解直角三角形應(yīng)用3

1、解直角三角形應(yīng)用解直角三角形應(yīng)用 -測高問題測高問題 鉛 垂 線俯角 仰角 水平線 視線 視線 在視線與水平線所成的角中，視線在水平線的上在視線與水平線所成的角中，視線在水平線的上 方的角叫做方的角叫做仰角仰角。視線在水平線下方的角叫做。視線在水平線下方的角叫做 俯角俯角。仰角與俯角都是視線與水平線所成的角。仰角與俯角都是視線與水平線所成的角。 練習(xí)：練習(xí)： 如圖如圖4,河對岸有水塔河對岸有水塔AB.在在C處測處測 得塔頂?shù)盟擜的仰角為的仰角為30,向塔前進(jìn)向塔前進(jìn)12m到達(dá)到達(dá)D, 在在D處測得處測得A的仰角為的仰角為45,求塔高求塔高. DC B A 4530 12m 練習(xí)練習(xí)2: 從從

2、20米高的甲樓頂米高的甲樓頂 A 處望乙樓處望乙樓 頂頂C處的仰角為處的仰角為30，望乙樓底，望乙樓底D處的處的 俯角為俯角為45，求乙樓的高度。，求乙樓的高度。 A C 水平線水平線 D B 甲甲 乙乙 20m 30 45 解直角三角形應(yīng)用解直角三角形應(yīng)用 -坡度問題坡度問題 如圖，坡面的鉛垂高度（如圖，坡面的鉛垂高度（h）和水平長度（）和水平長度（l） 的比叫做的比叫做坡面坡度坡面坡度（或（或坡比坡比）.記作記作i，即，即i= . 19.4.5 坡度通常寫成坡度通常寫成1 m的形式，的形式， 如如i=1 6. 坡面與水平面的夾角叫做坡面與水平面的夾角叫做坡角坡角，記作記作a，即即i =ta

3、n a 顯然，顯然，坡度越大，坡角坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡就越大，坡面就越陡. l h l h 在修路、挖河、開渠和筑壩時(shí)，設(shè)計(jì)圖紙上都在修路、挖河、開渠和筑壩時(shí)，設(shè)計(jì)圖紙上都 要注明斜坡的傾斜程度要注明斜坡的傾斜程度. 練習(xí)：練習(xí)： （1 1）一段坡面的坡角為）一段坡面的坡角為6060，則坡度，則坡度i=_;i=_; （2 2）已知一段坡面上，鉛直高度為）已知一段坡面上，鉛直高度為 ， 坡面長為坡面長為 ， 則坡度則坡度i i_,_,坡角坡角_。 3 32 3 30 3 3 你會算嗎？你會算嗎？ 1 坡角坡角=45坡比坡比i= 3 坡比為坡比為i=13，坡角，坡角的余弦值為的余弦值

4、為 1 1 30 3 10 10 2 坡比為坡比為,坡角坡角=1: 3 例例1、一段河壩的斷面為梯形、一段河壩的斷面為梯形ABCD，BC=4.5 高為高為4米，試根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，求出壩底寬米，試根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，求出壩底寬AD。 E i=1：3 A B C D i=1：2 F 解：作BFAD于F ，CE AD于E BF：AF=1：2 又BF=4 AF=8 CE：DE=1：3 CE=4 DE=12 BC=4.5 EF=4.5 AD=AF+EF+DE =8+4.5+12 =24.5（米） 答：壩底寬AD為24.5米。 例例2.2.水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m6m，

5、壩高壩高 23m23m，斜坡斜坡ABAB的坡度的坡度i=13i=13，斜坡斜坡CDCD的坡度的坡度 i=12.5i=12.5，求：，求： （1 1）壩底壩底AD與與斜坡斜坡AB的長度。（的長度。（精確到精確到0.1m ） （2 2）斜坡）斜坡CDCD的坡角的坡角。（精確到（精確到 ） 0 1 EF A D BC i=1:2.5 23 6 3:1i 解：解：(1)分別過點(diǎn)分別過點(diǎn)B、C作作BEAD，CFAD， 垂足分別為點(diǎn)垂足分別為點(diǎn)E、 F,由題意可知由題意可知 在在RtABE中中 3 1 i AE BE BE=CF=23m EF=BC=6m 69m2333BEAE 在在RtDCF中，同理可得

6、中，同理可得 57.5m232.52.5CFFD FDEFAEAD =69+6+57.5 =132.5m 在在RtABE中，由勾股定理可得中，由勾股定理可得 72.7m2369BEAEAB 2222 (2) 斜坡斜坡CD的坡度的坡度i=tan=1：2.5 = 0.4 由計(jì)算器可算得由計(jì)算器可算得 EF A D BC i=1:2.5 23 6 3:1i 0 22 答：壩底寬答：壩底寬AD為為132.5米，斜坡米，斜坡AB 的長約為的長約為72.7米斜坡米斜坡CD的坡角的坡角約約 為為22。 2.5 1 FD CF i A B C 45 練習(xí)練習(xí)5：在山腳：在山腳C處測得處測得山頂山頂A的仰角為的

7、仰角為 45. .問題如下：（問題如下：（1）沿著水平地面向前）沿著水平地面向前 300m到達(dá)到達(dá)D點(diǎn)，在點(diǎn)，在D點(diǎn)測得山頂點(diǎn)測得山頂A的仰角為的仰角為 60 ，求山高，求山高AB. .（2）沿著坡角為）沿著坡角為45 的斜坡前進(jìn)的斜坡前進(jìn)300m到達(dá)到達(dá)D點(diǎn)，在點(diǎn)，在D點(diǎn)測得山頂點(diǎn)測得山頂 A的仰角為的仰角為60 ，求山高，求山高AB. . D 60 x x3 300m 課堂小結(jié)課堂小結(jié): : 1 1弄清坡度、坡角、水平距離、垂直距離等概念弄清坡度、坡角、水平距離、垂直距離等概念 的意義，明確各術(shù)語與示意圖中的什么元素對應(yīng)，的意義，明確各術(shù)語與示意圖中的什么元素對應(yīng)， 只有明確這些概念，才能

8、恰當(dāng)?shù)匕褜?shí)際問題轉(zhuǎn)化只有明確這些概念，才能恰當(dāng)?shù)匕褜?shí)際問題轉(zhuǎn)化 為數(shù)學(xué)問題為數(shù)學(xué)問題 2 2認(rèn)真分析題意、畫圖并找出要求的直角三角形，認(rèn)真分析題意、畫圖并找出要求的直角三角形， 或通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形來解決問題或通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形來解決問題 3 3選擇合適的邊角關(guān)系式，使計(jì)算盡可能簡單，選擇合適的邊角關(guān)系式，使計(jì)算盡可能簡單， 且不易出錯且不易出錯 4 4按照題中的精確度進(jìn)行計(jì)算，并按照題目按照題中的精確度進(jìn)行計(jì)算，并按照題目 中要求的精確度確定答案以及注明單位中要求的精確度確定答案以及注明單位 解直角三角形應(yīng)用解直角三角形應(yīng)用 -航海問題航海問題 方方向向角角 北 東 西

9、南 A A 5858 2828 B B 北偏東北偏東 5858 南偏西南偏西 2828 例題：某船自西向東航行，在例題：某船自西向東航行，在A出測得某島在北偏東出測得某島在北偏東 60的方向上，前進(jìn)的方向上，前進(jìn)8千米測得某島在船北偏東千米測得某島在船北偏東45 的方向上，問（的方向上，問（1）輪船行到何處離小島距離最近？）輪船行到何處離小島距離最近？ （2）輪船要繼續(xù)前進(jìn)多少千米？）輪船要繼續(xù)前進(jìn)多少千米？ A 北 南 西東 北 南 西東 某船自西向東航行，在某船自西向東航行，在A出測得某島在北偏東出測得某島在北偏東60的的 方向上，前進(jìn)方向上，前進(jìn)8千米測得某島在船北偏東千米測得某島在船北

10、偏東45 的方向的方向 上，問（上，問（1）輪船行到何處離小島距離最近？）輪船行到何處離小島距離最近？ （2）輪船要繼續(xù)前進(jìn)多少千米？）輪船要繼續(xù)前進(jìn)多少千米？ 如圖如圖4,河對岸有水塔河對岸有水塔AB.在在C處測得塔頂處測得塔頂A的仰角為的仰角為30,向塔前進(jìn)向塔前進(jìn)12m到達(dá)到達(dá)D, 在在D處測得處測得A的仰角為的仰角為45,求塔高求塔高. DC B A 4530 12m m m. .6 63 36 6 解解: 若設(shè)若設(shè)ABx , 則易得則易得 BD= x. BC= x12. 在在RtACB中中,由由ACB=30,得得 , , tan30tan30 BCBC ABAB . . 3 3 3

11、3 x12x12 x x 即 解得解得x 小結(jié)小結(jié):本例告訴我們在應(yīng)用解直角三角形解決測量問題時(shí)本例告訴我們在應(yīng)用解直角三角形解決測量問題時(shí),一般要先畫一般要先畫 出測量示意圖出測量示意圖, 然后借助示意圖然后借助示意圖,利用直角三角形中角、邊之間的利用直角三角形中角、邊之間的 數(shù)量關(guān)系求出所要求的距離或角度數(shù)量關(guān)系求出所要求的距離或角度. 3045 8千米 A B C D 某船自西向東航行，在某船自西向東航行，在A出測得某島在北偏東出測得某島在北偏東60的的 方向上，前進(jìn)方向上，前進(jìn)8千米測得某島在船北偏東千米測得某島在船北偏東45 的方向的方向 上，問（上，問（1）輪船行到何處離小島距離最

12、近？）輪船行到何處離小島距離最近？ （2）輪船要繼續(xù)前進(jìn)多少千米？）輪船要繼續(xù)前進(jìn)多少千米？ 解： 練習(xí)練習(xí)1：如圖所示，某船以每小時(shí)：如圖所示，某船以每小時(shí)36海里的速度海里的速度 向正東航行，在向正東航行，在A點(diǎn)測得某島點(diǎn)測得某島C在北偏東在北偏東60方方 向上，航行半小時(shí)后到向上，航行半小時(shí)后到B點(diǎn)，測得該島在北偏東點(diǎn)，測得該島在北偏東 30方向上，已知該島周圍方向上，已知該島周圍16海里內(nèi)有暗礁海里內(nèi)有暗礁 （1）試說明）試說明B點(diǎn)是點(diǎn)是 否在暗礁區(qū)域外否在暗礁區(qū)域外 （2）若繼續(xù)向東）若繼續(xù)向東 航行，有無觸礁危航行，有無觸礁危 險(xiǎn)？請說明理由險(xiǎn)？請說明理由 北北 東東 A B C

13、D 解：（解：（1）AB=360.5=18， ADB=60，DBC=30， ACB=30又又CAB=30， BC=AB=1816， B點(diǎn)在暗礁區(qū)域外點(diǎn)在暗礁區(qū)域外 （2）過）過C點(diǎn)作點(diǎn)作CHAF，垂足為，垂足為H，在，在RtCBH中，中， BCH=30， 令令BH=x，則，則CH=x，在，在RtACH中，中，CAH=30， AH=CH， 18x=-x，x=9，CH=916， 船繼續(xù)向東航行有觸礁的危險(xiǎn)船繼續(xù)向東航行有觸礁的危險(xiǎn) 答：答：B點(diǎn)在暗礁區(qū)域外，船繼續(xù)向東航行有觸礁的危點(diǎn)在暗礁區(qū)域外，船繼續(xù)向東航行有觸礁的危 險(xiǎn)險(xiǎn) 1.解直角三角形解直角三角形, ,就是在直角三角形中就是在直角三角形中

14、, ,知道除直角外的其他知道除直角外的其他 五個元素中的兩個五個元素中的兩個( (其中至少有一個是邊其中至少有一個是邊), ),求出其它元素的求出其它元素的 過程過程. . 2.與之相關(guān)的應(yīng)用題有與之相關(guān)的應(yīng)用題有: :求山高或建筑物的高求山高或建筑物的高; ;測量河的寬度測量河的寬度 或物體的長度或物體的長度; ;航行航海問題等航行航海問題等. .解決這類問題的關(guān)鍵就是解決這類問題的關(guān)鍵就是 把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題, ,結(jié)合示意圖結(jié)合示意圖, ,運(yùn)用解直角三角運(yùn)用解直角三角 形的知識形的知識. . 3.當(dāng)遇到當(dāng)遇到30,45,6030,45,60等特殊角時(shí)等特殊角時(shí), ,常常添加合適的輔助線分割常常添加合適的輔助線分割 出包含這些角度的直角三角形來解決某些斜