脈沖響應不變法設計IIR數(shù)字濾波器[數(shù)據(jù)參考]

1、第一章 摘要本設計采用脈沖響應不變法設計IIR數(shù)字低通濾波器，所以在根據(jù)脈沖響應不變法設計出來的IIR數(shù)字濾波器會很好地重現(xiàn)原模擬濾波器的頻率特性；數(shù)字濾波器的單位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的單位脈沖響應，時域特性逼近好，但容易產(chǎn)生頻譜混疊現(xiàn)象，只適合低通和帶通濾波器的設計，不適合高通和帶阻濾波器的設計。關鍵詞：數(shù)字濾波器；脈沖響應不變法；頻率混疊第二章 引言數(shù)字濾波器可以滿足濾波器對幅度和相位特性的嚴格要求，精確度高，有高度的可編程性，靈活性好，并且它沒有電壓飄移、溫度漂移及噪聲等問題，基本不受環(huán)境影響，穩(wěn)定性好等。正是由于數(shù)字濾波器的以上優(yōu)點，使得數(shù)字濾波器廣泛應用于語音處理、圖像處理、模

2、式識別、頻譜分析、醫(yī)學儀器等領域。第三章 設計原理 3.1 數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器是一種用來過濾時間離散信號的數(shù)字系統(tǒng)，通過對抽樣數(shù)據(jù)進行數(shù)學處理來達到頻域濾波的目的?？梢栽O計系統(tǒng)的頻率響應，讓它滿足一定的要求，從而對通過該系統(tǒng)的信號的某些特定的頻率成分進行過濾，這就是濾波器的基本原理。如果系統(tǒng)是一個連續(xù)系統(tǒng)，則濾波器稱為模擬濾波器。如果系統(tǒng)是一個離散系統(tǒng)，則濾波器稱為數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波實質(zhì)上是一種運算過程，實現(xiàn)對信號的運算處理。輸入數(shù)字信號（數(shù)字序列）通過特定的運算轉變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列，因此，數(shù)字濾波器本質(zhì)上是一個完成特定運算的數(shù)字計算過程，也可以理解為是一臺計算機。描述離散系統(tǒng)輸出與輸入關

3、系的卷積和差分方程只是給數(shù)字信號濾波器提供運算規(guī)則，使其按照這個規(guī)則完成對輸入數(shù)據(jù)的處理。時域離散系統(tǒng)的頻域特性:其中、分別是數(shù)字濾波器的輸出序列和輸入序列的頻域特性（或稱為頻譜特性）, 是數(shù)字濾波器的單位取樣響應的頻譜，又稱為數(shù)字濾波器的頻域響應。輸入序列的頻譜經(jīng)過濾波后,因此，只要按照輸入信號頻譜的特點和處理信號的目的， 適當選擇，使得濾波后的滿足設計的要求，這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。3.2 脈沖響應不變法脈沖響應不變法是實現(xiàn)模擬濾波器數(shù)字化的一種直觀而常用的方法。它特別適合于對濾波器的時域特性有一定要求的場合。脈沖響應不變法的核心原理是通過對連續(xù)函數(shù)ha(t)等間隔采樣得到離散序列ha

4、(nT)。令h(n)= ha(nT) ，T為采樣間隔。它是一種時域上的轉換方法。一個模擬濾波器的傳遞函數(shù)可以用有理分式表達式表示為： （3-1）通過反拉普拉斯變換我們就可以得到它的沖激相應： （3-2）脈沖響應不變法就是要保證脈沖響應不變，即： （3-3）對上式的沖激相應序列作變換，就可以得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)： （3-4）一般來說，的分母多項式階次總是大于分子多項式的階次。假定的沒有多重極點，則式（1）就可分解為： （3-5）式中，均為復數(shù)，是的極點。其拉氏變換為一般來說，的分母多項式階次總是大于分子多項式的階次。數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(z)經(jīng)過合并簡化，成為一般形式的有理分式傳遞函數(shù) (

5、3-6)在討論采樣序列z變換與模擬信號拉氏變換之間關系的有關章節(jié)中，我們已經(jīng)知道 (3-7)按照z=的關系，每一個s平面上寬度為/T的水平條帶將重迭映射到z平面上。因此脈沖響應不變法將s平面映射到z平面，不是一個簡單的一一對應的關系。對于高采樣頻率(T小)的情況，數(shù)字濾波器在頻域可能有極高的增益。為此我們采用 (3-8) (3-9)在脈沖響應不變法設計中，模擬頻率與數(shù)字頻率之間的轉換關系是線性的()。同時，它可以保持脈沖響應不變， =。因此，這一方法往往用于低通時域數(shù)字濾波器設計及相應的模擬系統(tǒng)數(shù)字仿真設計。3.3 巴特沃斯低通濾波器巴特沃斯濾波器的特點是同頻帶內(nèi)的頻率響應曲線最為平坦，沒有起

6、伏，而在組頻帶則逐漸下降為零。在振幅的對數(shù)對角頻率的波特圖上，從某一邊界見頻率開始，振幅隨著角頻率的增加而逐漸減少，趨向于負無窮大。一階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻20分貝，二階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻12分貝，三階的衰減率為每分貝18分貝，如此類推，巴特沃斯濾波器的振幅對角頻率單調(diào)下降，并且濾波器的結束越高，在組頻帶振幅衰減速度越快，其他濾波器高階的振幅對角頻率圖和低階數(shù)的振幅對角頻率有不同的形狀。 （3-10）上述函數(shù)的特點是等距離分布在半徑為的圓上。因此，極點用下式表示為 (3-11)的表示式： (3-12)為了使設計公式和圖表統(tǒng)一，將頻率歸一化。巴特沃斯濾波器采用3dB截止頻率

7、歸一化，歸一化后的系統(tǒng)函數(shù)為 (3-13)令,稱為歸一化頻率，稱為歸一化復變量，這樣巴特沃斯濾波器的歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為 (3-14)式中，為歸一化極點，用下式表示: (3-15)第四章 設計過程利用模擬濾波器來設計IIR低通數(shù)字濾波器是常用的方法，稱之為模擬一數(shù)字轉換法。 4.1 設計步驟利用在MATLAB設計IIR數(shù)字濾波器可分以下幾步來實現(xiàn) (1)按一定規(guī)則將數(shù)字濾波器的技術指標轉換為模擬低通濾波器的技術指標；(2)根據(jù)轉換后的技術指標使用濾波器階數(shù)函數(shù)，確定濾波器的最小階數(shù)N和截止頻率Wc；(3)利用最小階數(shù)N產(chǎn)生模擬低通濾波原型；(4)利用截止頻率Wc把模擬低通濾波器原型轉換成模

8、擬帶通原型；(5)利用沖激響應不變法或雙線性不變法把模擬濾波器轉換成數(shù)字濾波器。4.2 頻率混疊現(xiàn)象數(shù)字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓。只有當模擬濾波器的頻率響應是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時，才能使數(shù)字濾波器的頻率響應在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應，而不產(chǎn)生混疊失真。 即 |w| (4-1)但是，任何一個實際的模擬濾波器頻率響應都不是嚴格限帶的（非理想）， 變換后就會產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應的混疊失真。這時數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而是有一定的失真。當模擬濾波器的頻率響應在折疊頻率以上處衰減越大、越快時，變換后頻率響應混疊失真就越

9、小。這時，采用脈沖響應不變法設計的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果圖4.1 脈沖響應不變法的頻率混疊現(xiàn)象總結以上，脈沖響應不變法的優(yōu)點是頻率坐標變換是線性的，即W= ，如果不考慮頻率混疊現(xiàn)象，用這種方法設計的數(shù)字濾波器會很好地重現(xiàn)原模擬濾波器的頻率特性。另一個優(yōu)點是數(shù)字濾波器的單位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的單位脈沖響應，時域特性逼近好。其缺點是會產(chǎn)生頻譜混疊現(xiàn)象，使數(shù)字濾波器的頻響偏離模擬濾波器的頻響。脈沖響應不變法適合低通、帶通濾波器的設計，不適合高通、帶阻濾波器的設計。第五章 程序設計5.1 設計巴特沃斯模擬濾波器5.1.1 模擬濾波器設計程序clearFs=1000; %采樣頻率為周期倒數(shù)

10、Wp=200*pi; Ws=600*pi; %設置歸一化通帶和阻帶截止頻率Ap=3;As=20; %設置通帶最大和最小衰減N,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As,s); %調(diào)用butter函數(shù)確定巴特沃斯濾波器階數(shù)B,A=butter(N,Wc,s); %調(diào)用butter函數(shù)設計巴特沃斯濾波器W=(0:pi:1000*pi); %指定一段頻率值hs=freqs(B,A,W); %計算模擬濾波器的幅頻響應plot(W/pi/2,abs(hs)/abs(hs(1); %繪出巴特沃斯模擬濾波器的扶貧特性曲線grid on;title(巴特沃斯模擬濾波器);xlabel(頻率 /Hz);yl

11、abel(歸一化幅值 );5.1.2 用分貝顯示幅值clearFs=1000; %采樣頻率為周期倒數(shù)Wp=200*pi; Ws=600*pi; %設置歸一化通帶和阻帶截止頻率Ap=3;As=20; %設置通帶最大和最小衰減N,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As,s); %調(diào)用butter函數(shù)確定巴特沃斯濾波器階數(shù)B,A=butter(N,Wc,s); %調(diào)用butter函數(shù)設計巴特沃斯濾波器W=(0:pi:1000*pi); %指定一段頻率值hs=freqs(B,A,W); %計算模擬濾波器的幅頻響應hs0=abs(hs)/abs(hs(1)hs1=20*log10(hs0)plot

12、(W/pi/2,hs1); %繪出巴特沃斯模擬濾波器的幅頻特性曲線grid on;title(巴特沃斯模擬濾波器);xlabel(頻率/Hz);ylabel(分貝/db);5.2 設計巴特沃斯數(shù)字濾波器5.2.1 數(shù)字濾波器設計程序clearFs=1000; %采樣頻率為周期倒數(shù)Wp=200*pi; Ws=600*pi; %設置歸一化通帶和阻帶截止頻率Ap=3;As=20; %設置通帶最大和最小衰減N,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As,s); %調(diào)用butter函數(shù)確定巴特沃斯濾波器階數(shù)B,A=butter(N,Wc,s); %調(diào)用butter函數(shù)設計巴特沃斯濾波器W=(0:pi:

13、1000*pi); %指定一段頻率值D,C=impinvar(B,A,Fs); %調(diào)用脈沖響應不變法W=(0:0.001*pi:pi)Hz=freqz(D,C,W); %返回頻率響應 plot(W/pi,abs(Hz)/abs(Hz(1); %繪出巴特沃斯數(shù)字低通濾波器的扶貧特性曲線grid on;title(巴特沃斯模擬濾波器);xlabel(頻率 /Hz);ylabel(歸一化幅值);5.2.2 用分貝顯示幅值clearFs=1000; %采樣頻率為周期倒數(shù)Wp=200*pi; Ws=600*pi; %設置歸一化通帶和阻帶截止頻率Ap=3;As=20; %設置通帶最大和最小衰減N,Wc=b

14、uttord(Wp,Ws,Ap,As,s); %調(diào)用butter函數(shù)確定巴特沃斯濾波器階數(shù)B,A=butter(N,Wc,s); %調(diào)用butter函數(shù)設計巴特沃斯濾波器W=(0:pi:1000*pi); %指定一段頻率值hs=freqs(B,A,W); %計算出模擬濾波器的幅頻響應D,C=impinvar(B,A,Fs); %調(diào)用脈沖響應不變法W=(0:0.001*pi:pi);Hz=freqz(D,C,W); %返回頻率響應Hz0=abs(Hz)/abs(Hz(1);Hz1=20*log10(Hz0);plot(W/pi,Hz1); %繪出巴特沃斯數(shù)字低通濾波器的幅頻特性曲線grid on

15、;title(巴特沃斯數(shù)字濾波器);xlabel(頻率/Hz);ylabel(分貝/db);5.3 程序中涉及到的函數(shù)介紹Buttord功能：用于計算巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)N和3dB截止頻率wc。N,wc=buttord(wp，ws，p，s) 調(diào)用參數(shù)wp，ws分別為數(shù)字濾波器的通帶、阻帶截止頻率的歸一化值，要求：0wp1，0ws1。1表示數(shù)字頻率pi。文論壇 p，s分別為通帶最大衰減和組帶最小衰減(dB)。 當wswp時，為高通濾波器; 當wp和ws為二元矢量時，為帶通或帶阻濾波器，這時wc也是二元向量。 N，wc作為butter函數(shù)的調(diào)用參數(shù)。 N,c=buttord(p，s，p，s，s

16、) 用于計算巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)N和3dB截止頻率c。 p，s，c均為實際模擬角頻率。 Butter功能：利用butter函數(shù)直接設計各種形式的數(shù)字濾波器(也可以設計模擬濾波器)B,A = BUTTER(N,Wn)，設計一個階數(shù)為n，頻率為Wn的低通濾波器; B,A = BUTTER(N,Wn,ftype)可以設計高通，帶阻濾波器，其中ftype參數(shù)的形式可以指定何種濾波器， ftype為high時，設計一個階數(shù)為n，頻率為Wn的高通濾波器;ftype為stop時，得到濾波器階數(shù)為2*n，頻率范圍為Wn = W1,W2的帶阻濾波器；中文論壇 Z,P,K = BUTTER(.)，若返回值是三

17、個，則分別是濾波器的零點，極點和增益，其他函數(shù)的參數(shù)同上面 。Plot(X,Y) 功能：繪制線性二維圖形當X,Y均為實數(shù)向量時，并且為維數(shù)相同，X=X(i),Y=Y(i)，則plot(X,Y)先描述點(X(i),Y(i)，然后依次畫線; 當X,Y均為復數(shù)向量時，則不考慮虛數(shù)部分; 當X,Y均為實數(shù)矩陣時，并且為維數(shù)相同，plot依次按照對應的列畫出線，矩陣有幾列就有幾條線; 當X,Y一個為向量，一個為矩陣時，并且向量的維數(shù)等于矩陣的行數(shù)或者列數(shù)，則把矩陣按照向量的方向分解為幾個向量，在與向量配對分別畫圖，矩陣分解幾個向量就有幾條線。Grid on2維/3維繪圖設置網(wǎng)格線grid 功能：來設置當

18、前坐標系的網(wǎng)格線的開/閉。grid on 功能：對當前坐標系添加主要網(wǎng)格線。grid off 功能：對當前坐標系移除主要/細節(jié)網(wǎng)格線。grid(axes_handle,.) 輸入：axes_handle坐標系句柄 功能：對指定的坐標系設置網(wǎng)格線是否顯示。與信號處理 grid minor 功能：對當前坐標系設置添加細節(jié)網(wǎng)格 Impinvar功能：用“脈沖響應不變法”將模擬濾波器離散化。 BZ,AZ =impinvar(B,A,Fs) 把具有B,A模擬濾波器傳遞函數(shù)模型轉換成采樣頻率為Fs(Hz)的數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)模型BZ,AZ。采樣頻率Fs的默認值為Fs=1。Freqz、FreqsFreqz

19、 是計算數(shù)字濾波器的頻率響應的函數(shù)Freqs是計算模擬濾波器的頻率響應的函數(shù)H,F = freqz(B,A,N,Fs) 其中 B/A 提供濾波器系數(shù) B為分子 A為分母 (b0 + b1Z-1 +.)/(a0 + a1Z-1 +.) N 表示選取單位圓的上半圓等間距的N個點作為頻響輸出; Fs 為采樣頻率，該參數(shù)可以省略 Matlab中文論壇 H 為N個點處的頻率響應復值輸出向量，其模即為頻響幅值曲線幅值20log10(abs(H)DB，其幅角angle(H)即為頻響相位曲線相位值。 F 為與第N點處對應的頻率值f(Hz)，如果Fs 參數(shù)省略時，則頻率值w為rad/sample，w = 2*p

20、i*f/Fs book.iLoveM H,F=freqz(B,A,N,whole)中文論壇 其參數(shù)意義如上，只是調(diào)用時角頻率的范圍由0-pi擴展到了0-2*pi，F(xiàn)返回的是離散系統(tǒng)頻率響應H(exp(j*w)在0-2*pi范圍內(nèi)N個頻率等分點的對應 樣值的列向量。 freqz(B,A,N)，調(diào)用時并不返回系統(tǒng)頻率響應的樣值，而是直接繪制系統(tǒng)的幅頻和相頻特性曲線。但要注意，該調(diào)用繪制的是對數(shù)幅頻特性曲線freqz(B,A,N,whole)，調(diào)用時繪制0-2*pi頻率范圍內(nèi)系統(tǒng)對數(shù)幅頻和相頻特性曲線 freqs的功能與freqz類似。Filter功能：FILTER是一維數(shù)字濾波器Y = FILTE

21、R(B,A,X) ，輸入X為濾波前序列，Y為濾波結果序列，B/A 提供濾波器系數(shù)，B為分子， A為分母 整個濾波過程是通過下面差分方程實現(xiàn)的：a(1)*y(n) = b(1)*x(n) + b(2)*x(n-1) + . + b(nb+1)*x(n-nb)-a(2)*y(n-1) - . - a(na+1)*y(n-na)中文論壇 Y,Zf = FILTER(B,A,X,Zi)，輸入X為濾波前序列，Y為濾波結果序列，B/A 提供濾波器系數(shù)，B為分子， A為分母，并輸入Zi指定X的初始狀態(tài)，Zf為最終狀態(tài)矢量 第六章 運行波形6.1巴特沃斯模擬濾波器幅頻響應巴特沃斯模擬濾波器運行波形圖如下圖6.1 巴特沃斯模擬低通濾波器歸一化幅頻響應圖6.2 巴特沃斯模擬低通濾波器幅頻響應（分貝）如圖6.1、6.2所示，模擬低通濾波器的幅頻響應與所給參數(shù)基本相符。300Hz處的幅值衰減為20db，100Hz處的幅值衰減為1db。通帶的指標與要求略有出入，這是因為在程序中計算的時候調(diào)用的公式保證了阻帶衰減，而通帶的指標有富余。6.2巴特沃斯數(shù)字濾波器幅頻響應數(shù)字濾波器的幅頻響應圖橫軸為數(shù)字域頻率，數(shù)字域頻率為模擬角頻率對采樣頻