的坐標(biāo)為，所以ae.5分因?yàn)閜a為d的切線，所以paad，又aepd，所以由射影定理可得，即，又易知，所以