對數(shù)學定理教學的思考.doc

1、對數(shù)學定理教學的思考 【摘要】 在數(shù)學定理教學中，要強調(diào)數(shù)學定理的發(fā)現(xiàn)過程，突出數(shù)學定理證明思路的探索過程，重視數(shù)學定理的引申和推廣. 【關鍵詞】 定理教學；思維活動；思維過程 數(shù)學概念、數(shù)學定理（公式、法則等）是數(shù)學思維的細胞，是學生學習數(shù)學知識的基礎，也是數(shù)學思維的起點，在數(shù)學教學中具有重要的地位.數(shù)學概念和數(shù)學定理（公式、法則等）的形成過程所蘊含的數(shù)學家的思想方法、思維方法及研究方法，更是數(shù)學學習的精髓所在.在數(shù)學定理教學中，對數(shù)學定理的形成過程進行精心設計，將凝結在數(shù)學定理中的數(shù)學家的觀察、試驗、歸納、概括、推理與證明等思維活動打開，并設計一定的載體（如教學情境、教師講解、學生探究和反

2、思、變式訓練等），用以展開這些數(shù)學思維活動，使得學生的學習思維與數(shù)學家的思維同步，并逐步使其思維結構與數(shù)學家相似，讓學生在體驗數(shù)學家思維活動的過程中提高數(shù)學素養(yǎng)，發(fā)展創(chuàng)造性思維能力，這是數(shù)學定理教學的關鍵所在.下面談談筆者對數(shù)學定理（公式、法則等）教學的淺見. 一、強調(diào)數(shù)學定理（公式、法則等）的發(fā)現(xiàn)過程 在傳統(tǒng)的接受性學習中，學習數(shù)學往往以定論的形式直接呈現(xiàn)出來，學生學習數(shù)學定理（公式、法則等）是在記定理、背定理，往往看不到數(shù)學定理（公式、法則等）的發(fā)現(xiàn)過程，只看到完美的結論，正像波利亞所說：“只給出規(guī)則而不講理由，則干巴巴的規(guī)則會很快被遺忘.”其實，數(shù)學家的發(fā)現(xiàn)過程是迂回曲折的，他們的思維活

3、動通常是從具體的背景材料出發(fā)，通過觀察、試驗、類比、歸納等一套合情推理，提出需要證明的數(shù)學猜想. 在數(shù)學定理教學中，模擬數(shù)學家的思維活動，引導學生進行“似真性”的發(fā)現(xiàn)，讓學生體會到尋求真理的興趣和喜悅，這是數(shù)學教師主導作用之所在. 例如：在三角形全等的“邊角邊”條件這節(jié)課的教學中，筆者創(chuàng)設了下面的問題情境來引導學生探究發(fā)現(xiàn). 問題1：如果已知一個三角形的兩邊及一個內(nèi)角，那么它有幾種可能情況？ 同學們經(jīng)片刻的思考與交流后得出兩種：（1）兩邊及其夾角，（2）兩邊及一邊的對角.針對學生答出的這兩個問題，教師提出對這兩個問題進行探究. 探究1：先畫出一個abc，再畫出一個abc，使ab = ab，ac

4、 = ac，a = a（即保證兩邊和它們的夾角對應相等），把畫好的abc剪下，放到abc上，它們?nèi)葐幔?探究2：先畫出一個abc，再畫出abc，使ab = ab，ac = ac，b = b（即保證兩邊和其中一邊的對角對應相等），把畫好的abc剪下，放到abc上，它們?nèi)葐幔?先由學生自己動手，利用直尺、三角尺、圓規(guī)等工具，對以上兩個問題進行實驗操作，并探究全等三角形的條件.在學生個人探究的基礎上再全班交流，最后得到： 兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等，所以它不能作為判定兩個三角形全等的方法； 兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等，可作為判定兩個三角形全等的方法. 上面的探究

5、活動，學生通過動手操作，為數(shù)學定理的學習積累活動經(jīng)驗，在“操作”中探究，在過程中感悟，在體驗和感悟中理解數(shù)學定理的意義.這樣學習的數(shù)學定理在認知結構中才會有所依托，才會鞏固. 二、突出數(shù)學定理證明思路的探索過程 對數(shù)學定理（公式、法則等）的證明，如果僅用演繹推理，按教科書上的格式敘述過程，這就降低了教學的要求.“直截了當”固然節(jié)約了時間，但對學生來說卻缺乏一個完整的認識過程.數(shù)學家真實的思維過程，常常被最終的簡潔掩蓋著，我們雖然不知道，但是我們可以仿真，作出示范.在思路分析中，應教給學生如何聯(lián)想、探索、猜想、推理、轉化，特別是分析思維受阻時，如何合理改變心向，變換策略，另辟蹊徑，從而到達目的的

6、思維過程.同時還應把學生有價值的解題思路發(fā)展下去.為了使這種思維過程卓有成效，教師必須對教材進行“再創(chuàng)造”. 例如，對于如何證明“勾股定理的逆定理”的教學，當學生通過猜想得到：“如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2 + b2 = c2，那么這個三角形是直角三角形.”接下來證明猜想的正確性也就變成了學生自發(fā)的需要.先猜，于是我先讓學生說說證明的思路.有的同學說，是根據(jù)勾股定理，因為a2 + b2 = c2，所以這個三角形是直角三角形.此種說法馬上遭到部分同學的反對，理由是：在勾股定理中，題設是直角三角形，而在要證明猜想的題設中沒有告訴我們abc是直角三角形，所以不能應用勾股定理.這時一名學生站起

7、來說他會證，并到黑板上板演解題過程，即如圖1，作一個rtabc，使c = 90，ca = a，cb = b，由題設，得ab = c，那么abc abc，所以c = 90，所以abc是直角三角形. 此時老師追問這名同學你是怎樣想到這種方法的，這名同學說他是從課本上看的.老師繼續(xù)追問這種證明的方法是什么方法. 全班大部分同學回答說是構造法，上節(jié)課證明勾股定理也是用構造法.這時老師指出：同學們說得好，構造法是一種重要的數(shù)學方法，通過這兩節(jié)課的學習，大家對它有了初步的認識，今后在解題中要學會靈活運用.并提問全班同學：本題證明中用構造直角三角形的方法很妙，但思路是如何想到的??？當同學們都在靜靜思考的時候

8、，一名同學談了自己的想法，他說：“我是這樣想的：前面已學習過勾股定理，而問題1中的已知條件a2 + b2 = c2類似于勾股定理中的結論.如果想要應用已有知識，首先想到的是應用勾股定理，而要應用勾股定理就必須得有直角三角形這個條件，所以想到要構造一個直角三角形.”至此，學生完全明白猜想結論的證明及為什么這樣去證明. 用構造的方法證明“勾股定理的逆定理”是很有思考性的問題，怎樣構造？為什么這樣構造？你是怎樣想到的？等等，這對培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力極為有益.如果老師很突然地構造了直角三角形，按教科書宣讀證明過程，就降低了教學的要求.長此以往，“機械學習”也在所難免. 三、重視數(shù)學定理（公式、法則、

9、性質(zhì)等）的引申和推廣 數(shù)學概念的完整性和數(shù)學模型的普遍性是數(shù)學探索的主要內(nèi)容，對數(shù)學定理進行引申和推廣，也是數(shù)學家常用的研究方法.數(shù)學研究的很多問題都是某種形式的推廣，將數(shù)學定理進行引申和推廣，既符合數(shù)學知識本身發(fā)展的規(guī)律，也符合學生個體心理發(fā)展的規(guī)律. 例如，學習了三角形的中位線定理后，可進一步引導學生聯(lián)想：如果將條件“三角形”改成“梯形”，那么又有什么新的結論？使學生的思維跨入新的高度. 又如，當學生學習了平行線分線段成比例定理“三條平行線截兩條直線，所得的對應線段的比相等”后，接著，教師繼續(xù)引導學生探究這個定理的推廣和特殊情況，即定理是否存在推廣情況， 是否存在特殊情形，先讓學生獨立思考

10、，再合作交流得到： 變式1：一組平行線（平行線族）截兩條直線，所得的對應線段的比相等. 變式3：如圖3中的實線部分，平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的對應線段的比相等. 變式4：如圖4中的實線部分，若ab = bc，ae = de，則be = cd（三角形中位線定理對應的基本圖形）. 變式5：如圖5中的實線部分，平行于三角形一邊的直線截其他兩邊的延長線，所得的對應線段的比相等. 世間萬物都在變化之中，但只說事物在變，不能說明什么問題，科學的任務是要找出變化中不變的規(guī)律.于是在得到上面的各種變式后，教師繼續(xù)提出問題讓學生思考：在上面的各種變式中，其不變的規(guī)律是什么？ 學生思考后認為， 在“平行線”的條件下， 通過直線移動得到各種變式圖形，但其“對應的線段比相等”是不變的. 學生經(jīng)歷對數(shù)學定理（公式、法則等）進行引申和推廣的過程，不但使他們也像數(shù)學家一樣經(jīng)歷了發(fā)明創(chuàng)造的過程， 而且使他們在理解知識的基礎上，把學到的知識轉化為能力.同時還使他們體驗到新知識是如何從已知知識逐漸演變或發(fā)展而來的，從而理解知識的來龍去脈