2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 坐標(biāo)系 第節(jié) 第1課時 圓的極坐標(biāo)方程教學(xué)案 -

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第1課時圓的極坐標(biāo)方程核心必知1曲線的極坐標(biāo)方程在極坐標(biāo)系中，如果平面曲線c上任意一點的極坐標(biāo)中至少有一個滿足方程f(，)0，并且坐標(biāo)適合f(，）0的點都在曲線c上，那么方程f(，)0叫做曲線c的極坐標(biāo)方程2圓的極坐標(biāo)方程圓心為c（a,0）（a0）半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程為2acos_問題思考1在直角坐標(biāo)系中，曲線上每一點的坐標(biāo)一定適合它的方程那么，在極坐標(biāo)系中，曲線上一點的所有極坐標(biāo)是否一定都適合方程？提示：在直角坐標(biāo)系內(nèi)，曲線上每一點的坐標(biāo)一定適合它的方程，可是在極坐標(biāo)系內(nèi)，曲線上一點的所有坐標(biāo)不一定都適合方程例如給定曲線，設(shè)點p的一極坐標(biāo)為（，），那么點p適合方

2、程，從而是曲線上的一個點，但點p的另一個極坐標(biāo)（，)就不適合方程了所以在極坐標(biāo)系內(nèi)，確定某一個點p是否在某一曲線c上，只需判斷點p的極坐標(biāo)中是否有一對坐標(biāo)適合曲線c的方程即可2圓心在極點，半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程是什么？圓心在點處且過極點的圓的方程又是什么？提示:圓心在極點，半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程為r；圓心在點（a，）處且過極點的圓的方程為2asin_(0）設(shè)一個直角三角形的斜邊長一定,求直角頂點軌跡的極坐標(biāo)方程精講詳析本題考查極坐標(biāo)方程的求法，解答此題需要根據(jù)題目特點建立恰當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系,然后再求直角頂點的軌跡方程設(shè)直角三角形的斜邊為od，它的長度是2r，以o為極點,od所在射線為極軸，建立

3、極坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)p(,)為軌跡上的一點，則op，xop。在直角三角形odp中,opodcos ，op,od2r，2rcos (0，2r）這就是所求軌跡的方程（1)求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟如下：建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系設(shè)p（，)是曲線上任一點列出,的關(guān)系式化簡整理(2)極坐標(biāo)中的坐標(biāo)是由長度與角度表示的，因此，建立極坐標(biāo)方程常?？梢栽谝粋€三角形中實現(xiàn)，找出這樣的三角形便形成了解題的關(guān)鍵1設(shè)m是定圓o內(nèi)一定點，任作半徑oa,連接ma，過m作mpma交oa于p，求p點的軌跡方程解:以o為極點,射線om為極軸,建立極坐標(biāo)系，如圖設(shè)定圓o的半徑為r，oma，p（，)是軌跡上任意一點mpma，ma2mp|

4、2pa2。由余弦定理，可知|ma2a2r22arcos ，|mp2a222acos 。而|pa|r，由此可得a2r22arcos a222acos (r）2。整理化簡,得。求圓心在(0，0），半徑為r的圓的方程精講詳析在圓周上任取一點p（如圖）設(shè)其極坐標(biāo)為（，）由余弦定理知：cp2op2oc22opoccos cop，r2220cos （0）故其極坐標(biāo)方程為r2220cos (0）（1）圓的極坐標(biāo)方程是曲線的極坐標(biāo)方程的一種特殊情況，其求解過程同曲線的極坐標(biāo)方程的求法(2)特別地，當(dāng)圓心在極軸上即00時，方程為r2220cos ；若再有0r,則其方程為20cos 2rcos ；若0r，00,則

5、方程為2rcos(0）,這幾個方程經(jīng)常用來判斷圖形的形狀和位置2在極坐標(biāo)系中，已知圓c的圓心為，半徑為3,q點在圓周上運動(1）求圓c的極坐標(biāo)方程；（2)若p是oq中點，求p的軌跡解:（1）如圖，設(shè)q（,）為圓上任意一點,連接dq、oq，則|od6,doq，或doq，dqo。在rtodq中，|oqodcos (）,即6cos ()（2)若p的極坐標(biāo)為(，），則q點的極坐標(biāo)為（2,）26cos （)，3cos ()p的軌跡是圓。進行直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化(1)y24x;（2)y2x22x10；(3)cos21；(4)2cos 24；(5）。精講詳析本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式(1）

6、將xcos ,ysin 代入y24x，得（sin ）24cos ?；?，得sin 24cos 。(2）將xcos ，ysin 代入y2x22x10，得（sin ）2(cos ）22cos 10，化簡，得22cos 10.(3）cos 21，1，即cos 2。x2.化簡，得y24(x1)(4)2cos 24,2cos 22sin 24，即x2y24。（5)，2cos 1。2x1?；啠?x24y22x10。直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程比較容易，只要運用公式xcos 及ysin 直接代入并化簡即可；而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程則相對困難一些，解此類問題常通過變形，構(gòu)造形如cos ，sin ，2的形

7、式，進行整體代換其中方程的兩邊同乘以（或同除以）及方程兩邊平方是常用的變形方法但對方程進行變形時，方程必須同解，因此應(yīng)注意對變形過程的檢驗3把極坐標(biāo)方程cos1化為直角坐標(biāo)方程解：由cos （)1得cos sin 1,將cos x，sin y代入上式，得x1,即xy20。利用圓的極坐標(biāo)方程求圓心、半徑，再利用圓心、半徑解決問題,是高考命題的重點題型之一湖南高考以填空題的形式考查了圓的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，是高考命題的一個新亮點考題印證(湖南高考)在直角坐標(biāo)系xoy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系若曲線c的極坐標(biāo)方程為2sin ，則曲線c的直角坐標(biāo)方程為_命題立意本

8、題考查將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法解析2sin ,22sin ，x2y22y,即曲線c的直角坐標(biāo)方程為x2y22y0.答案：x2y22y0一、選擇題1(北京高考）在極坐標(biāo)系中，圓2sin 的圓心的極坐標(biāo)是()a。 b.c(1，0） d（1,）解析：選b因為該圓的直角坐標(biāo)方程為x2y22y，即為x2(y1）21，圓心的直角坐標(biāo)方程為（0，1），化為極坐標(biāo)是（1,)2極坐標(biāo)方程cos所表示的曲線是()a雙曲線 b橢圓c拋物線 d圓解析:選dcos ()cos sin ，2cos sin ,x2y2xy，這個方程表示一個圓3在極坐標(biāo)方程中，曲線c的方程是4sin ,過點作曲線c的切線，則切

9、線長為（)a4 b. c2 d2解析:選c4sin 化為普通方程為x2（y2）24，點（4，)化為直角坐標(biāo)為(2,2），切線長、圓心到定點的距離及半徑構(gòu)成直角三角形，由勾股定理：切線長為2.4（安徽高考）在極坐標(biāo)系中，點到圓2cos 的圓心的距離為()a2 b. c。 d。解析:選d由可知，點（2，)的直角坐標(biāo)為(1，），圓2cos 的方程為x2y22x，即(x1）2y21，則圓心到點(1，）的距離為。二、填空題5(江西高考）若曲線的極坐標(biāo)方程為2sin 4cos ，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則該曲線的直角坐標(biāo)方程為_解析:,2x2y2,22sin 4cos x2y22y4

10、xx2y24x2y0.答案:x2y24x2y06在極坐標(biāo)系中，已知圓c的圓心坐標(biāo)為c，半徑r，則圓c的極坐標(biāo)方程為_解析：將圓心c(2，)化成直角坐標(biāo)為（1,)，半徑r，故圓c的方程為（x1）2(y）25。再將c化成極坐標(biāo)方程,得(cos 1）2(sin )25?；?，得24cos (）10,此即為所求的圓c的極坐標(biāo)方程答案:24cos （)107（天津高考)已知圓的極坐標(biāo)方程為4cos , 圓心為c, 點p的極坐標(biāo)為，則|cp|_解析:圓4cos 的直角坐標(biāo)方程為x2y24x,圓心c（2，0）點p的直角坐標(biāo)為(2,2)，所以|cp2.答案：28已知曲線c與曲線5cos 5sin 關(guān)于極軸對稱

11、，則曲線c的極坐標(biāo)方程是_解析：曲線5cos 5sin 10cos (），它關(guān)于極軸對稱的曲線為10cos (）10cos ()答案：10cos (）三、解答題9.如圖，在圓心極坐標(biāo)為a（4，0)，半徑為4的圓中，求過極點o的弦的中點軌跡的極坐標(biāo)方程,并將其化為直角坐標(biāo)方程解：設(shè)m（，）是軌跡上任意一點，連接om并延長交圓a于點p（0，0)，則有0，02。由圓心為(4，0)，半徑為4的圓的極坐標(biāo)方程為8cos 得08cos 0，所以28cos ,即4cos ，故所求軌跡方程是4cos 。因為xcos ，ysin ,由4cos 得24cos ，所以x2y24x，即x2y24x0為軌跡的直角坐標(biāo)方程10指出極坐標(biāo)方程2cos，2cos，2cos 代表的曲線，并指出它們之間的關(guān)系解：2cos (）是以點(1,）為圓心，半徑為1的圓2cos （)是以點(1，）為圓心，半徑為1的圓2cos 是以點（1，0)為圓心，半徑為1的圓因此曲線2cos （)，可看成曲線2cos 繞極點順時針旋轉(zhuǎn)得到的曲線2cos （)是由曲線2cos 繞極點逆時針旋轉(zhuǎn)得到的曲線11已知半徑為r的定圓o外有一定點o，|ooa(ar）,p為定圓o上的動點，以op為邊作正三角形opq（o、p、q按逆時針方向排列)，求q點的軌跡的極坐標(biāo)方程解：如圖所示，以定點o為極點,