第四章數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模

1、 一切科學(xué)的抽象， 都更深刻、更正確、更全面性地反映著自然 列寧 第一節(jié) 抽象 畢加索抽象畫 數(shù)學(xué)中的“1” 從“一個人”、“一棵樹”、“一只羊” 等客觀事物中抽象出來的，只保留這些對象 在數(shù)量上的特性，即量的多少 數(shù)學(xué)中的“圓” 從許許多多具體形體中抽象出來的“形”的概 念，并沒有顧及它所代表的特殊的質(zhì)的內(nèi)容 純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式 和數(shù)量關(guān)系，所以是非?，F(xiàn)實(shí)的材料這 些材料以極度抽象的形式出規(guī)，這只能在 表面上掩蓋它起源于外部世界的事實(shí)。 恩格斯 點(diǎn)、線、面，常量、變量概念 一、抽象方法 抽象是把研究的事物從某種角度看待的本 質(zhì)屬性抽取出來舍去其非本質(zhì)屬性進(jìn)行考察的 思維方法。在

2、數(shù)學(xué)中，抽象是指從研究對象或 問題中抽取出數(shù)量關(guān)系或空間形式而舍棄其它 屬性對其進(jìn)行考察的方法。數(shù)學(xué)中的概念、關(guān) 系、定理、方法、符號等都是數(shù)學(xué)抽象或再抽 象的思維結(jié)果。抽象思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)之 一。 2.數(shù)學(xué)抽象的基本形式 （1）理想化抽象 所謂理想化是指通過抽象得到的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)，并非客觀事物本身存在 的東西，而是從實(shí)際事物中分離出來的經(jīng)過思維加工得來的，甚至是假想出 來的概念和性質(zhì) 。 如，在幾何中的“點(diǎn)”、“直線”、“平面”等抽象概念，在自然界也是 不存在的，都是經(jīng)過人們的智慧加工得來的理想化概念幾何中的“點(diǎn)”是 從自然界中物體的大小無限地減少可能得到的結(jié)果，或者在物體的大小比較

3、中，大大可以忽略不計(jì)的物體中抽象得來的，而且把它理想化為無長、無寬、 無高的“點(diǎn)”同樣，“直線”被理想化為沒有厚度和寬度的線、“平面被 理想化為沒有厚度的面等。 在數(shù)學(xué)中，往往在原有的對象中引入理想化元素，創(chuàng)造出新的數(shù)學(xué)理 論例如無限遠(yuǎn)點(diǎn)(理想化元素) 和虛根的引入。 上述事例說明，理想化抽象的方法在數(shù)學(xué)的發(fā)展和發(fā)明創(chuàng)造中具有重要的 作用” (2)等價抽象 在數(shù)學(xué)研究中，把同類對象的共同性質(zhì)抽取出來而舍棄對象的其 它性質(zhì)，這種抽象方法稱為等價抽象 例如，對于兩個集合來說，如果能夠在它們的元素之間建立起一例如，對于兩個集合來說，如果能夠在它們的元素之間建立起一 一對應(yīng)關(guān)系，則稱它們?yōu)閷Φ鹊募弦?/p>

4、對應(yīng)關(guān)系，則稱它們?yōu)閷Φ鹊募献匀粩?shù)自然數(shù)是等價抽象的結(jié)果是等價抽象的結(jié)果 又如，兩個三角形，它們的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，具有這 樣的性質(zhì)的三角形，它們都具有相同的形狀把三角形這種相同的 性質(zhì)和形狀的特點(diǎn)抽象出來就得到相似三角形相似三角形的概念這也是等價 抽象 再如，在自然數(shù)中有的數(shù)被一個自然數(shù)除，都得到相同的余數(shù) (如2，7，12，17，被5除都得到余數(shù)2)，從這類自然數(shù)的共同 特征抽象得到同余數(shù)同余數(shù)的概念，也是等價抽象 等價關(guān)系滿足以下三條性質(zhì)：等價關(guān)系滿足以下三條性質(zhì)：自反性、對稱性、傳遞性。自反性、對稱性、傳遞性。 設(shè)有一集合設(shè)有一集合E，如果給定了笛卡爾乘積，如果給定了笛卡爾乘

5、積EE的一個子集合的一個子集合R，我們就說，我們就說 在在E上定義了一個二元關(guān)系上定義了一個二元關(guān)系R.即一個二元關(guān)系，就是一個有序偶對的集合。即一個二元關(guān)系，就是一個有序偶對的集合。 如果用如果用a,b,c, 表示所考察的一類對象，那么表示所考察的一類對象，那么 自反性：如果對于所有的自反性：如果對于所有的a，都有（，都有（a,a）R，例如數(shù)的相等，自然數(shù)，例如數(shù)的相等，自然數(shù) 的整除等的整除等 對稱性：如果（對稱性：如果（a,b）R，則（，則（b,a）R，如數(shù)的不等、直線的平行、，如數(shù)的不等、直線的平行、 垂直、相似等垂直、相似等 傳遞性：如果（傳遞性：如果（a,b）R，（，（b,c）R，

6、則（，則（a,c）R.如數(shù)的大小、如數(shù)的大小、 直線的平行、整除、相似等直線的平行、整除、相似等 （3）強(qiáng)抽象與弱抽象 強(qiáng)抽象是指在已知概念中，加強(qiáng)對某一屬性的限制，抽強(qiáng)抽象是指在已知概念中，加強(qiáng)對某一屬性的限制，抽 象出作為原概念特例的新概念的方法，即通過擴(kuò)大原概念的象出作為原概念特例的新概念的方法，即通過擴(kuò)大原概念的 內(nèi)涵來建立新概念的抽象方法。內(nèi)涵來建立新概念的抽象方法。 例：從四邊形概念出發(fā)，從兩組對邊給予適當(dāng)限制，則例：從四邊形概念出發(fā)，從兩組對邊給予適當(dāng)限制，則 得平行四邊形和梯形的概念。得平行四邊形和梯形的概念。 若從平行四邊形概念出發(fā)，再對邊或角分別適當(dāng)限制，若從平行四邊形概念

7、出發(fā)，再對邊或角分別適當(dāng)限制， 有得到矩形、菱形及正方形的概念。有得到矩形、菱形及正方形的概念。 由對數(shù)的概念出發(fā)，對底數(shù)給予適當(dāng)?shù)南拗?，可獲得以由對數(shù)的概念出發(fā)，對底數(shù)給予適當(dāng)?shù)南拗?，可獲得以 1010為底的常用對數(shù)和以為底的常用對數(shù)和以e e為底的自然對數(shù)等為底的自然對數(shù)等 弱抽象：指在已知概念中，減弱對某一屬性的限制，弱抽象：指在已知概念中，減弱對某一屬性的限制， 抽象出比原概念更為廣泛的新概念，使原概念成為新抽象出比原概念更為廣泛的新概念，使原概念成為新 概念的特例的方法。即通過縮小原概念的內(nèi)涵來建立概念的特例的方法。即通過縮小原概念的內(nèi)涵來建立 新概念的抽象方法。新概念的抽象方法。

8、例：從全等三角形的概念出發(fā)，借助弱抽象就可獲例：從全等三角形的概念出發(fā)，借助弱抽象就可獲 得相似形與等積形的概念，它們分別保留了得相似形與等積形的概念，它們分別保留了“形狀相形狀相 同同”及及“面積相等面積相等”的特性。的特性。 又如：在銳角三角函數(shù)概念中，放寬對又如：在銳角三角函數(shù)概念中，放寬對“銳角銳角”的的 限制，可以獲得任意角的三角函數(shù)的概念，任意角的限制，可以獲得任意角的三角函數(shù)的概念，任意角的 三角函數(shù)保留了三角函數(shù)保留了“比比”的屬性的屬性 （4）存在性抽象（可能性抽象） 先用假設(shè)的方法肯定抽象出來的數(shù)學(xué)概念的存在性，并由此先用假設(shè)的方法肯定抽象出來的數(shù)學(xué)概念的存在性，并由此 發(fā)

9、展出一定的數(shù)學(xué)理論，然后在理論和實(shí)踐中加以驗(yàn)證，從而發(fā)展出一定的數(shù)學(xué)理論，然后在理論和實(shí)踐中加以驗(yàn)證，從而 確認(rèn)新的數(shù)學(xué)理論的合理性。確認(rèn)新的數(shù)學(xué)理論的合理性。 例如：自然數(shù)列就是存在性一個例子要把自然數(shù)列無限延伸，必須把 人類生命的有限性以及認(rèn)識客觀事物在時間上的局限性舍去，才有可能實(shí)現(xiàn) 無限地延伸自然數(shù)列的設(shè)想從實(shí)踐的觀點(diǎn)來看，能夠?qū)崿F(xiàn)的過程必須是有 限個步驟因此，任何人都不可能把自然數(shù)列延伸到無限的境地但是，人 們認(rèn)識到，如果能夠把自然數(shù)列延伸到任何一個自然數(shù)n，那么必能寫出n后 面的一個自然數(shù)n+1由此，認(rèn)為把自然數(shù)列無限延伸潛在著實(shí)現(xiàn)的可能性， 簡稱可能性 從圓內(nèi)接正六邊形算起，把邊

10、數(shù)連續(xù)倍增來計(jì)算圓周長等等，都是以前一 步計(jì)算結(jié)果為根據(jù)，就能夠算出后一步的結(jié)果，這就認(rèn)為可能無限地計(jì)算下 去由此，得到圓周率的概念，這些都是運(yùn)用了可能性抽象的方法得到的數(shù) 學(xué)概念 哥尼斯堡七橋問題： 德國哥尼斯堡市內(nèi)有一條布勒爾河，在這條河上有兩 個支流，在城中心匯合成大河，河中間是島區(qū)，河上有 七座橋。問題：能否從任何一點(diǎn)為起點(diǎn)出發(fā)，相繼走過 7座橋，而且每座橋只走一次，然后又重新回到起點(diǎn) A B C D 例 亞當(dāng)斯先生和亞當(dāng)斯太太參加了一次晚會，同時出席的 還有其他三對夫婦，他(她)們進(jìn)行了種種握手活動沒有人 同他(她)自己的配偶握手；同時，沒有人和同一個人握兩次 手；當(dāng)然，也不會有人同

11、自己握手當(dāng)握手完畢之后，亞當(dāng) 斯先生問了每個人，包括他自己的妻子，他或她握過多少次 手，令他驚訝的是：每個人回答的數(shù)字互不相同那么，請 問亞當(dāng)斯太太握多少次手？ 數(shù)學(xué)的抽象性是顯而易見的我們對抽象的數(shù)進(jìn)行運(yùn)算， 而并不考慮在各個場合下如何把它們與具體的對象聯(lián)系起來 抽象的過程對數(shù)學(xué)的任何一個分支都是十分典型的各個 自然數(shù)的概念與各種幾何圖形的概念僅僅是兩個最古老和最基 本的數(shù)學(xué)概念 在此以后還有大量的其它概念，它們的數(shù)量是如此之多以 致不可能一一列舉，直至諸如復(fù)數(shù)、函數(shù)、積分、微分、算子、 n維空間、無窮維空間這樣的抽象物這些抽象物一個建立在 一個之上，直至達(dá)到了這樣的普遍性以致失去了與日常生

12、活的 任何聯(lián)系，從而被普通人認(rèn)為是完全不可理解的。 著名數(shù)學(xué)教育家倫伯格 數(shù)學(xué)的抽象性、精確性以及應(yīng)用的廣泛性 是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征 亞歷山大洛夫 數(shù)學(xué)被認(rèn)為是在完全抽象的領(lǐng)域里活動的科 學(xué)，它和自身所研究的任何特殊事例都脫離了關(guān) 系。 懷特海 任何一門數(shù)學(xué)分支，無論怎樣抽象， 總有一天會被應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界的現(xiàn)實(shí)之 中。 （羅巴切夫斯基） 抽象是把研究的事物從某種角度看待 的本質(zhì)屬性,舍去其非本質(zhì)屬性進(jìn)行考 察的思維方法. 抽象經(jīng)歷分離提純簡略的過程 數(shù)學(xué)抽象方法是： 指抽取出同類數(shù)學(xué)對象的共同的、本質(zhì) 的屬性或特征，舍棄其他非本質(zhì)的屬性或特 征的思維過程 即把研究對象或問題中抽取數(shù)量關(guān)系或 空間形

13、式而舍棄其它屬性對其進(jìn)行考察的思 維方法。 2005年年10月月12日上午日上午9 時，時，“神舟六號神舟六號”載人載人 飛船順利升空，實(shí)現(xiàn)多飛船順利升空，實(shí)現(xiàn)多 人多天飛行，標(biāo)志著我人多天飛行，標(biāo)志著我 國航天事業(yè)又上了一個國航天事業(yè)又上了一個 新臺階，請問：新臺階，請問： “神舟神舟 六號六號”載人飛船的運(yùn)行載人飛船的運(yùn)行 軌道是什么？軌道是什么？ 神舟六號在進(jìn)入太空后，先以遠(yuǎn)地點(diǎn)神舟六號在進(jìn)入太空后，先以遠(yuǎn)地點(diǎn)347公里、近地點(diǎn)公里、近地點(diǎn) 200公里的公里的橢圓軌道橢圓軌道運(yùn)行，后經(jīng)過變軌調(diào)整為距地運(yùn)行，后經(jīng)過變軌調(diào)整為距地343 公里的圓形軌道公里的圓形軌道. 只要代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鑣

14、，它 們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹。 但當(dāng)達(dá)兩門科學(xué)結(jié)成伴侶時，它們 就互相吸取新鮮的活力，從那以后， 就以快速的步伐走向完善 拉格朗日 化形為數(shù)，以數(shù)論形； 化數(shù)為形，以形論數(shù)。 二、概括 概括就是把若干事物共同的屬性聯(lián)合起 來考察的方法例如，我們從日出日落，潮 漲潮退，一年四季及正弦曲線、余弦曲線的 圖象等，觀察到這樣的共同屬性：當(dāng)函數(shù)的 自變量增加到一定數(shù)值時，函數(shù)值可以重復(fù) 出現(xiàn)我們把這些個別事物的各自的屬性聯(lián) 合起來考察，發(fā)現(xiàn)了它們的共同性質(zhì)變化 的周期性 概括的二種形式: . 研究的對象的擴(kuò)大(包括原對象) 2. 取消被研究對象的條件限制 如三角函數(shù)的研究 如運(yùn)算律的研究 冪的運(yùn)算性質(zhì)的研究 例如，自然數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)推廣到有理數(shù)運(yùn)算，進(jìn)一步推廣 到實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)運(yùn)算，就是運(yùn)用了概括的方法又如，在中學(xué)數(shù) 學(xué)里冪的運(yùn)算性質(zhì)，把同底數(shù)的自然數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)推廣