普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學卷(福建.文)含詳解

1、2011福建文本試卷第i卷（選擇題）和第ii卷（非選擇題）兩部分，第i卷1至3頁，第ii卷4至6頁。滿分150分。注意事項：1.答題前，考生務必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準考證號、姓名，考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號，姓名”與考生本人準考證號、姓名是否一致。2.第i卷每小題選出答案后，用2b鉛筆把答題卡上對應的題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，第ii卷用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無效。3.考試結束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回。參考公式：樣本數(shù)據(jù)的標準差 其中為樣本平均數(shù)柱體體積公式其中為底面面積，

2、為高錐體公式，其中為底面面積，為高球的表面積、體積公式，其中為球的半徑第i卷 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一個項是符合題目要求的。 1若集合，則等于（） a b c d 【解】故選a 2是虛數(shù)單位等于（）. a b c d 【解】故選d3若，則“”是“”的（） a充分而不必要條件 b必要而不充分條件 c充要條件 d既不充分又不必要條件 【解】當時，有所以“”是“”的充分條件，反之，當時，所以“”不是“”的必要條件故選a 4某校選修乒乓球課程的學生中，高一年級有名，高二年級有名?，F(xiàn)用分層抽樣的方法在這名學生中抽取一個樣本，已知在高一年級的學生中

3、抽取了名，則在高二年級的學生中應抽取的人數(shù)為（）a b c d【解】故選b5閱讀右圖所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出的結果是（）a b c d【解】運行相應的程序是第一步：，第二步：，輸出故選b6 若關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）a b c d【解】因為關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則，解得或故選 7（同理 4）如圖，矩形中，點為邊的中點，若在矩形內(nèi)部隨機取一個點，則點取自內(nèi)部的概率等于（） a b c d【解】因為，則點取自內(nèi)部的概率故選c8已知函數(shù)，則實數(shù)的值等于（）a b c d【解】因為，則由得，于是，故選a9若，且，則的值等于（）a b c d 【解】由

4、得，所以，即，因為，所以，于是，所以故選d10若，且函數(shù)在處有極值，則的最大值等于（ ）a bc d【解】，因為在處有極值，則，于是，因為，當且僅當時，等號成立此時，因此是一個極值點所以的最大值等于故選d11（同理7）設圓錐曲線的兩個焦點分別為，若曲線上存在點滿足，則曲線的離心率等于（）a或 b或 c或 d或【解】因為，所以設，若為橢圓，則所以若為雙曲線，則所以故選a12.在整數(shù)集中，被除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，即，給出如下四個結論：；整數(shù)屬于同一“類”的充要條件是“”其中，正確結論的個數(shù)為（）a bc d【解】，所以正確；，所以不正確；，正確；若整數(shù)屬于同一“類”，則，則，

5、所以正確由以上，正確，故選c第ii卷（非選擇題 共90分） 注意事項：用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無效二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分把答案填在題中橫線上。13.若向量，則等于_【解】14若的面積為，則邊的長度等于_【解】，所以，又，所以是等邊三角形，于是15如圖，正方體中，點為的中點，點在上，若，則線段的長度等于_【解】因為，且平面與平面的交線為，所以，又點為的中點，所以為的中位線，所以，因為，為正方形，所以，所以16.商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準則”確定商品銷售價格，及根據(jù)商品的最低銷售限價，最高銷售限價（）以及常數(shù)（）確定實際銷售價格，這

6、里，被稱為樂觀系數(shù)經(jīng)驗表明，最佳樂觀系數(shù)恰好使得是和的等比中項，據(jù)此可得，最佳樂觀系數(shù)的值等于_【解】由得，設，則由題設，則，即，于是，因為，所以三、解答題：本大題共6小題，共74分解答應寫出文字說明，證明過程或驗算步驟.17.（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列中，（）求數(shù)列的通項公式；（）若數(shù)列的前項和，求的值【解】（）設等差數(shù)列的公差，則，由題設，所以（）因為，所以，解得或因為，所以18.（本小題滿分12分）如圖，直線與拋物線相切于點（）求實數(shù)的值；（）求以點為圓心，且與拋物線的準線相切的圓的方程【解】（）解法1由得，因為直線與拋物線相切，所以，解得解法2設切點，由得，所以切線在點處的斜率為

7、，因為切線的斜率為，則，又在拋物線上，所以，于是的坐標為，因為在直線s上，所以，（）由（），則由解得，于是的坐標為，設以點為圓心的圓的方程為，拋物線的準線為，而圓與拋物線的準線相切則，所以圓的方程為19.（本小題滿分12分）某日用品按行業(yè)質(zhì)量標準分成五個等級，等級系數(shù)依次為現(xiàn)從一批該日用品中隨機抽取件，對其等級系數(shù)進行統(tǒng)計分析，得到頻率分布表如下：（）若所抽取的件日用品中，等級系數(shù)為的恰有件，等級系數(shù)為的恰有件，求的值；（）在（）的條件下，將等級系數(shù)為的件日用品記為，等級系數(shù)為的2件日用品記為，現(xiàn)從這件日用品中任取兩件（假定每件日用品被取出的可能性相同），寫出所有可能的結果，并求這兩件日用品的

8、等級系數(shù)恰好相等的概率【解】（）由頻率分布表得，即因為所抽取的件日用品中，等級系數(shù)為的恰有件，所以，又因為所抽取的件日用品中，等級系數(shù)為的恰有件，所以，于是所以，（）從件日用品中任取兩件，所有可能的結果為：，所以所有可能的結果共個。設事件表示“從這件日用品中任取兩件，等級系數(shù)恰好相等”則包含的事件為，共個，所以所求的概率為20.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐中，點在線段上，且（）求證：；（）若，求四棱錐的體積【解】因為，所以因為，所以又，所以（）由（），在中，又因為，則，又，所以四邊形為矩形四邊形為梯形因為，所以，于是四棱錐的體積為21（本小題滿分12分）設函數(shù)，其中角的頂點與坐標原點重合，

9、始邊與軸非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，且（）若點的坐標為，求的值；（）若點為平面區(qū)域，上的一個動點，試確定角的取值范圍，并求函數(shù)的最小值和最大值【解】（）因為的坐標為，則（）作出平面區(qū)域，則為圖中的的區(qū)域，其中，因為，所以，則，所以，所以當，即時，取得最大值，且最大值為；當，即時，取得最小值，且最小值為22.（本小題滿分14分）已知為常數(shù)，且，函數(shù)，（是自然對數(shù)的底數(shù)）（）求實數(shù)的值；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）當時，是否同時存在實數(shù)和（），使得對每一個，直線與曲線都有公共點？若存在，求出最小的實數(shù)和最大的實數(shù)；若不存在，說明理由【解】由，得；（）由（），定義域為從而，因為，所以(1) 當時，由得，由得；(2) 當時，由得，由得；因而，當時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減