第二章角動(dòng)量

1、2 2.3 角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理 力矩是通過(guò)分析引起轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變的原因而引入的。力矩是通過(guò)分析引起轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變的原因而引入的。 本部分通過(guò)研究力矩的時(shí)間累積效應(yīng)，本部分通過(guò)研究力矩的時(shí)間累積效應(yīng)，引進(jìn)沖量矩的引進(jìn)沖量矩的 概念，概念，建立刻畫(huà)與力矩的作用效果有關(guān)的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)建立刻畫(huà)與力矩的作用效果有關(guān)的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 狀態(tài)的另一描述量狀態(tài)的另一描述量角動(dòng)量角動(dòng)量，推導(dǎo)出質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定推導(dǎo)出質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定 理，并將之推廣到質(zhì)點(diǎn)系的一般情形，并考慮了重理，并將之推廣到質(zhì)點(diǎn)系的一般情形，并考慮了重 要的力矩的時(shí)間累計(jì)效應(yīng)為零這一特殊情形。作為要的力矩的時(shí)間累計(jì)效應(yīng)為零這一特殊情形。作為 力學(xué)基本定理的總結(jié)，本部

2、分扼要介紹對(duì)稱性與守力學(xué)基本定理的總結(jié)，本部分扼要介紹對(duì)稱性與守 恒律的問(wèn)題。恒律的問(wèn)題。 2.3 .1 2.3 .1 質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理與角動(dòng)量守恒定律與角動(dòng)量守恒定律本本 部部 分分 內(nèi)內(nèi) 容容 2.3 .2 2.3 .2 質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理與角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理與角動(dòng)量守恒定律 2.4 2.4 對(duì)稱性與守恒定律對(duì)稱性與守恒定律 為力的作用點(diǎn)的位置矢量為力的作用點(diǎn)的位置矢量 力矩大?。毫卮笮。?O x y P r F M z 2.3.1 2.3.1 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理 一、力矩一、力矩 FrM sinFrM r 力對(duì)參考點(diǎn)力對(duì)參考點(diǎn)O的力矩：的力矩： 在直角坐

3、標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中 kFjFiFF zyx kzj yi xr 方向由方向由右手螺旋規(guī)則右手螺旋規(guī)則確定。確定。 FrM zyx FFF zyx kji kMjMiM zyx jxFzF zx )(kyFxF xy )( izFyF yz )( kji ikj jik O x y P z i j k 為質(zhì)點(diǎn)的位置矢量為質(zhì)點(diǎn)的位置矢量 大?。捍笮。?O x y P r p L z 二、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量、角動(dòng)量定理二、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量、角動(dòng)量定理 vmrprL sinprL r 方向由方向由右手螺旋規(guī)則右手螺旋規(guī)則確定確定 由矢量微商法則由矢量微商法則 dt Bd AB dt Ad dt BAd Frv

4、mv 得得 在在慣性參考系慣性參考系中，一質(zhì)點(diǎn)中，一質(zhì)點(diǎn) 的角動(dòng)量的角動(dòng)量 t p rp dt rd dt Ld d d MFr dt Ld M 在慣性參考系中，在慣性參考系中，質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定參考點(diǎn)的角質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定參考點(diǎn)的角 動(dòng)量在任意時(shí)刻的時(shí)間變化率等于質(zhì)點(diǎn)在動(dòng)量在任意時(shí)刻的時(shí)間變化率等于質(zhì)點(diǎn)在 該時(shí)刻所受合外力對(duì)該點(diǎn)的力矩。該時(shí)刻所受合外力對(duì)該點(diǎn)的力矩。 質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)O的角動(dòng)量定理的角動(dòng)量定理 定義定義沖量矩沖量矩： ab b a t t LLLddtM b a 角動(dòng)量定理的另一形式角動(dòng)量定理的另一形式 在慣性參考系中，在慣性參考系中，質(zhì)點(diǎn)所受合外力在其任一運(yùn)動(dòng)過(guò)程質(zhì)點(diǎn)所受合外力在其

5、任一運(yùn)動(dòng)過(guò)程 中對(duì)任一固定點(diǎn)的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量在中對(duì)任一固定點(diǎn)的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量在 該過(guò)程中的增量。該過(guò)程中的增量。 注意：注意： 1. 為物體相對(duì)于指定參考點(diǎn)的位矢，所以求物體所為物體相對(duì)于指定參考點(diǎn)的位矢，所以求物體所 受的力矩時(shí)必須先指明參考點(diǎn)，相對(duì)于不同的參考點(diǎn)，受的力矩時(shí)必須先指明參考點(diǎn)，相對(duì)于不同的參考點(diǎn)， 對(duì)應(yīng)的位矢對(duì)應(yīng)的位矢 不同。物體所受的力矩不同。不同。物體所受的力矩不同。 r r 3.如果力如果力 的方向始終指向一個(gè)固定點(diǎn)，則該力就稱為的方向始終指向一個(gè)固定點(diǎn)，則該力就稱為 有心力，該固定點(diǎn)稱為這個(gè)力的力心。有心力，該固定點(diǎn)稱為這個(gè)力的力心。 F

6、受到有心力作用的物體，相對(duì)于力心，其所受力矩為零。受到有心力作用的物體，相對(duì)于力心，其所受力矩為零。 2.何時(shí)何時(shí) 為零？為零？ M a.0F c.受到有心力作用受到有心力作用 b.力的作用線與軸相交力的作用線與軸相交 【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】一質(zhì)量為一質(zhì)量為m m的質(zhì)點(diǎn)沿著一條空間曲線運(yùn)的質(zhì)點(diǎn)沿著一條空間曲線運(yùn) 動(dòng)，該曲線在直角坐標(biāo)下的矢徑為：動(dòng)，該曲線在直角坐標(biāo)下的矢徑為： 其中其中a、b、 皆為常數(shù)，皆為常數(shù)，求求該質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量。該質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量。 j tbi ta dt rd v cossin vmrL 解：解： kmab jtbi tar sincos ktmabktmab 22

7、sincos j tbi ta dt rd v cossin 解：解：分析分析 ,v mrL jir 34 ？點(diǎn)點(diǎn)的的角角動(dòng)動(dòng)量量求求：該該時(shí)時(shí)刻刻質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì) L 0 【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)，某時(shí)刻的位置如圖，的質(zhì)點(diǎn)，某時(shí)刻的位置如圖， 速度為速度為 受力為受力為j 6 vjF 2 （SI） kmjmjiL 246)34( (Z(Z軸正方向軸正方向) ) FrM 利用利用 （4，3） 0 x y 的的力力矩矩的的大大小小和和方方向向？ 點(diǎn)點(diǎn)該該時(shí)時(shí)刻刻質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)受受到到的的對(duì)對(duì) 0思考：思考： P O b x y 【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】 t=0時(shí)，質(zhì)量為時(shí)，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)由的質(zhì)點(diǎn)由

8、 P點(diǎn)自由下落。點(diǎn)自由下落。 問(wèn)：?jiǎn)枺?. 在任意在任意t時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)所受的對(duì)原點(diǎn)時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)所受的對(duì)原點(diǎn)O的力矩的力矩? 2.在任意在任意t時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)O的角動(dòng)量。的角動(dòng)量。 j yixr v mrL FrM jmgF 在任意在任意t時(shí)刻時(shí)刻 jgt v FrM )jgt 2 1 ib( 2 jmg kbmg 方向垂直于紙面向里方向垂直于紙面向里 解解: jgtib 2 2 1 kbmgtjmgtjgtibvmrL 2 2 1 【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng) （對(duì)圓心的）角動(dòng)量：（對(duì)圓心的）角動(dòng)量： )()(vvv rrmmrL 大?。捍笮。簉mmvrLv si

9、n 【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】 行星在繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)時(shí)的橢圓軌行星在繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)時(shí)的橢圓軌 道運(yùn)動(dòng)對(duì)定點(diǎn)道運(yùn)動(dòng)對(duì)定點(diǎn)（太陽(yáng)）的角動(dòng)量：（太陽(yáng)）的角動(dòng)量： )(v rmprL 大?。捍笮。?sinrmLv 方向：方向：垂直于軌道平面垂直于軌道平面 方向：方向： o v L r ov L r m 【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻細(xì)棒，的均勻細(xì)棒， 可在水平桌面上繞通過(guò)其一端的豎直固定軸轉(zhuǎn)可在水平桌面上繞通過(guò)其一端的豎直固定軸轉(zhuǎn) 動(dòng)，已知細(xì)棒與桌面的摩擦因素為動(dòng)，已知細(xì)棒與桌面的摩擦因素為 ,求求棒轉(zhuǎn)動(dòng)棒轉(zhuǎn)動(dòng) 時(shí)受到的摩擦力矩的大小。時(shí)受到的摩擦力矩的大小。 x o dx x 如圖，距如圖，

10、距O點(diǎn)為點(diǎn)為x，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為dx的質(zhì)元的質(zhì)元dm 的質(zhì)量的質(zhì)量 解：解： x l m mdd )d(dmgxM mgLxx l mg mgxM L 2 1 dd 0 其所受阻力矩其所受阻力矩 x o dx x 三、質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律三、質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律 若外力對(duì)某個(gè)固定點(diǎn)若外力對(duì)某個(gè)固定點(diǎn)O的力矩為零時(shí)，即的力矩為零時(shí)，即 ， 則對(duì)同一固定點(diǎn)則對(duì)同一固定點(diǎn)O的角動(dòng)量不變，即的角動(dòng)量不變，即 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律 dt Ld M 0 LL 0M 有時(shí)質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受力矩在某個(gè)方向上的分量為零，有時(shí)質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受力矩在某個(gè)方向上的分量為零， 則在該方向上的角動(dòng)量分量守恒，則在該方

11、向上的角動(dòng)量分量守恒，例如例如 0 x M 1 CLx 時(shí)，時(shí)，(恒量恒量) S m 如行星在太陽(yáng)的萬(wàn)有引力的作用如行星在太陽(yáng)的萬(wàn)有引力的作用 下，顯然，相對(duì)于太陽(yáng)的力矩為下，顯然，相對(duì)于太陽(yáng)的力矩為 零，相對(duì)于太陽(yáng)的角動(dòng)量不變，零，相對(duì)于太陽(yáng)的角動(dòng)量不變， 不但大小不變，而且方向不變，不但大小不變，而且方向不變， 行星的軌道在同一平面內(nèi)。行星的軌道在同一平面內(nèi)。 0 sinLmrvL r F v L sinmvrL m L vrd r 開(kāi)普勒第二定律開(kāi)普勒第二定律 dt rdr m sin 2 1 2 sinr dt rd m F r r d rr d 0 sinLmrvL 三角形面積三角形

12、面積 dt dS m2 .const dt dS 力力 力矩力矩 動(dòng)量動(dòng)量 角動(dòng)量角動(dòng)量 沖量沖量沖量矩沖量矩 力與動(dòng)量力與動(dòng)量力矩與角動(dòng)量力矩與角動(dòng)量 動(dòng)量定理動(dòng)量定理(沖量與動(dòng)量沖量與動(dòng)量)角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理(沖量矩與角動(dòng)量沖量矩與角動(dòng)量) 動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒：某一時(shí)間間隔內(nèi)，某一時(shí)間間隔內(nèi)， 質(zhì)點(diǎn)系所受外力矢量和始終質(zhì)點(diǎn)系所受外力矢量和始終 為零，為零， 角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒：對(duì)固定參考點(diǎn)而對(duì)固定參考點(diǎn)而 言，質(zhì)點(diǎn)受到的合力矩始終為言，質(zhì)點(diǎn)受到的合力矩始終為 零，零， FrM F 2 1 t t dtFI 2 1 t t dtM vmP vmrL 12 2 1 vmvmdtF t t d

13、t vmd F dt Ld M 12 2 1 2 1 LLLddtM L L t t 一一質(zhì)量為質(zhì)量為m的的質(zhì)點(diǎn)以速率質(zhì)點(diǎn)以速率v作作 圓錐擺運(yùn)動(dòng)。圓錐擺運(yùn)動(dòng)。 分別以圓心分別以圓心O 和懸掛點(diǎn)和懸掛點(diǎn)A O A gm m 分析張力力矩、分析張力力矩、 重力力矩、重力力矩、 合力力矩合力力矩 和質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量。和質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量。 解解 求求 張力力矩張力力矩重力力矩重力力矩合力力矩合力力矩角動(dòng)量角動(dòng)量 A O TR v 方向方向 0Tr gmR v gmr v 0)(TgmR gmr Tgmr )( v cmRv r 為參考點(diǎn)，為參考點(diǎn)， v mr v mr 【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】 方向方向 T R v

14、 【例例2-29】如圖所示，質(zhì)點(diǎn)受輕繩的約束在光滑的水如圖所示，質(zhì)點(diǎn)受輕繩的約束在光滑的水 平桌面上運(yùn)動(dòng)。開(kāi)始時(shí)質(zhì)點(diǎn)繞點(diǎn)平桌面上運(yùn)動(dòng)。開(kāi)始時(shí)質(zhì)點(diǎn)繞點(diǎn)O作半徑為作半徑為R0的勻速的勻速 圓周運(yùn)動(dòng)，速率為圓周運(yùn)動(dòng)，速率為v0。若用外力。若用外力F F通過(guò)輕繩使質(zhì)點(diǎn)的圓通過(guò)輕繩使質(zhì)點(diǎn)的圓 周運(yùn)動(dòng)半徑減小到周運(yùn)動(dòng)半徑減小到R1，問(wèn)問(wèn)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速率變?yōu)槎嗌儋|(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速率變?yōu)槎嗌?動(dòng)動(dòng) 能如何變化能如何變化? 解：解： 質(zhì)點(diǎn)受到重力質(zhì)點(diǎn)受到重力mg g、桌面支持力、桌面支持力NN和繩子拉力和繩子拉力T T的共的共 同作用。選同作用。選O為參考點(diǎn)，為參考點(diǎn)，mg g和和NN平衡，對(duì)點(diǎn)平衡，對(duì)點(diǎn)O的合的合 力

15、矩為零。繩子拉力力矩為零。繩子拉力T T通過(guò)點(diǎn)通過(guò)點(diǎn)O，它的力矩也為零。，它的力矩也為零。 T T NN mg g 0011 mvRmvR 因此，所有作用力對(duì)點(diǎn)因此，所有作用力對(duì)點(diǎn)O的合力矩等于零。質(zhì)點(diǎn)的合力矩等于零。質(zhì)點(diǎn)m 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相對(duì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相對(duì)點(diǎn)O的角動(dòng)量守恒，即的角動(dòng)量守恒，即 因此，得因此，得 1001 /RvRv 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的變化為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的變化為 1)/( 2 1 2 1 2 1 2 10 2 0 2 0 2 1 RRmvmvmvE k 因?yàn)橐驗(yàn)镽1 0，即質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能增加。增，即質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能增加。增 加的這部分能量來(lái)源于力加的這部分能量來(lái)源于力F F所做的功。所做的功。 【

16、例例2-30】 將一質(zhì)點(diǎn)沿一個(gè)半徑為將一質(zhì)點(diǎn)沿一個(gè)半徑為 r 的光滑半球形的光滑半球形 碗的內(nèi)面碗的內(nèi)面水平地投射水平地投射, 碗保持靜止碗保持靜止, 如圖如圖, 設(shè)設(shè) v0 是質(zhì)是質(zhì) 點(diǎn)恰好能達(dá)到碗口所需的初速率。點(diǎn)恰好能達(dá)到碗口所需的初速率。(1) 試說(shuō)明質(zhì)點(diǎn)為試說(shuō)明質(zhì)點(diǎn)為 什么能到達(dá)碗口什么能到達(dá)碗口? (2) 求求 v0 與與 0 的關(guān)系。的關(guān)系。 ( 0 是質(zhì)點(diǎn)是質(zhì)點(diǎn) 的初始角位置，的初始角位置，O為球心為球心) 當(dāng)當(dāng)v v0大到一定程度時(shí)，小球能到達(dá)大到一定程度時(shí)，小球能到達(dá) 甚至飛出碗口。甚至飛出碗口。 0 z O (2)由題設(shè)條件，由題設(shè)條件， v v0與與 0滿足小球剛好能到

17、達(dá)碗口滿足小球剛好能到達(dá)碗口,即即 小球到達(dá)碗口時(shí)速度沿水平方向小球到達(dá)碗口時(shí)速度沿水平方向,沿碗口作圓周運(yùn)動(dòng)。沿碗口作圓周運(yùn)動(dòng)。 0 v gm N 解：解：(1)如圖，設(shè)碗對(duì)小球的支持力 如圖，設(shè)碗對(duì)小球的支持力 為為NN，其水平分量提供了小球其水平分量提供了小球 繞繞 z軸做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。軸做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。 小球圓周運(yùn)動(dòng)的速度小球圓周運(yùn)動(dòng)的速度v v0越大，越大， NN就越大，當(dāng)就越大，當(dāng)Ncos 0mg時(shí)，時(shí)， 小球?qū)⑾蛏霞铀?，向碗口運(yùn)動(dòng)。小球?qū)⑾蛏霞铀?，向碗口運(yùn)動(dòng)。 z O 0 v v 到達(dá)碗口后，沿碗到達(dá)碗口后，沿碗 口作圓周運(yùn)動(dòng)口作圓周運(yùn)動(dòng) 沿碗面螺旋上升沿碗面螺旋上升 0

18、 z O 0 v gm N 00 sinrmv 但是，由于重力矩但是，由于重力矩MM在在z方向的分量為零，即方向的分量為零，即Mz=0， 所以，小球在上升過(guò)程中對(duì)點(diǎn)所以，小球在上升過(guò)程中對(duì)點(diǎn)O的角動(dòng)量的角動(dòng)量L L在在z方向的方向的 分量守恒分量守恒, 為為 在小球上升過(guò)程中，相對(duì)于參考點(diǎn)在小球上升過(guò)程中，相對(duì)于參考點(diǎn)O，支持力支持力NN的力的力 矩為零，但矩為零，但小球所受重力矩不為零（始終在水平面小球所受重力矩不為零（始終在水平面 內(nèi)），即合力矩即重力矩內(nèi)），即合力矩即重力矩MM0，這樣，小球?qū)c(diǎn)，這樣，小球?qū)c(diǎn)O的的 角動(dòng)量不守恒。角動(dòng)量不守恒。 z O 0 v v 又，小球上升過(guò)程系統(tǒng)

19、的機(jī)械能守恒，即又，小球上升過(guò)程系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，即 2 0 2 0 2 1 cos 2 1 mvmgrmv 設(shè)小球上升到碗口時(shí)速度為設(shè)小球上升到碗口時(shí)速度為v v，沿水平方向，沿水平方向，則在此則在此 處處小球?qū)c(diǎn)小球?qū)c(diǎn)O的角動(dòng)量沿的角動(dòng)量沿z方向，大小為方向，大小為 mvr 故故mvrrmv 00 sin 0 0 cos 2 gr v 【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】在半角為在半角為的圓錐面內(nèi)壁距頂角的圓錐面內(nèi)壁距頂角h 的高處，有一個(gè)小球以初速度的高處，有一個(gè)小球以初速度v0沿內(nèi)壁水平方沿內(nèi)壁水平方 向射出。設(shè)錐面內(nèi)壁光滑。向射出。設(shè)錐面內(nèi)壁光滑。 （1）為使小球在高）為使小球在高h(yuǎn)處的水平面上作勻速

20、圓處的水平面上作勻速圓 周運(yùn)動(dòng)，周運(yùn)動(dòng)，v0？；？； （2）若）若初速度為初速度為v1=2v0，求小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程，求小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程 中的最大高度。中的最大高度。 mgNsin tan cos 2 0 h v mN ghv 0 【解解】（1）小球受力：）小球受力： 重力重力mg，約束反力，約束反力 N。小球的運(yùn)動(dòng)方程。小球的運(yùn)動(dòng)方程 v0 h mg N mghmvxhmgmv 2 1 2 2 2 1 2 1 h x v1 (2) 當(dāng)初速度當(dāng)初速度v12v0時(shí)，時(shí)， 平衡不成立。小球平衡不成立。小球 作螺旋運(yùn)動(dòng)。機(jī)械作螺旋運(yùn)動(dòng)。機(jī)械 能守恒，設(shè)上升得能守恒，設(shè)上升得 最大高度最大高度x，其速，其速

21、 度為度為v2 ，則，則 mg N 以圓錐頂點(diǎn)為參考點(diǎn)，合力矩方向以圓錐頂點(diǎn)為參考點(diǎn)，合力矩方向始終在水平面內(nèi)始終在水平面內(nèi)， 所以沿圓錐軸線得角動(dòng)量分量守恒所以沿圓錐軸線得角動(dòng)量分量守恒 上兩式聯(lián)立可得上兩式聯(lián)立可得 （4） （5） 由（由（4）、（）、（5）式得到）式得到 2 3 x3h ， tantan 21 xhmvhmv xh ghh v 2 2 03 23 xhx hx3 得：得： 表面附近的重力加速度表面附近的重力加速度g表示表示)；(2)衛(wèi)星運(yùn)行軌道在衛(wèi)星運(yùn)行軌道在 近地點(diǎn)的曲率半徑近地點(diǎn)的曲率半徑r r。 【例例2-31】如圖如圖所示，人造地球衛(wèi)星近地點(diǎn)離地所示，人造地球衛(wèi)星

22、近地點(diǎn)離地r1=2R (R為地球半徑為地球半徑)，遠(yuǎn)地點(diǎn)離地心，遠(yuǎn)地點(diǎn)離地心r2=4R。求：。求：(1)衛(wèi)星在衛(wèi)星在 近地點(diǎn)及遠(yuǎn)地點(diǎn)的速率近地點(diǎn)及遠(yuǎn)地點(diǎn)的速率v1和和v2。 (用地球半徑用地球半徑R以及地球以及地球 1 v 2 v x y O 近地點(diǎn)近地點(diǎn) 遠(yuǎn)地點(diǎn)遠(yuǎn)地點(diǎn) RmvRmv42 21 解：解： (1)系統(tǒng)內(nèi)的作用力是有心力，且為保守力，因此系統(tǒng)內(nèi)的作用力是有心力，且為保守力，因此 系統(tǒng)對(duì)地心的角動(dòng)量守恒。系統(tǒng)對(duì)地心的角動(dòng)量守恒。 1 v 2 v x y O 近地點(diǎn)近地點(diǎn) 遠(yuǎn)地點(diǎn)遠(yuǎn)地點(diǎn) 在遠(yuǎn)地點(diǎn)和近地點(diǎn)，速度與相對(duì)于在遠(yuǎn)地點(diǎn)和近地點(diǎn)，速度與相對(duì)于O點(diǎn)的位置矢點(diǎn)的位置矢 量垂直，所以有量

23、垂直，所以有 等式兩邊分別為衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)的等式兩邊分別為衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)的 角動(dòng)量及機(jī)械能。角動(dòng)量及機(jī)械能。引力勢(shì)能的一般表示式為引力勢(shì)能的一般表示式為 r Mm GE p 22 1 R mg R Mm GE p 44 2 R mg R Mm GE p 故故 考慮到在地面附近考慮到在地面附近 mg R Mm GF 2地面 2 2 21 2 1 2 1 2 1 pp EmvEmv機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒 (2)人造地球衛(wèi)星在近地點(diǎn)處的法向加速度分量為人造地球衛(wèi)星在近地點(diǎn)處的法向加速度分量為 利用利用 4)2( 2 g R M Gan 2 1n 1 va r 得近地點(diǎn)處軌道的曲率半徑為

24、得近地點(diǎn)處軌道的曲率半徑為 3 8 4/ 3/21 2 1 n R g Rg v a r 聯(lián)立求解，得聯(lián)立求解，得 Rgv 3 2 1 Rgv 6 1 2 【例例2-32】如圖如圖所示，質(zhì)量為所示，質(zhì)量為m的飛船繞質(zhì)量為的飛船繞質(zhì)量為M的的 地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為3R(R為地球半徑為地球半徑)， 它的運(yùn)行速率它的運(yùn)行速率v0為多少為多少?飛船在此處要將它的運(yùn)動(dòng)速飛船在此處要將它的運(yùn)動(dòng)速 度至少增加到度至少增加到v1為多少時(shí)，才能飛離地球?yàn)槎嗌贂r(shí)，才能飛離地球?若飛船在若飛船在 3R處將速度增加到處將速度增加到v1后關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，在離地心為后關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，在離地

25、心為12R 處，它的切向加速度分量處，它的切向加速度分量at為多少為多少?該處軌道的曲率該處軌道的曲率 半徑半徑r r為多少為多少(用地球半徑用地球半徑R以及地球表面附近的重力以及地球表面附近的重力 加速度加速度g表示結(jié)果表示結(jié)果)? 解：解：在地面處，在地面處， 飛船在飛船在3R處繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)處繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng) 以無(wú)窮遠(yuǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)，為脫離以無(wú)窮遠(yuǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)，為脫離 地球，系統(tǒng)機(jī)械能至少為零地球，系統(tǒng)機(jī)械能至少為零 9)3(3 2 2 0 mg R mM G R v m 3 0 Rg v 0 2 1 2 1 32 1 32 1 222 1 2 1 mv Mm Gmv mgR mv

26、R Mm Gmv 3 2 1 Rg v mg R Mm G 2 2 R M Gg 飛船從飛船從3R處運(yùn)動(dòng)到處運(yùn)動(dòng)到12R處，系統(tǒng)機(jī)械能守恒處，系統(tǒng)機(jī)械能守恒 0 122 1 2 2 R Mm Gmv 6 2 Rg v 在此過(guò)程中，飛船相在此過(guò)程中，飛船相 對(duì)地心的角動(dòng)量守恒對(duì)地心的角動(dòng)量守恒 sin123 21 RmvRmv 2/1sin 其中其中 為飛船在離地心為飛船在離地心12R處的速處的速 度與徑向之間的夾角度與徑向之間的夾角(見(jiàn)圖見(jiàn)圖)。 1 v R3 Rav48/ n 2 2 r 在離地心在離地心12R處飛船加速度大小處飛船加速度大小 144)12( 2 g R M Ga 288 3

27、 cos t g aa 288 sin n g aa a n a t a 1 v R3 方向指向地球球心方向指向地球球心 解：解： R o 【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】當(dāng)一質(zhì)量為當(dāng)一質(zhì)量為 m2的飛船距一質(zhì)量為的飛船距一質(zhì)量為 m1、半徑為、半徑為 R 的行星的中心的行星的中心 4R 處時(shí)，速度處時(shí)，速度 為為 , 要使飛船恰好掠要使飛船恰好掠 著行星的表面著陸，著行星的表面著陸， 角應(yīng)是多少角應(yīng)是多少? 著陸滑行初速度著陸滑行初速度 v 多大多大? 0 v 有心力場(chǎng)中有心力場(chǎng)中, 運(yùn)用角動(dòng)運(yùn)用角動(dòng) 量守恒和量守恒和(m1 , m2 )系系 統(tǒng)機(jī)械能守恒定律：統(tǒng)機(jī)械能守恒定律： vRmRvm 202 si

28、n4 R mGm vm R mGm vm 21 2 2 21 2 02 2 1 42 1 2 1 2 0 1 ) 2 3 1 ( 4 1 sin Rv Gm 2 1 2 0 1 0 ) 2 3 1 ( Rv Gm vv 2 m 0 v Rr4 0 v 1 m m 0R =3Rm sin 火箭運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只受引力火箭運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只受引力(保守力保守力)作用，機(jī)械能守恒作用，機(jī)械能守恒(火火 箭、地球箭、地球)、對(duì)、對(duì)o點(diǎn)的角動(dòng)量守恒：點(diǎn)的角動(dòng)量守恒： 【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】質(zhì)量為質(zhì)量為m的火箭的火箭A，以水平速度，以水平速度 沿地球表面發(fā)射出沿地球表面發(fā)射出 去。地軸去。地軸oo 與與 平行，火箭平行，火

29、箭A的運(yùn)動(dòng)軌道與地軸的運(yùn)動(dòng)軌道與地軸oo 相交于距相交于距o 為為3R的的C點(diǎn)。不考慮地球的自轉(zhuǎn)和空氣阻力，點(diǎn)。不考慮地球的自轉(zhuǎn)和空氣阻力，求火箭求火箭A在在C點(diǎn)的速點(diǎn)的速 度度 與與 之間的夾角之間的夾角 。(設(shè)地球的質(zhì)量為設(shè)地球的質(zhì)量為M、半徑為、半徑為R) 解得解得 C o A M R o 3R m 解：解： 0 0 0 0 0 R Mm Gm R Mm Gm 32 1 2 1 2 2 0 )43(3 sin 2 0 2 0 GMR R 【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】人造地球衛(wèi)星變軌問(wèn)題。人造地球衛(wèi)星變軌問(wèn)題。 地球可看作是半徑地球可看作是半徑 R 的球體，一顆質(zhì)量為的球體，一顆質(zhì)量為 m的人的人 造

30、地球衛(wèi)星在半徑為造地球衛(wèi)星在半徑為r 的圓形軌道上，以的圓形軌道上，以 速度速度vt 繞地球運(yùn)動(dòng)。衛(wèi)星沿指向地心的方向噴射氣體，繞地球運(yùn)動(dòng)。衛(wèi)星沿指向地心的方向噴射氣體， 其沖量不影響衛(wèi)星當(dāng)時(shí)的繞地圓周切向速度其沖量不影響衛(wèi)星當(dāng)時(shí)的繞地圓周切向速度vt ， 但卻給予衛(wèi)星一個(gè)指向地心的徑向速度但卻給予衛(wèi)星一個(gè)指向地心的徑向速度vn。噴射。噴射 后衛(wèi)星質(zhì)量為后衛(wèi)星質(zhì)量為 ,衛(wèi)星軌道變?yōu)樾l(wèi)星軌道變?yōu)闄E圓橢圓。求。求這次噴這次噴 射后衛(wèi)星軌道的射后衛(wèi)星軌道的近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn) 離地心的距離。離地心的距離。 解：這是平方反比律的有心力作用下的軌道問(wèn)題這是平方反比律的有心力作用下的軌道問(wèn)題 這類(lèi)

31、問(wèn)題所滿足的基本規(guī)律是這類(lèi)問(wèn)題所滿足的基本規(guī)律是 機(jī)械能守恒、機(jī)械能守恒、 對(duì)于圓軌道，還可以利用引力提供向心力的概念對(duì)于圓軌道，還可以利用引力提供向心力的概念 角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒 m 2 v 1 v x y O 近地點(diǎn)近地點(diǎn) 遠(yuǎn)地點(diǎn)遠(yuǎn)地點(diǎn) n v t v x y O t v m m r 1 L 2 L 噴射噴射后，衛(wèi)星對(duì)地心的角動(dòng)量后，衛(wèi)星對(duì)地心的角動(dòng)量守恒守恒 其中其中 L是軌道是軌道近地點(diǎn)近地點(diǎn)或或遠(yuǎn)地點(diǎn)遠(yuǎn)地點(diǎn)距地心的距離，距地心的距離， 為該處速度。為該處速度。 此時(shí)此時(shí) 噴射后，衛(wèi)星、地球系統(tǒng)機(jī)械能守恒噴射后，衛(wèi)星、地球系統(tǒng)機(jī)械能守恒 （2 2） （3） Lvmrvm t L Mm

32、G vm r MmG vvm nt 2 22 2 1 2 1 噴射前噴射前，衛(wèi)星處在圓軌道上，衛(wèi)星處在圓軌道上，由牛頓第二定律由牛頓第二定律 2 2 t vGmM m rr 2 t GMv r（1） Lv v 即即 得得 遠(yuǎn)地點(diǎn)遠(yuǎn)地點(diǎn) 近地點(diǎn)近地點(diǎn) 由（由（1），（），（2），）， （3）得）得 02 2 22 2 22 rvrLvLvv ttnt 0rvLvvrvLvv tnttnt nt t vv rv L 1 nt t vv rv L 2 h1 v 2 v 衛(wèi)星所受萬(wàn)有引力衛(wèi)星所受萬(wàn)有引力、 火箭反沖力均通過(guò)力心，火箭反沖力均通過(guò)力心， v r 故衛(wèi)星在火箭點(diǎn)燃前故衛(wèi)星在火箭點(diǎn)燃前 或后

33、對(duì)地心的角動(dòng)量或后對(duì)地心的角動(dòng)量 始終不變，是守恒的。始終不變，是守恒的。 R ? 解：分析解：分析 【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】 地球可看作是半徑地球可看作是半徑 R= 6400 km 的球體，的球體， 一顆一顆 人造地球衛(wèi)星在地面上空人造地球衛(wèi)星在地面上空 h=800km 的圓形軌的圓形軌 道上，以道上，以v1=7.5 km/s的速度繞地球運(yùn)動(dòng)。突然點(diǎn)的速度繞地球運(yùn)動(dòng)。突然點(diǎn) 燃燃 一一 火箭，其沖力使衛(wèi)星附加一個(gè)火箭，其沖力使衛(wèi)星附加一個(gè) 向外的徑向分向外的徑向分 速度速度 v2=0.2 km/s使衛(wèi)星的軌道變成橢圓形。使衛(wèi)星的軌道變成橢圓形。求求此此 后衛(wèi)星軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)位于地面上空多高？后

34、衛(wèi)星軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)位于地面上空多高？ 火箭點(diǎn)燃后瞬時(shí)，可認(rèn)火箭點(diǎn)燃后瞬時(shí)，可認(rèn) 為衛(wèi)星距地心的位矢不變?yōu)樾l(wèi)星距地心的位矢不變 仍為仍為 速度為速度為 21 vvv 根據(jù)角動(dòng)量守恒定律：根據(jù)角動(dòng)量守恒定律： r , 21 )(vmrvvmr , 12 , ,/vrvrvr )1( , 1 rmvrmv 衛(wèi)星進(jìn)入橢圓軌道后，設(shè)衛(wèi)星進(jìn)入橢圓軌道后，設(shè) 遠(yuǎn)地點(diǎn)（或近地點(diǎn)）的位矢遠(yuǎn)地點(diǎn)（或近地點(diǎn)）的位矢 為為 ，該處的速度為，該處的速度為 , r , v , r , v 衛(wèi)星進(jìn)入橢圓軌道后，衛(wèi)星、地球系統(tǒng)只有萬(wàn)有引力衛(wèi)星進(jìn)入橢圓軌道后，衛(wèi)星、地球系統(tǒng)只有萬(wàn)有引力 （保守內(nèi)力）作用，機(jī)械能守恒：（保

35、守內(nèi)力）作用，機(jī)械能守恒： )2( 2 1 )( 2 1 , 2,2 2 2 1 r Mm Gmv r Mm Gvvm 對(duì)衛(wèi)星原來(lái)的圓運(yùn)動(dòng)有對(duì)衛(wèi)星原來(lái)的圓運(yùn)動(dòng)有 )3( 2 1 2 r v m r Mm G )1( , 1 rvrv )2( 2 1 )( 2 1 , 2,2 2 2 1 r M Gv r M Gvv 聯(lián)立（聯(lián)立（1）（）（2）（）（3）式，消去）式，消去 VG M m 則有則有 02)( 22 1 ,2 1 2,2 2 2 1 rvrrvrvv 0)()( 1 , 211 , 21 rvrvvrvrvv km vv rv r7397 2057 720057 21 1 , 1 k

36、m vv rv r7013 2057 720057 21 1 , 2 , 1 r , 2 r 1 h 2 h 遠(yuǎn)地點(diǎn)高度遠(yuǎn)地點(diǎn)高度 kmRrh997 , 11 近地點(diǎn)高度近地點(diǎn)高度kmRrh613 , 22 一一粒子在遠(yuǎn)處以速度粒子在遠(yuǎn)處以速度v0 射向一射向一重原子核重原子核，重原子，重原子 核到核到v0直線的距離為直線的距離為b b ，重原子核所帶電量為，重原子核所帶電量為ZeZe 。 求求粒子離開(kāi)重原子核時(shí)的速度粒子離開(kāi)重原子核時(shí)的速度v/ 的方向偏離的方向偏離v0 的角度的角度 b (2e) (Ze) 【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】 0 v v 解解 F 可以認(rèn)為重原子核在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不動(dòng)可以認(rèn)為

37、重原子核在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不動(dòng) O 所受的有心力為庫(kù)侖力所受的有心力為庫(kù)侖力 x b (2e) (Ze) 建立如圖坐標(biāo)建立如圖坐標(biāo) 庫(kù)侖力對(duì)庫(kù)侖力對(duì)O點(diǎn)的力矩為零點(diǎn)的力矩為零 粒子對(duì)粒子對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量守恒點(diǎn)的角動(dòng)量守恒 t mFF y y d d sin v t mrmrvbm d d 2 0 v 0)(FM O 2 2 2 22 r kZe r ekZe F 0 v r v v y 聯(lián)立消去聯(lián)立消去r2得得 F x b (2e) (Ze) tbm kZe t y d d sin 2 d d 0 2 v v 0 0 2 sin 0 dsin 2 d bm kZe y v v v )cos1 (

38、2 sin 0 2 0 bm kZe v v 0 v sin v r v v y 機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒 0 vv 在慣性參考系中，對(duì)同一參考在慣性參考系中，對(duì)同一參考 點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)系總角動(dòng)量為點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)系總角動(dòng)量為 2.3.2 質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理 i i M t L d d i i i i t L L tt L d d )( d d d d i i LL 內(nèi)外內(nèi)外 )(MMMM i i i 內(nèi)外ii MM 單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理 單個(gè)質(zhì)點(diǎn)受到的力矩為單個(gè)質(zhì)點(diǎn)受到的力矩為 質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量時(shí)間變化率質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量時(shí)間變化率 )( iii ivmrL ij ijiii

39、fFrM)( ij ijiii frFr 其中，單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量為其中，單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量為 其中，一對(duì)內(nèi)力力矩其中，一對(duì)內(nèi)力力矩 i ij ij i fr0 jijiji frfr i i L dt d )( i j o ijji frr )( 0 內(nèi)內(nèi) i i MM t L M d d 外 式中式中 對(duì)同一參考點(diǎn)。對(duì)同一參考點(diǎn)。 LM 和 外 0 j r i r i P ij f ji f i F 在在慣性參考系慣性參考系中，中，作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力矩的矢量和等作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力矩的矢量和等 于質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率，于質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率，這就是質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固這就是質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固 定點(diǎn)的角

40、動(dòng)量定理。定點(diǎn)的角動(dòng)量定理。 j F j P i i L dt d )( t L M d d 外 i ii Fr i i MM 外外 若對(duì)于某點(diǎn)而言，質(zhì)點(diǎn)系所若對(duì)于某點(diǎn)而言，質(zhì)點(diǎn)系所 受的外力矩之和為零，則質(zhì)受的外力矩之和為零，則質(zhì) 點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量不隨時(shí)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量不隨時(shí) 間改變，即：間改變，即： 質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒：質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒： .const LM ，則0若 外 故質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量守恒和動(dòng)量守恒也是相互獨(dú)立的。故質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量守恒和動(dòng)量守恒也是相互獨(dú)立的。 0與0 外外 FM 注意：注意： 是獨(dú)立的，是獨(dú)立的， 質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒 【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】在在光滑光滑水

41、平面上，有一原長(zhǎng)為水平面上，有一原長(zhǎng)為l0 = 0.6m，倔強(qiáng)系數(shù)，倔強(qiáng)系數(shù)k = 8N/m的彈性繩，繩的一端系一質(zhì)量為的彈性繩，繩的一端系一質(zhì)量為m = 0.2 kg 的小球，另一端的小球，另一端 固定在水平面的固定在水平面的A 點(diǎn)，最初彈性繩是松弛的，小球點(diǎn)，最初彈性繩是松弛的，小球B 的位置的位置 及初速度如圖，當(dāng)小球的速率為及初速度如圖，當(dāng)小球的速率為v 時(shí)，它與時(shí)，它與A 的距離最大，的距離最大， 此時(shí)此時(shí)l = 0.8m, ,求：求：此時(shí)的速率此時(shí)的速率v 及初速率及初速率 v 0 0 解：解：B與 與A端的距離最大時(shí)，端的距離最大時(shí)， 小球的速度與繩垂直。小球的速度與繩垂直。 角

42、動(dòng)量守恒：角動(dòng)量守恒： ）1sin 0 mlvmdv 機(jī)械能守恒：機(jī)械能守恒： )2)( 2 1 2 1 2 1 2 0 22 0 llkmvmv 由由1 1） 4 0 v v sm m ll v/306. 1 15 )(16 2 0 0 md4 . 0 A B 0 v 0 30 smv/33. 0 子彈射入滑塊可視為碰撞過(guò)程，動(dòng)量守恒：子彈射入滑塊可視為碰撞過(guò)程，動(dòng)量守恒： 【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】在一在一光滑水平面光滑水平面上，有一輕彈簧上，有一輕彈簧(倔強(qiáng)系數(shù)倔強(qiáng)系數(shù) k=100N/m)，一端固定于，一端固定于o點(diǎn)，另一端連接一滑塊點(diǎn)，另一端連接一滑塊 (M=1kg)。設(shè)開(kāi)始時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為。設(shè)開(kāi)

43、始時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為l0=0.2m(自然長(zhǎng)度自然長(zhǎng)度), 滑塊靜止滑塊靜止, 此時(shí)有一子彈此時(shí)有一子彈(m=0.02kg)以水平速度以水平速度 0=255m/s射向滑塊并停在其中。當(dāng)彈簧轉(zhuǎn)過(guò)射向滑塊并停在其中。當(dāng)彈簧轉(zhuǎn)過(guò)90 時(shí)時(shí),其其 長(zhǎng)度長(zhǎng)度l=0.5m, 求求此時(shí)滑塊速度此時(shí)滑塊速度 的大小和方向。的大小和方向。 m 0 解：解： = (m+M) 1 其中其中 1是子彈射入后是子彈射入后 滑塊的速度滑塊的速度 o l0 l 1 M m 0 m/s5 0 1 Mm m =4.02m/s, =30 (m+M) 1l0 = (m+M) lsin 同時(shí)系統(tǒng)同時(shí)系統(tǒng)(滑塊、彈簧滑塊、彈簧)機(jī)械能守恒機(jī)

44、械能守恒 在水平面上滑塊只受到彈性力的作用，故對(duì)在水平面上滑塊只受到彈性力的作用，故對(duì)o點(diǎn)點(diǎn) 的角動(dòng)量守恒：的角動(dòng)量守恒： 2 0 2 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 llkMmMm o l0 l 1 M m 0 由上兩式解得由上兩式解得: 【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】宇宙飛船質(zhì)量宇宙飛船質(zhì)量m=12 103kg，在月球上空，在月球上空 h=100km處圍繞月球旋轉(zhuǎn)。為了能降落在月球表面，處圍繞月球旋轉(zhuǎn)。為了能降落在月球表面， 噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)在噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)在A點(diǎn)處向著飛船飛行方向噴氣，設(shè)噴點(diǎn)處向著飛船飛行方向噴氣，設(shè)噴 出的氣體相對(duì)宇宙飛船的速度出的氣體相對(duì)宇宙飛船的速度u=10000m/s，

45、求求使飛使飛 船到達(dá)月球船到達(dá)月球B點(diǎn)處，所需要的燃料量。點(diǎn)處，所需要的燃料量。(設(shè)月球半徑設(shè)月球半徑 R=1700km，質(zhì)量，質(zhì)量M=7.37 1022kg) AB o 0解解: 先求出飛船繞月球旋轉(zhuǎn)的先求出飛船繞月球旋轉(zhuǎn)的 速度速度 0： hR m hR GmM 2 0 2 )( 1 0 sm1652 hR GM AB o 0 A B 飛船在飛船在A A點(diǎn)噴氣后速度降為點(diǎn)噴氣后速度降為 A A，在，在A AB B的飛行過(guò)程中，的飛行過(guò)程中， 角動(dòng)量守恒、系統(tǒng)角動(dòng)量守恒、系統(tǒng)( (飛船飛船+ +月球月球) )機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒 m 代表噴氣后飛船的質(zhì)量。由上兩式解出代表噴氣后飛船的質(zhì)量。由

46、上兩式解出： 設(shè)噴出設(shè)噴出 m燃料，由動(dòng)量守恒燃料，由動(dòng)量守恒 R MmG m hR MmG m RmhRm BA BA 22 2 1 2 1 )( 11 sm1724,sm1628 BA )()( 0 ummmm AA kg8 .28 )( 0 u m m A 0 1 90sinsinvv AA mrrm 0 解：解：分析因?yàn)槭怯行牧?chǎng)分析因?yàn)槭怯行牧?chǎng),且保守力場(chǎng)且保守力場(chǎng) 1 vv AA mdmD 0 v, B m 0 2 1 2 A mv)( 2 1 2 d mm Gm BA A v r D A B v 0 v d o d 0 v【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】已知：質(zhì)點(diǎn)已知：質(zhì)點(diǎn)A A：受粒子：受粒

47、子B B引力作用，引力作用， ， ， D, , ，質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)B B：不動(dòng)，其質(zhì)量未知。：不動(dòng)，其質(zhì)量未知。 m 求：求： ? B m 【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】如圖，兩個(gè)質(zhì)量均為如圖，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小孩，各抓住跨過(guò)滑輪繩子的的小孩，各抓住跨過(guò)滑輪繩子的 兩端用力向上爬。若滑輪的質(zhì)量和軸上的摩擦力都可忽略，開(kāi)始時(shí)兩端用力向上爬。若滑輪的質(zhì)量和軸上的摩擦力都可忽略，開(kāi)始時(shí) 兩小孩都不動(dòng)。兩小孩都不動(dòng)。 (1) 哪一個(gè)小孩先到達(dá)滑輪哪一個(gè)小孩先到達(dá)滑輪 (2) 若兩個(gè)小孩質(zhì)量不等時(shí)情況如何若兩個(gè)小孩質(zhì)量不等時(shí)情況如何 解解: 求求 R O (1) 以小孩、滑輪作為系統(tǒng)。地面坐標(biāo)以小孩、滑輪作為系統(tǒng)。地面坐標(biāo)

48、系里，則系統(tǒng)對(duì)系里，則系統(tǒng)對(duì)O點(diǎn)的總角動(dòng)量為點(diǎn)的總角動(dòng)量為 + 而系統(tǒng)所受的外力矩只有兩個(gè)小孩的重力矩，而系統(tǒng)所受的外力矩只有兩個(gè)小孩的重力矩， 且合力矩為零且合力矩為零 所以系統(tǒng)對(duì)所以系統(tǒng)對(duì)O點(diǎn)的總角動(dòng)量守恒點(diǎn)的總角動(dòng)量守恒 開(kāi)始時(shí)兩小孩都不動(dòng)開(kāi)始時(shí)兩小孩都不動(dòng) 隨后隨后 )( 21 vv mRLo 000 21 ttvv 00 tLo tt 21 vv 0tLo 1 v 2 v 總角動(dòng)量不守恒總角動(dòng)量不守恒 (2) 若兩個(gè)小孩質(zhì)量不等若兩個(gè)小孩質(zhì)量不等m1m2 系統(tǒng)所受的外力矩為系統(tǒng)所受的外力矩為 系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)對(duì)O點(diǎn)的總角動(dòng)量為點(diǎn)的總角動(dòng)量為 開(kāi)始時(shí)兩小孩都不動(dòng)開(kāi)始時(shí)兩小孩都不動(dòng) 若若 m1

49、m2 總之，體輕的小孩上升的快，先到達(dá)滑輪?？傊?，體輕的小孩上升的快，先到達(dá)滑輪。 隨后隨后 )( 2211 vvmmRLo gRmmM o )( 12 00 tLo 00 21 vv0 o L O o M t L d d gRmm)( 12 2211 vvmm 21 vv gRtmmmmRLo 122211 )(vv 000 21 ttvv 同類(lèi)問(wèn)題同類(lèi)問(wèn)題 兩只猴子兩只猴子M、N為了爭(zhēng)奪掛在頂部的香蕉，同為了爭(zhēng)奪掛在頂部的香蕉，同 時(shí)沿著一根跨過(guò)無(wú)摩擦輕滑輪的繩子向上爬時(shí)沿著一根跨過(guò)無(wú)摩擦輕滑輪的繩子向上爬， （1 1）若兩只猴子質(zhì)量相等，誰(shuí)先拿到香蕉？）若兩只猴子質(zhì)量相等，誰(shuí)先拿到香蕉？

50、 （2 2）若）若M質(zhì)量大于質(zhì)量大于N，誰(shuí)先拿到？，誰(shuí)先拿到？ M N 【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】一根輕繩跨過(guò)一輕定滑輪，一根輕繩跨過(guò)一輕定滑輪， 繩的兩端分別繩的兩端分別 懸有質(zhì)量懸有質(zhì)量 為為 m1 和和 m2 的物體的物體， ，m1 m2 ，滑輪的 滑輪的 半徑為半徑為 R，所受的摩擦阻，所受的摩擦阻 力矩為力矩為 Mf ，繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。，繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。 試求：試求：物體的加速度和繩的張力。物體的加速度和繩的張力。 . 1 m 2 m R gm1 gm2 NMf M=m2gR-m1gR-Mf 解解: 把 把m1、m2和輕定滑輪看和輕定滑輪看 作一系統(tǒng)。作一系統(tǒng)。 系統(tǒng)所受合外力有重

51、力系統(tǒng)所受合外力有重力m1g、m2g, 這兩個(gè)力對(duì)軸這兩個(gè)力對(duì)軸 的力矩分別為的力矩分別為m1gR、 m2gR;支撐力支撐力N通過(guò)轉(zhuǎn)軸通過(guò)轉(zhuǎn)軸,對(duì)軸的力對(duì)軸的力 矩為零。加上阻力矩矩為零。加上阻力矩Mf ,系統(tǒng)所受系統(tǒng)所受 合外力矩為合外力矩為(順時(shí)針為正順時(shí)針為正) v v 1 T 2 T 根據(jù)角動(dòng)量定理根據(jù)角動(dòng)量定理 )( 21 vRmvRm dt d dt dL M dt dv Rm dt dv Rm 21 ammR)( 21 amgmT 111 解得解得 21 12 )( mm R M gmm a f 系統(tǒng)的角系統(tǒng)的角 動(dòng)量包括動(dòng)量包括 m1: Rm1v m2: Rm2v 系統(tǒng)的總角動(dòng)

52、量為系統(tǒng)的總角動(dòng)量為 L=Rm1v+Rm2v amTgm 222 C l v0 【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】二球質(zhì)量均為二球質(zhì)量均為m，輕繩，光滑，輕繩，光滑 水平面，水平面，求：求：運(yùn)動(dòng)規(guī)律及繩中張力。運(yùn)動(dòng)規(guī)律及繩中張力。 解：解：水平方向動(dòng)量守恒水平方向動(dòng)量守恒 c mvmv2 0 0 2 1 vvc 質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng)質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng) 系統(tǒng)相對(duì)質(zhì)心角動(dòng)量守恒系統(tǒng)相對(duì)質(zhì)心角動(dòng)量守恒 22 0 222 l m l m l mv l v0 小球繞質(zhì)心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)小球繞質(zhì)心作勻速圓周運(yùn)動(dòng) 繩中的張力繩中的張力 l v m l mT 2 0 2 2 1 2 a bc l v045o 【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】三球質(zhì)

53、量均為三球質(zhì)量均為m，輕桿，光滑，輕桿，光滑 水平面，對(duì)心彈性碰撞水平面，對(duì)心彈性碰撞, 分析其運(yùn)動(dòng)情況分析其運(yùn)動(dòng)情況。 解：解：系統(tǒng)動(dòng)量、角動(dòng)量、機(jī)械能系統(tǒng)動(dòng)量、角動(dòng)量、機(jī)械能 均守恒均守恒 ？ 相對(duì)哪個(gè)參考點(diǎn)？相對(duì)哪個(gè)參考點(diǎn)？ c mvmvmv2 0 2 0 2 245sin 2 45sin 2 l m l mv l mv 222 0 2 2 1 2 1 2 1 c vmmvmv 2 2 2 2 2 1 l m 0 7 4 vvc 0 7 24 v l 0 7 1 vv O a b 【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】同軸圓筒同軸圓筒(Ma、Mb)均可自由均可自由 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng),外筒開(kāi)始靜止。內(nèi)筒開(kāi)有許多小孔外筒

54、開(kāi)始靜止。內(nèi)筒開(kāi)有許多小孔, 內(nèi)表面散布著一薄層沙內(nèi)表面散布著一薄層沙(M0),以以 0勻速轉(zhuǎn)勻速轉(zhuǎn) 動(dòng)動(dòng),沙飛出并附著在外筒內(nèi)壁。單位時(shí)間沙飛出并附著在外筒內(nèi)壁。單位時(shí)間 噴出沙的質(zhì)量為噴出沙的質(zhì)量為k,忽略沙的飛行時(shí)間忽略沙的飛行時(shí)間,求求t 時(shí)刻兩筒角速度。時(shí)刻兩筒角速度。 解：解：以內(nèi)筒與沙作為系統(tǒng)，角動(dòng)量守恒以內(nèi)筒與沙作為系統(tǒng)，角動(dòng)量守恒 0 2 0 aMM a 0 22 0 ktaaktMM aa 0 a 以噴出的沙與外筒作為系統(tǒng)，角動(dòng)量守恒以噴出的沙與外筒作為系統(tǒng)，角動(dòng)量守恒 bb bktMkta 2 0 2 0 2 2 bktM kta b b 2. 有一個(gè)小塊物體，置于一個(gè)光

55、滑的水平桌面上，有一有一個(gè)小塊物體，置于一個(gè)光滑的水平桌面上，有一 繩其上一端連結(jié)此物體，另一端穿過(guò)桌面中心的小孔，繩其上一端連結(jié)此物體，另一端穿過(guò)桌面中心的小孔， 該物體原以角速度在距孔為該物體原以角速度在距孔為R 的圓周上轉(zhuǎn)動(dòng)，今將繩從的圓周上轉(zhuǎn)動(dòng)，今將繩從 小孔緩慢往下拉，則物體小孔緩慢往下拉，則物體 A）動(dòng)能不變，動(dòng)量改變。）動(dòng)能不變，動(dòng)量改變。 B）角動(dòng)量不變，動(dòng)量不變。）角動(dòng)量不變，動(dòng)量不變。 C）動(dòng)量不變，動(dòng)能改變）動(dòng)量不變，動(dòng)能改變 。 D）角動(dòng)量不變，動(dòng)能、動(dòng)量都改變。）角動(dòng)量不變，動(dòng)能、動(dòng)量都改變。 課堂練習(xí)課堂練習(xí) 1 質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力可以改變質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力可以改變 A）系統(tǒng)的

56、總質(zhì)量。）系統(tǒng)的總質(zhì)量。B）系統(tǒng)的總動(dòng)量。）系統(tǒng)的總動(dòng)量。 C）系統(tǒng)的總動(dòng)能。）系統(tǒng)的總動(dòng)能。D）系統(tǒng)的總角動(dòng)量。）系統(tǒng)的總角動(dòng)量。 f f r v O Q gm m T R v 圓錐擺，已知小球作水圓錐擺，已知小球作水 平勻速圓周運(yùn)動(dòng)。那么平勻速圓周運(yùn)動(dòng)。那么 課堂練習(xí)課堂練習(xí) A）小球小球 m m 對(duì)對(duì)參考點(diǎn)參考點(diǎn)O O的角動(dòng)量守恒的角動(dòng)量守恒。 B）小球小球 m m 對(duì)對(duì)參考點(diǎn)參考點(diǎn)Q Q的角動(dòng)量守恒的角動(dòng)量守恒。 C）小球小球 m m 對(duì)任何對(duì)任何參考點(diǎn)參考點(diǎn)的角動(dòng)量守恒的角動(dòng)量守恒。 2.4 2.4 對(duì)稱性與守恒定律對(duì)稱性與守恒定律 2.4.1 對(duì)稱性對(duì)稱性 德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾（H. Weyl） 對(duì)稱性：系統(tǒng)在某種變換下具有的不變性。對(duì)稱性：系統(tǒng)在某種變換下具有的不變性。 鏡面反演對(duì)稱性鏡面反演對(duì)稱性 鏡面反演：對(duì)平面直角坐標(biāo)系，僅取x到-x （或y到-y，或z到-z）的變換。 一個(gè)系統(tǒng)若在鏡面反演變換下保持不變， 則稱這一系統(tǒng)具有鏡面反演對(duì)稱性。 空間平移對(duì)稱性空間平移對(duì)稱性 系統(tǒng)在空間平移，即在 )( 為常矢量RRrr 變換下具有的