第四章 剛體轉(zhuǎn)動

1、第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 4-1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 剛體：剛體：a. a. 在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的 物體（考慮大小、形狀，忽略形變）物體（考慮大小、形狀，忽略形變） b.b. 任意兩質(zhì)點間距離保持不變的質(zhì)點組任意兩質(zhì)點間距離保持不變的質(zhì)點組 剛體的運動形式：剛體的運動形式：平動、轉(zhuǎn)動，一般運動平動、轉(zhuǎn)動，一般運動 剛體是理想模型剛體是理想模型 剛體模型是為簡化問題引進(jìn)的剛體模型是為簡化問題引進(jìn)的 說明說明：

2、4.14.1 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 剛體平動剛體平動 質(zhì)點運動質(zhì)點運動 平動：平動：剛體中所有點的剛體中所有點的 運動軌跡都保持完全相運動軌跡都保持完全相 同（或剛體內(nèi)任意兩同（或剛體內(nèi)任意兩 點連線的方向保持不變）點連線的方向保持不變） 平動特點：平動特點：各點運動狀各點運動狀 態(tài)一樣，如：態(tài)一樣，如： 等等 都相同都相同 a 、 v 結(jié)論：結(jié)論：剛體平動時，各質(zhì)元的軌跡都一樣，故可用體內(nèi)剛體平動時，各質(zhì)元的軌跡都一樣，故可用體內(nèi) 任意一點的運動來代表整體的運動。任意一點的運動來代表整體的運動。 第四章第四章 剛體

3、的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)動：剛體中所有點都繞同一直線做圓周運動剛體中所有點都繞同一直線做圓周運動 剛體的剛體的一般運動一般運動可看作：可看作： 隨質(zhì)心的平動隨質(zhì)心的平動繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動 + 的合成的合成 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 1） 每一質(zhì)點均作圓周運動，圓面為轉(zhuǎn)動平面；每一質(zhì)點均作圓周運動，圓面為轉(zhuǎn)動平面； 2） 任一質(zhì)點運動任一質(zhì)點運動 均相同，但均相同，但 不同；不同； 3） 運動描述僅需運動描述僅需一個一個坐標(biāo)坐標(biāo) . ,a , v 剛體定軸轉(zhuǎn)動的特點：剛體定軸轉(zhuǎn)動的特點： 第四章第四章

4、剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 )(tl 角坐標(biāo)角坐標(biāo) )()(tttl 角位移角位移 tt t d d lim 0 l 角速度角速度 l 角加速度角加速度 td d 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角量描述：剛體定軸轉(zhuǎn)動的角量描述： 角量與線量的關(guān)系：角量與線量的關(guān)系： rv 2 n t ra ra 方向：方向：沿轉(zhuǎn)軸沿轉(zhuǎn)軸，右手螺旋法則，習(xí)慣上，右手螺旋法則，習(xí)慣上取為正方向取為正方向 方向：方向：沿轉(zhuǎn)軸沿轉(zhuǎn)軸， 與與 同向為正，反之為負(fù)同向為正，反之為負(fù) 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 4-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣

5、量 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 問：問：在質(zhì)點問題中，我們將物體所受的力均作在質(zhì)點問題中，我們將物體所受的力均作 用于同一點，并僅考慮力的用于同一點，并僅考慮力的大小大小和和方向方向所產(chǎn)生的作所產(chǎn)生的作 用；在剛體問題中，我們是否也可以如此處理用；在剛體問題中，我們是否也可以如此處理？力力 的的作用點作用點的位置對物體的運動有影響嗎的位置對物體的運動有影響嗎？ 0,0 ii MF 圓盤靜止不動圓盤靜止不動 0,0 ii MF 圓盤繞圓心轉(zhuǎn)動圓盤繞圓心轉(zhuǎn)動 F F F F 力的力的作用點的位置作用點的位置對物體對物體轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動會產(chǎn)生影響會產(chǎn)生影響. 第

6、四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 力力 改變剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài) 剛體獲得角加速度剛體獲得角加速度 特點：特點：只有只有垂直于轉(zhuǎn)軸的垂直于轉(zhuǎn)軸的力力 對固定轉(zhuǎn)軸才有力矩對固定轉(zhuǎn)軸才有力矩 質(zhì)點獲得加速度質(zhì)點獲得加速度改變質(zhì)點的運動狀態(tài)改變質(zhì)點的運動狀態(tài) 一、力矩一、力矩( ) ( ) 作用：作用：改變剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài) z O k F r FFF F F 平行轉(zhuǎn)軸的分力不能改變定軸轉(zhuǎn)動狀態(tài)，平行轉(zhuǎn)軸的分力不能改變定軸轉(zhuǎn)動狀態(tài)，只討論只討論 垂直轉(zhuǎn)軸的力對轉(zhuǎn)軸的力矩。垂直轉(zhuǎn)軸的力對轉(zhuǎn)軸的力矩。 M F 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的

7、轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 定義式：定義式： P z * O M F r d FrM 方向：方向：沿轉(zhuǎn)軸沿轉(zhuǎn)軸 FdrFMsin 合力矩：合力矩：等于各分力矩的矢量和等于各分力矩的矢量和 321 MMMM 注意：注意：內(nèi)力矩的矢量和為零內(nèi)力矩的矢量和為零 0 212211 dFdFFrFr 0 內(nèi) M 2 r 1 r 1 F 2 F O d 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 阻動 MMM 實際計算實際計算：矢量合成變?yōu)槭噶亢铣勺優(yōu)榇鷶?shù)量代數(shù)量計算。計算。 （1）習(xí)慣上）習(xí)慣上取取 為正方向為正方向 （2）動力矩：）動力矩：0, MM同向與

8、 0, MM反向與 阻力矩：阻力矩： 1 F 2 F o 1 r 2 r 12 MMM （3 3）合力矩：）合力矩： 0 22 FrM 0 11 FrM 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 定義：定義： 物理意義物理意義：轉(zhuǎn)動慣性大小的量度：轉(zhuǎn)動慣性大小的量度 . 二、轉(zhuǎn)動慣量（二、轉(zhuǎn)動慣量（ ） J m （1）質(zhì)量）質(zhì)量離散離散分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量 2 22 2 11 2 rmrmrmJ i i i （2）質(zhì)量）質(zhì)量連續(xù)連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量 mrrmJ i i i d 22 質(zhì)量元：質(zhì)量元： md轉(zhuǎn)動半徑：轉(zhuǎn)動半徑：

9、r r O md 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 線分布線分布 體分布體分布 面分布面分布 dldm dsdm dVdm 質(zhì)量為線分布時，質(zhì)量為線分布時， 質(zhì)量為面分布時，質(zhì)量為面分布時， 質(zhì)量為體分布時，質(zhì)量為體分布時， 、 、 分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。 連續(xù)分布剛體轉(zhuǎn)動慣量的計算：連續(xù)分布剛體轉(zhuǎn)動慣量的計算：mrJd 2 l d sd 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 軸位于端點軸位于端點A： 2 2 2 2 1 12 l lC ml m Jxdx l 2 0

10、2 1 3 l A m Jxmldx l 例例1 1 長長 、質(zhì)量、質(zhì)量 的均勻細(xì)棒繞垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量。的均勻細(xì)棒繞垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量。 lm 取一小段取一小段 ，則，則 軸位于中心軸位于中心C： A B dx l x A B C dx 2l2l x 解：解：x l m xmddd xd mrJd 2 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 例例2 均質(zhì)均質(zhì)圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量 例例3 均質(zhì)均質(zhì)圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量 2 22 00 dd LR JRmRl 2 232 0 d2 2 R m RlRmR

11、 R R O m r dr d2 dsr r ddms 232 2 00 2 dd 2 mR mm JrmrrR R 22 2 2 dd mmr r rr RR dl O m R 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 影響轉(zhuǎn)動慣量的因素影響轉(zhuǎn)動慣量的因素： （1）剛體的總質(zhì)量剛體的總質(zhì)量 （2 2）質(zhì)量分布）質(zhì)量分布 （3 3）轉(zhuǎn)軸的位置）轉(zhuǎn)軸的位置 注意：注意：（1）只有對于幾何形）只有對于幾何形 狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的 剛體，才能用積分計算出剛體的剛體，才能用積分計算出剛體的 轉(zhuǎn)動慣量。轉(zhuǎn)動慣量。 （2）對于幾何形狀）對

12、于幾何形狀不不規(guī)則剛體，規(guī)則剛體， 可以通過設(shè)計實驗來測定其轉(zhuǎn)動可以通過設(shè)計實驗來測定其轉(zhuǎn)動 慣量。慣量。 （3）物體改變其轉(zhuǎn)動慣量，可）物體改變其轉(zhuǎn)動慣量，可 以改變其轉(zhuǎn)動狀態(tài)。以改變其轉(zhuǎn)動狀態(tài)。 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 竿子長些還是短些較安全？竿子長些還是短些較安全？ 飛輪的質(zhì)量為什么飛輪的質(zhì)量為什么 大都分布于外輪緣？大都分布于外輪緣？ 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 2 mdII C P 質(zhì)量為質(zhì)量為 的剛體的剛體，如果對如果對 其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為 ， ，則 則 對任一對任

13、一與該軸平行與該軸平行，相距為相距為 d 的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量 C I m d C O m 22 2 1 mRmRI P 例：例：圓盤對圓盤對P 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量 RmO 平行軸定理平行軸定理 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 例例: 右圖所示剛體對經(jīng)過棒端且右圖所示剛體對經(jīng)過棒端且 與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量如何與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量如何 計算？計算？(棒長為棒長為L、質(zhì)量為、質(zhì)量為m1 , 圓圓盤盤半徑為半徑為R、質(zhì)量為、質(zhì)量為m2） 2 11 3 1 LmI 2 2202 dmII 2 2 2 2 2 121 )( 2 1 3 1

14、RLmRmLmIII O 解：直桿部分對解：直桿部分對O軸轉(zhuǎn)動慣量軸轉(zhuǎn)動慣量 圓盤部分對圓盤部分對O軸轉(zhuǎn)動慣量軸轉(zhuǎn)動慣量 如果圓盤為質(zhì)點：如果圓盤為質(zhì)點： 2 2 2 121 3 1 LmLmIII 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 三、定軸轉(zhuǎn)動定律（剛體中的牛二律）三、定軸轉(zhuǎn)動定律（剛體中的牛二律） 牛頓第二定律：牛頓第二定律：amF 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律：剛體定軸轉(zhuǎn)動定律： JM 外 ( (2) ) 為瞬時對應(yīng)關(guān)系為瞬時對應(yīng)關(guān)系 ( (3) ) 是剛體動力學(xué)基礎(chǔ)是剛體動力學(xué)基礎(chǔ) ( (1) ) 與與 方向相同，也沿轉(zhuǎn)軸方向相同，也沿轉(zhuǎn)軸 M ( (4)

15、) 取正方向，化矢量運算為代數(shù)量計算取正方向，化矢量運算為代數(shù)量計算 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用 選擇選擇隔離體隔離體：平動物體、轉(zhuǎn)動物體。：平動物體、轉(zhuǎn)動物體。 受力分析：對轉(zhuǎn)動物體分析力矩；對平動物體分析力。受力分析：對轉(zhuǎn)動物體分析力矩；對平動物體分析力。 繪繪出示力圖。出示力圖。畫出隔離體的畫出隔離體的加速度方向加速度方向； 先用文字符號求解，后帶入數(shù)據(jù)計算結(jié)果先用文字符號求解，后帶入數(shù)據(jù)計算結(jié)果. 取坐標(biāo)系，取坐標(biāo)系，坐標(biāo)軸盡量順著運動方向坐標(biāo)軸盡量順著運動方向； 對轉(zhuǎn)動物體對轉(zhuǎn)動物體列列轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律方程，

16、方程， 對平動物體應(yīng)用對平動物體應(yīng)用牛頓第二定律分量式方程；牛頓第二定律分量式方程； 找出平動物體、轉(zhuǎn)動物體之間的聯(lián)系；找出平動物體、轉(zhuǎn)動物體之間的聯(lián)系； 利用其它的約束條件列利用其它的約束條件列補充方程補充方程； 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 例例2: 質(zhì)量為質(zhì)量為 的物體的物體 A 靜止在光滑水平面上，和靜止在光滑水平面上，和 一質(zhì)量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為一質(zhì)量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為 R、質(zhì)、質(zhì) 量為量為 的圓環(huán)形滑輪的圓環(huán)形滑輪 C，并系在另一質(zhì)量為，并系在另一質(zhì)量為 的的 物體物體 B 上上. 滑輪與繩索間沒有滑動，滑

17、輪與繩索間沒有滑動， 且滑輪與軸承間且滑輪與軸承間 的摩擦力可略去不計的摩擦力可略去不計. 問：兩物體的線加速度為多少？問：兩物體的線加速度為多少？ 水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？(P111) B mC m A m A B C A m B m C m 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 A B C A m B m C m A F B F Ox A F A m amF AA amFgm BBB JRFRF AB Ra 解解：分別對物體：分別對物體A、B 及滑輪作受力分析，取坐及滑輪作受力分析，取坐 標(biāo)如圖，運用牛頓第二定

18、標(biāo)如圖，運用牛頓第二定 律律 、轉(zhuǎn)動定律列方程、轉(zhuǎn)動定律列方程 . B F A F C P C F aaa BA y O B F B P B m 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 2 CBA B mmm gm a 2 CBA BA A mmm gmm F 2 )2( CBA BCA B mmm gmmm F 解得：解得： 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動例例3：一長為一長為 質(zhì)量為質(zhì)量為 勻質(zhì)細(xì)桿勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置豎直放置，其下端與，其下端與 一固定鉸鏈一固定鉸鏈 O 相接，并可繞其轉(zhuǎn)動相接，并可繞其轉(zhuǎn)動 . 由于此

19、豎直放置的由于此豎直放置的 細(xì)桿處于細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動時，細(xì)桿，當(dāng)其受到微小擾動時，細(xì)桿 將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動 . 試計算細(xì)桿試計算細(xì)桿 轉(zhuǎn)動到與豎直線成轉(zhuǎn)動到與豎直線成 角時的角加速度和角速度角時的角加速度和角速度 .（P112） lm 解解 細(xì)桿受重力和細(xì)桿受重力和 鉸鏈對細(xì)桿的約束力鉸鏈對細(xì)桿的約束力 作用，由轉(zhuǎn)動定律作用，由轉(zhuǎn)動定律 N F JM 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 d d d d d d d d tt 由角加速度的定義由角加速度的定義 dsin

20、 2 3 d l g )cos1 ( 3 l g 得得sin 2 3 l g Jmglsin 2 1 式中式中 2 3 1 mlJ + dsin 2 3 d 00 l g 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 4-3 角動量角動量 角動量守恒定律角動量守恒定律 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 力力的時間累積效應(yīng)：的時間累積效應(yīng)： 動量、沖量、動量定理、動量守恒動量、沖量、動量定理、動量守恒 力矩力矩的時間累積效應(yīng)：的時間累積效應(yīng)： 角動量、沖量矩、角動量定理、角動角動量、沖量矩、角動量定理、角動 量守恒量守恒 第四章

21、第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 1.1.質(zhì)點的角動量質(zhì)點的角動量（動量矩動量矩） v mrprL 質(zhì)量為質(zhì)量為 的質(zhì)點以速度的質(zhì)點以速度 在空間運動，某時刻相對在空間運動，某時刻相對 參考點參考點 O 的位矢為的位矢為 ，質(zhì)點相對于，質(zhì)點相對于參考點參考點 O的角動量：的角動量： m r v 一一 質(zhì)點的角動量定理和角動量守恒定律質(zhì)點的角動量定理和角動量守恒定律 FrM 大小大小sinvrmL 的方向符合右手法則的方向符合右手法則L 當(dāng)質(zhì)點以當(dāng)質(zhì)點以 作半徑為作半徑為 的圓運動時，相對圓心的角的圓運動時，相對圓心的角 動量動量 r 2 mrrmLv L r

22、p m o PrL 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 p t r t p rpr tt L d d d d )( d d d d MFr t p r t L d d d d 0, d d p t r vv 2.2.質(zhì)點的角動量定理質(zhì)點的角動量定理 LtM dd 質(zhì)點的角動量定理的微分形式：質(zhì)點的角動量定理的微分形式： 質(zhì)點的角動量定理的積分形式：質(zhì)點的角動量定理的積分形式： LLLtM t t 0 d 0 沖量矩沖量矩tM t t d 0 沖量沖量tF t t d 0 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 質(zhì)點所受對參

23、考點質(zhì)點所受對參考點 O 的合力矩為零時，質(zhì)點對該參考的合力矩為零時，質(zhì)點對該參考 點點 O 的角動量為一恒矢量的角動量為一恒矢量. 質(zhì)點的角動量守恒定律質(zhì)點的角動量守恒定律 3. 質(zhì)點的角動量守恒定律質(zhì)點的角動量守恒定律 如行星繞太陽運動、衛(wèi)星繞地球運動、電子繞核旋轉(zhuǎn)等。如行星繞太陽運動、衛(wèi)星繞地球運動、電子繞核旋轉(zhuǎn)等。 , 0M 當(dāng)當(dāng) 恒矢量恒矢量 L 0 00 ddLLLtM L L t t 在有心力作用下的質(zhì)點對力心的角動量都是守恒的在有心力作用下的質(zhì)點對力心的角動量都是守恒的 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 例例1 （P116) 一半徑為一半

24、徑為 R 的光滑圓環(huán)置于豎直的光滑圓環(huán)置于豎直 平面內(nèi)平面內(nèi). 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 m 的的 小球穿在圓環(huán)上小球穿在圓環(huán)上, 并可并可 在圓環(huán)上滑動在圓環(huán)上滑動. 小球開小球開 始時靜止于圓環(huán)上的點始時靜止于圓環(huán)上的點 A (該點在通過環(huán)心該點在通過環(huán)心 O 的水平面上的水平面上)，然后從，然后從 A 點開始下滑設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦力略點開始下滑設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦力略 去不計求小球滑到點去不計求小球滑到點 B 時對環(huán)心時對環(huán)心 O 的角的角 動量和角速度動量和角速度 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 解解 小球受力小球受力 、 作用作用, 的力矩為的力矩

25、為 零，重力矩垂直紙面向里零，重力矩垂直紙面向里 由質(zhì)點的角動量定理由質(zhì)點的角動量定理 cosmgRM t L mgR d d cos tmgRLdcosd N F P N F 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 考慮到考慮到 2 mRmRLv gRmLLdcosd 32 得得 0 32 0 dcosdgRmLL L 21 )sin 2 ( R g 2 mRL 2123 )sin2(gmRL 得得 d cosmgR 即即dcosdmgRL tmgRLdcosd 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 二二 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角

26、動量定理和角動量守恒剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒 JrmL i i i 2 l 質(zhì)點圓周運動時對圓心的角動量質(zhì)點圓周運動時對圓心的角動量 2 mrrmvrpL l 剛體定軸轉(zhuǎn)動時，所有質(zhì)點都做圓周運動，剛體定軸轉(zhuǎn)動時，所有質(zhì)點都做圓周運動， 其角動量方向都相同，沿其角動量方向都相同，沿轉(zhuǎn)軸方向。轉(zhuǎn)軸方向。 Oi r i m i v z JL vmP JL 1.1.剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 2.2.剛體的角動量定理剛體的角動量定理 t L t J t JJM d d d )(d d d 剛體剛體定軸

27、轉(zhuǎn)動的角動量定理定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理 12 2 1 dJJtM t t 非剛體非剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理 1122 2 1 dJJtM t t 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 1122 2 1 dJJtM t t 3.3.角動量守恒定律角動量守恒定律 角動量守恒定律是自然界的一個基本定律角動量守恒定律是自然界的一個基本定律. 內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動量內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動量. 守恒條件守恒條件0M 若若 不變，不變， 不變；不變； 若若 變，變， 也變，但也變，但 不變不變. J JL J exin MM 在在沖擊沖擊等問題中等問題

28、中 L常量常量 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 許多現(xiàn)象都可許多現(xiàn)象都可 以用角動量守恒來以用角動量守恒來 說明說明. 花樣滑冰花樣滑冰 跳水運動員跳水跳水運動員跳水 點擊圖片播放點擊圖片播放 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 被被 中中 香香 爐爐慣性導(dǎo)航儀（陀螺）慣性導(dǎo)航儀（陀螺） 角動量守恒定律在技術(shù)中的應(yīng)用角動量守恒定律在技術(shù)中的應(yīng)用 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 例例1 質(zhì)量很小長度為質(zhì)量很小長度為l 的均勻細(xì)桿的均勻細(xì)桿, 可繞過其中心可繞過其中心 O 并與

29、紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動. 當(dāng)細(xì)桿靜止于水當(dāng)細(xì)桿靜止于水 平位置時平位置時, 有一只小蟲以速率有一只小蟲以速率 垂直落在距點垂直落在距點O為 l/4 處處, 并并背離點背離點O 向細(xì)桿的端點向細(xì)桿的端點A 爬行爬行. 設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)量均設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)量均 為為m. 問問: 欲使細(xì)桿以欲使細(xì)桿以恒定的角速度恒定的角速度轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動, 小蟲應(yīng)以多大速小蟲應(yīng)以多大速 率向細(xì)桿端點爬行率向細(xì)桿端點爬行?(P121) 0 v 22 0 ) 4 ( 12 1 4 l mml l mv l 0 7 12 v 解解: 小蟲小蟲與與細(xì)桿細(xì)桿為一系統(tǒng)，碰撞視為完全非彈性碰撞，為

30、一系統(tǒng)，碰撞視為完全非彈性碰撞， 碰撞前后系統(tǒng)角動量守恒碰撞前后系統(tǒng)角動量守恒 （碰撞過程不計重力矩）（碰撞過程不計重力矩） 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 l 0 7 12 v 由角動量定理：由角動量定理： t J t J t L M d d d )(d d d t r mrmrml t mgr d d 2) 12 1 ( d d cos 22 即即 考慮到考慮到 t ) 7 12 cos( 24 7 cos 2d d 0 0 t l t g t rv v lg v （恒定的角速度轉(zhuǎn)動）（恒定的角速度轉(zhuǎn)動） 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1

31、 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 l l/2 CA B M N h 解解 碰撞前碰撞前 M 落在落在 A點點 的速率的速率 21 0 )2( ghv 碰撞后的瞬間碰撞后的瞬間, M、N 具有相同的線速率具有相同的線速率 2 l v 例例2 一雜技演員一雜技演員 M 由距水平蹺板高為由距水平蹺板高為 h 處自由下落到蹺處自由下落到蹺 板的一端板的一端A, 并把蹺板另一端的演員并把蹺板另一端的演員N 彈了起來彈了起來. 設(shè)蹺板是設(shè)蹺板是 勻質(zhì)的勻質(zhì)的, 長度為長度為l, 質(zhì)量為質(zhì)量為 , 蹺板可繞中部支撐點蹺板可繞中部支撐點C 在豎直在豎直 平面內(nèi)轉(zhuǎn)動平面內(nèi)轉(zhuǎn)動, 演員的質(zhì)量均為演員的質(zhì)量均為m.

32、假定演員假定演員M落在蹺板上落在蹺板上, 與蹺板的碰撞是與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞. 問演員問演員N可彈起多高可彈起多高? m 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 把把M、N和和蹺板蹺板作為一個系統(tǒng)作為一個系統(tǒng), 碰撞過程系統(tǒng)角動量守恒碰撞過程系統(tǒng)角動量守恒 21 0 )(2ghv 2 l v 2) 2 ( 12 1 2 22 0 l mlm l mv lmm ghm mllm lm )6( )2(6 212 2 21 22 0 v 解得解得 演員演員 N 以以 u 起起 跳跳, 達(dá)到的高度達(dá)到的高度 h mm m g l g v h 2

33、222 ) 6 3 ( 82 l l/2 CA B M N h 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 4-4 力矩作功力矩作功 剛體定軸轉(zhuǎn)動的剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理動能定理 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 力的空間累積力的空間累積效應(yīng)：效應(yīng)： 力的功、動能、動能定理力的功、動能、動能定理 力矩的空間累積力矩的空間累積效應(yīng)：效應(yīng)： 力矩的功、轉(zhuǎn)動動能、動能定理力矩的功、轉(zhuǎn)動動能、動能定理 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 dd ddd t t MrF sFrFW 2 1 d MW

34、 力矩的功：力矩的功： 一一 力矩作功力矩作功 o r v F x t F r d d rFW d 推導(dǎo)：推導(dǎo)： 本質(zhì)：力矩的功在本質(zhì)上仍是力作功，是力本質(zhì)：力矩的功在本質(zhì)上仍是力作功，是力 作功的作功的角量表達(dá)形式角量表達(dá)形式。 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 2 1 2 2 2 1 2 1 d 2 1 JJMW 2 2 1 ii i k mEv 三三 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定 理理 2 1 d MW 222 2 1 )( 2 1 JRm i ii 2 1 1 1 dd d d J t J 二二 轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能 2 2 1 J

35、2 2 1 mv 比較比較 2 1 2 2 2 1 2 1 dvvmmrFW 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 四四 剛體重力勢能剛體重力勢能 CP mghE m hm h ii c iiiip hmgghmE pc Emgh 剛體的重力勢能為剛體上各質(zhì)點的重力勢能之和。剛體的重力勢能為剛體上各質(zhì)點的重力勢能之和。 剛體質(zhì)心的高度為：剛體質(zhì)心的高度為： 剛體的重力勢能為剛體的重力勢能為： 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 五五 含有轉(zhuǎn)動剛體的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律含有轉(zhuǎn)動剛體的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律 若若系統(tǒng)只有保守內(nèi)

36、力矩（重力矩、彈力矩）作功而沒系統(tǒng)只有保守內(nèi)力矩（重力矩、彈力矩）作功而沒 有其他外力矩和內(nèi)摩擦力矩（其他外力矩和內(nèi)摩擦力矩有其他外力矩和內(nèi)摩擦力矩（其他外力矩和內(nèi)摩擦力矩 作功總和為零）時，作功總和為零）時，含有轉(zhuǎn)動剛體的系統(tǒng)含有轉(zhuǎn)動剛體的系統(tǒng)機(jī)械能守恒。機(jī)械能守恒。 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 v o v o o m p T R 圓圓 錐錐 擺擺 子子 彈彈 擊擊 入入 桿桿 o v 以子彈和桿為系統(tǒng)以子彈和桿為系統(tǒng) 機(jī)械能機(jī)械能不不守恒守恒 . 角動量守恒；角動量守恒； 動量動量不不守恒；守恒； 以子彈和沙袋為系統(tǒng)以子彈和沙袋為系統(tǒng) 動量守恒

37、；動量守恒； 角動量守恒；角動量守恒； 機(jī)械能機(jī)械能不不守恒守恒 . 圓錐擺系統(tǒng)圓錐擺系統(tǒng) 動量動量不不守恒；守恒； 角動量守恒；角動量守恒； 機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒 . 討討 論論 子子 彈彈 擊擊 入入 沙沙 袋袋 細(xì)細(xì) 繩繩 質(zhì)質(zhì) 量量 不不 計計 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 思考：思考：設(shè)設(shè)Fmg，繩子下拉繩子下拉 相同的距離相同的距離s飛輪獲得的動能飛輪獲得的動能 是否相等？是否相等？ mg F (圖1)(圖2) 對圖對圖(1) 飛輪獲得的動能飛輪獲得的動能: 22 22 2 1 2 1 2 1 2 1 mmgsJ mgsmJ 對圖對圖(2

38、) 飛輪獲得的動能飛輪獲得的動能:mgsFsJ 2 2 1 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 k 0 0 I ,R m 例例 在圖示系統(tǒng)中，若物體由靜止釋放，釋放時彈簧在圖示系統(tǒng)中，若物體由靜止釋放，釋放時彈簧 未伸長，繩質(zhì)量和摩檫不計，且繩輪不打滑。求物體未伸長，繩質(zhì)量和摩檫不計，且繩輪不打滑。求物體 下滑的速度。問下滑的速度。問:物體最多能下滑多遠(yuǎn)？當(dāng)物體速率物體最多能下滑多遠(yuǎn)？當(dāng)物體速率 達(dá)最大值時，它已下滑多遠(yuǎn)？達(dá)最大值時，它已下滑多遠(yuǎn)？ 能量法能量法 T kx N T mg 受力分析圖受力分析圖 物體、滑輪物體、滑輪、彈簧彈簧、地球地球組成的系

39、組成的系 統(tǒng)在運動過程中，只有保守內(nèi)力統(tǒng)在運動過程中，只有保守內(nèi)力 作功，故系統(tǒng)的作功，故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。機(jī)械能守恒。 )2( ) 1 (sin 2 1 2 1 2 1 0 222 R mgxmJkx 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 能量法能量法 )2( ) 1 (sin 2 1 2 1 2 1 0 222 R mgxmJkx 2 1 2 2 2 ) 2 1 sin( 2 kxmgx JmR R 設(shè)物體最多能下滑距離為設(shè)物體最多能下滑距離為x1 k mg x sin2 0 1 當(dāng) 設(shè)速率達(dá)最大時，物體設(shè)速率達(dá)最大時，物體 下滑距離為下滑距離為x2 k

40、 mg xa sin 0 2 當(dāng) (1)式兩邊對式兩邊對t 求導(dǎo)，且求導(dǎo)，且 t x d d m R j kxmg t a 2 sin d d 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 例例 一長為一長為 l , 質(zhì)量為質(zhì)量為 的竿可繞支點的竿可繞支點O自由轉(zhuǎn)動自由轉(zhuǎn)動 . 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 、速率為、速率為 的子彈射入竿內(nèi)距支點為的子彈射入竿內(nèi)距支點為 處，處， 使竿的偏轉(zhuǎn)角為使竿的偏轉(zhuǎn)角為30 . 問子彈的初速率為多少問子彈的初速率為多少 ? va m m (1)碰撞過程，把碰撞過程，把子彈和竿子彈和竿看作一個系統(tǒng)看作一個系統(tǒng) . 子彈射入竿的過程子彈射入竿

41、的過程系統(tǒng)角動量守恒系統(tǒng)角動量守恒 1 22 ) 3 1 (malmamv o a m v 30 22 1 3 3 malm am v 解解: 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 mamalmmalmg6)3)(2)(32( 22 v 2 1 22 ) 3 1 ( 2 1 malm )30cos1 ( 2 l gm )30cos1 ( mga 以以子彈、細(xì)桿子彈、細(xì)桿和和地球地球 為系統(tǒng)為系統(tǒng),機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒 . o a m v 30 (2) 上升過程：上升過程： 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 4 1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 解解: 例例 一均勻細(xì)棒長為一均勻細(xì)棒長為 l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 m，可繞過