2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)蘇教版第一冊教學(xué)案：第8章 8.1.2　用二分法求方程的近似解含解析

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)新教材蘇教版必修第一冊教學(xué)案：第8章 8.1.2用二分法求方程的近似解含解析8。1。2用二分法求方程的近似解學(xué) 習(xí) 目 標核 心 素 養(yǎng)1通過實例理解二分法的概念(難點）2了解二分法是求方程近似解的常用方法3能夠借助計算器用二分法求方程的近似解(重點)通過學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)通過上一節(jié)的學(xué)習(xí)，利用函數(shù)的零點存在性定理可以確定函數(shù)的零點所在的區(qū)間,請利用計算器嘗試探求函數(shù)f(x)ln x2x6零點的近似值（精確到01）1二分法的定義對于在區(qū)間a,b上的圖象連續(xù)不斷且f(a)f（b)0的函數(shù)yf(x)，通過不斷地把函數(shù)f

2、(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值，即f（x）0的近似解的方法叫做二分法2用二分法求一元方程f(x）0近似解的步驟(1）確定區(qū)間：一元方程f（x）0的根所在的區(qū)間a,b，使f（a)f（b）0(2）求區(qū)間(a，b)的中點：x1(3)計算f（x1)若f（x1)0，x1就是一元方程f(x)0的近似解；若f（a）f(x1)0,則令bx1，此時零點x0（a，x1)；若f(x1）f(b)0，f(4）log2420，由零點存在性定理，可知函數(shù)f(x）在區(qū)間(2，4）上必存在零點3用二分法求函數(shù)yf（x）在區(qū)間2,3上的零點的近似值,驗證f(2）f(3）0，取區(qū)間

3、2，3的中點x125，計算得f(25)f（3)0，此時零點x0所在的區(qū)間是_（2，25）由于所以f(2）f（25)0,所以x0(2,25）“二分法”求方程的近似解【例1】證明：方程63x2x在區(qū)間（1,2）內(nèi)有唯一一個實數(shù)解，并求出該實數(shù)解(精確到01)思路點撥解分別畫出函數(shù)y2x和y63x的圖象，如圖所示：在兩個函數(shù)圖象的交點處,函數(shù)值相等,因此，這個點的橫坐標就是方程63x2x的解由函數(shù)y2x和y63x的圖象可以發(fā)現(xiàn)，方程63x2x有唯一解，記為x1，并且這個解在區(qū)間(1,2)上設(shè)f(x）2x3x6，用二分法逐次計算，得：f（1）0，f（2）0x1（1，2)，f(1)0，f(15)0x1（

4、1，1.5)，f（1）0，f（1.25）0x1(1,1。25)，f(1。125）0x1（1。125，1.25），f（1。187 5)0,f（1.25)0x1(1.187 5，1。25）,f(1.218 75）0，f(1.25）0x1(1。218 75,1.25），f(1218 75)0，f（1.234 375）0x1（1218 75，1。234 375)因為1.218 75與1。234 375精確到01的近似值都為1.2，所以原方程的近似解為1.21由方程的解與函數(shù)零點的等價性知，用二分法求方程的近似解問題可通過構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點近似值問題2求方程f（x）g(x）的近似值注意的問題：

5、確定初始區(qū)間時，一般采用圖象法，作函數(shù)yf（x），yg(x）的圖象，觀察兩個函數(shù)圖象的交點的橫坐標的取值范圍；也可以利用函數(shù)的零點存在性定理判定；運用二分法時,需構(gòu)造函數(shù)f（x）f(x)g（x）,求f(x）0的近似解1求的近似值（精確到0。1)解是x32的根,因此可構(gòu)造f(x)x32，問題轉(zhuǎn)化為“求f(x)的零點的近似解”用二分法求其零點由f(1）10,f(2)60故可取區(qū)間1，2為計算的初始區(qū)間用二分法逐次計算，如下：f（1)0,f(1.5）0x1(1，1。5),f（1。25）0，f（1.5)0x1(1。25,1。5），f(1。25）0，f(1.375）0x1（1.25,1。375)，f（1

6、。25)0x1（1。25，1。312 5）,至此可見，區(qū)間1.25,1.312 5上所有值精確到0。1均為1。3，所以1.3是精確到0.1的近似值二分法求方程近似解的條件探究問題1使用二分法求方程近似解的理論依據(jù)是什么？提示理論依據(jù)是零點存在性定理2能用二分法求方程近似解的條件是什么?提示條件共三點:(1)f（x）圖象連續(xù)不斷；(2）起始的兩個端點處的函數(shù)值異號；(3）每次區(qū)間等分后，必須有端點函數(shù)值異號【例2】(1)下列函數(shù)沒有零點的是_，在有零點的函數(shù)中，必須用二分法求零點的是_,一定不能用二分法求零點的是_(填序號)yx7；y2；ylog4 x3；y2xx；yx2;y2x2;y2x1(2

7、）下列圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求零點的是_，能用二分法求零點的是_（填序號）思路點撥根據(jù)二分法的概念進行判斷(1）(2）（1)中y0，故沒有零點，可通過解方程求零點，必須用二分法，雖有零點,但零點左右兩側(cè)沒有變號，故不能用二分法（2）圖中，與x軸交點兩側(cè)符號一致,不能用二分法，均可用二分法，但應(yīng)該注意區(qū)間的選擇判斷一個函數(shù)能否用二分法求其零點的依據(jù)是：其圖象在零點附近是連續(xù)不間斷的,且該零點為變號零點(在零點兩側(cè)函數(shù)值的符號相反）因此,用二分法求函數(shù)的零點的近似值的方法僅對函數(shù)的變號零點適用，對函數(shù)的不變號零點不適用2(1）下面關(guān)于二分法的敘述，正確的是_（填序號)用二分法可求所有

8、函數(shù)零點的近似值；用二分法求方程的近似解時，可以精確到小數(shù)點后的任一位；二分法無規(guī)律可循；只有在求函數(shù)零點時才用二分法（2）觀察下列函數(shù)的圖象，能用二分法求其零點的是_（填序號）(1）（2）（1）只有函數(shù)的圖象在零點附近是連續(xù)不斷且在該零點左右函數(shù)值異號,才可以用二分法求函數(shù)的零點的近似值，故錯;二分法有規(guī)律可循，可以通過計算機來進行，故錯；求方程的近似解也可以用二分法,故錯（2)由圖象可知中零點左側(cè)與右側(cè)的函數(shù)符號不同，故可用二分法求零點1二分法求函數(shù)的零點，只適用于變號零點當f(a)f(b)0時,在a，b上也可能存在零點2用二分法求函數(shù)的近似零點（或方程的近似解)需注意兩點（1)在探索初始

9、區(qū)間時，區(qū)間長度不易過長，否則會導(dǎo)致計算量增大，出現(xiàn)錯誤(2)求解過程中,區(qū)間兩端點的值按要求精確到某一值xi時，是否具有相同的值,若相同即為所求,否則繼續(xù)，直到滿足要求為止1用“二分法”可求一元方程的近似解，對于精確到的說法正確的是()a越大，近似解的精確度越高b越大，近似解的精確度越低c重復(fù)計算次數(shù)就是d重復(fù)計算次數(shù)與無關(guān)b依“二分法”的具體步驟可知，越大，近似解的精確度越低2在用二分法求函數(shù)f（x）零點近似值時，第一次取的區(qū)間是2,4,則第三次所取的區(qū)間可能是（)a1,4b2，1c2,25 d05，1d因第一次所取的區(qū)間是2，4,所以第二次所取的區(qū)間可能是2,1，1,4；第三次所取的區(qū)間

10、可能為2，05，05，1,1,25，25,4，只有d在其中，故答案為d3用二分法求函數(shù)yf（x）在區(qū)間（2,4)上的近似解,驗證f(2）f（4）0，精確到01,取區(qū)間(2,4)的中點x13，計算得f(2)f(x1)0,則此時零點x0_（填區(qū)間）(2，3)由f(2）f(3)0可知，x0(2，3)4用二分法求函數(shù)f(x）3xx4的一個零點，其參考數(shù)據(jù)如下：f（1。600 00)0.200f(1。587 5）0.133f（1.575 0)0.067f（1。562 5）0。003f(1。556 2)0.029f（1。550 0）0。060據(jù)此數(shù)據(jù)，求f(x）3xx4的一個零點的近似值（精確到001）解由表中f（1562 5)0003，f（1556 2)0029