理論力學(xué)第十七章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) 教學(xué)PPT

1、機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 概概 述述 振振 動(dòng)動(dòng) 實(shí)實(shí) 例例 振動(dòng)是指運(yùn)動(dòng)在其穩(wěn)定位置附近所作的周期性往振動(dòng)是指運(yùn)動(dòng)在其穩(wěn)定位置附近所作的周期性往 復(fù)運(yùn)動(dòng)。復(fù)運(yùn)動(dòng)。 概述概述 振動(dòng)振動(dòng) 是指運(yùn)動(dòng)在其穩(wěn)定位置附近所作的周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng)。是指運(yùn)動(dòng)在其穩(wěn)定位置附近所作的周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng)。 線性振動(dòng)線性振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程都是線性的。實(shí)際系統(tǒng)往往要經(jīng)的運(yùn)動(dòng)微分方程都是線性的。實(shí)際系統(tǒng)往往要經(jīng) 過近似處理才能化成線性的。過近似處理才能化成線性的。

2、在質(zhì)點(diǎn)受到擾動(dòng)而脫離其平衡位置后，會(huì)受到一個(gè)恒指向在質(zhì)點(diǎn)受到擾動(dòng)而脫離其平衡位置后，會(huì)受到一個(gè)恒指向 這平衡位置而促使質(zhì)點(diǎn)返回的力，這種力稱為這平衡位置而促使質(zhì)點(diǎn)返回的力，這種力稱為恢復(fù)力恢復(fù)力。 當(dāng)恢復(fù)力的大小和質(zhì)點(diǎn)到平衡位置的距離成正比時(shí)，則稱當(dāng)恢復(fù)力的大小和質(zhì)點(diǎn)到平衡位置的距離成正比時(shí)，則稱 為為線性恢復(fù)力線性恢復(fù)力。 質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)時(shí)還可能受阻力作用，這里只考慮與速度一次方質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)時(shí)還可能受阻力作用，這里只考慮與速度一次方 成正比的成正比的線性阻力線性阻力。 基本概念基本概念 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) k m 自由振動(dòng)自由振動(dòng)是質(zhì)點(diǎn)僅在恢復(fù)力作用下進(jìn)行的振動(dòng)。是質(zhì)點(diǎn)僅在恢

3、復(fù)力作用下進(jìn)行的振動(dòng)。 簡單的模型為下面所示的質(zhì)量一彈簧系統(tǒng)。簡單的模型為下面所示的質(zhì)量一彈簧系統(tǒng)。 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 振動(dòng)問題簡化為力學(xué)模型振動(dòng)問題簡化為力學(xué)模型 O k x 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) k m x k m 振動(dòng)問題簡化為力學(xué)模型振動(dòng)問題簡化為力學(xué)模型 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)受到初始擾動(dòng)后，將得到初位移和初速度，此后質(zhì)點(diǎn)在彈簧力質(zhì)點(diǎn)受到初始擾動(dòng)后，將得到初位移和初速度，此后質(zhì)點(diǎn)在彈簧力 維持下的運(yùn)動(dòng)，即為自由振動(dòng)。維持下的運(yùn)動(dòng)，即為自由振動(dòng)。 自由振動(dòng)是質(zhì)點(diǎn)僅在恢復(fù)力作用下進(jìn)行的振動(dòng)。簡單的模型如圖自由

4、振動(dòng)是質(zhì)點(diǎn)僅在恢復(fù)力作用下進(jìn)行的振動(dòng)。簡單的模型如圖 (a)所示的質(zhì)量一彈簧系統(tǒng)。所示的質(zhì)量一彈簧系統(tǒng)。 l0 O M (a) (b) x F M Ox 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 取坐標(biāo)軸取坐標(biāo)軸Ox，原點(diǎn)，原點(diǎn)O是質(zhì)點(diǎn)是質(zhì)點(diǎn)M的平衡位置。如圖（的平衡位置。如圖（a ）所示。當(dāng)）所示。當(dāng)M的的 坐標(biāo)是坐標(biāo)是x時(shí)，彈簧作用于時(shí)，彈簧作用于M的力的力F的大小表示成的大小表示成 xkF 因因F 恒指向平衡位置恒指向平衡位置O，故它可寫成，故它可寫成 xkFx 于是，質(zhì)點(diǎn)于是，質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)微分方程寫成的運(yùn)動(dòng)微分方程寫成 xkxm 或或0 x m k x 式中式中c稱為彈簧的剛度系數(shù)

5、，簡稱剛度。稱為彈簧的剛度系數(shù)，簡稱剛度。 l0 O M (a) (b) x F M Ox 自由振動(dòng)的微分方程及其解自由振動(dòng)的微分方程及其解 引入?yún)⒘恳雲(yún)⒘?m k 2 0 則上式可寫成標(biāo)準(zhǔn)形式則上式可寫成標(biāo)準(zhǔn)形式 這就是在線性恢復(fù)力單獨(dú)作用下，質(zhì)點(diǎn)受初擾動(dòng)后的無阻尼自由振這就是在線性恢復(fù)力單獨(dú)作用下，質(zhì)點(diǎn)受初擾動(dòng)后的無阻尼自由振 動(dòng)微分方程，它是動(dòng)微分方程，它是二階常系數(shù)線性齊次微分方程二階常系數(shù)線性齊次微分方程。 其通解為其通解為 把上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，得把上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，得 0 2 0 xx tCtCx 0201 sincos tCtCxv 002001 cossin 自由振動(dòng)的微分方

6、程及其解自由振動(dòng)的微分方程及其解 當(dāng)當(dāng) t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的初坐標(biāo)和初速度時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的初坐標(biāo)和初速度 令令t=0且且 和和 ，就可以確定積分常數(shù)，就可以確定積分常數(shù) 0 xx 0 xx 01 xC 和和 0 0 2 x C 這樣，質(zhì)點(diǎn)無阻尼自由振動(dòng)規(guī)律和速度變化規(guī)律分別是這樣，質(zhì)點(diǎn)無阻尼自由振動(dòng)規(guī)律和速度變化規(guī)律分別是 , 0 xx 0 xv t x txx 0 0 0 00 sincos txtxx 00000 cossin tCtCx 0201 sincos tCtCxv 002001 cossin l0 O M (a) (b) x F M Ox 自由振動(dòng)的微分方程及其解自由振動(dòng)的微分方程及其解

7、 這樣，質(zhì)點(diǎn)無阻尼自由振動(dòng)規(guī)律和速度變化規(guī)律分別是這樣，質(zhì)點(diǎn)無阻尼自由振動(dòng)規(guī)律和速度變化規(guī)律分別是 通常把上二式寫成通常把上二式寫成 )sin( 0 tAx )cos( 00 tA x 利用三角變換，可以確定利用三角變換，可以確定 ,)( 2 0 0 2 0 x xA 0 00 tan x x t x txx 0 0 0 00 sincos txtxx 00000 cossin 自由振動(dòng)的微分方程及其解自由振動(dòng)的微分方程及其解 可見，質(zhì)點(diǎn)無阻尼自由振動(dòng)是簡諧振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)如圖所示。可見，質(zhì)點(diǎn)無阻尼自由振動(dòng)是簡諧振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)如圖所示。 T A A O t x )sin( 0 tAx ,)( 2 0

8、 0 2 0 x xA 0 00 tan x x t x txx 0 0 0 00 sincos 自由振動(dòng)的微分方程及其解自由振動(dòng)的微分方程及其解 （1）振幅和相角）振幅和相角 由式由式（a）可見質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于振動(dòng)中可見質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于振動(dòng)中 心（平衡位置）的最大偏離心（平衡位置）的最大偏離 Axmax 2 0 0 2 0 )( x x 稱為稱為振幅振幅。（。（0t+）稱為）稱為相角相角，而，而稱為稱為初相角初相角。 由式由式 （b）可見，振幅和初相角都和運(yùn)動(dòng)的初始可見，振幅和初相角都和運(yùn)動(dòng)的初始 擾動(dòng)擾動(dòng) ( ) 有關(guān)。有關(guān)。 00 , xx )sin( 0 tAx （a） ,)( 2 0 0 2 0

9、 x xA 0 00 tan x x （b） T A A O t x 自由振動(dòng)的基本參數(shù)自由振動(dòng)的基本參數(shù) （2）周期和頻率）周期和頻率 每重復(fù)一次運(yùn)動(dòng)狀態(tài)所需的時(shí)間間隔，每重復(fù)一次運(yùn)動(dòng)狀態(tài)所需的時(shí)間間隔， 稱為稱為周期周期，并用，并用T 表示。表示。 每隔一個(gè)周期每隔一個(gè)周期T，相角應(yīng)改變，相角應(yīng)改變 0T=2。因此，周期可以表示成。因此，周期可以表示成 周期一般以周期一般以s計(jì)。計(jì)。 k m T2 2 0 周期僅和系統(tǒng)本身的固有參數(shù)（質(zhì)量周期僅和系統(tǒng)本身的固有參數(shù)（質(zhì)量m與剛度）有關(guān)，而和運(yùn)動(dòng)的初與剛度）有關(guān)，而和運(yùn)動(dòng)的初 始條件無關(guān)。始條件無關(guān)。 周期周期 T A A O t x 自由振

10、動(dòng)的基本參數(shù)自由振動(dòng)的基本參數(shù) 2 1 0 T f 每每2秒內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)稱為秒內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)稱為圓頻率圓頻率，表示為，表示為 m k f 2 0 單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)，稱為單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)，稱為頻率頻率， 記作記作 f。 0 只和系統(tǒng)的固有的性質(zhì)有關(guān)，而和運(yùn)動(dòng)的初始條件無關(guān)系。因此，只和系統(tǒng)的固有的性質(zhì)有關(guān)，而和運(yùn)動(dòng)的初始條件無關(guān)系。因此， 0稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的固有頻率固有頻率或或自然頻率自然頻率。 頻率頻率 T A A O t x 自由振動(dòng)的基本參數(shù)自由振動(dòng)的基本參數(shù) 用用s代表當(dāng)物塊在重力代表當(dāng)物塊在重力G 和彈簧力和彈簧力 F0的作用下在平衡位置靜止時(shí)彈簧所具的作用下在平衡位置靜止時(shí)

11、彈簧所具 有的變形，即有的變形，即靜變形靜變形（如圖（如圖a）。）。 )(xkmgxm s 以平衡位置以平衡位置O作為原點(diǎn)，令軸作為原點(diǎn)，令軸Ox鉛直鉛直 向下，則當(dāng)物塊在任意位置向下，則當(dāng)物塊在任意位置x時(shí)，彈簧力時(shí)，彈簧力F 在軸在軸x上的投影上的投影 Fx=-k(s+x)（如圖（如圖b）。）。 s kmg （1） 顯然，由平衡條件顯然，由平衡條件 G F0=0 有有 可得物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程可得物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程 M G F0 l0 s （a） M x x O G F （b） 鉛直懸掛質(zhì)量一彈簧系統(tǒng)鉛直懸掛質(zhì)量一彈簧系統(tǒng) xkxm 或或 0 2 0 xx 其中其中 ，可見，可見，M 仍在平

12、衡位置附近作無阻尼自由仍在平衡位置附近作無阻尼自由 振動(dòng)。振動(dòng)。 mk 2 0 利用彈簧自由懸掛時(shí)的靜伸長利用彈簧自由懸掛時(shí)的靜伸長s，來求出系統(tǒng)的固有頻率，來求出系統(tǒng)的固有頻率， 有有 , 0 kmg g m k s g 0 考慮到關(guān)系式考慮到關(guān)系式 ，上式寫成，上式寫成 s kmg 與水平質(zhì)量一彈簧系統(tǒng)比較，鉛直懸掛質(zhì)量一彈簧系與水平質(zhì)量一彈簧系統(tǒng)比較，鉛直懸掛質(zhì)量一彈簧系 統(tǒng)質(zhì)點(diǎn)上只有增加了一個(gè)常力，這力只引起平衡位置的改變，統(tǒng)質(zhì)點(diǎn)上只有增加了一個(gè)常力，這力只引起平衡位置的改變， 而不影響振動(dòng)的規(guī)律（如而不影響振動(dòng)的規(guī)律（如周期、頻率、相位周期、頻率、相位）。）。 即即 )(xkmgxm

13、 s M x x O G F 鉛直懸掛質(zhì)量一彈簧系統(tǒng)鉛直懸掛質(zhì)量一彈簧系統(tǒng) 如圖所示為一彈性桿支持的圓盤，彈性桿扭轉(zhuǎn)剛度為如圖所示為一彈性桿支持的圓盤，彈性桿扭轉(zhuǎn)剛度為kn ， 圓盤對(duì)桿軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為圓盤對(duì)桿軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。 扭振系統(tǒng)扭振系統(tǒng) n kJ 圓盤繞桿軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為圓盤繞桿軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為 或或 0 n J k J k T n n 2 振動(dòng)周期振動(dòng)周期 kn O 如圖所示為一彈性桿支持的圓盤，彈性桿扭轉(zhuǎn)剛度為如圖所示為一彈性桿支持的圓盤，彈性桿扭轉(zhuǎn)剛度為kn ， 圓盤對(duì)桿軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為圓盤對(duì)桿軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。 扭振系統(tǒng)扭振系統(tǒng) 求單擺求單擺(數(shù)學(xué)擺數(shù)學(xué)擺)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

14、。 O m 0 l 例例1 O vM 0 l mg F 解解: : 任意瞬時(shí)任意瞬時(shí), ,質(zhì)點(diǎn)的加速度在切向和法向的質(zhì)點(diǎn)的加速度在切向和法向的 投影為投影為 寫出質(zhì)點(diǎn)的自然形式的運(yùn)動(dòng)微分方程寫出質(zhì)點(diǎn)的自然形式的運(yùn)動(dòng)微分方程 )2( cos ) 1 (sin 2 mgFml mgml 22 n 2 2 ) d d (, d d l t lal t la 例例1 化簡化簡(1)即得單擺的運(yùn)動(dòng)微分方程即得單擺的運(yùn)動(dòng)微分方程 0 sin l g O vM 0 l mg F 微小擺動(dòng)中，微小擺動(dòng)中， 值始終很小，可以認(rèn)為值始終很小，可以認(rèn)為 sin ，則則 0 l g t l g cos 0 考慮初始條

15、件：考慮初始條件：t = 0, 0 0。得單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。得單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 , 2 1 l g f 頻率 g l T2 周期 與幅角和初始條件無關(guān)。與幅角和初始條件無關(guān)。 例例1 利用靜變形求并聯(lián)彈簧和串聯(lián)彈簧兩種情形的直線振動(dòng)系統(tǒng)利用靜變形求并聯(lián)彈簧和串聯(lián)彈簧兩種情形的直線振動(dòng)系統(tǒng) 的固有頻率的固有頻率。 k1 k2 W 21 21 kk kk k k1k2 W k=k1+k2 W W 例例2 sss kkkkW)( 2121 m kk m k 21 0 2 1 2 1 1.1. 并聯(lián)情形。并聯(lián)情形。 固有頻率固有頻率 上式說明并聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)為上式說明并聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)為 k1k

16、2 W s 解：解： 設(shè)彈簧剛度系數(shù)分別為設(shè)彈簧剛度系數(shù)分別為k1和和k2 ， 在在W重力作用下作鉛直平動(dòng)，靜變形重力作用下作鉛直平動(dòng)，靜變形 為為s ，有，有 s k W 選擇彈簧剛度系數(shù)為選擇彈簧剛度系數(shù)為k的彈簧代替并聯(lián)的兩彈簧的彈簧代替并聯(lián)的兩彈簧 ，使它在相等的變形，使它在相等的變形 下，產(chǎn)生與并聯(lián)的兩彈簧相等的恢復(fù)力，有下，產(chǎn)生與并聯(lián)的兩彈簧相等的恢復(fù)力，有 ss kkkW)( 21 21 kkk 例例2 設(shè)彈簧剛度系數(shù)分別為設(shè)彈簧剛度系數(shù)分別為k1和和k2 ， 在在W重力作用下，兩彈簧的總靜變重力作用下，兩彈簧的總靜變 形形s等于單個(gè)彈簧的靜變形之和，等于單個(gè)彈簧的靜變形之和，

17、有有 , 2 2 1 1 k W k W ss 2. 2. 串聯(lián)情形。串聯(lián)情形。 s2s1s k1 k2 W 1 s+2 s 由于彈簧是串連的，每個(gè)彈簧受的力由于彈簧是串連的，每個(gè)彈簧受的力W相等，于是相等，于是 選擇彈簧剛度系數(shù)為選擇彈簧剛度系數(shù)為k的彈簧代替串聯(lián)的兩彈簧的彈簧代替串聯(lián)的兩彈簧 ，使它的靜變形，使它的靜變形s等等 于串聯(lián)的兩彈簧靜變形之和于串聯(lián)的兩彈簧靜變形之和1 s+2 s。 k s W k W s 例例2 2 2 1 1 , k W k W ss )(2 1 21 21 kkm kk k 21 21 21 11 1 kk kk kk k s2s1s 固有頻率固有頻率 串聯(lián)

18、彈簧的等效剛度系數(shù)為串聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)為 得得 , k W s , 21 k W k W k W , 111 21 kkk 彈簧串聯(lián)后的剛度系數(shù)減小，柔度系數(shù)增大。彈簧串聯(lián)后的剛度系數(shù)減小，柔度系數(shù)增大。 c1 c2 W 1 s+2 s s W 例例2 k1 O k2 1 2 1 2 k1 O k2 思考思考 m v 提升重物系統(tǒng)中，鋼絲繩的橫截提升重物系統(tǒng)中，鋼絲繩的橫截 面積面積S2.89104 m2，材料的彈，材料的彈 性模量性模量E200 GPa。重物的質(zhì)量重物的質(zhì)量 m6000 kg，以勻速以勻速v0.25 ms 1下降。當(dāng)重物下降到 下降。當(dāng)重物下降到l25 m時(shí)，時(shí)， 鋼絲繩

19、上端突然被卡住，求重物鋼絲繩上端突然被卡住，求重物 的振動(dòng)規(guī)律。的振動(dòng)規(guī)律。 l 例例3 鋼絲繩重物系統(tǒng)可以簡化為彈簧物塊鋼絲繩重物系統(tǒng)可以簡化為彈簧物塊 系統(tǒng)，彈簧的剛度為系統(tǒng)，彈簧的剛度為 16 mN10312. 2 l ES k m k 靜平衡位置O x 設(shè)鋼絲繩被卡住的瞬時(shí)設(shè)鋼絲繩被卡住的瞬時(shí)t0，這時(shí)重物的位這時(shí)重物的位 置為初始平衡位置；以重物在鉛垂方向的位移置為初始平衡位置；以重物在鉛垂方向的位移x 作為廣義坐標(biāo)，則系統(tǒng)的振動(dòng)方程為作為廣義坐標(biāo)，則系統(tǒng)的振動(dòng)方程為 0 xkx m 解：解： 方程的解為方程的解為 m k t Ax 00 ,sin 例例3 利用初始條件利用初始條件

20、vvx (0)(0) 求得求得 0 v A m k 靜平衡位置O x 0 0 xxm 方程的解為方程的解為 m k t Ax 00 ,sin 例例3 如圖為一擺振系統(tǒng)，桿重不計(jì)，球質(zhì)量為如圖為一擺振系統(tǒng)，桿重不計(jì)，球質(zhì)量為 m ，擺對(duì)軸，擺對(duì)軸O的的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。彈簧剛度系數(shù)為。彈簧剛度系數(shù)為k，桿于水平位置平衡，桿于水平位置平衡， 尺寸如圖。求此系統(tǒng)微小振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程及振動(dòng)頻尺寸如圖。求此系統(tǒng)微小振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程及振動(dòng)頻 率。率。 d l k F mg O m 例例4 D3蛤蟆夯2.mpg 例例4 解：解： 擺于水平位置處，彈簧已有壓縮量擺于水平位置處，彈簧已有壓縮量0，由

21、，由 平衡方程平衡方程MO(Fi)=0，有，有 )( 0 a dkmgl 以平衡位置為原點(diǎn)，擺在任一小角度以平衡位置為原點(diǎn)，擺在任一小角度處，彈處，彈 簧壓縮量為簧壓縮量為0+ d。擺繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為擺繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為 ddkmgl t J)( d d 0 2 2 將式將式(a)代入上式，得代入上式，得 2 2 2 d d dk t J d l k F mg O m 例例4 2 2 2 d d kd t J 上式移項(xiàng)，可化為標(biāo)準(zhǔn)形式的無阻尼自由上式移項(xiàng)，可化為標(biāo)準(zhǔn)形式的無阻尼自由 振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程 )b( 0 d d 2 2 2 J kd t 則此擺振系統(tǒng)的固有頻率為則此擺振系

22、統(tǒng)的固有頻率為 J d k 0 d l k F mg O m 例例4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 本節(jié)將討論質(zhì)點(diǎn)在有阻尼時(shí)的自由振動(dòng)，但只限于與速度一次方成本節(jié)將討論質(zhì)點(diǎn)在有阻尼時(shí)的自由振動(dòng)，但只限于與速度一次方成 正比的介質(zhì)阻力，這種阻力稱為正比的介質(zhì)阻力，這種阻力稱為線性阻力線性阻力（或（或粘滯阻力粘滯阻力）。）。 如圖示系統(tǒng)在介質(zhì)里運(yùn)動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)如圖示系統(tǒng)在介質(zhì)里運(yùn)動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn) M將受到介質(zhì)阻力的作用。將受到介質(zhì)阻力的作用。 vFc d 其中，其中，c稱為稱為粘滯阻力系數(shù)粘滯阻力系數(shù)（以（以 為單位），為單位）， 表示質(zhì)點(diǎn)在單位速度時(shí)，所受的阻力值，表示質(zhì)點(diǎn)在單位速度時(shí)，所

23、受的阻力值， 其大小與介質(zhì)和物體的形狀等因素有關(guān)，其大小與介質(zhì)和物體的形狀等因素有關(guān)， 可由實(shí)驗(yàn)測(cè)定。式中負(fù)號(hào)表示阻力與速度可由實(shí)驗(yàn)測(cè)定。式中負(fù)號(hào)表示阻力與速度 的方向恒相反。的方向恒相反。 s kg MM x x k G Fd v F O l0 + s 在微振動(dòng)情況下，速度不大，可以認(rèn)在微振動(dòng)情況下，速度不大，可以認(rèn) 為阻力為阻力Fd與速度與速度v 的一次方成正比，即有的一次方成正比，即有 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 取物塊的平衡位置作為坐標(biāo)原點(diǎn)取物塊的平衡位置作為坐標(biāo)原點(diǎn)O，軸，軸Ox沿直線向下。當(dāng)物塊在位沿直線向下。當(dāng)物塊在位 置置O時(shí)，彈簧拉力時(shí)，彈簧拉力F0= ks

24、,與表觀重力與表觀重力G（已扣除浮力）相互平衡，即有（已扣除浮力）相互平衡，即有 s kG 物塊運(yùn)動(dòng)時(shí)，物塊運(yùn)動(dòng)時(shí)， ， xcRx)(xkF sx xcxkGxm s )( 考慮到，考慮到， 上式簡化成上式簡化成 s kG 0 xkxcxm 代入?yún)⒘看雲(yún)⒘?, 2 0 m k m c 2 則上式寫成則上式寫成 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程寫成質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程寫成 02 2 0 xxx (稱為稱為阻尼系數(shù)阻尼系數(shù)) （1） MM x x k G Fd v F O l0 + s 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 這就是在這就是在線性恢復(fù)力和線性阻力作用下質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的標(biāo)線性恢復(fù)力和線性阻

25、力作用下質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的標(biāo) 準(zhǔn)形式準(zhǔn)形式。式中。式中稱為稱為阻尼系數(shù)阻尼系數(shù)。 此式是二階常數(shù)線性齊次方程，這個(gè)方程具有形式如此式是二階常數(shù)線性齊次方程，這個(gè)方程具有形式如 ezt 的解，的解， 把把 ezt 代入，得到特征方程，即代入，得到特征方程，即 z值與比值值與比值/ 0有關(guān)。有三種不同的情形：有關(guān)。有三種不同的情形： 02 2 0 2 zz （1） 0 稱為大阻尼。稱為大阻尼。 2 0 2 2, 1 z特征方程的解為特征方程的解為 02 2 0 xxx 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 當(dāng)當(dāng) 0 時(shí)，特征方程具有一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)，特征方程具有一對(duì)共軛復(fù)根 22 02,1

26、iz 引入?yún)⒘恳雲(yún)⒘?，則式，則式(1)的通解可以寫成的通解可以寫成 22 0d 我們將只討論我們將只討論小阻尼小阻尼 0情形情形。 tititztz eBeBeBeBx d )( 2 )( 121 d21 )( dd 21 titit eBeBe 式中，式中，B1和和B2是積分常量，由運(yùn)動(dòng)的初始條件來決定。是積分常量，由運(yùn)動(dòng)的初始條件來決定。 02 2 0 xxx (1) 02 2 0 2 zz 特征方程特征方程 2 0 2 2, 1 z 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) sincosie i 令令B1+B2=C1，i(B1B2)=C2，則上述通解可改寫成，則上述通解可改寫成

27、)sincos( d2d1 tCtCex t 式中，新的積分常量式中，新的積分常量C1和和C2仍可以由運(yùn)動(dòng)的初始條件來決定。仍可以由運(yùn)動(dòng)的初始條件來決定。 根據(jù)歐拉公式根據(jù)歐拉公式 把上式對(duì)時(shí)間把上式對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)數(shù)，得質(zhì)點(diǎn)速度的一般表達(dá)式求導(dǎo)數(shù)，得質(zhì)點(diǎn)速度的一般表達(dá)式 )sincos( d2d1 tCtCex t )cossin( d2d1 d tCtCe t )( dd 21 titit eBeBex 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) , 10 Cx 2d10 CCx 從而解得從而解得, 01 xC d 00 2 xx C 于是，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程寫成于是，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程寫成 或者通

28、過三角函數(shù)的變換，把上式寫成或者通過三角函數(shù)的變換，把上式寫成 運(yùn)動(dòng)的初始條件：當(dāng)運(yùn)動(dòng)的初始條件：當(dāng)t=0時(shí)，時(shí)， ；將它們代入上式，得到；將它們代入上式，得到 0 xx 0 xx txex t d0 cos( )sin d d 00 t xx (2) )sin( d tAex t (3) )sincos( d2d1 tCtCex t )sincos( d2d1 tCtCex t )cossin( d2d1 d tCtCe t 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 2 d 00 2 0 ) ( xx xA 00 0d tan xx x 1. 由式由式(2)或式或式(3)可以看到，由于小

29、阻尼的可以看到，由于小阻尼的 影響，物塊不再進(jìn)行振幅不變的簡諧運(yùn)動(dòng)。影響，物塊不再進(jìn)行振幅不變的簡諧運(yùn)動(dòng)。 式中式中 結(jié)果分析討論結(jié)果分析討論 txex t d0 cos( )sin d d 00 t xx (2) )sin( d tAex t (3) t eA T1 A2 A1 A3 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 2. 因子因子sin(t+)表明物塊仍周期性表明物塊仍周期性 地通過平衡位置地通過平衡位置O而交替地向點(diǎn)而交替地向點(diǎn)O的兩的兩 側(cè)偏離。側(cè)偏離。 這樣的運(yùn)動(dòng)稱為衰減振動(dòng)，但習(xí)慣這樣的運(yùn)動(dòng)稱為衰減振動(dòng)，但習(xí)慣 上仍把上仍把 稱為它的稱為它的周期周期，而，而 Ae t稱

30、為它的 稱為它的振幅振幅。與無阻尼自由振動(dòng)。與無阻尼自由振動(dòng) 相比較，衰減振動(dòng)也稱為相比較，衰減振動(dòng)也稱為有阻尼自由振有阻尼自由振 動(dòng)動(dòng)。 d d 2 T )sin( d tAex t (3) 3。 因子因子Ae t表示這些偏離的可能最 表示這些偏離的可能最 大值，但它是隨時(shí)間而不斷減小的，最大值，但它是隨時(shí)間而不斷減小的，最 后趨近于零。后趨近于零。 t eA T1 A2 A1 A3 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 22 0 d d 22 T 上式可改寫成上式可改寫成 21 2 0 21 2 00 d ) (1) (1 2 TT 式中，式中，T是無阻尼自由振動(dòng)周期。是無阻尼自由

31、振動(dòng)周期。 因?yàn)樗p振動(dòng)中因?yàn)樗p振動(dòng)中 0，可見，由于小阻尼的存在，使振動(dòng)的周期，可見，由于小阻尼的存在，使振動(dòng)的周期 Td相對(duì)于無阻尼時(shí)的周期相對(duì)于無阻尼時(shí)的周期 T 來說有所增長。來說有所增長。 , 2 0 m k m c 2 t eA T1 A2 A1 A3 阻尼對(duì)周期阻尼對(duì)周期Td的影響的影響 例如，當(dāng)例如，當(dāng) 時(shí)，時(shí)，05. 0 0 ,00125. 1)05. 0( 2 1 1 2 d TTT 可見，當(dāng)阻尼系數(shù)可見，當(dāng)阻尼系數(shù) 比比 0 小得多時(shí)，阻尼對(duì)周期的影響并不小得多時(shí)，阻尼對(duì)周期的影響并不 顯著，在初步計(jì)算中甚至可以直接用顯著，在初步計(jì)算中甚至可以直接用 T 代替代替 Td

32、 。 2 0 d )( 2 1 1 TT 1。當(dāng)。當(dāng) 0 時(shí)，周期時(shí)，周期 Td 無限地增長，無限地增長，(Td), 從而運(yùn)動(dòng)失去往復(fù)性。從而運(yùn)動(dòng)失去往復(fù)性。 2。而當(dāng)。而當(dāng) 很小時(shí)，即很小時(shí)，即 0 時(shí)，時(shí)，Td可近似地表可近似地表 示為示為 僅增加僅增加0.12 5 %. 21 2 0 21 2 00 d ) (1) (1 2 TT t eA T1 A2 A1 A3 , 2 0 m k m c 2 阻尼對(duì)周期阻尼對(duì)周期Td的影響的影響 在任意瞬時(shí)在任意瞬時(shí)t1，振幅是，振幅是 由于阻尼的存在，振幅由于阻尼的存在，振幅 Ae-t 隨時(shí)在減小。為隨時(shí)在減小。為 了說明振幅衰減的快慢，可作如下分

33、析了說明振幅衰減的快慢，可作如下分析 1 1 t AeA 時(shí)間逐次增加半周期時(shí)間逐次增加半周期 ，則瞬時(shí)振幅將分別是，則瞬時(shí)振幅將分別是 d 2 1 T 2 1 2)2( 2 dd1d1 TTt Tt eAeAeAeA 2 2 )22( 3 dd1 TTt eAAeA 因此，有比值因此，有比值 2 3 1 2 A A A A 2 d T e =常數(shù)常數(shù) 即，每隔半個(gè)周期的振幅按等比級(jí)數(shù)遞減。即，每隔半個(gè)周期的振幅按等比級(jí)數(shù)遞減。 )sin( d tAex t (3) t eA T1 A2 A1 A3 阻尼對(duì)振幅阻尼對(duì)振幅Ae-t的影響的影響 減縮率（或?qū)?shù)減縮率）表示每經(jīng)過半個(gè)周期后振幅的衰減

34、程度。減縮率（或?qū)?shù)減縮率）表示每經(jīng)過半個(gè)周期后振幅的衰減程度。 由于振幅是按等比級(jí)數(shù)遞減的，即使阻尼很小，振幅的衰減也是迅速由于振幅是按等比級(jí)數(shù)遞減的，即使阻尼很小，振幅的衰減也是迅速 的。的。 即，每經(jīng)過半個(gè)周期，振幅就縮減即，每經(jīng)過半個(gè)周期，振幅就縮減15%。經(jīng)過。經(jīng)過10個(gè)周期，振幅將變成個(gè)周期，振幅將變成 原來振幅的原來振幅的(0.855)20=0.043，只有原來的，只有原來的4.3%。 通過以上討論可見，小阻尼通過以上討論可見，小阻尼（ 0）對(duì)周期的影響很小，可以忽對(duì)周期的影響很小，可以忽 略不計(jì)，而對(duì)振幅的影響卻是非常顯著的。當(dāng)略不計(jì)，而對(duì)振幅的影響卻是非常顯著的。當(dāng) 0 時(shí)，

35、運(yùn)動(dòng)將失去往復(fù)時(shí)，運(yùn)動(dòng)將失去往復(fù) 性。性。 公比公比 稱為稱為減縮率減縮率。 2 d T e 2 ln d 2 d T e T 稱為稱為對(duì)數(shù)減縮率對(duì)數(shù)減縮率。 仍以仍以 = 0.050 為例，這時(shí)減縮率是為例，這時(shí)減縮率是8550 2 d .e T 1. 小阻尼小阻尼 ( 1)情形情形 , 1 2 02, 1 vz 臨界阻尼臨界阻尼(v1)情形情形 , 21 zz t- etCCx 21 02 2 0 xxx 2 0 2 2, 1 z 0 v 2.大阻尼大阻尼( 0)情形與臨界阻尼情形與臨界阻尼( 0)情形情形 令令 v1 v1 x O t 這兩種情形下，運(yùn)動(dòng)不再是周期型的，而是按負(fù)指數(shù)衰減。

36、這兩種情形下，運(yùn)動(dòng)不再是周期型的，而是按負(fù)指數(shù)衰減。 阻尼對(duì)振幅阻尼對(duì)振幅Ae-t的影響的影響 k M A B 圖示為一種液體減振器裝置的簡化模圖示為一種液體減振器裝置的簡化模 型。懸掛在彈簧下端的物塊型。懸掛在彈簧下端的物塊M與圓筒與圓筒A 內(nèi)的活塞內(nèi)的活塞B相固連，簡內(nèi)充滿粘性液體。相固連，簡內(nèi)充滿粘性液體。 活塞上鉆有許多圓孔，當(dāng)物塊活塞上鉆有許多圓孔，當(dāng)物塊M上下上下 振動(dòng)時(shí)，液體從孔中往復(fù)流過，給活振動(dòng)時(shí)，液體從孔中往復(fù)流過，給活 塞一正比于速度的阻力。設(shè)物塊連同塞一正比于速度的阻力。設(shè)物塊連同 活塞的質(zhì)量活塞的質(zhì)量 m=1 kg，彈簧的剛度系數(shù)彈簧的剛度系數(shù) k=3 920 Nm。

37、已知物塊開始運(yùn)動(dòng)后經(jīng)。已知物塊開始運(yùn)動(dòng)后經(jīng) 過過10個(gè)周期，振幅減到初值的個(gè)周期，振幅減到初值的1 40。 求阻尼系數(shù)求阻尼系數(shù)和阻力系數(shù)和阻力系數(shù)c。 例例5 解：解：由題意知，物塊由題意知，物塊M的運(yùn)動(dòng)是衰減運(yùn)動(dòng)。阻尼系數(shù)的運(yùn)動(dòng)是衰減運(yùn)動(dòng)。阻尼系數(shù) 可通過減縮率來求出。已知經(jīng)過可通過減縮率來求出。已知經(jīng)過10周期，振幅減縮到初周期，振幅減縮到初 始的始的140，即有，即有 40 1 )( 202 d T e 22 0 d d 22 T 22 0 d 2 T 1)( 2 0 故有故有 取自然對(duì)數(shù)，求得對(duì)數(shù)減縮率取自然對(duì)數(shù)，求得對(duì)數(shù)減縮率 另一方面，考慮到另一方面，考慮到 40 1 ln 20

38、 1 2 ln d 2 d T e T =0.184 4 k M A B 例例5 因而阻尼系數(shù)為因而阻尼系數(shù)為 (2) 1) ( 2 0 07.171) 1844. 0 142. 3 ( 2 0 srad6 .62 1 3920 0 m k srad67. 3 07.17 6 .62 07.17 0 即即 以以值代入式（值代入式（2），求得），求得 但固有頻率但固有頻率 于是，求得阻尼系數(shù)為于是，求得阻尼系數(shù)為 c=2 m=213.67=7.34 kgs (1)(1) 22 0 d 2 T 1)( 2 0 k M A B 例例5 其實(shí)，當(dāng)其實(shí)，當(dāng) 0 時(shí)，在式時(shí)，在式（1）和式和式（2）的的

39、根式中，與根式中，與 (0 )2 相比較可以忽略相比較可以忽略1，用這種用這種 近似計(jì)算求得的結(jié)果是足夠精確的。近似計(jì)算求得的結(jié)果是足夠精確的。 1844. 0 2 2 0 d TT ,0587. 0 1844. 0 0 srad68. 36 .620587. 0056. 0 0 在本例中在本例中 0，可以取可以取Td近似地等于近似地等于T。于是有于是有 因而因而 (2) 1) ( 2 0 ) 1 ( 1)( 2 0 k M A B 例例5 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) O AB O1 O2 C l l M 振動(dòng)篩振動(dòng)篩 夯土機(jī)夯土機(jī) 強(qiáng)迫振動(dòng)實(shí)例強(qiáng)迫振動(dòng)實(shí)例 鋼板鋼板 振動(dòng)臺(tái)

40、振動(dòng)臺(tái) 強(qiáng)迫振動(dòng)實(shí)例強(qiáng)迫振動(dòng)實(shí)例 假定振動(dòng)物塊假定振動(dòng)物塊 M 還受到擾力還受到擾力F的作用的作用 FH=Hsint，其中，其中 H 稱為力幅，稱為力幅， 表示擾力的最大值；表示擾力的最大值； 稱為擾力變化的頻率。稱為擾力變化的頻率。H 和和 都可以認(rèn)為僅決定都可以認(rèn)為僅決定 于擾力的來源而與物塊的運(yùn)動(dòng)無關(guān)。于擾力的來源而與物塊的運(yùn)動(dòng)無關(guān)。 取物塊取物塊M的平衡位置作為原點(diǎn)的平衡位置作為原點(diǎn)O，軸，軸 Ox鉛直向下。在任意瞬時(shí)鉛直向下。在任意瞬時(shí)t，物塊，物塊M的運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng) 微分方程寫成微分方程寫成 tHxcxkGxm s sin)( M M x x k G Fd v F O l0 +s FH

41、 有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) tHxcxkGxm s sin)( 考慮到平衡關(guān)系考慮到平衡關(guān)系 ，仍引用，仍引用 ，并引入新的參，并引入新的參 數(shù)數(shù) ，則上式化為，則上式化為 s kG, 2 0 m k m c 2 mHh 這就是這就是質(zhì)點(diǎn)強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式質(zhì)點(diǎn)強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，它，它是非齊次的二階常系是非齊次的二階常系 數(shù)線性微分方程數(shù)線性微分方程。 thxxxsin2 2 0 (*) 21 xxx方程的通解由兩部分組成，即方程的通解由兩部分組成，即 其中其中x1是與方程（是與方程（*）相對(duì)應(yīng)的齊次方程）相對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解。的通解。02 2 0 xxx )sin(

42、 d 1 tAex t 有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) 21 xxx 特解特解x2可以寫成可以寫成 )sin( 2 tBx 把特解把特解x2及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù) ),cos( 2 tB x )sin( 2 2 tB x )sin()cos(2)sin( 2 0 2 tBtBtBthsin 代入微分方程方程的標(biāo)準(zhǔn)形式得代入微分方程方程的標(biāo)準(zhǔn)形式得 方程的通解由兩部分組成，即方程的通解由兩部分組成，即 thxxxsin2 2 0 有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) cos)( 22 0 hB 22222 0 4)( h B 22 0 2 tan 從而可以解得從而可以解得 故得在小阻尼故得在小阻尼 1 ，即擾力

43、頻率即擾力頻率 p 遠(yuǎn)大于固有頻率遠(yuǎn)大于固有頻率k時(shí)，時(shí)， 表示強(qiáng)表示強(qiáng) 迫振動(dòng)的振幅幾乎等于零（高頻強(qiáng)迫振動(dòng)）。迫振動(dòng)的振幅幾乎等于零（高頻強(qiáng)迫振動(dòng)）。 , 0 2 00 2 2 0 2 0 ). 2()1 ( 1 B B 222 )2()1 ( 1 vzz 引入無量綱參數(shù)引入無量綱參數(shù) 0 z 0 v z v 來不及振動(dòng)來不及振動(dòng) 有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) , 2 0 , 2 0 h B 可見，這時(shí)強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅可見，這時(shí)強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅 B 和阻尼系數(shù)成反比。特別是如和阻尼系數(shù)成反比。特別是如0,則則 B（共振）。（共振）。 （3）當(dāng)）當(dāng) z=1，即，即 =0時(shí)，由式時(shí)，由式 可得可得

44、 22222 0 4)( h B 222 )2()1 ( 1 vzz z v 0 z 0 v 有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) 當(dāng)當(dāng) 1-2v2 0 時(shí)，時(shí)， z = 0 給出給出的極小值。而的極小值。而 給出給出的極大值，的極大值， 這時(shí)強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅也達(dá)到最大值，即所謂這時(shí)強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅也達(dá)到最大值，即所謂峰值峰值。對(duì)應(yīng)的擾力頻率稱。對(duì)應(yīng)的擾力頻率稱 為為峰值頻率峰值頻率，用，用m代表，則由式代表，則由式(a)得得 2 21vz （4）放大系數(shù)）放大系數(shù)具有極大值。具有極大值。 22 0 2 0m 221v 222 )z 2()1 ()(zzf 取函數(shù)取函數(shù) 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù) )21 (48)1

45、(4 d )( d 2222 zzzzz t zf )321 (4 d )( d 22 2 2 z t zf 由極值條件由極值條件，得，得 0 d )( d t zf 2 21 , 0zz （a） 222 )2()1 ( 1 vzz 0 z 0 v 有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) 在式在式3)中，令中，令=m，可得，可得強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅峰值強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅峰值，以，以Bm代表，有代表，有 如果阻尼很小，如果阻尼很小，0，則由式（，則由式（2）和式（）和式（4）可得）可得 22222 0 4)( h B (3) 22 0 m 2 h B (4) (5) 0 2 0 0 2 0m ) (2121 v 0 z 0 v 02 0 0 22 0 m 2 ) (12 2 hhh B 峰值頻率峰值頻率 (