初中數(shù)學(xué)論文：淺析中考幾何圖形滾動(dòng)問題的求解

1、淺析中考幾何圖形滾動(dòng)問題的求解摘要：圖形的旋轉(zhuǎn)是新課標(biāo)的重要內(nèi)容，當(dāng)幾何圖形旋轉(zhuǎn)中心沿著一定軌跡進(jìn)行運(yùn)動(dòng)就產(chǎn)生了滾動(dòng)問題，它既有利于考查學(xué)生的動(dòng)手操作能力和空間思維能力，又培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，因此成為近年來(lái)中考命題的熱點(diǎn)。幾何圖形可以沿著一條直線無(wú)滑動(dòng)地翻滾，也可以沿另一圖形內(nèi)部邊緣無(wú)滑動(dòng)翻滾，還可以沿另一個(gè)圖形外部邊緣無(wú)滑動(dòng)翻滾；這個(gè)幾何圖形可以是內(nèi)角相等的多邊形，也可以是圓，還可以是扇形。本文著重探討近幾年中考數(shù)學(xué)題目中幾何圖形上點(diǎn)在無(wú)滑動(dòng)翻滾過程中經(jīng)過路線長(zhǎng)的解法規(guī)律，及滾動(dòng)過程圖形位置變化規(guī)律。 關(guān)健詞：無(wú)滑動(dòng) 翻滾 路線長(zhǎng) 規(guī)律淺析中考幾何圖形滾動(dòng)問題的求解縱觀

2、近幾年中考數(shù)學(xué)試題，我們發(fā)現(xiàn)關(guān)于幾何圖形滾動(dòng)的問題還真不少，幾何圖形可以沿著一條直線無(wú)滑動(dòng)地翻滾，也可以沿另一圖形內(nèi)部邊緣無(wú)滑動(dòng)翻滾，還可以沿另一個(gè)圖形外部邊緣無(wú)滑動(dòng)翻滾；這個(gè)幾何圖形可以是內(nèi)角相等的多邊形，也可以是圓，還可以是扇形。如何求解中考幾何圖形滾動(dòng)的這些問題？下面通過舉例加以分析解決。一、滾動(dòng)過程中圖形上點(diǎn)經(jīng)過的路線長(zhǎng)(一)沿著一條直線無(wú)滑動(dòng)翻滾例1(1)（2008四川達(dá)州市）如圖所示，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形木塊，沿水平線滾動(dòng)，則點(diǎn)從開始至結(jié)束所走過的路線長(zhǎng)為 （結(jié)果保留準(zhǔn)確值）(2)(2009黃岡市)矩形abcd的邊ab=8，ad=6，現(xiàn)將矩形abcd放在直線l上且沿著l向右作無(wú)滑動(dòng)

3、地翻滾，當(dāng)它翻滾至類似開始的位置時(shí)（如圖所示），則頂點(diǎn)a所經(jīng)過的路線長(zhǎng)是_(3)如圖，將邊長(zhǎng)為2cm的正六邊形abcdef的6條邊沿直線m向右滾動(dòng)（不滑動(dòng)），當(dāng)正六邊形滾動(dòng)一周時(shí)，頂點(diǎn)a所經(jīng)過的路線長(zhǎng)是_。分析這是同一系列題目，如右圖可知：三角形每次翻滾的角度為120度，矩形每次翻滾的角度為90度，正六邊形每次翻滾60度，三個(gè)幾何圖形每次都是翻滾它的一個(gè)外角度數(shù)；三角形滾動(dòng)一周，a點(diǎn)走了2個(gè)弧長(zhǎng)，圓心角都是120度，但半徑分別是ac和ab。矩形滾動(dòng)一周，a點(diǎn)走了3個(gè)弧長(zhǎng)，圓心角都是90度，但半徑分別是ab、ac、ad。正六邊形滾動(dòng)一周，a點(diǎn)走了5個(gè)弧長(zhǎng)，圓心角都是60度，但半徑分別是af、ae

4、、ad、ac、ab。三個(gè)幾何圖形上a點(diǎn)走的路線長(zhǎng)度都是圓心角等于它的一個(gè)外角，半徑分別是以a點(diǎn)到其它頂點(diǎn)的距離的弧長(zhǎng)之和。解：（1）a點(diǎn)從開始到結(jié)束所走過的路線長(zhǎng)度為： （2）頂點(diǎn)a所經(jīng)過的路線長(zhǎng) （3）當(dāng)正六邊形滾動(dòng)一周時(shí)，頂點(diǎn)a所經(jīng)過的路線長(zhǎng)規(guī)律：角度相等的n邊形(n3)，它的一個(gè)外角度，設(shè)其中1個(gè)點(diǎn)到其余的n-1個(gè)點(diǎn)的距離分別是。當(dāng)它沿著一直線翻滾一周時(shí)，這個(gè)頂點(diǎn)所經(jīng)過的路線長(zhǎng)是。例2（2006黃岡）如圖2，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形abcd的四邊沿直線l向右滾動(dòng)（不滑動(dòng)），當(dāng)正方形滾動(dòng)兩周時(shí)，正方形的頂點(diǎn)a所經(jīng)過的路線的長(zhǎng)是_cm分析正方形滾動(dòng)一周的路線長(zhǎng)，其中n=4，a到其它三個(gè)頂點(diǎn)c、

5、d、b的距離分別是、8、8。用正方形滾動(dòng)一周的路線長(zhǎng)乘以2就可得到正方形滾動(dòng)兩周時(shí)，正方形頂點(diǎn)a所經(jīng)過的路線的長(zhǎng)。解：當(dāng)正方形滾動(dòng)兩周時(shí)，正方形的頂點(diǎn)a所經(jīng)過的路線的長(zhǎng)是。例3(1)（2006南寧課改）如圖，是硬幣圓周上一點(diǎn)，硬幣與數(shù)軸相切于原點(diǎn)（與點(diǎn)重合）假設(shè)硬幣的直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度，若將硬幣沿?cái)?shù)軸正方向滾動(dòng)一周，點(diǎn)恰好與數(shù)軸上點(diǎn)重合，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是(2) （08山東煙臺(tái)）9、如圖，水平地面上有一面積為的扇形aob，半徑oa=，且oa與地面垂直.在沒有滑動(dòng)的情況下，將扇形向右滾動(dòng)至ob與地面垂直為止，則o點(diǎn)移動(dòng)的距離為（ ）a、 b、 c、 d、分析這道題目涉及到圓與扇形在直線上滾動(dòng)，它們

6、在直線上滾動(dòng)的長(zhǎng)度等于圓心走過的路線長(zhǎng)。（1）硬幣滾動(dòng)一周的周長(zhǎng)為，圓心走的長(zhǎng)度aa=。（2）扇形滾動(dòng)的長(zhǎng)度為優(yōu)弧ab的長(zhǎng)度，故圓心移動(dòng)的距離為優(yōu)弧ab的長(zhǎng)度。解：（1）點(diǎn)a對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是 (2)優(yōu)弧ab的圓心角為n度，解得n=300。所以優(yōu)弧ab的長(zhǎng)度為，故選c。b例4 已知：圓心角為30，半徑為3的扇形aob如圖所示，先繞點(diǎn)a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，再沿直線m作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)后，再繞點(diǎn)b旋轉(zhuǎn)90到達(dá)如圖扇形aob的位置，則點(diǎn)o所經(jīng)過的總路程長(zhǎng)是_.分析這道題有圖形繞某點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，也有扇形沿直線翻滾，如右圖可知：o經(jīng)過了三段路線，一段是以a為圓心，圓心角為90度， oa為半徑的扇形弧長(zhǎng)，長(zhǎng)度為；中間一段是

7、弧ab在直線m上翻滾時(shí)，o點(diǎn)經(jīng)過的路線長(zhǎng)oo”，因?yàn)樯刃蝟ab所在的圓始終與直線m相切，所以o點(diǎn)到直線m的距離始終等于半徑，故oo”是一條線段，長(zhǎng)度等于弧ab的長(zhǎng)度；最后一段是以b為圓心，圓心角為90度，ob為半徑的扇形弧長(zhǎng)，長(zhǎng)度為。解：點(diǎn)所經(jīng)過的總路線長(zhǎng)+=規(guī)律：如果將此題中扇形圓心角改為n度，半徑設(shè)為r，其余條件不變，則圓心o所經(jīng)過的總路線長(zhǎng)是。(二)沿著一圖形內(nèi)部邊緣無(wú)滑動(dòng)翻滾例5（2007年連云港）正的邊長(zhǎng)為，邊長(zhǎng)為的正的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)分別在，上，將沿著邊順時(shí)針連續(xù)翻轉(zhuǎn)（如圖所示），直至點(diǎn)第一次回到原來(lái)的位置，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為 （結(jié)果保留）解析：如右圖可知，p點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑包括三段弧

8、長(zhǎng)，這三個(gè)弧長(zhǎng)的半徑都是等邊三角形pqr的邊長(zhǎng)1，圓心角都是120度，所以點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度相當(dāng)于一個(gè)半徑為1圓的周長(zhǎng)2。oabc圖13-4d(三)沿著一圖形外部邊緣無(wú)滑動(dòng)翻滾例6(2009年河北)拓展聯(lián)想：（1）如圖13-4，abc的周長(zhǎng)為l，周長(zhǎng)為c的o從與ab相切于點(diǎn)d的位置出發(fā)，在abc外部，按順時(shí)針方向沿三角形滾動(dòng)，又回到與ab相切于點(diǎn)d的位置，o自轉(zhuǎn)了多少周？請(qǐng)說明理由d圖13-5o（2）如圖13-5，多邊形的周長(zhǎng)為l，周長(zhǎng)為c的o從與某邊相切于點(diǎn)d的位置出發(fā)，在多邊形外部，按順時(shí)針方向沿多邊形滾動(dòng)，又回到與該邊相切于點(diǎn)d的位置，直接寫出o自轉(zhuǎn)的周數(shù)分析(1)圓o自轉(zhuǎn)的周數(shù)等于圓o

9、走的路線長(zhǎng)除以圓o的周長(zhǎng)，要求圓o自轉(zhuǎn)的周數(shù)，關(guān)鍵是求圓o經(jīng)過的路線長(zhǎng)o1o2o3o4o5o6o1，如右圖所示。其中o1o6=ac，o2o3=bc，o4o5=ab，o1o6+ o2o3+ o4o5=。另外弧o1o2、弧o3o4、弧o5o6半徑都等于圓o的半徑，但圓心角分別是acb的外角、cba的外角、bac的外角，因?yàn)槎噙呅瓮饨呛蜑?60度，故弧o1o2+弧o3o4+弧o5o6=圓o周長(zhǎng)c則o點(diǎn)走的路線長(zhǎng)等于三角形的周長(zhǎng)l與圓o周長(zhǎng)之和。(2) 因?yàn)槎噙呅瓮饨呛偷扔?60度，點(diǎn)o在多邊形各頂點(diǎn)處旋轉(zhuǎn)的弧長(zhǎng)總和為圓o的周長(zhǎng)c，所以圓o在多邊形外部滾動(dòng)一周回到原來(lái)位置時(shí)，點(diǎn)o所走的總路線長(zhǎng)等于（+

10、c）。解：（1）三角形的外角和是360，點(diǎn)o在三個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角度之和為360度，所經(jīng)過的路線長(zhǎng)為圓o周長(zhǎng)c。abc的周長(zhǎng)為l，o在三邊上自轉(zhuǎn)時(shí)o點(diǎn)經(jīng)過的路線長(zhǎng)為l，所以o點(diǎn)經(jīng)過的總路線為（+c），o共自轉(zhuǎn)了（周） （2）+1二、滾動(dòng)過程圖形位置變化規(guī)律例7(1)如圖，小正六邊形沿著大正六邊形的邊緣順時(shí)針滾動(dòng)，小正六邊形的邊長(zhǎng)是大正六邊形邊長(zhǎng)的一半，當(dāng)小正六邊形由圖甲位置滾動(dòng)到圖乙的位置時(shí)，線段oa繞點(diǎn)o順時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為_度。 (2)（2007年日照）如圖，正方形abcd的邊長(zhǎng)是3cm，一個(gè)邊長(zhǎng)為1cm的小正方形沿著正方形abcd的邊abbccddaab連續(xù)地翻轉(zhuǎn)，那么這個(gè)小正方形第一次回到起始

11、位置時(shí)，它的方向是( ) （a）待添加的隱藏文字內(nèi)容2（b）（c）（d）分析(1)oa繞點(diǎn)o順時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度就是小正六邊形沿著大正六邊形邊緣順時(shí)針滾動(dòng)角度之和，如右圖所示，小正六邊形滾動(dòng)角度總和為60+120+60=240，所以線段oa繞點(diǎn)o順時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為240度。(2)小正方形從點(diǎn)a出發(fā)順時(shí)針繞著大正方形邊緣翻滾一周，回到起始位置時(shí)，它的方向改變情況取決于它總共轉(zhuǎn)過的角度，若它共轉(zhuǎn)過的角度是360整數(shù)倍，則它方向與原小正方形相同；若它共轉(zhuǎn)過的角度不是360整數(shù)倍，則它方向改變，設(shè)它共轉(zhuǎn)過的角度被360整除的余數(shù)為n，則它方向相當(dāng)于將原小正方形方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n度時(shí)情況。因此，解決此題的關(guān)鍵

12、是求小正方形共轉(zhuǎn)過的角度。如右圖所示，小正方形從大正方形一邊端點(diǎn)位置轉(zhuǎn)到大正方形另一鄰邊端點(diǎn)位置，轉(zhuǎn)過角度為390+90，小正方形每次翻滾90度（小正方形的一個(gè)外角），在b處要旋轉(zhuǎn)到bc邊，還要旋轉(zhuǎn)大正方形一個(gè)外角90度。小正方形第一次回到起始位置時(shí)，它共翻滾的角度為4（390+90），是360整數(shù)倍，所以它的方向與原小正方形相同，故選b。規(guī)律：若一個(gè)正n邊形沿著一個(gè)邊長(zhǎng)為它a倍（a為整數(shù)）的正m邊形外部邊緣順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，第一次回到起始位置時(shí)，它共轉(zhuǎn)過的角度為，若ma為n的整數(shù)倍，則它的方向與原來(lái)一致。例8如圖，正方形abcd的邊長(zhǎng)是2cm，一個(gè)邊長(zhǎng)為1cm的小正三角形沿著正方形abcd的邊ab

13、bccddaab連續(xù)地翻轉(zhuǎn)，那么這個(gè)小正方形第一次回到起始位置時(shí)，它的方向是( ) 分析這里n=3，a=2，m=4，小正三角形共轉(zhuǎn)過角度為度，它除以360度的余數(shù)為240，此時(shí)它的方向相當(dāng)于原正三角形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)240，故選c。右圖通過正三角形翻滾展示過程也說明答案的正確性。例8(1) (2008泰安) 如圖，將邊長(zhǎng)為1的正三角形沿軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2008次，點(diǎn)依次落在點(diǎn)的位置，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 (2) (2006紹興)如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形oapb沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2 006次，點(diǎn)p依次落在點(diǎn)p1，p2，p3，p4，p2006的位置，則p2006的橫坐標(biāo)x2006=_ (3)如圖，將邊長(zhǎng)為1的正六邊形abocdp沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2010次，點(diǎn)依次落在點(diǎn)p1，p2，p3，p4，p2010的位置，則點(diǎn)p2010的橫坐標(biāo)為 圖1圖2圖3 分析這三題都是求一個(gè)正多邊形沿著一條直線x軸連續(xù)