畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）基于克里格方法的GPS高程擬合研究

1、摘 要gps測(cè)量可以獲得高精度的三維坐標(biāo)，它的平面相對(duì)定位精度已經(jīng)非常高，但是它得到的高精度的大地高與我國(guó)采用的正常高系統(tǒng)不一致，只具有幾何意義。為了充分的發(fā)揮gps測(cè)量的優(yōu)點(diǎn)，需要將大地高轉(zhuǎn)化成正常高，應(yīng)用于實(shí)際的工程項(xiàng)目。目前，將大地高轉(zhuǎn)換為正常高最好的方法是利用重力測(cè)量法。但在小范圍內(nèi)，不具備重力資料的情況下，數(shù)學(xué)模型擬合方法仍然是一般單位進(jìn)行g(shù)ps高程擬合的首選方案。 本文針對(duì)gps大地高轉(zhuǎn)換為正常高的相關(guān)問題，結(jié)合近幾年快速發(fā)展的地理信息技術(shù)，利用arcgis軟件內(nèi)置的地統(tǒng)計(jì)學(xué)工具，分析數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，試圖探索其內(nèi)在規(guī)律，獲取小區(qū)域的高程異常擬合模型。首先，系統(tǒng)介紹了gps水準(zhǔn)高程應(yīng)用理論

2、，并對(duì)目前數(shù)學(xué)模型擬合的主要方法進(jìn)行了簡(jiǎn)單介紹和比較，突出克里格法的優(yōu)越性。其次，深入探討了克里格法的基礎(chǔ)理論，從前提假設(shè)到半變異函數(shù)都進(jìn)行了詳細(xì)論述，克里格法以樣點(diǎn)空間相關(guān)性為前提，擬合估值具有線性、無(wú)偏、最優(yōu)的特點(diǎn)。最后，詳細(xì)介紹了三種克里格方法(普通克里格、簡(jiǎn)單克里格、泛克里格)的數(shù)學(xué)模型。在對(duì)校園實(shí)測(cè)gps數(shù)據(jù)仔細(xì)分析的基礎(chǔ)上，進(jìn)行了基于克里格方法的gps高程擬合相關(guān)試驗(yàn)，通過分析得到的結(jié)果精度，獲得了最佳擬合模型。關(guān)鍵詞：gps高程擬合；克里格法；arcgisabstractgps measurements can obtain the three-dimensional coord

3、inates of high precision, the plane relative positioning precision is very high, but it gets high precision geodetic height and our country the normal height system inconsistent, only have a geometric meaning.in order to give full play tothe advantagesof gps measurement,toearth will be transformed i

4、nto high normal,applied to the actualproject.at present,the earthintonormal heightis the bestuse of gravitymeasurement.but in a small range, do not have the gravity data and mathematical model fitting method is still units are generally the preferred solution for gps height fitting.this paper for gp

5、s high conversion to normal height related issues, combined with geographic information technology rapid development in recent years, using arcgis softwares built-in geostatistical tools. analysis data structure, tries to explore the inherent law, access to the small area of height anomaly fitting m

6、odel.first of all, the paper introduces the gps level elevation and the application of the theory, and gives a brief introduction and comparison of the main method of the mathematical model fitting, the superiority of the prominent kriging.secondly, in-depth study of the basic theory of kriging meth

7、od, from the premise hypothesis to semi variation function are discussed in detail, kriging method to spatial correlation as the premise, the estimate with linear, unbiased, the optimal characteristics.finally,we introduced three kinds of methods(ordinary kriging,simple kriging,universal kriging).in

8、 a careful analysis of campus gps data based, based on kriging method of gps height fitting test, were obtained through the analysis of the accuracy of results, the best fitting model.key words：gps height fitting;kriging method;arcgis目錄1、緒論1.1研究的背景意義11.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀11.3主要研究方法和思路22、gps高程測(cè)量的基礎(chǔ)理論2.1高程系統(tǒng)及其關(guān)系

9、32.1.1主要的高程系統(tǒng)32.1.2各高程間相互關(guān)系42.2 gps水準(zhǔn)高程42.2.1水準(zhǔn)測(cè)量42.2.2 gps高程測(cè)量52.3常用的數(shù)學(xué)擬合模型52.3.1加權(quán)平均法62.3.2曲線擬合法62.3.3曲面擬合法72.3.5克里格法83、克里格方法的基本原理3.1克里格方法93.1.1前提假設(shè)103.1.2區(qū)域化變量103.1.3變異分析113.2克里格方法的三種類型113.2.1普通克里格法123.2.2簡(jiǎn)單克里格法133.2.3泛克里格法134、gps高程擬合試驗(yàn)4.1試驗(yàn)工具154.1.1arcgis簡(jiǎn)介154.1.2高程擬合工具154.2克里格法擬合試驗(yàn)174.2.1試驗(yàn)方案17

10、4.2.2試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析184.3高程擬合試驗(yàn)214.3.1克里格法試驗(yàn)244.3.2試驗(yàn)結(jié)果及分析275、結(jié)論參考文獻(xiàn)33致謝341、緒論1.1研究的背景意義從20世紀(jì)70年代至今，美國(guó)研發(fā)的gps衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)已完全具有實(shí)時(shí)三維定位導(dǎo)航能力。該系統(tǒng)由gps衛(wèi)星、地面監(jiān)控部分和用戶部分三部分組成，具有全方位、全天候、實(shí)時(shí)的定位、測(cè)速和授時(shí)的功能，為用戶提供高精度的空間三維坐標(biāo)。1長(zhǎng)期以來(lái)，在工程應(yīng)用中只是應(yīng)用了gps測(cè)量中的平面坐標(biāo)信息，而沒有充分的利用高程信息，沒有充分的體現(xiàn)gps提供的三維坐標(biāo)的優(yōu)越性。因此，如何將gps測(cè)定的大地高擬合成正常高，并使其保持一定的精度，一直是人們研究的熱點(diǎn)。2

11、gps測(cè)量得到的是wgs-84地心坐標(biāo)系下的大地高，在具體的工程實(shí)踐中，需要將大地高擬合成正常高，才能直接使用。gps高程擬合的本質(zhì)就是將gps測(cè)得的大地高轉(zhuǎn)換成正常高。因此有： (1-1)式中，為高程異常。由此可知，研究gps高程擬合的方法也就是研究獲取高程異常值的方法。目前gps水準(zhǔn)精度還不高，有兩方面的原因，一方面受制于采用gps方法所測(cè)定大地高的精度，再就是受制于采用不同方法所確定出來(lái)的大地水準(zhǔn)面差距或高程異常的精度。因此研究gps高程擬合的理論和方法，是一個(gè)非常實(shí)際而又有意義的課題。31.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀克里格方法是南非礦產(chǎn)工程師d.g.krige和法國(guó)地理學(xué)家g.matheron提

12、出的一種優(yōu)化插值方法?？死锔穹椒?，是以變異函數(shù)理論和結(jié)構(gòu)分析為基礎(chǔ)，在有限區(qū)域內(nèi)對(duì)區(qū)域化變量進(jìn)行無(wú)偏最優(yōu)估計(jì)的一種方法，是空間變異理論的核心內(nèi)容。目前，克里格方法成為了地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要內(nèi)容之一?，F(xiàn)在地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)方法出現(xiàn)了理論上的兩大學(xué)派：（1）以g.馬特隆為首的參數(shù)地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)派，提出多元地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本思想，形成了普通克里格、簡(jiǎn)單克里格、泛克里格以及析取克里格等一套理論和方法；（2）以a.g.儒爾奈耳為首的非參數(shù)地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)派，發(fā)展了無(wú)需對(duì)數(shù)據(jù)分布做任何假設(shè)的指示克里格法和概率克里格法以及快速條件模擬等一套方法。4克里格法能夠?qū)ψ陨頂M合得到的模型進(jìn)行精度評(píng)定，即在擬合模型的同時(shí)還給出了模型的精度，

13、而且是無(wú)偏的，估計(jì)方差最小的(最優(yōu))估計(jì)，為模型的評(píng)價(jià)和利用提供了依據(jù)。同時(shí)在gps高程擬合中，克里格法與傳統(tǒng)方法相比，能最科學(xué)、最大限度地利用所提供的一切信息，使所擬合的模型精確得多。因此，克里格方法雖然是從研究礦產(chǎn)儲(chǔ)量計(jì)算以及誤差估計(jì)問題產(chǎn)生和和發(fā)展起來(lái)的，但仍然得到眾多領(lǐng)域的專家學(xué)者的青睞，經(jīng)過幾十年的潛心研究，克里格方法結(jié)合數(shù)學(xué)模型提出的多種方法很好地。51.3主要研究方法和思路本文以傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型擬合思想為基礎(chǔ)，研究小區(qū)域平坦地形的高程異常，期望以較低成本和較高精度擬合出高程異常并應(yīng)用于工程實(shí)踐。利用arcgis軟件中內(nèi)嵌的地統(tǒng)計(jì)模塊，以均方根誤差的精度來(lái)比較三種克里格方法生成的模型

14、精度，得到最適合小范圍平坦區(qū)域高程擬合模型。（1）闡述了大地高系統(tǒng)、正高系統(tǒng)、正常高系統(tǒng)三者之間的關(guān)系；比較了常用的高程擬合模型，克里格模型與其它常用的插值模型比較具有以下明顯的優(yōu)點(diǎn)：克里格方法充分地描述了數(shù)據(jù)的空間變化；克里格方法在給出估計(jì)值時(shí)，能同時(shí)給出估計(jì)值的誤差，大大提高了評(píng)估精度。（2）介紹克里格方法的原理、理論基礎(chǔ)。比較了普通克里格、簡(jiǎn)單克里格和泛克里格三種克里格方法，以校園gps控制網(wǎng)為例，進(jìn)行基于克里格方法的gps高程擬合的相關(guān)試驗(yàn)分析研究，包括數(shù)據(jù)分析、粗差檢測(cè)和剔除以及擬合計(jì)算，最后對(duì)三種克里格方法的擬合結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，得出最優(yōu)的高程擬合克里格方法。2、gps高程測(cè)量的基

15、礎(chǔ)理論2.1高程系統(tǒng)及其關(guān)系目前常用的高程系統(tǒng)包括正常高系統(tǒng)、正高系統(tǒng)和大地高系統(tǒng)。gps測(cè)量得到的地面點(diǎn)高程是以參考橢球面為基準(zhǔn)面的大地高，而我國(guó)所采用的是以似大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)面的正常高。因此，在進(jìn)行g(shù)ps高程擬合研究之前應(yīng)先了解常用的三類高程系統(tǒng)及其之間的相互關(guān)系。2.1.1主要的高程系統(tǒng)6（1）大地高系統(tǒng)大地高系統(tǒng)是以地球橢球面為基準(zhǔn)面的高程系統(tǒng)。大地高是指從一地面點(diǎn)沿過此點(diǎn)的地球橢球面的法線到地球橢球面的距離，是大地地理坐標(biāo)（b，l，h）中的高程分量h，是一個(gè)純幾何量，不具有任何物理意義。（2）正高系統(tǒng)正高是以大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)的高程，即地面點(diǎn)到大地水準(zhǔn)面的鉛錘距離。稱“正高”是為與“正

16、常高”相區(qū)分。正高用符號(hào)表示，用下式計(jì)算： (2-1)式中，是水準(zhǔn)面與起始大地水準(zhǔn)面之間位能差，gm為對(duì)應(yīng)的平均重力值。gm與地球內(nèi)部質(zhì)量有關(guān)，無(wú)法精確測(cè)定。（3）正常高系統(tǒng)1945年，莫洛金斯基提出用正常重力值代替不能精確測(cè)定的gm，提出了正常高的概念： (2-2)正常高以似大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)面，其數(shù)值是可求且唯一確定的。2.1.2各高程間相互關(guān)系大地水準(zhǔn)面到參考橢球面的距離，稱為大地水準(zhǔn)面差距，記為n。正高、大地高和大地水準(zhǔn)面差距三者的關(guān)系可通過下式表達(dá)： (2-3)也可以表示為： (2-4)似大地水準(zhǔn)面到參考橢球面的距離，稱為高程異常，記為。正常高、大地高和高程異常三者的關(guān)系可通過下式表達(dá)

17、： (2-5)2.2 gps水準(zhǔn)高程gps水準(zhǔn)高程擬合就是在一定區(qū)域范圍內(nèi)對(duì)gps控制網(wǎng)中部分控制點(diǎn)進(jìn)行幾何水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)，求出gps水準(zhǔn)重合點(diǎn)上的高程異常值。然后，采用合適的數(shù)學(xué)模型擬合出該區(qū)域的高程異常變化曲面，進(jìn)而可以求出未知點(diǎn)的高程異常，最終確定這些點(diǎn)的正常高。2.2.1水準(zhǔn)測(cè)量水準(zhǔn)測(cè)量是測(cè)定地面點(diǎn)高程的主要方法之一。水準(zhǔn)測(cè)量又名“幾何水準(zhǔn)測(cè)量”，是用水準(zhǔn)儀和水準(zhǔn)尺測(cè)定地面上兩點(diǎn)間高差的方法。一般情況下，從一已知高程的水準(zhǔn)點(diǎn)出發(fā)，用連續(xù)水準(zhǔn)測(cè)量的方法算出另一待定水準(zhǔn)點(diǎn)的高程。7圖2.1 水準(zhǔn)測(cè)量原理如圖，若已知a點(diǎn)的高程ha，求未知點(diǎn)b的高程hb。首先測(cè)出a、b兩點(diǎn)之間的高程hab，則有：

18、(2-6)由此計(jì)算出b點(diǎn)的高程。2.2.2 gps高程測(cè)量圖2.5 gps衛(wèi)星系統(tǒng)組成gps高程測(cè)量是利用全球定位系統(tǒng)測(cè)量技術(shù)直接測(cè)定地面點(diǎn)的大地高，或間接確定地面點(diǎn)的正常高的方法。gps測(cè)量是以世界大地坐標(biāo)系wgs-84為基礎(chǔ)的一種地固三維空間直角坐標(biāo)系。2.3常用的數(shù)學(xué)擬合模型gps高程擬合，實(shí)質(zhì)上就是求定地面點(diǎn)的高程異常值。高程異常是地球重力場(chǎng)的重要的參數(shù)，所以從理論上講，實(shí)現(xiàn)gps大地高向正常高的轉(zhuǎn)換的最好方法是綜合利用重力測(cè)量數(shù)據(jù)和地球重力場(chǎng)模型。但重力資料是國(guó)家級(jí)的機(jī)密，不是輕易獲取的，因此，數(shù)學(xué)擬合方法仍然是進(jìn)行g(shù)ps高程擬合的首選方案。目前，國(guó)內(nèi)外常用的數(shù)學(xué)擬合模型主要有：加權(quán)

19、平均法、曲線擬合法、曲面擬合法、克里格法等。下面將進(jìn)行簡(jiǎn)單的介紹。2.3.1加權(quán)平均法加權(quán)平均法，就是由內(nèi)插點(diǎn)周圍部分己知點(diǎn)的高程異常加權(quán)平均求得該點(diǎn)的高程異常。設(shè)在內(nèi)差點(diǎn)周圍選n各已知點(diǎn)，高程異常，（i=1,2,.,n），對(duì)應(yīng)的權(quán)為pi，則內(nèi)插點(diǎn)的高程異常為： （2-9）2.3.2曲線擬合法其原理是:根據(jù)高程控制點(diǎn)的平面坐標(biāo)及其高程異常值，通過構(gòu)造一個(gè)插值函數(shù)來(lái)擬合測(cè)線方向上的似大地水準(zhǔn)面曲線，然后據(jù)此內(nèi)插其它點(diǎn)的高程異常。8（1）多項(xiàng)式曲線擬合法設(shè)高程控制點(diǎn)的高程異常與其坐標(biāo)x（或y）間存在函數(shù)關(guān)系，可以用下面的多項(xiàng)式 （2-11）來(lái)擬合。式中i=1，2，.，n。各高程控制點(diǎn)的已知高程異常

20、與其擬合值之差為： （2-12）式中i=1，2，.，n。根據(jù)曲線擬合的最小二乘法解算任一點(diǎn)的高程異常值，從而獲得該點(diǎn)的正常高。（2） 三次樣條曲線擬合法三次樣條曲線實(shí)際上是由一段一段的三次多項(xiàng)式曲線拼接而成的連續(xù)曲線在連接點(diǎn)處，不僅函數(shù)自身是連續(xù)的，而且其一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)也是連續(xù)的。設(shè)在每個(gè)子區(qū)間xi，xi+1上，（i=0，1，2，.，n-1），其表達(dá)式為： （2-14）從而有： （2-15）顯然，(x)由ai,bi,ci和di四個(gè)待定系數(shù)唯一確定。因此要確定(x)，必須設(shè)法求解4n個(gè)未知系數(shù)。當(dāng)gps點(diǎn)呈線狀布設(shè)(如公路、輸油管道等工程中)，可應(yīng)用曲線擬合法求待定點(diǎn)的正常高。而本論文采用的

21、校園gps控制網(wǎng)非線狀，故不適合曲面擬合法。2.3.3曲面擬合法根據(jù)測(cè)區(qū)中已知的網(wǎng)狀gps控制點(diǎn)的平面坐標(biāo)和高程異常值，擬合出測(cè)區(qū)的似大地水準(zhǔn)面，進(jìn)而求出未知點(diǎn)的正常高。（1） 多項(xiàng)式曲面擬合法此時(shí)選用以下空間曲面表達(dá)式: （2-16）式中:ai(i=0,1,2,.,n)為待定系數(shù)。在最小二乘的準(zhǔn)則下，可以內(nèi)插出未知點(diǎn)的高程異常，進(jìn)而求出正常高。（2） 多面疊加內(nèi)插法（多面函數(shù)法）它的基本思想是任何一個(gè)規(guī)則的或是不規(guī)則的連續(xù)曲面均可以由若干個(gè)單值數(shù)學(xué)面來(lái)疊加擬合。多面疊加法其方程的一般表達(dá)式為： （2-18）式中：為參加插值計(jì)算的單值數(shù)學(xué)面；n為簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)面的張數(shù)，或多層疊加面的層數(shù)；ki(i=

22、1,2,3,.,n)為待定參數(shù)，它代表了第i個(gè)核函數(shù)對(duì)多層疊加面的貢獻(xiàn)。2.3.5克里格法9克里格法又稱空間局部插值法，是以變異函數(shù)理論和結(jié)構(gòu)分析為基礎(chǔ)，在有限區(qū)域內(nèi)對(duì)區(qū)域化變量進(jìn)行無(wú)偏最優(yōu)估計(jì)的一種方法，是地統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要內(nèi)容之一。克里格法是根據(jù)待插值點(diǎn)與臨近實(shí)測(cè)高程點(diǎn)的空間位置，對(duì)待插值點(diǎn)的高程值進(jìn)行線性無(wú)偏最優(yōu)估計(jì)，?？偟墓绞? （2-19）式中，z(x0)表示未知樣點(diǎn)的值，z(x)表示未知樣點(diǎn)周圍的已知樣本點(diǎn)的值，n為已知樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，為第個(gè)樣本點(diǎn)的權(quán)重。它的確定是通過半方差圖分析獲取的。實(shí)際工程中，地形變化有很多種，而克里金插值能夠較好地反映這種變化。克里格法與其它常用的擬合模型比較

23、具有以下明顯的優(yōu)點(diǎn)10：（1）克里格法立足于屬性的空間變化，詳盡地描述這種變化的數(shù)學(xué)關(guān)系；而其它插值方法往往只考慮空間點(diǎn)的簡(jiǎn)單集合關(guān)系。（2）克里格法在給出估計(jì)值時(shí)，能同時(shí)給出估計(jì)誤差；其它插值方法只能給出估計(jì)值，而不能給出該估計(jì)值的誤差。因此，本論文將采用克里格方法進(jìn)行試驗(yàn)分析。本節(jié)只給出克里格方法的統(tǒng)一公式，其基礎(chǔ)理論將在下一章進(jìn)行詳盡的介紹。3、克里格方法的基本原理3.1克里格方法克里格方法是南非礦產(chǎn)工程師d.g.krige和法國(guó)地理學(xué)家g.matheron為解決一些空間插值方法的不確定性，而提出的一種優(yōu)化插值方法。通過幾十年的實(shí)踐運(yùn)用，克里格方法已經(jīng)成為地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要內(nèi)容之一,廣泛應(yīng)

24、用于許多領(lǐng)域，效果顯著。表3.1 克里格方法的主要步驟進(jìn)行預(yù)測(cè)導(dǎo)入數(shù)據(jù)計(jì)算克里格系數(shù)數(shù)據(jù)分析擬合理論半變異函數(shù)圖繪制經(jīng)驗(yàn)半變異函數(shù)圖繪制方差變異云圖按組統(tǒng)計(jì)平均距離及對(duì)應(yīng)的平均方差按距離分組計(jì)算樣點(diǎn)間的屬性方差根據(jù)數(shù)據(jù)選擇合適的方法計(jì)算樣點(diǎn)間的距離矩陣泛克里格方法數(shù)據(jù)變換是否存在趨勢(shì)是否服從正態(tài)分布否是是否 克里格方法起先是應(yīng)用于計(jì)算礦產(chǎn)儲(chǔ)量以及誤差估計(jì)，但其所包含的理論和數(shù)學(xué)模型被許多領(lǐng)域所借鑒。克里格方法的理論基礎(chǔ)包括：3.1.1前提假設(shè)（1）隨機(jī)過程克里格法認(rèn)為研究區(qū)域中的所有樣本值都是隨機(jī)過程的結(jié)果，即所有樣本值都不是相互獨(dú)立的，它們是遵循一定的內(nèi)在規(guī)律的。（2）正態(tài)分布在運(yùn)用克里格方

25、法之前，要對(duì)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，判斷其是否符合正態(tài)分布，如果數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布，應(yīng)選取合適的變換形式將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成正態(tài)分布的形式。（3）平穩(wěn)性假設(shè)11討論隨機(jī)函數(shù)的平穩(wěn)性是非常重要的，只有在某些特定平穩(wěn)性假設(shè)的條件下，才有可能進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。地統(tǒng)計(jì)學(xué)中的基本假設(shè)條件有兩個(gè)：二階平穩(wěn)假設(shè)和本征假設(shè)，這也是區(qū)域化變量結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)。二階平穩(wěn)是假設(shè)區(qū)域化變量z（x）具有相同的協(xié)方差，且協(xié)方差只與這兩點(diǎn)的相對(duì)位置h有關(guān)，即滿足以下兩個(gè)條件：存在數(shù)學(xué)期望ez(x)為常數(shù)： （3-1）每一組隨機(jī)變量z(x)，z(x+h)都存在協(xié)方差而相同，即： （3-2）本征平穩(wěn)假設(shè)是指具有相同距離和方向的任意兩點(diǎn)的方差（即變

26、異函數(shù)）是相同的。如果隨機(jī)函數(shù)滿足以下兩個(gè)條件，則被認(rèn)為是本征平穩(wěn)的：對(duì)任意的x和h都有： （3-5）增量z(x+h)z(x)有一個(gè)方差函數(shù)且不依賴于x，即： （3-6）二階平穩(wěn)和本征平穩(wěn)都是為了獲得基本重復(fù)規(guī)律而作的基本假設(shè)。3.1.2區(qū)域化變量當(dāng)一個(gè)變量呈現(xiàn)空間分布時(shí)，往往反映某種空間特征或規(guī)律，用區(qū)域化變量來(lái)描述的現(xiàn)象，稱之為區(qū)域化隨機(jī)變量。區(qū)域化變量并非完全獨(dú)立，它隨空間的連續(xù)變化而改變。在實(shí)際分析中，常采用抽樣的方式獲得區(qū)域化變量在某個(gè)區(qū)域內(nèi)的值，此時(shí)區(qū)域化變量表現(xiàn)為空間點(diǎn)函數(shù)： （3-7）式中x代表空間點(diǎn)的位置，xu,xv,xw以代表三個(gè)空間坐標(biāo)分量。區(qū)域化變量具有隨機(jī)性和結(jié)構(gòu)性。

27、通常以z(x)表示一個(gè)區(qū)域化變量，x表示空間中的位置向量。3.1.3變異分析（1）協(xié)方差函數(shù)（自協(xié)方差函數(shù)）協(xié)方差函數(shù)可以用來(lái)描述區(qū)域化變量之間的相關(guān)性。區(qū)域化變量z(x)在點(diǎn)x和x+h處的值z(mì)(x)與z(x+h)與兩點(diǎn)間的距離和變量特征有關(guān)。協(xié)方差函數(shù)的公式為： （3-8）（2） 變異函數(shù)（變差函數(shù)）變異函數(shù)是克里格法乃至整個(gè)地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的基石。變異函數(shù)是對(duì)區(qū)域化變量結(jié)構(gòu)分析的工具，反映了區(qū)域化變量的空間變化特征和變化程度。在某方向上的相距h的增量的方差，稱為區(qū)域化變量在該方向上的變異函數(shù)，記為r(x，h)，即 （3-9）當(dāng)滿足二階平穩(wěn)假設(shè)時(shí)，有公式： （3-10）r(h)又稱為半變異函數(shù)，它

28、是區(qū)域化變量理論的基本統(tǒng)計(jì)量。半變異函數(shù)是統(tǒng)計(jì)計(jì)算的基礎(chǔ)，在克里格方法中能很好地反映區(qū)域化變量的空間連續(xù)性和空間相關(guān)性。3.2克里格方法的三種類型克里格方法主要有以下幾種類型：類型適用范圍普通克里格方法（ordinary kriging）滿足內(nèi)蘊(yùn)假設(shè)，其區(qū)域化變量的平均值是未知的常數(shù)簡(jiǎn)單克里格方法（simple kriging）滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，其變量的平均值為已知的常數(shù)泛克里格方法（universal kriging）區(qū)域化變量的數(shù)學(xué)期望是未知的變化值指示克里格方法（indicator kriging）有真實(shí)的特異值、數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布時(shí)使用概率克里格方法（probability krigi

29、ng）求某種變量含量的概率時(shí)使用析取克里格方法（disjunctive kriging）計(jì)算可采儲(chǔ)量時(shí)使用協(xié)同克里格方法（co-kriging）適用于相互關(guān)聯(lián)的多元區(qū)域化變量對(duì)數(shù)正態(tài)克里格方法（logistic normal kriging）數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布時(shí)使用表3.1 克里格方法類型表不同的克里格方法的適用條件不同，普通克里格法、簡(jiǎn)單克里格法和泛克里格法前提條件是數(shù)據(jù)符合正態(tài)分布。下面將介紹本文所采用的三種克里格方法。3.2.1普通克里格法普通克里格法（ordinarykriging）是最基本、最重要、應(yīng)用最廣泛的克里格方法，它既可以對(duì)點(diǎn)進(jìn)行估計(jì)，也可以對(duì)塊進(jìn)行估計(jì)。普通克里格法首先假設(shè)數(shù)

30、據(jù)經(jīng)過可逆變換形成正態(tài)分布的形式，且區(qū)域化變量的期望值是未知的，然后進(jìn)行內(nèi)插。普通克里格法的公式如下: （3-11）式中，=1，2.，n，n是集合中離散點(diǎn)的個(gè)數(shù)，z是離散點(diǎn)的數(shù)值，是賦給每個(gè)離散點(diǎn)的權(quán)重。3.2.2簡(jiǎn)單克里格法12簡(jiǎn)單克里格方法的數(shù)學(xué)模型為： （3-12）或： （3-13）式中，（s）為待定點(diǎn)的估值，z（si）是區(qū)域內(nèi)已知點(diǎn)的屬性值，為克里格系數(shù)。簡(jiǎn)單克里格和普通克里格相似，區(qū)別在于：簡(jiǎn)單克里格方法假設(shè)待估點(diǎn)和已知點(diǎn)的數(shù)學(xué)期望都是已知的，而普通克里格的數(shù)學(xué)期望未知。通過觀測(cè)數(shù)學(xué)模型，可以看出，簡(jiǎn)單克里格法相對(duì)于普通克里格法多出了一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，使得兩者的平穩(wěn)假設(shè)條件產(chǎn)生差異。假設(shè)未

31、知點(diǎn)相對(duì)于期望值的偏差是已知點(diǎn)相對(duì)于期望值的偏差的加權(quán)求和。這里的期望值在簡(jiǎn)單克里格方法中是整個(gè)數(shù)據(jù)集合的平均，而普通克里格是對(duì)一個(gè)插值點(diǎn)的離散點(diǎn)子集的平均，相當(dāng)與在每一個(gè)位置，重新估計(jì)隨機(jī)函數(shù)的期望值。因此，簡(jiǎn)單克里格法不能用于具有局部趨勢(shì)的情況，但其預(yù)測(cè)的結(jié)果比普通克里格更加平滑。3.2.3泛克里格法假設(shè)區(qū)域化變量是固定不變的或滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，當(dāng)離散點(diǎn)集合從一個(gè)區(qū)域一個(gè)移動(dòng)到下一個(gè)區(qū)域，離散點(diǎn)的平均值是相對(duì)恒定的。如果數(shù)據(jù)里面存在一個(gè)主導(dǎo)趨勢(shì)，那么離散點(diǎn)的平均值就不固定了。在這種情況下，可以通過運(yùn)用一個(gè)模擬離散點(diǎn)的平均值的多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)暫時(shí)地固定數(shù)據(jù)，將固定的殘差（函數(shù)值和離散點(diǎn)實(shí)際值之間

32、的差）加到多項(xiàng)式函數(shù)上來(lái)計(jì)算。這種方法通常被稱為“泛克里格”方法。泛克里格法的公式可以表示為： （3-14）泛克里格方法是用一個(gè)函數(shù)項(xiàng)或多項(xiàng)式來(lái)模擬有主導(dǎo)趨勢(shì)的數(shù)據(jù)。從原始數(shù)據(jù)中消去這一函數(shù)項(xiàng)，從隨機(jī)誤差中模擬空間自相關(guān)。在進(jìn)行計(jì)算估計(jì)前，需要先從隨機(jī)誤差中擬合空間自相關(guān)，然后將函數(shù)項(xiàng)帶入到擬合模型取得最終的預(yù)測(cè)結(jié)果。4、gps高程擬合試驗(yàn)4.1試驗(yàn)工具4.1.1arcgis簡(jiǎn)介近幾十年來(lái)，地理信息系統(tǒng)技術(shù)發(fā)展很快，作為其重要的組成部分，空間信息分析，也已經(jīng)發(fā)展出一些重要的理論模型方法。空間分析的應(yīng)用領(lǐng)域含蓋面極廣，包含空間分析、空間數(shù)據(jù)分析、空間統(tǒng)計(jì)、地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)等。13地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)中的克里格方

33、法同時(shí)具有插值和估計(jì)的特點(diǎn)，在生產(chǎn)實(shí)踐中得到了廣泛應(yīng)用，已經(jīng)成為空間統(tǒng)計(jì)學(xué)上的一個(gè)重要分支，同時(shí)也成為許多地理空間信息分析軟件的重要組成部分。尤其是arcgis軟件，將地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)單獨(dú)作為一個(gè)分析擴(kuò)展模塊（geostatistical analyst，簡(jiǎn)稱ga），納入到了整個(gè)軟件的框架體系結(jié)構(gòu)中。144.1.2高程擬合工具ga擴(kuò)展模塊提供了通過確定性方法和地統(tǒng)計(jì)方法對(duì)表面進(jìn)行建模的功能。它提供的工具與gis建模環(huán)境完全集成，可使用這些工具生成插值模型，并在將這些工具用于深入分析之前對(duì)其質(zhì)量進(jìn)行評(píng)估。在arcgis中，探索性數(shù)據(jù)分析（explore data）、地統(tǒng)計(jì)分析向?qū)В╣eostatist

34、ical wizard）和生成數(shù)據(jù)子集（create subsets）構(gòu)成了完整的地質(zhì)統(tǒng)計(jì)分析模塊。15利用結(jié)果進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)分析和決策制定否是錄入并檢驗(yàn)數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)預(yù)處理空間結(jié)構(gòu)建模定義搜索鄰域預(yù)測(cè)未采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)量化預(yù)測(cè)值的不確定值檢驗(yàn)插結(jié)果和不確定度量值是否合理圖4.1 地統(tǒng)計(jì)分析工作流程（1）探索性數(shù)據(jù)分析（explore data）在arcgis的geostatistical analyst模塊中，包含了圖4.2中的幾種數(shù)據(jù)分析工具。圖4.2 explore data探索數(shù)據(jù)可以直觀地了解數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)和趨勢(shì)，即數(shù)據(jù)是否符合正態(tài)分布。能夠使用克里格方法的最基本的條件就是符合正態(tài)分布。如果不符合，可以通

35、過剔除離群值或利用arcgis軟件的log（對(duì)數(shù)）或box-cox(冪函數(shù))進(jìn)行數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換來(lái)使數(shù)據(jù)符合正態(tài)分布。（2）地統(tǒng)計(jì)分析向?qū)В╣eostatistical wizard）在arcgis軟件內(nèi)嵌的地統(tǒng)計(jì)分析模塊（ga）中包含了多種插值方法?？臻g插值確定性插值徑向基插值局部性插值地統(tǒng)計(jì)插值全局性插值：全局多項(xiàng)式插值普通克里格插值反距離權(quán)插值局部多項(xiàng)式插值協(xié)同克里格插值析取克里格插值概率克里格插值泛克里格插值簡(jiǎn)單克里格插值圖4.3 空間插值分類示意圖從圖4.3中可以看出，克里格插值方法，是其中的重要組成部分。（3）生成數(shù)據(jù)子集（create subsets）用create subsets將采樣

36、點(diǎn)數(shù)據(jù)分成兩部分:一部分作為檢驗(yàn)樣本，一部分作為訓(xùn)練樣本，進(jìn)行交叉檢驗(yàn)。4.2克里格法擬合試驗(yàn)4.2.1試驗(yàn)方案利用arcgis軟件中的地統(tǒng)計(jì)分析模塊，采用普通克里格、簡(jiǎn)單克里格和泛克里格三種克里格方法對(duì)校園實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)，首先分別對(duì)三種克里格法進(jìn)行擬合試驗(yàn)，得到不同參數(shù)下的擬合模型，在進(jìn)行精度的比較，得到該方法下的最佳擬合模型；然后再對(duì)三種方法的最佳擬合模型進(jìn)行比較，得到適合小范圍平坦區(qū)域的最佳克里格擬合模型。經(jīng)過可靠的數(shù)據(jù)分析處理后的控制點(diǎn)全部參與擬合計(jì)算，擬合的模型精度采用均方根預(yù)測(cè)誤差來(lái)評(píng)定，均方根誤差越小，則模型精度越高，擬合效果越好。4.2.2試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析本論文用于試驗(yàn)的數(shù)據(jù)，采

37、用的是的校園控制點(diǎn)。其水準(zhǔn)數(shù)據(jù)是建立在北京54坐標(biāo)系下，而wgs84坐標(biāo)系的gps數(shù)據(jù)的獲取是以網(wǎng)絡(luò)rtk技術(shù)為主。由于校園建筑導(dǎo)致的信號(hào)遮擋及點(diǎn)位損壞等因素，本試驗(yàn)開始階段共包含了58個(gè)未經(jīng)過數(shù)據(jù)分析的gps控制點(diǎn)。首先檢驗(yàn)數(shù)據(jù)分布特征。（1）直方圖直方圖可以直觀的反映數(shù)據(jù)是否滿足正態(tài)分布。圖4.4 直方圖此圖為未經(jīng)過任何處理的原始數(shù)據(jù)的直方圖，可以看出，圖的右側(cè)存在離群值，需要剔除。圖4.5 數(shù)據(jù)處理后直方圖此圖經(jīng)過log數(shù)據(jù)變換后，偏度接近于0， 數(shù)據(jù)偏左；峰度0，數(shù)據(jù)比正態(tài)分布高聳。此時(shí)，圖中數(shù)據(jù)初步滿足正態(tài)分布，可以采用克里格方法。但圖中仍有部分間隔點(diǎn)，需經(jīng)過voronoi圖的進(jìn)一步

38、分析判斷。（2）voronoi圖voronoi圖是根據(jù)樣點(diǎn)和相鄰點(diǎn)的連線的垂直平分線建立的連續(xù)多邊形。圖中與周圍面域顏色不同的區(qū)塊可能是離群點(diǎn)，需要結(jié)合正態(tài)qqplot圖進(jìn)行比對(duì)。圖4.6 voronoi圖（3）正態(tài)qqplot圖正態(tài)qq圖是將數(shù)據(jù)與正態(tài)分布數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，檢查數(shù)據(jù)的正態(tài)分布情況。圖4.7 正態(tài)qqplot圖從圖4.7中看出，點(diǎn)近似地呈現(xiàn)直線分布，表明數(shù)據(jù)符合正態(tài)分布。（4）趨勢(shì)分析趨勢(shì)分析用一個(gè)三維視圖來(lái)探察空間數(shù)據(jù)。圖4.8 趨勢(shì)分析圖4.8中有不明顯的趨勢(shì)面存在，可以采用泛克里格法。（5）半變異函數(shù)與協(xié)方差云半變異函數(shù)與協(xié)方差云用來(lái)檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的空間自相關(guān)和方向變化。圖4.9

39、半變異函數(shù) 圖4.10 協(xié)方差云兩幅圖中的點(diǎn)相對(duì)集中，沒有特別分散的點(diǎn)，無(wú)需再進(jìn)行去粗處理。4.3高程擬合試驗(yàn)圖4.11為gps控制點(diǎn)在arcgis軟件中的分布圖。表4.1為剔除部分離群值后的gps控制點(diǎn)數(shù)據(jù)，共43個(gè)，將全部參與本次高程擬合試驗(yàn)。圖4.11 校園gps控制點(diǎn)分布圖點(diǎn)名x坐標(biāo)y坐標(biāo)大地高正常高高程異常my032884277.868416515.0698.310.7462.446my042884437.465416535.2398.0610.4832.423my052884426.395416385.7437.5529.9952.443my062884286.376416227.

40、3748.79610.4321.636my072884321.241416108.3358.78110.5691.788my082884402.6416168.6887.9110.3832.473表4.1 gps控制點(diǎn)數(shù)據(jù)表（單位：m）點(diǎn)名x坐標(biāo)y坐標(biāo)大地高正常高高程異常my152884837.64416103.728.33110.7462.415my162884837.635416103.7158.32110.7362.415my172884624.838415919.1348.04210.372.328my182884759.197415977.4298.04910.4852.436my1

41、92884997.33416003.4898.35311.0532.7my212885052.958416216.0478.45110.8342.383my232885241.58416115.4198.20510.5772.372my242885238.853415828.0167.710.8523.152cp162885005.677416232.9678.08310.4712.388cp172885054.419416207.0248.4410.8242.384cp182885230.455416217.7078.30410.6642.36cp192885227.622416237.29

42、29.35311.7122.359cp222885080.506415935.728.11710.9792.862cp232885217.814415911.6568.22510.6262.401cp252885367.893415976.9088.23410.6072.373cp262885367.351416133.4218.44110.7942.353cp272885433.615415971.9498.38810.7532.365cp282885366.317415894.4418.27810.6622.384cp292885494.237415893.8028.30710.6742.

43、367cp302885498.28415979.0078.64711.0032.356cp312885656.57415958.7568.310.6382.338cp322885626.415415810.4628.2710.6312.361cp332885424.632416096.4628.30110.6522.351cp342885433.918416044.7468.3810.7362.356cp352885494.31416044.0768.33510.6842.349cp362885438.69415615.9067.40310.9923.589cp372885385.345415

44、650.717.44610.9393.493cp382885342.528415682.9147.53710.9493.412cp392885245.015415626.847.59210.9373.345cp402885239.797415557.8977.46810.8713.403cp412885350.24415471.1857.28810.9043.616cp442884254.087416342.1449.33910.831.491cp452884382.624416318.4098.96310.6311.668cp462884386.677416233.1967.93310.42

45、.467cp472884454.473416078.5558.12710.5712.444cp482884568.618416010.3898.28410.462.176cp502884380.262415985.688.41310.3841.971表4.1（續(xù)） gps控制點(diǎn)數(shù)據(jù)表（單位：m）4.3.1克里格法試驗(yàn)由于arcgis軟件中的克里格法已經(jīng)規(guī)范化，因此本節(jié)以普通克里格為例，表述試驗(yàn)過程。地統(tǒng)計(jì)中，三個(gè)參數(shù)的選擇對(duì)結(jié)果的精度影響很大，即transformation（數(shù)據(jù)變換方式）、order of trend（趨勢(shì)次數(shù)）和model（半變異函數(shù)擬合模型）.本文以這三個(gè)參數(shù)為變量進(jìn)行擬

46、合試驗(yàn)，當(dāng)其中一個(gè)參數(shù)改變時(shí)，保持另外兩個(gè)參數(shù)不變，可以組合成多種的半變異函數(shù)模型。圖4.12 克里格方法選擇框通過前面的數(shù)據(jù)分析，本文所采用的數(shù)據(jù)需要進(jìn)行數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換，transformation選擇log和box-cox兩種。order of trend包括五種：none、constant、first、second、third。泛克里格方法需要存在趨勢(shì)，故試驗(yàn)中去除none選項(xiàng)。本試驗(yàn)是對(duì)高程異常數(shù)據(jù)進(jìn)行作為擬合，得到擬合模型，因此，output type（輸出類型）選擇prediction（預(yù)測(cè)圖）。圖4.13 半變異函數(shù)/協(xié)方差建模圖arcgis中的半變異函數(shù)model包括十一種類型：ci

47、rcular（圓）、spherical（球形）、tetra spherical（四球形）、penta spherical（五球形）、exponential（指數(shù)）、gaussian（高斯）、rational quadratic（有理二次方程式）、hole effect（孔洞效應(yīng)）、k-bessel（k-貝塞爾）、j-bessel（j-貝塞爾）、stable（穩(wěn)定）。不同的模型對(duì)克里格的精度影響也不同。本文將選擇不同的模型對(duì)校園gps控制點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。16圖4.14 搜索鄰域通過定義搜索鄰域，排除對(duì)特定預(yù)測(cè)點(diǎn)影響不大的點(diǎn)。本文以半變異函數(shù)的模型為主要參數(shù)，故使用默認(rèn)設(shè)置。圖4.15 交叉驗(yàn)證通

48、過交叉驗(yàn)證，獲得對(duì)模型的精度評(píng)價(jià)。4.3.2試驗(yàn)結(jié)果及分析每一種克里格法選取不同的參數(shù)得到不同的擬合模型，對(duì)擬合精度可以采用標(biāo)準(zhǔn)平均值、均方根預(yù)測(cè)誤差、平均標(biāo)準(zhǔn)誤差和標(biāo)準(zhǔn)均方根四個(gè)系數(shù)來(lái)評(píng)定。本文采用均方根誤差（均方根誤差是用來(lái)衡量觀測(cè)值同真值之間的偏差）作為評(píng)價(jià)模型精度的標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)均方根誤差最小時(shí)，達(dá)到最佳擬合狀態(tài)。（log）constantfirstsecondthirdcircular0.2229378990.2268162760.2353289270.245541857spherical0.2297397810.2288861510.2366005820.242915565tetra s

49、pherical0.236190180.23467240.2363253710.243860623penta spherical0.2418105090.2290403840.2337149770.243860623exponential0.2401056520.2380775960.2335205730.241383666gaussian0.2643049580.2594003690.2371178370.243142053rational quadratic0.2473296050.2450086360.2366270320.242023573hole effect0.410422110.

50、2403750180.3247745580.272668551k-bessel0.2385689850.2423547110.2353895350.241875144stable0.2643049580.2411132250.2371169810.243142184表4.2 普通克里格結(jié)果（log）（box-cox）constantfirstsecondthirdcircular0.2138586890.2127683830.2236316070.244791732spherical0.213448830.2180318190.2237472250.242236352tetra spheric

51、al0.2135388920.21967520.222535760.241283508penta spherical0.2132976360.2209180280.2201763280.241769193exponential0.2144741090.2323630970.2191548440.238655839gaussian0.216217610.2218842790.2241522270.241352962rational quadratic0.3032357660.235865230.2218107670.239798457hole effect0.237314470.2172312620.3588313160.276613824k-bessel0.2265338190.2264963950.2223629630.23997740