廣東省肇慶市高中數(shù)學 第二章 推理與證明 2.1.1 合情推理（第二課時）教案 理 新人教A版選修2-2

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精2。1。1 合情推理（第二課時）一、教學目標：（一）知識與能力：了解類比推理的基本方法，并能用它進行簡單的推理.（二）過程與方法：類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質，類比的性質相似性越多，得出的結論就越可靠。（三）情感態(tài)度與價值觀：1正確認識合情推理在數(shù)學中的重要作用，養(yǎng)成認真觀察事物、分析問題、發(fā)現(xiàn)事物之間的質的聯(lián)系的良好品質，善于發(fā)現(xiàn)問題，探求新知識.2認識數(shù)學在日常生產生活中的重要作用，培養(yǎng)學生學數(shù)學，用數(shù)學，完善數(shù)學的正確數(shù)學意識.二、教學重點：了解合情推理的含義，能利用類比進行簡單的推理。三、教學難點：用類比進行推理，做出猜想。四、

2、教學過程：（一）導入新課：除了歸納，在人們的創(chuàng)造發(fā)明活動中，還常常應用類比例如，據說我國古代工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的齒牙，發(fā)明了鋸；人們仿照魚類的外形和它們在水中的沉浮原理，發(fā)明了潛水艇;等等。事實上,仿生學中許多發(fā)明的最初構想都是類比生物機制得到的。從一個傳說說起：春秋時代魯國的公輸班（后人稱魯班，被認為是木匠業(yè)的祖師）一次去林中砍樹時被一株齒形的茅草割破了手，這樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子。他的思路是這樣的:茅草是齒形的；茅草能割破手。我需要一種能割斷木頭的工具；它也可以是齒形的.這個推理過程有什么特點？（二)推進新課:1、我們再看幾個類似的推理實例。例1、試根據等式的性質猜想不等式的性

3、質。等式的性質: 猜想不等式的性質:(1） a=ba+c=b+c； (1) aba+cb+c;(2) a=b ac=bc； (2） ab acbc;(3) a=ba2=b2;等等。 （3) aba2b2;等等。問：這樣猜想出的結論是否一定正確?例2、試將平面上的圓與空間的球進行類比.圓的定義：平面內到一個定點的距離等于定長的點的集合。球的定義:到一個定點的距離等于定長的點的集合.圓 球弦截面圓直徑大圓周長表面積面積體積圓的性質球的性質圓心與弦(不是直徑）的中點的連線垂直于弦球心與截面圓（不是大圓）的圓點的連線垂直于截面圓與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長與球

4、心距離相等的兩截面圓相等;與球心距離不等的兩截面圓不等,距球心較近的截面圓較大圓的切線垂直于過切點的半徑;經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點球的切面垂直于過切點的半徑；經過球心且垂直于切面的直線必經過切點經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心經過切點且垂直于切面的直線必經過球心2、類比推理的定義：由兩個（兩類）對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征,推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比)3、類比推理的特點：類比推理是由特殊到特殊的推理4、類比推理的一般步驟:（1)找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征;(2)用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征,從而得出一個

5、猜想。觀察、比較聯(lián)想、類推猜想新結論在數(shù)學中，我們可以由已經解決的問題和已經獲得的知識出發(fā)，通過類比而提出新問題和作出新發(fā)現(xiàn) 5、例3（課本例2）類比實數(shù)的加法和乘法，列出它們相似的運算性質分析：實數(shù)的加法和乘法都是由兩個數(shù)參與的運算，都滿足一定的運算律，都存在逆運算,而且“0”和“1”分別在加法和乘法中占有特殊的地位因此我們可以從上述 4 個方面來類比這兩種運算解:（1)兩個實數(shù)經過加法運算或乘法運算后，所得的結果仍然是一個實數(shù) （2)從運算律的角度考慮,加法和乘法都滿足交換律和結合律,即a + b = b + a ab=ba(a+b)+c=a+（b+c） （ab）c=a（bc)（3)從逆運

6、算的角度考慮，二者都有逆運算，加法的逆運算是減法,乘法的逆運算是除法，這就使得方程a + x=0 ax=1 (a0 ) 都有唯一解x=-a x=(4）在加法中，任意實數(shù)與0相加都不改變大??；乘法中的1與加法中的0類似，即任意實數(shù)與1的積都等于原來的數(shù),即 a + 0= a a1= a 運用類比推理常常先要尋找合適的類比對象例如，在立體幾何中，為了研究四面體的性質，我們可以在平面幾何中尋找一個研究過的對象，通過類比這個對象的性質,獲得四面體性質的猜想以及證明這些猜想的思路6、探究：你認為平面幾何中的哪一類圖形可以作為四面體的類比對象？ 可以從不同角度出發(fā)確定類比對象，如圍成四面體的幾何元素的數(shù)目

7、、位置關系、度量等從構成幾何體的元素數(shù)目看，可以把三角形作為四面體的類比對象例4（課本例3)類比平面內直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質的猜想分析:考慮到直角三角形的兩條邊互相垂直，所以我們可以選取有3個面兩兩垂直的個面是四面體,作為直角三角形的類比對象直角三角形3個面兩兩垂直的四面體c903個邊的長度a，b，c 2條直角邊a，b和1條斜邊cpdfpdeedf90 4個面的面積s1，s2,s3和s 3個“直角面” s1，s2，s3和1個“斜面” s解：如圖所示，在rtabc中，由勾股定理，得. 于是，類比直角三角形的勾股定理，在四面體 p def 我們猜想。7、合情推理的定義:以上的

8、推理過程概括為：可見，歸納推理和類比推理都是根據已有的事實,經過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理、我們把它們統(tǒng)稱為合情推理(plausible reasoning )。在數(shù)學研究中,得到一個新結論之前,合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結論;證明一個數(shù)學結論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向下面再來看一個例子例5(課本例4）如圖2 .1-2 所示,有三根針和套在一根針上的若干金屬片按下列規(guī)則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上1每次只能移動1個金屬片；2較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面試推測:把n個金屬片從1號針移到3號針,最少需要移動多少次？分析：

9、我們從移動1， 2, 3， 4個金屬片的情形入手，探究其中的規(guī)律性，進而歸納出移動 n個金屬片所需的次數(shù)解：當n=1時，只需把金屬片從1號針移到3號針，用符號（13 )表示，共移動了1次當n=2 時，為了避免將較大的金屬片放在較小的金屬片上面，我們利用2號針作為“中間針,移動的順序是： (1)把第1個金屬片從1號針移到 2 號針； （2）把第2個金屬片從1號針移到 3 號針； （3)把第1個金屬片從2號針移到 3 號針用符號表示為：(12 ） （13 ) (23 ） 。 共移動了3 次當n=3 時，把上面兩個金屬片作為一個整體,則歸結為n=2 的情形，移動順序是: （1)把上面兩個金屬片從1號

10、針移到2號針； (2）把第 3 個金屬片從1號針移到3號針; (3）把上面兩個金屬片從 2 號針移到3 號針其中（1）和(3）都需要借助中間針用符號表示為： ( 13 ) (12 ） （ 32 ) ; ( 13 ） ; （ 21 ） ( 23 ） （ 13 ） . 共移動了 7 次當n=4 時，把上面3個金屬片作為一個整體，移動的順序是： (1)把上面3個金屬片從1號針移到2號針； (2)把第4個金屬片從 1 號針移到3號針; (3）把上面 3 個金屬片從 2 號針移到 3 號針用符號表示為： ( 12 ) （ 13 ) （23 ) (12 ) （31) (32 ） (12 ) ； (13 )

11、 ； ( 23 ） （21 ) (31 ) (23 ） （ 12 ) (13 ) (23 ) . 共移動了15次至此，我們得到依次移動1， 2, 3， 4 個金屬片所需次數(shù)構成的數(shù)列：1, 3， 7,15. 觀察這個數(shù)列,可以發(fā)現(xiàn)其中蘊含著如下規(guī)律： 1 = 21- 1 ， 3 = 22 1， 7 = 23 1, 15 = 24 1. 由此我們猜想：若把n個金屬片從1號針移到3號針，最少需要移動次，則數(shù)列的通項公式為 通過探究上述n=1，2,3,4時的移動方法，我們可以歸納出對n 個金屬片都適用的移動方法當移動n個金屬片時，可分為下列3個步驟： (1）將上面（n1）個金屬片從1號針移到2號針；

12、 （2)將第 n 個金屬片從1號針移到3號針； （3）將上面（n 1）個金屬片從2號針移到3號針這樣就把移動n個金屬片的任務，轉化為移動兩次（n-1）個金屬片和移動一次第 n 個金屬片的任務而移動（n-1）個金屬片需要移動兩次(n2)個金屬片和移動一次第(n1)個金屬片，移動(n2）個金屬片需要移動兩次(n3）個金屬片和移動一次第（n2）個金屬片 如此繼續(xù)，直到轉化為移動1個金屬片的情形根據這個過程,可得遞推公式從這個遞推公式出發(fā),可以證明通項公式是正確的注:一般來說，由合情推理所獲得的結論，僅僅是一種猜想，未必可靠. 例如,法國數(shù)學家費馬觀察到= 5, = 17 ,= 257 ，=65 537都是質數(shù),于是他用歸納推