2017-2018學年高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 5 第二課時 二項式系數(shù)的性質(zhì)教學案 選修2-

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精第二課時二項式系數(shù)的性質(zhì) 二項式系數(shù)的性質(zhì)n依次取1，2，3,時,(ab)n展開式的二項式系數(shù)如圖所示：觀察此表，思考下列問題問題1：同一行中，系數(shù)有什么規(guī)律？提示：兩端都是1,與兩端1等距離的項的系數(shù)相等，即cc.問題2：相鄰兩行，系數(shù)有什么規(guī)律？提示：在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和,即ccc?！皸钶x三角”及其規(guī)律（1)楊輝三角(2)“楊輝三角”蘊含的規(guī)律在同一行中,每行兩端都是1.在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上兩數(shù)的和即二項式系數(shù)滿足組合數(shù)的性質(zhì)ccc。與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即二項式系數(shù)具有對稱性

2、cc.1二項式系數(shù)性質(zhì)類似于組合數(shù)的兩個性質(zhì):（1）cc；（2）ccc。2從表中可以看出（ab）n的展開式中二項式系數(shù)先增加，后減少，各二項式系數(shù)和等于2n，而cccc2n。 與“楊輝三角”有關(guān)的問題例1如圖所示，在“楊輝三角”中，斜線ab的上方，從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列：1,2，3,3,6,4,10，5，記其前n項和為sn，求s19的值思路點撥觀察數(shù)列各項在楊輝三角中的位置，把各項還原為二項展開式系數(shù)，利用組合的性質(zhì)求和精解詳析由圖知,數(shù)列中的首項是c，第2項是c,第3項是c,第4項是c,第17項是c，第18項是c，第19項是c。s19（cc)(cc）(cc）（cc）c(ccc

3、c）（ccc)c54220274。一點通解決與楊輝三角有關(guān)問題的一般思路：（1)觀察：對題目要橫看、豎看、隔行看、連續(xù)看，多角度觀察；（2)找規(guī)律：通過觀察找出每一行的數(shù)之間，行與行之間的數(shù)據(jù)的規(guī)律1如圖是一個類似楊輝三角的遞推式,則第n行的首尾兩個數(shù)均為_解析:觀察規(guī)律可知：第n行的首尾兩個數(shù)均為2n1.答案:2n12如圖,在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角中,第_行中從左到右第14與第15個數(shù)的比為23.解析：由楊輝三角知，第1行中的數(shù)是c，c；第2行中的數(shù)是c，c,c;第3行中的數(shù)是c，c，c,c；第n行中的數(shù)是c,c,c，,c.設(shè)第n行中從左到右第14與第15個數(shù)的比為23，則cc23,解

4、之得n34.答案：34二項展開式中系數(shù)的和例2(10分）設(shè)（12x）2 013a0a1xa2x2a2 013x2 013(xr)(1)求a0的值;（2）求a1a2a3a2 013的值；（3)求a1a3a5a20 13的值思路點撥可在已知的等式中分別取x0,1，1，得各系數(shù)和、差的關(guān)系，進而求解精解詳析（1)在等式（12x）2 013a0a1xa2x2a2 013x2 013中，令x0，得1a0.a01。(3分)(2)在等式中，令x1，得1a0a1a2a2 013,a1a2a2 0132。(6分）(3)令x1,x1，得相減，得132 0132(a1a3a2 013)（8分）a1a3a2 013(

5、122 013）(10分）一點通（1)賦值法是求二項展開式系數(shù)和問題常用的方法，注意取值要有利于問題的解決，可以取一個值或幾個值，也可以取幾組值,解決問題時要避免漏項等情況(2）一般地，二項式展開式f(x)的各項系數(shù)的和為f（1)，奇次項系數(shù)和為f(1）f（1），偶次項系數(shù)和為f(1)f（1)3（12x)15的展開式中的各項系數(shù)和是()a1b1c215 d315解析：令x1時(1）151。答案：b4若(3x1）7a7x7a6x6a1xa0求：(1）a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3）a0|a1|a7。解:（1）令x0，則a01.令x1，則a0a1a727128，a1a2a7129.(2

6、)令x1，則a0a1a6a7(4)7,由得，2(a1a3a5a7)128（4)7，a1a3a5a78256。(3)tr1c(3x)7r(1)r,a2k10(kn)，a2k0（kn）|a0|a1|a7|a0a1a2a3a6a74716 384.解決與楊輝三角有關(guān)的問題的注意事項:(1）通過觀察找出每一行數(shù)據(jù)間的相互聯(lián)系以及行與行之間數(shù)據(jù)的相互聯(lián)系然后對數(shù)據(jù)間的這種聯(lián)系用數(shù)學式子將它表達出來,使問題得解(2)注意二項式系數(shù)性質(zhì)cc，ccc的應(yīng)用1（x1）11展開式中x的偶次項系數(shù)之和是(）a2 048b1 023c1 024 d1 024解析：令f（x）(x1)11，偶次項系數(shù)之和是1 024.答

7、案：c2若cxcx2cxn能被7整除,則x,n的值可能為（)ax4,n3 bx4，n4cx5，n4 dx6，n5解析：由cxcx2cxn(1x)n1分別將選項a,b，c，d代入檢驗知，僅有x5,n4適合答案:c3若n展開式的二項式系數(shù)之和為64,則展開式的常數(shù)項為()a10 b20c30 d120解析：由2n64，得n6，tk1cx6kkcx62k（0k6，kn）由62k0，得k3。t4c20.答案：b4在4的展開式中各項系數(shù)之和是16.則a的值是()a2 b3c4 d1或3解析:由題意可得(a1)416,a12，解得a1或a3。答案：d5若(x21)(2x1）9a0a1（x2)a2（x2）2

8、a11(x2）11，則a0a1a2a11的值為_解析：令x1，則原式可化為(1)212(1）192a0a1(21）a11(21）11，a0a1a2a112.答案：26若(2x）4a0a1xa2x2a3x3a4x4，則(a0a2a4)2(a1a3）2的值為_解析：(a0a2a4)2（a1a3）2(a0a2a4a1a3)(a0a2a4a1a3)（a0a1a2a3a4）(a0a1a2a3a4)，令x1,則a0a1a2a3a4(2）4，令x1，則a0a1a2a3a4（2)4（2)4，于是(2)4(2)41.答案：17已知(13x）n的展開式中,末三項的二項式系數(shù)的和等于121，求展開式中二項式系數(shù)最大的項解：由題意知ccc121，即ccc121，1n121，即n2n2400，解得n15或16(舍）在(13x)15的展開式中二項式系數(shù)最大的項是第八、九兩項且t8c(3x）7c37x7，t9c（3x）8c38x8.8對二項式(1x)10,（1)展開式的中間項是第幾項？寫出這一項(2)求展開式中各二項式系數(shù)之和（3）求展開式中除常數(shù)項外，其余各項的系數(shù)和解:(1）展開式共11項,中間項為第6項，t6c（x）5252x5。(2)cccc2101 024.（3)設(shè)(1x)