經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分 第二版第三章 第六節(jié)邊際與彈性

1、一、邊際的概念一、邊際的概念 二、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的邊際函數(shù)二、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的邊際函數(shù) 五、小結(jié)五、小結(jié) 思考題思考題 三、彈性的概念三、彈性的概念 第六節(jié)第六節(jié) 邊際與彈性邊際與彈性 四、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的彈性函數(shù)四、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的彈性函數(shù) 一、 邊際的概念 如如果果函函數(shù)數(shù))(xfy 在在 0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)，則則在在),( 00 xxx內(nèi)內(nèi)的的 平平均均變變化化率率為為 x y ；在在 0 xx 處處的的瞬瞬時(shí)時(shí)變變化化率率為為 )( )()( lim 0 00 0 xf x xfxxf x ， 經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)學(xué)中中稱稱它它為為)(xf在在 0 xx 處處的的邊邊際際函函數(shù)數(shù)值值. 定義定義1 例例

2、1 解解 1. 邊際成本邊際成本 Q QCQQC Lim Q C LimQC QC QQ )()( )( )( 00 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)總總成成本本函函數(shù)數(shù) 1)邊際成本邊際成本 二、 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的邊際函數(shù) 2)邊際平均成本：邊際平均成本： . )()()( )( )( 2 稱稱為為平平均均邊邊際際成成本本 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)平平均均成成本本 Q QCQCQ Q QC QC QC )()( )()( 10 10 QCCQC QCCQC 即即： 之之和和，與與可可變變成成本本等等于于固固定定成成本本總總成成本本 例例 2 2 設(shè)設(shè)某某產(chǎn)產(chǎn)品品生生產(chǎn)產(chǎn) Q 單單位位的的總總成成本本為為 1200 1100)

3、( 2 Q QC ， 求求：( (1 1) )生生產(chǎn)產(chǎn) 9 90 00 0 個(gè)個(gè)單單位位的的總總成成本本和和平平均均成成本本； ( (2 2) )生生產(chǎn)產(chǎn) 9 90 00 0 個(gè)個(gè)單單位位到到 1 10 00 00 0 個(gè)個(gè)單單位位時(shí)時(shí)的的總總成成 本本的的平平均均變變化化率率； ( (3 3) )生生產(chǎn)產(chǎn) 9 90 00 0 個(gè)個(gè)單單位位的的邊邊際際成成本本，并并解解釋釋其其 經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)意意義義. . 解解(1)生產(chǎn)生產(chǎn)900個(gè)單位時(shí)的總成本為個(gè)單位時(shí)的總成本為 1775 1200 900 1100)( 2 900 Q QC 平均成本為平均成本為 99. 1 900 1775 )( 900 Q

4、 QC （2）生產(chǎn)）生產(chǎn)900個(gè)單位到個(gè)單位到1000個(gè)單位時(shí)總成本的個(gè)單位時(shí)總成本的 平均變化率為平均變化率為 58. 1 100 17751993 9001000 )900()1000()( CC Q QC 5 . 1)( 900, 6001200 2 )()3( 900 Q QC Q QQ QC 時(shí)時(shí)的的邊邊際際成成本本 當(dāng)當(dāng)邊邊際際成成本本函函數(shù)數(shù) 2. 邊際收益邊際收益 定義：定義： . )()( )( )( 00 稱稱為為邊邊際際收收益益函函數(shù)數(shù) 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)總總收收益益函函數(shù)數(shù) Q QRQQR Lim Q R LimQR QR QQ )()()()()( )( QPQQPQRQP

5、QPQQR QPPP ， ，因因此此為為價(jià)價(jià)格格，設(shè)設(shè) 例例 3 設(shè)設(shè)某某產(chǎn)產(chǎn)品品的的需需求求函函數(shù)數(shù)為為 5 20 Q P ， 其其中中P為為 價(jià)價(jià)格格，Q為為銷銷售售量量，求求銷銷售售量量為為 15 個(gè)個(gè)單單位位時(shí)時(shí)的的總總 收收益益，平平均均收收益益與與邊邊際際收收益益并并求求銷銷售售量量從從 15 個(gè)個(gè) 單單位位增增加加到到 20 個(gè)個(gè)單單位位時(shí)時(shí)收收益益的的平平均均變變化化率率 解解 5 20)( 2 Q QQQPR 總總收收益益為為 17 15 255)( 15 15 Q Q Q QR R平平均均收收益益 255) 5 20( 15 15 2 15 Q Q Q QR總總收收益益 個(gè)

6、個(gè)單單位位時(shí)時(shí)銷銷售售 14) 5 2 20()( 15 15 Q Q QQR邊邊際際收收益益 13 5 255320 1520 )15()20( 2015 RR Q R 化化率率為為個(gè)個(gè)單單位位時(shí)時(shí)收收益益的的平平均均變變個(gè)個(gè)單單位位增增加加到到當(dāng)當(dāng)銷銷售售量量從從 解解)60(10)( 2 QQePQQR Q 收收益益函函數(shù)數(shù) )60()2(5)( 2 QeQQR Q 邊邊際際收收益益函函數(shù)數(shù) 3. 邊際利潤(rùn)邊際利潤(rùn) 定義：定義： . )()( )( )( 00 稱稱為為邊邊際際利利潤(rùn)潤(rùn) 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)總總利利潤(rùn)潤(rùn)函函數(shù)數(shù) Q QLQQL Lim Q L LimQL QL QQ 邊際利潤(rùn)表示

7、：若已經(jīng)生產(chǎn)了邊際利潤(rùn)表示：若已經(jīng)生產(chǎn)了Q單位產(chǎn)單位產(chǎn) 品，再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的總利潤(rùn)品，再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的總利潤(rùn) 0 0 0 )(, )( )( )( )( , )()()( ),()()( QL QC QC QC QR QCQRQL QCQRQL 時(shí)時(shí) 與與邊邊際際成成本本決決定定邊邊際際利利潤(rùn)潤(rùn)可可由由邊邊際際收收入入顯顯然然 則則邊邊際際利利潤(rùn)潤(rùn)為為 之之差差即即與與總總成成本本函函數(shù)數(shù) 等等于于總總收收益益函函數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)一一般般情情況況下下，總總利利潤(rùn)潤(rùn)函函 )()( )( QCQR QL 則則邊邊際際利利潤(rùn)潤(rùn)為為,10250)(QQL 50)20()( 20 LQL Q

8、 0)25()( 25 LQL Q 100)35()( 35 LQL Q 上述結(jié)果表明當(dāng)生產(chǎn)量為每月上述結(jié)果表明當(dāng)生產(chǎn)量為每月2020噸時(shí)，再增加一噸，利潤(rùn)將增加噸時(shí)，再增加一噸，利潤(rùn)將增加5050 元，當(dāng)產(chǎn)量為每月元，當(dāng)產(chǎn)量為每月2525噸時(shí)，再增加一噸，利潤(rùn)不變；當(dāng)產(chǎn)量為噸時(shí)，再增加一噸，利潤(rùn)不變；當(dāng)產(chǎn)量為3535噸噸 時(shí)，再增加一噸，利潤(rùn)將減少時(shí)，再增加一噸，利潤(rùn)將減少100100此處說(shuō)明，對(duì)廠家來(lái)說(shuō)，并非此處說(shuō)明，對(duì)廠家來(lái)說(shuō)，并非 生產(chǎn)的產(chǎn)品越多，利潤(rùn)越高生產(chǎn)的產(chǎn)品越多，利潤(rùn)越高. . 解解 4. 邊際需求邊際需求 定義定義 ( ) ( ). Qf PQP dP f P dQ 若是需求

9、函數(shù)，則需求量 對(duì)價(jià)格 的導(dǎo)數(shù)稱為邊際需求函數(shù) )( 1 )( 1 Qf Pf顯顯然然， 解解 8)( 4,2 d d )( 4 P PQ PP Q P PQ時(shí)時(shí)的的邊邊際際需需求求為為當(dāng)當(dāng) 它的經(jīng)濟(jì)意義時(shí)價(jià)格為它的經(jīng)濟(jì)意義時(shí)價(jià)格為4時(shí)，價(jià)格上漲（或時(shí)，價(jià)格上漲（或 下降）下降）1個(gè)單位，需求量將減少（或增加）個(gè)單位，需求量將減少（或增加）8個(gè)單個(gè)單 位位. 例例 6 6 某商品的需求函數(shù)為某商品的需求函數(shù)為 2 75)(PPQQ ，求，求 4 P 時(shí)的邊際需求，并說(shuō)明經(jīng)濟(jì)意義時(shí)的邊際需求，并說(shuō)明經(jīng)濟(jì)意義 1. 1. 彈性的定義彈性的定義 三、彈性的概念 定義定義 )( )( limlim 0

10、 0 0 0 0 0 0 0 0 0 xf x xf x y x y xx yy xE yE xx xx 即即 . 彈性函數(shù)的定義彈性函數(shù)的定義 . ),()( lim / / lim0)( ),()( 00 彈彈性性函函數(shù)數(shù) 內(nèi)內(nèi)的的點(diǎn)點(diǎn)彈彈性性函函數(shù)數(shù)，簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱在在區(qū)區(qū)間間為為函函數(shù)數(shù) ，則則稱稱且且 可可導(dǎo)導(dǎo)，在在區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)一一般般的的，若若函函數(shù)數(shù) baxfy y x y y x x y xx yy Ex Ey xf baxfy xx 2 常見函數(shù)的彈性（常見函數(shù)的彈性（a,b,c, 為常數(shù)為常數(shù)） xx Ex xE xx Ex xE ax x Ex axbE axbxf ax Ex

11、 baE baxf Ex axE axxf bax ax Ex baxE baxxf Ex Ec Cxf x x tan )(cos ,cot )(sin )6( ln )ln( ln)()5( ln )( )()4( )( )()3( )( )()2( 0)()1( 三三角角函函數(shù)數(shù) 的的彈彈性性對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù) 的的彈彈性性指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù) 的的彈彈性性冪冪函函數(shù)數(shù) 的的彈彈性性線線性性函函數(shù)數(shù) 的的彈彈性性常常數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù) 3 彈性的四則運(yùn)算彈性的四則運(yùn)算 Ex xEf Ex xEf Ex xf xf E Ex xEf Ex xEf Ex xf xf E xfxf Ex xEf xf E

12、x xEf xf Ex xfxfE )()()( )( )3( )()()( )( )2( )()( )( )( )( )( )()( )1( 212 1 212 1 21 2 2 1 1 21 4 函數(shù)彈性的圖解方案函數(shù)彈性的圖解方案 )22(tan)tan( )( 圖圖即即 上上各各點(diǎn)點(diǎn)的的切切線線斜斜率率，的的幾幾何何意意義義為為所所示示曲曲線線邊邊際際函函數(shù)數(shù) mm xfy . )( tan tan tan tan tan )( , Ex Ey OAAB AA xfy Ex Ey Ex Ey x xf m m m 進(jìn)進(jìn)而而就就可可得得 ，和和，就就可可得得夾夾角角的的切切線線和和線線段

13、段曲曲線線 作作處處對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的彈彈性性，通通過(guò)過(guò)則則在在曲曲線線上上任任一一點(diǎn)點(diǎn) 所所示示的的曲曲線線，數(shù)數(shù)如如果果我我們們知知道道了了一一條條函函 則則若若考考慮慮彈彈性性的的絕絕對(duì)對(duì)值值， 因因而而又又平平均均函函數(shù)數(shù)為為 m 圖圖 2 - 2 )(,(xfxA )(xfy y y O xx 1. 1. 需求彈性需求彈性 1)需求的價(jià)格彈性需求的價(jià)格彈性 需求的價(jià)格彈性是指當(dāng)價(jià)格變化一定的百分比以后引起需求的價(jià)格彈性是指當(dāng)價(jià)格變化一定的百分比以后引起 的需求量的反應(yīng)程度的需求量的反應(yīng)程度.用公式表示為用公式表示為 . d d lim 0 Q P P Q Q P P Q E p P 四、

14、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的彈性函數(shù) 注注因?yàn)樾枨罅颗c價(jià)格的變化總沿著相反的方向，因?yàn)樾枨罅颗c價(jià)格的變化總沿著相反的方向， 需求的價(jià)格彈性算出來(lái)總是負(fù)值，為了討論方需求的價(jià)格彈性算出來(lái)總是負(fù)值，為了討論方 便，取其絕對(duì)值。另外，在實(shí)際應(yīng)用中，也常便，取其絕對(duì)值。另外，在實(shí)際應(yīng)用中，也常 用符號(hào)用符號(hào) 表示。表示。 例例1 1 解解 100 d d P Q 100020 QP時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) .2 1000 20 100 P E所所以以 時(shí)時(shí)的的彈彈性性當(dāng)當(dāng) ，求求某某需需求求曲曲線線為為： 20 3000100 P PQ (一一)幾種特殊的價(jià)格彈性幾種特殊的價(jià)格彈性 從理論上來(lái)說(shuō)，有以下四種特殊的需求彈性：從理論

15、上來(lái)說(shuō)，有以下四種特殊的需求彈性： ).32( 0)1( a 圖圖線線 的的直直曲曲線線的的圖圖形形是是一一條條垂垂直直變變化化這這種種商商品品的的需需求求 發(fā)發(fā)生生何何變變化化，其其需需求求量量都都不不沒沒有有彈彈性性，不不管管價(jià)價(jià)格格如如 完完全全也也就就是是說(shuō)說(shuō)，這這種種商商品品需需求求的的價(jià)價(jià)格格彈彈性性等等于于 ).32 )2( b 條條水水平平的的直直線線（圖圖種種商商品品的的需需求求曲曲線線為為一一 這這就就可可能能一一個(gè)個(gè)也也買買不不掉掉價(jià)價(jià)格格稍稍微微提提高高一一點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)， 把把可可以以賣賣掉掉多多少少；然然而而想想價(jià)價(jià)格格條條件件下下，有有的的少少就就 大大它它表表明明商商

16、品品在在一一定定需需求求的的價(jià)價(jià)格格彈彈性性為為無(wú)無(wú)窮窮 圖圖條條雙雙曲曲線線種種商商品品的的需需求求曲曲線線是是一一 同同樣樣的的百百分分比比變變化化這這百百分分比比時(shí)時(shí)，需需求求量量均均按按 水水平平下下，價(jià)價(jià)格格變變動(dòng)動(dòng)一一個(gè)個(gè)也也就就是是說(shuō)說(shuō)，在在任任何何價(jià)價(jià)格格 ，上上各各點(diǎn)點(diǎn)的的彈彈性性均均為為單單元元彈彈性性即即需需求求曲曲線線 )32( 1)3( c 稱稱之之為為非非彈彈性性需需求求部部分分，需需求求曲曲線線的的 稱稱之之為為彈彈性性需需求求；部部分分，需需求求曲曲線線的的 ；，需需求求曲曲線線的的中中點(diǎn)點(diǎn) ；，在在其其下下端端點(diǎn)點(diǎn) ；，在在其其上上端端點(diǎn)點(diǎn) 圖圖直直線線需需求

17、求曲曲線線是是一一條條傾傾斜斜的的 1 1 1)( 0)( )( )32()4( EPMB EPAM EPM EPB EPA d P P P P OO O O Q QQ Q M A B )(a)(b )(c )(d D D D (二二)需求彈性與總收益（市場(chǎng)銷售總額）的關(guān)系需求彈性與總收益（市場(chǎng)銷售總額）的關(guān)系 當(dāng)需求價(jià)格彈性大于當(dāng)需求價(jià)格彈性大于1時(shí)，降價(jià)增加銷售收入；時(shí)，降價(jià)增加銷售收入； 當(dāng)需求價(jià)格彈性小于當(dāng)需求價(jià)格彈性小于1時(shí)，降價(jià)反而會(huì)減少銷時(shí)，降價(jià)反而會(huì)減少銷 售收入售收入 此時(shí)，需求變動(dòng)的幅度大與價(jià)格變動(dòng)的幅度，此時(shí)，需求變動(dòng)的幅度大與價(jià)格變動(dòng)的幅度， 邊際收益小于邊際收益小于0

18、 0，即價(jià)格上漲，總收益減少，價(jià)格，即價(jià)格上漲，總收益減少，價(jià)格 下跌，總收益增加；下跌，總收益增加； 此時(shí)，需求變動(dòng)的幅度小于價(jià)格變動(dòng)的幅度，此時(shí)，需求變動(dòng)的幅度小于價(jià)格變動(dòng)的幅度， 邊際收益大于邊際收益大于0 0，即價(jià)格上漲，總收益增加，價(jià)格，即價(jià)格上漲，總收益增加，價(jià)格 下跌，總收益減少；下跌，總收益減少； 當(dāng)需求價(jià)格彈性等與當(dāng)需求價(jià)格彈性等與1時(shí)，當(dāng)價(jià)格的變化時(shí)，時(shí)，當(dāng)價(jià)格的變化時(shí)， 總收益不變總收益不變 3. 供給彈性供給彈性 定義：定義： ，則則供供給給彈彈性性 彈彈性性設(shè)設(shè)價(jià)價(jià)格格曲曲線線通通常常指指的的是是供供給給的的價(jià)價(jià)格格 )(PfQ 供給的價(jià)格彈性供給的價(jià)格彈性，式中：，

19、式中： PP E Q P P Q E d d 例例 8 8 觀觀察察下下列列供供給給函函數(shù)數(shù)： QPcQPbQPa43)( ;52)( ,3)( 試試判判斷斷其其供供給給彈彈性性 P E大大于于，等等于于或或小小于于 1 1. . 解：解：1, 0)( P Eaa故其縱軸截距 1)0()( P Eab，故此函數(shù)與橫軸相交 1)0()( P Eac，故此函數(shù)與縱軸相交 解：解： P P Q P Q P EP P Q 32 3 d d , 3 d d 故故 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)3 P 11 9 332 33 P E .3 ,327 時(shí)時(shí)的的供供給給彈彈性性及及當(dāng)當(dāng) 求求供供給給彈彈性性函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)某某產(chǎn)產(chǎn)品品

20、的的供供給給函函數(shù)數(shù)例例 P PQ .收收益益的的銷銷售售彈彈性性 EQ ER 4. 收益彈性收益彈性 R P P R EP ER d d R Q Q R EP ER d d 收收益益的的價(jià)價(jià)格格彈彈性性；式式中中： EP ER 解解故故，設(shè)設(shè),)()1(PQRPfQ ) d d ( 1 d )(d)( P Q PQ QP PQ PQ P EP PQE EP ER 1) d d (1 d d 1 P Q Q P P Q Q P Q PQ PQ PQ PQ Q EQ PQE EQ ER d )(d1 d )(d)( 1 1 d d 1 1) d d ( 1 P Q Q P Q P QP P ，故

21、故知知由由 1)1()2( EP ER 得得,1 d d d d P R PQ P P R R P EP ER )1)()1( d d PfQ P R ，故故又又由由 1)1( EQ ER 得得 1 1 d d d d Q R PQ Q Q R R Q EQ ER ) 1 1( d d P Q R 例例 9 9 假設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)假設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)XP100 ，其中，其中 X X 為產(chǎn)量為產(chǎn)量( (假定等于需求量假定等于需求量) )，P P 為價(jià)格，求收益為價(jià)格，求收益 的價(jià)格彈性的價(jià)格彈性 解：解： PPXPRPX/10)(,/100 422 1 10 10/10d )/10(d 2 4

22、 4 2 4 4 P P P P P P EP ER 例例 10 10 某商品的需求量某商品的需求量 Q Q 關(guān)于價(jià)格關(guān)于價(jià)格 P P 的函數(shù)為的函數(shù)為 2 75PQ (1)(1)求求 P=4P=4 時(shí)的需求的價(jià)格彈性， 并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義。時(shí)的需求的價(jià)格彈性， 并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義。 (2)P=4(2)P=4 時(shí)， 若價(jià)格提高時(shí)， 若價(jià)格提高 1%1%， 總收益是增加還是減少， 總收益是增加還是減少， 變化百分之幾？變化百分之幾？ 解解 2 2 2 75 2 75 )2( d d )1( P P P P P Q P P Q 54. 04 時(shí)，時(shí)，P %54. 0)(%1 )( 4 增加增加，需求量

23、減少，需求量減少下降下降價(jià)格上漲價(jià)格上漲 時(shí)，時(shí)，其經(jīng)濟(jì)意義是其經(jīng)濟(jì)意義是 P 解法二解法二)1()1()1( d d P R P QP Q P R 由由 1 d d P R R P EP ER 即即 46. 0)4(1 4 P EP ER 故故 %46. 0%1時(shí)時(shí)，總總收收益益增增加加即即當(dāng)當(dāng)價(jià)價(jià)格格上上漲漲 解法三解法三) 1 1() 1 1() 1 1( d d Q R Q PQ P Q R 由由 1 1 d d Q R R Q EQ ER 即即 )% 54. 0 1 1( 4 P EQ ER 故故 %46. 0)% 54. 0 1 1(54. 0 ,%1 總總收收益益增增加加時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng)價(jià)價(jià)格格上上漲漲 五小結(jié)思考題 邊際的基本概念邊際的基本概念 1 邊際成本邊際成本 2 邊際收益邊際收益 3 邊際利潤(rùn)邊際利潤(rùn) 4 邊際需求邊際需求 彈性的基本概念彈性的基本概念 1 需求彈性需求彈性 2 供給彈性供給彈性 3 收益彈性收益彈性 邊際函數(shù)的計(jì)算邊際函數(shù)的計(jì)算 彈性函數(shù)的計(jì)算彈性函數(shù)的計(jì)算 思考題思考題 解法一解法一 定定義義，分分別別將將按按照照需需求求對(duì)對(duì)價(jià)價(jià)格格的的彈彈性性 的函數(shù)得到的函數(shù)得到表為表為 P Q Q P P R Q R d d d d , d d P Q Q P P P Q P