高中數(shù)學(xué)論文：一道習(xí)題的探究性教學(xué)

1、一道習(xí)題的探究性教學(xué)教學(xué)內(nèi)容：這是一堂在學(xué)了一元二次不等式的解法之后的復(fù)習(xí)課。復(fù)習(xí)一元二次方程根的分布問(wèn)題和處理含參數(shù)的恒成立問(wèn)題。教學(xué)目標(biāo)：通過(guò)這堂習(xí)題課是想讓學(xué)生學(xué)會(huì)處理一元二次方程根的分布，以及含參數(shù)不等式恒成立的問(wèn)題。體驗(yàn)多種思想方法：分類討論，轉(zhuǎn)化和化歸，數(shù)形結(jié)合。學(xué)會(huì)如何對(duì)題目進(jìn)行變式，培養(yǎng)自主創(chuàng)新能力和發(fā)散思維能力，從而提高對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。 教與學(xué)互動(dòng)過(guò)程：原題：浙江省普通高中新課程作業(yè)本數(shù)學(xué)高一下 人教版 b p24 第10題 設(shè)集合 ，集合。若 ，求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：這是集合運(yùn)算、解不等式及一元二次方程根分布結(jié)合的題目。綜合性比較強(qiáng)。解：由題得：當(dāng)，則得； 當(dāng)，則設(shè)，為的兩

2、根。那么由圖象可得：，；12xy ； ； 對(duì)稱軸；所以；綜上所述：。解題小結(jié)反思：顯然這里涉及一元二次方程根分布的一個(gè)典型問(wèn)題：兩根分布在同一個(gè)區(qū)間。讓學(xué)生試著總結(jié)一下需要考慮哪一些問(wèn)題，注意四個(gè)方面：前的系數(shù)（拋物線的開口方向），判別式，對(duì)稱軸，還有兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值。所以解這類問(wèn)題要數(shù)形結(jié)合。另外集合運(yùn)算的一個(gè)老問(wèn)題：注意空集的存在。（以后不妨先考慮）接下去教師就該抓住機(jī)會(huì)鞏固的時(shí)候。筆者提出讓學(xué)生設(shè)計(jì)題目，通過(guò)改編題目條件或結(jié)論來(lái)解決問(wèn)題。這時(shí)學(xué)生都想試一把，參與熱情比較高，同時(shí)讓他們體驗(yàn)如何編題，以便以后拿到題目就能快速分析。學(xué)生們就提出以下比較好的變式： 變式1：把 改為。再讓學(xué)生來(lái)解

3、決這個(gè)問(wèn)題。結(jié)合原題解法,利用數(shù)形結(jié)合很清晰。解題過(guò)程如下：12xy解：設(shè)，為的兩根。因?yàn)?，那么由圖象可得：；。所以。這樣的變式較簡(jiǎn)單，但它蘊(yùn)涵了一元二次方程根分布的另一個(gè)典型問(wèn)題：兩根分布在不同區(qū)間。顯然比兩根分布在同一個(gè)區(qū)間來(lái)得簡(jiǎn)單。只要考慮：兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值。此時(shí)判別式都不用考慮，已經(jīng)保證大于等于零。這時(shí)讓學(xué)生就總結(jié)一下根的分布問(wèn)題,做好筆記。繼續(xù)變式：在變式1的基礎(chǔ)上，有學(xué)生就提出：改為，嘗試的解了一下： 當(dāng)，則得；當(dāng)，由于對(duì)稱軸為在里面。此時(shí)，所以 無(wú)解。所以。解到這里，學(xué)生都有點(diǎn)意猶未盡，所以這個(gè)時(shí)候筆者抓住機(jī)會(huì)提點(diǎn)一下：學(xué)生們感覺這個(gè)變式少一點(diǎn)味道，那么再試著改編一下條件，使當(dāng)時(shí)

4、也有解，那么無(wú)解的原因是什么？對(duì)稱軸定了！那么如何改編呢？在提示下，學(xué)生就提出：變式2：設(shè)集合 ，集合，若，求實(shí)數(shù) 的取值范圍。分析：只是添加了一個(gè)，題目似乎變得活起來(lái)了。那么接下去就是研究如何解題？解法1：這是從二次函數(shù)角度考慮的，要注意對(duì)對(duì)稱軸的分類。12xy 當(dāng)，則得；當(dāng)，或，對(duì)稱軸為；記 （）當(dāng)即時(shí)，只要，得；此時(shí)； （）當(dāng)即時(shí)，只要，得； 此時(shí)無(wú)解； 所以中：，綜上所述：。解法2：（轉(zhuǎn)化思想）從角度考慮，轉(zhuǎn)化為求含參數(shù)二次函數(shù)最值問(wèn)題。解：由說(shuō)明：當(dāng)時(shí)，恒成立。即的最小值大于零。下面求當(dāng)時(shí)的最小值。 （）當(dāng)即時(shí)，得；此時(shí)；12xy（）當(dāng)，即時(shí)，由，得 ，得，此時(shí)無(wú)解；（）當(dāng)即時(shí)，得；

5、此時(shí)無(wú)解。綜上所述：?？梢园l(fā)現(xiàn)解法1，解法2類似。解法3：從恒成立出發(fā)，考慮分離參數(shù)法：解：由說(shuō)明：當(dāng)時(shí)，恒成立。即恒成立，因?yàn)?，所以；也即恒成立。只要小于（）的最小值。而，令，再令，所以因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以，所以則此題分離參數(shù)綜合性比較強(qiáng)，能力要求特別高，尤其是用換元求函數(shù)最值。當(dāng)然可以用基本不等式來(lái)求解。解法4：從根的角度考慮：這個(gè)還是比較直接想到： 解：當(dāng)，則得；當(dāng)，或，則設(shè)，為方程的兩根。得 ，；所以由或，同樣得。這中間的計(jì)算量尤其大，容易出錯(cuò)，一般不提倡這個(gè)方法。接下去讓學(xué)生自己總結(jié)一下各方法的優(yōu)劣及適應(yīng)的題型，以便對(duì)癥下藥。變式3：改為：。引發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)求其集合的補(bǔ)集，即先求，

6、再取其補(bǔ)集。學(xué)會(huì)化歸思想，把復(fù)雜難理解的轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單熟悉的問(wèn)題。通過(guò)上面的變式，題目變得有血有肉，課堂上也生動(dòng)起來(lái)。學(xué)生吸引力就轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)了。課后再做相應(yīng)題目，得以鞏固。當(dāng)然還有很多其他的變式。還有待繼續(xù)挖掘?？偨Y(jié)反思：學(xué)完這堂課，大家有什么收獲呢？可以從數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法兩方面談。 數(shù)學(xué)知識(shí)：一元二次方程根的分布問(wèn)題，用最值解決恒成立問(wèn)題。注意分離參數(shù)法。 思想方法：數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸，分類討論。課后作業(yè)：設(shè)集合 ，集合，（1）若，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；(2) 若，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；（3）若，求實(shí)數(shù) 的取值范圍。（試用兩種方法）此次設(shè)計(jì)也是為了鞏固這節(jié)課，提高學(xué)生的運(yùn)作能力,提高課堂效率。教

7、學(xué)設(shè)計(jì)及其反思：愛因斯坦說(shuō)過(guò)：“單純的專業(yè)知識(shí)灌輸只能產(chǎn)生機(jī)器，而不能造就一個(gè)和諧發(fā)展的人才”，因此數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心是思考，離開思考就沒有真正的數(shù)學(xué)。這堂復(fù)習(xí)課總體強(qiáng)度還是比較大的，知識(shí)的涵蓋也比較廣，涉及的數(shù)學(xué)思想方法比較多，所以需要層層遞進(jìn)。通過(guò)學(xué)生自主參與編題，興趣比較濃厚，合作積極，收到了較好的效果。當(dāng)然對(duì)學(xué)生解題的能力要求也比較高的，一些基礎(chǔ)不是很扎實(shí)的學(xué)生可能接受得不是很好，更需要一些簡(jiǎn)單的題目來(lái)鋪墊。教學(xué)生“學(xué)會(huì)思考”。學(xué)生要培養(yǎng)的是“能力”知識(shí)運(yùn)用的能力，分析問(wèn)題的能力，解決問(wèn)題的能力。所以，我們要經(jīng)常想一想，學(xué)生離開了老師該怎么辦？老師講得再好，可能還是老師的，要想一想怎樣才能

8、成為學(xué)生的。所以就提出：?jiǎn)栴}是怎么講？要講什么？不僅要講過(guò)程，更要講原理。多讓學(xué)生感到自然，沒有強(qiáng)加于他，盡可能使學(xué)生真正理解。不僅要給“魚”，更要給“漁”，重視思想方法的復(fù)習(xí)，從源頭上解決問(wèn)題。一題多解，發(fā)展學(xué)生思維的廣闊性。新課程標(biāo)準(zhǔn)要求，學(xué)生應(yīng)嘗試從不同角度思考問(wèn)題。這就是說(shuō)，我們教師的教學(xué)設(shè)計(jì)的素材、思維不能單一，應(yīng)提供給學(xué)生既能強(qiáng)化基礎(chǔ)，適合學(xué)生個(gè)性，又能訓(xùn)練學(xué)生多方思維的素材。因此，精選素材成為教學(xué)設(shè)計(jì)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，也是教師備課的核心。選什么樣的素材，從哪里選，都是教師關(guān)注的焦點(diǎn)。筆者在教學(xué)中，選擇教材中基礎(chǔ)性強(qiáng)，解題方法典型，又能一題多解的題目，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題，獲取

9、不同的解法，使看似平淡的問(wèn)題獲得較好的教學(xué)效果，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)、研究教材的興趣。這既可引導(dǎo)學(xué)生重視教材，走出題海戰(zhàn)術(shù)，又可發(fā)展學(xué)生思維的廣闊性，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新意識(shí)。教材以及練習(xí)都是學(xué)生學(xué)習(xí)的素材，是學(xué)生思想的源頭，也是高考的源泉，所以作為教師要好好利用起來(lái)，不要忽視了“原題”的教學(xué)功能。解題教學(xué)不光是“練”，更注意“變”。教師試圖從一道題引出一個(gè)話題，通過(guò)開放一題，達(dá)到復(fù)習(xí)一片的目的。在設(shè)計(jì)本課時(shí)，首先是從一個(gè)集合運(yùn)算求參數(shù)開始，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，不斷改變題中的條件，環(huán)環(huán)相扣，加強(qiáng)了邏輯性，提高了效率。同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力，挖掘出學(xué)生的創(chuàng)新潛力，形成探究意識(shí)，從而提高應(yīng)變能力。解題教學(xué)必須注意總結(jié)反思，畫“龍”點(diǎn)“睛”?；仡櫧?jīng)歷了哪些過(guò)程做出了這道題，做到層次分明。一定做好題后反思，哪怕只有一兩句話，必須注意在質(zhì)量上下工夫，而不僅僅是數(shù)量。