信號分析與處理_第一章

1、X 信號分析與處理信號分析與處理_ _第一章第一章 重慶大學(xué)自動化學(xué)院 2010.3 信號分析與處理 連續(xù)時間信號的時域分析連續(xù)時間信號的時域分析 周期信號的頻率分解周期信號的頻率分解 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜 連續(xù)時間信號的復(fù)頻率分析連續(xù)時間信號的復(fù)頻率分析 X 1.1 連續(xù)時間信號的時域分析連續(xù)時間信號的時域分析 連續(xù)時間信號的分析方法有三種連續(xù)時間信號的分析方法有三種 時域分析法時域分析法 頻域分析法頻域分析法 復(fù)頻域分析法復(fù)頻域分析法 時域分析：時域分析：將信號分解為具有不同延時的簡單沖激 信號分量的疊加，并通過卷積的方法進行系統(tǒng)的時 域分析 X 1.1.1 連續(xù)信號的時域描述

2、 時域描述：時域描述：用一個時間函數(shù)式 表示信號隨時間而變化的特性 1.連續(xù)時間信號的定義： 在所討論的時間內(nèi)，對于除了若干 個不連續(xù)點以外的任意時刻值都有定 義的信號，用x(t)表示 例如： Ot 1 tx 處，有間斷點在0 )0(0, 00 )( t atAe t tx at X 1.1.1 連續(xù)信號的時域描述 2.基本的連續(xù)信號基本的連續(xù)信號 （5 5）單）單位階躍信號位階躍信號 （1 1）指數(shù)信號）指數(shù)信號 （2 2）正弦信號）正弦信號 （3 3）復(fù)指數(shù)信號）復(fù)指數(shù)信號( (表達具有普遍意義表達具有普遍意義) ) （4 4） 抽樣信號抽樣信號(Sampling Signal) tf函數(shù)

3、表達式函數(shù)表達式 tf函數(shù)表達式函數(shù)表達式 信號的表示信號的表示 波形波形 tf函數(shù)表達式函數(shù)表達式 （6 6）單）單位沖激信號位沖激信號 X 重要特性：重要特性：其對時間的微分和積分仍然是指數(shù)形式其對時間的微分和積分仍然是指數(shù)形式。 （1）指數(shù)信號 t Ktf e)( 單邊指數(shù)信號單邊指數(shù)信號 通常把通常把 稱為指數(shù)信號的稱為指數(shù)信號的時間常數(shù)時間常數(shù)，記作，記作 , ,代表信代表信 號衰減速度，具有時間的量綱。號衰減速度，具有時間的量綱。 1 l 指數(shù)衰減指數(shù)衰減, ,0 0 l l 指數(shù)增長指數(shù)增長0 0 l 直流直流( (常數(shù)常數(shù)) ), ,0 K 0 O tf t 0e 00 t t

4、 tft Ot 1 tf X （2）正弦信號 振幅：振幅：K 周期：周期： 頻率：頻率：f 角頻率：角頻率： 初相：初相： f T 12 f2 0 0 0 0sine )( t ttK tf t )sin()( tKtf 衰減正弦信號：衰減正弦信號： Ot tf K T 2 2 X （2）正弦信號 正弦信號的性質(zhì)： 兩個振幅和初相位均不同的同頻率正弦信號相 加后，結(jié)果仍是原頻率的正弦信號； 若一個正弦信號的頻率是另一個正弦頻率的整 數(shù)倍，則它們的合成信號是另一個非正弦周期 信號，其周期等于基波的周期 正弦信號對時間的微分和積分仍然是同頻率的 正弦信號 X （3）復(fù)指數(shù)信號 討論討論 衰減指數(shù)信

5、號衰減指數(shù)信號 升指數(shù)信號升指數(shù)信號 直流直流 0 , 0 0 , 0 0 , 0 振蕩振蕩 衰減衰減 增幅增幅 等幅等幅 0 , 0 0 , 0 0 , 0 為復(fù)數(shù)，稱為復(fù)頻率為復(fù)數(shù)，稱為復(fù)頻率 j s ,均為實常數(shù)均為實常數(shù) tKtK tKtf tt st sinejcose )( e)( rad/s /s1 的的量量綱綱為為，的的量量綱綱為為 X （4）抽樣信號(Sampling Signal) t tSa 1 2 3 O 性質(zhì)性質(zhì) ，偶偶函函數(shù)數(shù)ttSaSa 1)Sa(lim1)Sa(, 0 0 ttt t ，即即 3 , 2 , 1, 0)Sa( nntt， d sin , 2 d

6、sin 0 t t t t t t 0)Sa(lim t t tttsin)sinc( t t t sin )Sa( X （5）單位階躍信號 0 0 0 1 0 )( 0 01 00 )( tt tt ttu t t t tu處，函數(shù)值未定義 1 0 u(t) t 2 e)( t Etf 1 0 u(t) t 0 t X （6）單位沖激信號 1)( , 0)( 1)( 0, 0)( 0 00 dttt tttt dtt tt (1) 0t )(t (1) 0t )( 0 tt 0 t dt tdu ttu t t d t )( )()( 0, 1 0,0 )( 或 X （6）單位沖激信號 性質(zhì)

7、： 抽樣特性 加權(quán)特性 )()()()( )( )()()( )0()()0()()0()()( 000 txxdtx t txdttttxtt xdttxdttxdtttx t 的抽樣特性，又有根據(jù) 時，在 )()()()( )( , )()0()()( 000 0 tttxtttx tttx txttx 有時連續(xù)的普通函數(shù)，則是一個在類似，若 X （6）單位沖激信號 單位沖激信號為偶函數(shù) 尺度變換特性 單位沖激信號的導(dǎo)數(shù)（又叫沖激偶） 是一個奇函數(shù) )()(tt )( 1 )(t a at dt td t )( )( )()()( )0()()( )()( 0 0 txdttttx xdt

8、ttx tt )()()()()()( )()0()()0()()( 00 0 00 tttxtttxtttx txtxttx 復(fù)指數(shù)信號和單位沖激信號是信號中用的最多的 X 1.1.2 連續(xù)信號的基本運算 1 10 0 , , , 0 1 0 )( 1 10 0 , , , 1 0 )( 21 t t t tx t t t ttx 1 1 0 )( 2 tx 01 1 2 )()( 21 txtx 例子： 1.信號的相加與相乘信號的相加與相乘 信號相加和相乘是指兩個信號在任一時刻函數(shù)值之信號相加和相乘是指兩個信號在任一時刻函數(shù)值之 和或積。和或積。 0 1 1 )( 1 tx 1 1 0 )

9、()( 21 txtx t t 公式見教 科書p14 X 2.信號的微分與積分信號的微分與積分 1 10 )(tx t 與時間軸包圍的面積。 區(qū)間內(nèi)任意時刻處，是指在（或的積分記為 該處的跳變量。 出現(xiàn)沖激），大小為時，將有導(dǎo)數(shù)存在（即當(dāng)信號中含有不連續(xù)點 變化的變化率。是信號的函數(shù)值隨時間或的微分記為 )( -),()()( ),( )( )( )1( tx ttxdxtx tx dt tdx tx t 0 1 (1) )(tx t (1) 0 1 1 )( 1- tx 例如 X 3.信號的時移與翻褶信號的時移與翻褶 鏡像對稱波形上就是以信號的翻褶 信號的時移 0),()( )()( 0 t

10、txtx ttxtx 4.信號的尺度變換信號的尺度變換 ;/1)()(0 ;/1)()(10 ;/1)()(1 )()( atxatxa atxatxa atxatxa atxtx 擴展至的波形沿時間軸壓縮或?qū)r，當(dāng) 原來的的波形沿時間軸擴展至將時，當(dāng) 原來的的波形沿時間軸壓縮至將時， 尺度變換： 可見教科書P16例題 X 例題 O t )(tf 1 1 1 解解: : t )5( tf 6 1 4 5 O t )3( tf 1 3 1 O 3 1 t )53( tf 1 2 3 4 驗證：驗證： 已知已知f(t)，求，求f(3t+5)。 宗量宗量t 宗量宗量3t+5 函數(shù)值函數(shù)值 t=-13

11、t+5=-1，t=-21 t=03t+5=0，t=-5/31 t=13t+5=1，t=-4/30 計算特殊點計算特殊點 X 時移 標(biāo)度 變換 標(biāo)度 變換 時移 X 1.1.3 連續(xù)信號的時域分解 可將一個復(fù)雜信號分解為具有不同延時的沖激信號序列 tx t nx On , nt當(dāng) ,nx脈高： , 脈脈寬寬： 此窄脈沖可表示為此窄脈沖可表示為 )()(ntuntunx )()(ntuntu存在區(qū)間： X 任意信號可分解為出現(xiàn)分解為出現(xiàn) 在不同時刻的，不同強在不同時刻的，不同強 度的沖激函數(shù)的和。度的沖激函數(shù)的和。 疊加可表示為許多窄脈沖的到從)(,tx ）ntuntu nx ()( )( n n

12、tuntunxtx）()()()( d)()()( txtx所以 0 令令 t t tuntuntu d )(d()( lim 0 ） ,d X 1.1.4 連續(xù)信號的卷積 1.卷積的定義： 積分和設(shè)有兩個函數(shù)),()( 21 txtx d 21 txxty txtxtytxtxty 2121 )(或 ，記為的卷積積分，簡稱卷積和稱為)()( 21 txtx 利用卷積可以求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。利用卷積可以求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。 d)(*)( txttxty 將上式改為 X 1.1.4 連續(xù)信號的卷積 1 0 X1(t)=u(t) 1 0 )()( 2 tuetx at 1 0 )( 2 x y

13、(t)就是信號x(t)的沖激信號序列的分解形式。卷積反應(yīng)了 線性系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系，因此研究信號的卷積有十 分重要的意義。 1 0 )( 2 x t 1 0 t )()( 21 txx 1/a 0 t 圖解過程 2.卷積的圖解 X 1.1.4 連續(xù)信號的卷積 卷積的解析法： )()1 ( 1 )( )(*)()(0)( 0)(0 00 )( 212 1 tue a deedety txtxtytxt x at t aat t ta 則時，當(dāng) 時，當(dāng) 中較小的。、分上線應(yīng)為 中較大的，積、，則積分下線應(yīng)為、終點分別為 ，、的起點分別為和確定幾分線原則：若 43 2143 2121 )()(

14、 txx X 1.1.4 連續(xù)信號的卷積 3.卷積性質(zhì) )(*)()(*)()( )(*)()(*)()( )(*)()(0)( )()()()( 4 )(*)()(*)()()(*)(3 )(*)(*)()(*)(*)(2 )(*)()(*)(1 )1( 12 )1()1( )1( 12 )1()1( 21 )1( )1()1( 3121321 321321 1221 21 21 txtxtxtxty txtxtxtxty txtxtyx dxtxtx dt d tx txtxtxtxtxtxtx txtxtxtxtxtx txtxtxtx t 。若其中 一次積分一階導(dǎo)數(shù) ）微積分性質(zhì)（ ）

15、分配律（ ）結(jié)合律（ ）交換律（ X 1.1.4 連續(xù)信號的卷積 3.卷積性質(zhì) 相當(dāng)于微分器 的卷積任意信號與沖激偶信號 積）任意信號與階躍的卷（ 的卷積）任意信號與沖激信號（ )()(*)( )7( )()(*)( 6 )()(*)(, )()(*)( 5 00 txttx dxtutx ttxtttxtxttx t 見P21例 X 1.2 周期信號的頻率分解周期信號的頻率分解 1.2.1 周期信號的描述 在時域中信號可分解為加權(quán)沖激信號之和，信號還 可以分解為頻率信號。例如：周期信號可用傅立葉 級數(shù)來表示，實質(zhì)就是把信號分解為了一系列不同 頻率的諧波分量之和。 一個連續(xù)信號在(-,)區(qū)間，

16、以T0為周期重復(fù)，表 達式： x(t)= x(t+T0) x(t+2T0) .x(t+nT0) T0為周期，頻率f01/ T0或角頻率0=2/T0， f0或0 稱為基本頻率或基本角頻率 X 1.2.1 周期信號的描述 T0T0 x(t) t 2T03T0 具有0的時間函數(shù)叫基波，2 0、 3 0稱為二次諧波、三次諧 波等。 兩個周期信號相加后是否是周期信號？ 如果在T1和T2之間存在一個最小公倍數(shù)T0，則 n1 T1 n2 T2 T1/ T2 = n1/ n2=有理數(shù)， n1，n2均為整數(shù) X 1.2.2 傅里葉級數(shù) 任何一個滿足任何一個滿足狄里赫利條件狄里赫利條件的的周期為周期為T的函的函

17、數(shù)數(shù)x(t)都可以用都可以用三角函數(shù)集中各函數(shù)分量的線三角函數(shù)集中各函數(shù)分量的線 性組合來表示性組合來表示，即，即 0 10200 10200 ( )cos()cos(2)cos() 2 sin()sin(2)sin() n n a x tatatant btbtbnt X 1.2.2 傅里葉級數(shù) 條件條件3:3:在一周期內(nèi)，信號絕對可積。在一周期內(nèi)，信號絕對可積。 條件條件2 2：在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有 限個。限個。 條件條件1 1：在一周期內(nèi)，如果有間斷點存在，則間斷點的在一周期內(nèi)，如果有間斷點存在，則間斷點的 數(shù)目應(yīng)是有限個。數(shù)目應(yīng)是

18、有限個。 狄利克雷（Dirichlet）條件 X 例1 不滿足條件不滿足條件1 1的例子如下圖所示，這個信號的周期為的例子如下圖所示，這個信號的周期為8 8，它，它 是這樣組成的：后一個階梯的高度和寬度是前一個階梯的是這樣組成的：后一個階梯的高度和寬度是前一個階梯的 一半。可見在一個周期內(nèi)它的面積不會超過一半。可見在一個周期內(nèi)它的面積不會超過8 8，但不連續(xù)，但不連續(xù) 點的數(shù)目是無窮多個。點的數(shù)目是無窮多個。 f t O 1 8t8 1 2 X 例2 不滿足條件不滿足條件2 2的一個函數(shù)是的一個函數(shù)是 2 sin, 01f tt t f t O 1 1t1 對此函數(shù)，其周期為對此函數(shù)，其周期為

19、1 1，有，有 1 0 d1f tt X 在一周期內(nèi)，信號是在一周期內(nèi)，信號是絕對可積的絕對可積的(T1為周期為周期) 1 d T f tt T 01 0 ( ) d tT t f tt 1 j 11 edd nt n TT Ff ttf tt TT 說明 與平方可積條件相同，這一條件保證了每一系數(shù)與平方可積條件相同，這一條件保證了每一系數(shù)Fn都都 是有限值，因為是有限值，因為 n F X 例3 周期信號周期信號 ，周期為，周期為1 1，不滿足此條件。，不滿足此條件。 1 , 01f tt t f t O 1 212 t 1 X 1. 三角型傅里葉級數(shù) 滿足狄利克雷（Dirichlet）條件的

20、周期信號 都可以展開為三角型傅里葉級數(shù)表達式： 0 00 1 ( )cos()sin()(1) 2 nn n a x tantbnt X 1. 三角型傅里葉級數(shù) （1）式中， 是常數(shù)，表示直流分量； 當(dāng)n=1時， 為基波； 當(dāng)n=2時， 為2次諧波； 表示n次諧波。 0 a 00 cossin nn antbnt 1010 cossinatbt 2020 cos 2sin 2atbt X 1. 三角型傅里葉級數(shù) 問題：如何求出各諧波分量的大小，即（1） 式中各常系數(shù)？ X 1. 三角型傅里葉級數(shù) 00 cos,sinntnt 是一個完備的正交函數(shù)集是一個完備的正交函數(shù)集 t在一個周期內(nèi)，在一個

21、周期內(nèi)，n=0,1,. 0 00 0 cossin0, T ntmdtm n 任意 0 00 0 , sinsin()2 0, T T mn ntmt dt mn 由積分可知由積分可知 三角函數(shù)集 0 0 0 cos0 T nt dt （1） 0 0 0 sin0 T nt dt （2） （3） 0 00 0 , coscos()2 0, T T mn ntmt dt mn （4） （5） X 直流分量直流分量 0 0 /2 0 /2 0 2 ( )d T T ax tt T 余弦分量的幅度余弦分量的幅度 0 0 /2 0 /2 0 2 ( )cosd ,0,12, T n T ax tntt

22、 n T 正弦分量的幅度正弦分量的幅度 0 0 /2 0 /2 0 2 ( )sind ,12 3 T n T bx tntt n T ， ， ， 1. 三角型傅里葉級數(shù) 根據(jù)上述正交三角函數(shù)集，可以計算（1）式中的常數(shù) 項 X 例1-2-1 求周期鋸齒波的三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式。求周期鋸齒波的三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式。 0 2 00 02 2 ( )d0 T T ax tt T 0 0 2 0 02 2 ( )cosd0 T Tn ax tntt T 0 0 2 0 002 22 sind T Tn E btntt TT 1 2 ( 1) 1,2,3 n E n n 周期鋸齒波

23、的傅里葉級數(shù)展開式為周期鋸齒波的傅里葉級數(shù)展開式為 00 22 0sinsin2 2 EE f ttt 00 0 2 ( ) 22 TTE x ttt T 直流直流基波基波諧波諧波 t x t E E 0 /2T - -E E 0 0 0 0 2 T X 2. 指數(shù)型傅里葉級數(shù) 三角函數(shù)與復(fù)指數(shù)函數(shù)有密切的關(guān)系，由歐拉公 式： 三角型和指數(shù)型傅里葉級數(shù)實質(zhì)上是同一種級數(shù) 的兩種不同表現(xiàn)形式。 00 0 cos() 2 jntjnt ee nt 00 0 sin() 2 jntjnt ee nt j X 2. 指數(shù)型傅里葉級數(shù) 將上述歐拉公式代入三角型傅里葉級數(shù)公 式： 令復(fù)系數(shù) 當(dāng)x(t)為實

24、信號時，有 ， 則 00 0 11 ( ) 222 jntjnt nnnn nn aajbajb x tee nn aa nn bb * 2 nn n ajb c 2 nn n ajb c X 2. 指數(shù)型傅里葉級數(shù) * 2 nn nn ajb cc 或 將 和 代入x(t)的級數(shù)表達式，得 上式即指數(shù)型傅里葉級數(shù)表達式。 * nn cc n c * n c 00 00 00 * 0 11 1 0 1 0 ( ) () jntjnt nn nn jntjnt nn nn jntjnt n nn x tcc ece cc ec e c eXne X 2. 指數(shù)型傅里葉級數(shù) 說明： 上式表明一個周

25、期信號可以由無限多個復(fù) 指數(shù)信號組成， 是基波頻率， 是n次諧 波頻率。 振幅和相位由 決定，且有 0 0 n n c 0 0 0 0 0 2 00 2 0 2 0 2 0 1 2 ( )cos()sin() 22 1 ( )() T nn Tn T jnt T ajb cx tntjnt dt T x t edtX n T X 例1.2.2 求下圖所示的矩形脈沖信號的指數(shù)型傅里葉級數(shù)展開式。求下圖所示的矩形脈沖信號的指數(shù)型傅里葉級數(shù)展開式。 ( )x t O t 0 T E 0 T / 2/ 2 解：由題意，矩形脈沖信號表達式如下： ,/2/2 0, ( ) ET x t 其它 X 例1.2

26、.2 （續(xù)） 求得復(fù)系數(shù)為 故得x(t)的指數(shù)型傅里葉級數(shù)表達式為 0 2 2 0 0 0 000 1 c() sin(/2) (/2) /2 jnt nn X nEedt T nEE Sa n TnT 00 0 0 ( )(/2) jntjnt n nn E x tc eSa ne T X 1.2.3 周期信號的頻率分析 通過上述對周期信號的時域分析表明，一 個周期信號可以利用正弦型信號或復(fù)指數(shù) 信號來準(zhǔn)確描述。 不同波形的周期信號的區(qū)別僅在于基頻 以及各組成諧波分量的幅度和相位不同。 0 X 1.2.3 周期信號的頻率分析 由于 是離散頻率 的復(fù)函數(shù)，有 其中： 模 反映了組成周期信號的不

27、同頻 率諧波分量的幅度隨頻率變化的特性，簡 稱幅頻特性； 相角 反映了不同頻率分量的初相角隨 頻率變化的特性，簡稱相頻特性。 0 () 00 () |()| jn X nX ne 0 ()X n 0 n 0 |()|X n 0 ()n X 1.2.3 周期信號的頻率分析 由上述分析知，任意波形的周期信號x(t)可 以由反映信號頻率特性的復(fù)指數(shù) 來描 述。二者存在一一對應(yīng)的關(guān)系，即： 從信號x(t)的傅里葉級數(shù)表達式中， 提取了反映信號全貌的三個基本特征，即 基頻、各諧波的幅度和相位。這種用頻率 函數(shù)來描述或表征任意周期信號的方法稱 為周期信號的頻率分析。 0 ()X n 0 ( )()x tX

28、 n 0 ()X n X 1.2.3 周期信號的頻率分析 信號的頻譜圖：即用線條的長短表示 的幅頻、相頻變化規(guī)律。 頻譜圖與時域波形變化規(guī)律的關(guān)系： 頻率的高低表示時域波形變化的快慢； 諧波幅度的大小反映時域波形取值的大小 相位的變化對應(yīng)到波形在時域出現(xiàn)的不同 時刻。 0 ()X n X 請畫出其幅度譜和相位譜。請畫出其幅度譜和相位譜。 例1.2.3 0 1c 0 0 1 52.236c 1 0.15 2 1c 2 0.25 化為余弦形式化為余弦形式 三角函數(shù)形式的頻譜圖三角函數(shù)形式的頻譜圖 111 ( )1 sin2coscos 2 4 f tttt 已知， 11 ( )15cos(0.15

29、)cos 2 4 f ttt 三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的譜系數(shù)三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的譜系數(shù) X 1 1 c 0 c 2 c 1 2O 2.24 11 n c 1 2 0.25 0.15 O 1 n X 化為指數(shù)形式 11 11 11 jj 2j2j jj44 1 ( )1ee 2j 21 eeee 22 tt tnt tt f t 1111 jj jjj2j2 44 1111 ( )11e1ee eee 2 j2 j22 tttt f t 1 2 j 1 2 () e nt n F n 1)0( F j0.15 1 1 11.12e 2j F j0.15 1 1 11.12 2j Fe j

30、 4 1 1 2e 2 F j 4 1 1 2e 2 F 整理整理 指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的系數(shù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的系數(shù) X 譜線 0 (0)1FF 11 ()1.12FF 11 ()1.12FF 21 (2)0.5FF 21 ( 2)0.5FF 0 0 1 0.15 1 0.15 2 0.25 2 0.25 指數(shù)形式的頻譜圖指數(shù)形式的頻譜圖 1 2 0.5 O 1 1 1.12 1 2 1.12 0.51 1 F n 1 2 0.25 0.15 O 1 1 0.15 1 2 0.25 n X 三角形式與指數(shù)形式的頻譜圖對比 1 1 c 0 c 2 c 1 2O 2.24 11 n c 三角函

31、數(shù)形式的頻譜圖三角函數(shù)形式的頻譜圖 指數(shù)形式的頻譜圖指數(shù)形式的頻譜圖 1 2 0.25 0.15 O 1 n 1 2 0.5 O 1 1 1.12 1 2 1.12 0.51 1 F n 1 2 0.25 0.15 O 1 1 0.15 1 2 0.25 n 這兩種頻譜表示方法是指是一樣的 ，不同之處 在于： 三角函數(shù)形式的頻譜圖每條譜 線代表一個分量的幅度； 指數(shù)形式的頻譜圖把每個分量 的幅度一份為二，在正負頻率相對 應(yīng)的位置一分為二。 需要指出的是負頻率的引入是 由于在進行歐拉公式變換是自然生 成的，只是數(shù)學(xué)運算的結(jié)果，沒有 任何物理意義。 X 1.2.3 周期信號的頻率分析 由上述例題，

32、周期連續(xù)信號頻譜具有如下 特點： 1. 離散性：頻譜是由頻率離散的非周期性譜線組成 ，每個譜線代表一個諧波分量； 2. 諧波性：頻譜中的譜線只在基波頻率的整數(shù)倍處 出現(xiàn)； 3. 收斂性：頻譜中個譜線的幅度隨著諧波次數(shù)的增 加而逐漸衰減。 X 1.2.4 傅里葉級數(shù)的性質(zhì) 1.線性性質(zhì) 兩個周期信號x1(t)，x2(t)的頻譜分別為： （1）若 ，則有 （2）若 ，但 的周期 與 的周期 存 在最小公倍數(shù)，即： 則有： 111 ( )()x tX n 222 ( )()x tXn 120 1 122110220 ( )( )()()a x ta x ta X na Xn 12 1( ) x t

33、2( ) x t 1 T 2 T 1221 /T Tnn 有理數(shù) 1 12 2111222 ( )( )()()ax ta x taX na X n X 0 ( )(),x tX n若 ;e )()( 0 j 0 t Fttf 則則 0 )(j 0 e)()( t Fttf 則則 2時移特性 0 0 00 ()() jnt x tteX n 則有 0 0 0 0 nt nt 0 左 時域左移或右移t ,相移 右 幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜: X 3尺度變換性質(zhì) 0 ( )(),x tX n若 0 ()(),x atX naa則有為實常數(shù) 周期信號x(t)經(jīng)時間

34、尺度變換后，其各次諧波 的傅里葉系數(shù)仍然保持不變，但基波頻率變?yōu)?0 a X 4. 對稱性質(zhì) (1) 信號為實函數(shù) 實函數(shù)的頻譜信號 具有一定的對稱關(guān)系，即 當(dāng)周期信號x(t)為實函數(shù)時，其相應(yīng)的幅度頻譜關(guān)于 偶對稱，相位譜關(guān)于 奇對稱。 在計算 時只需要求出單邊頻譜。 0 X(n) 00 00 |X(n)| |X(-n)| (n)= - (-n) 0 n0 n 0 X(n) X 4. 對稱性質(zhì) （2）信號為實偶函數(shù)(偶對稱) 于是有 則 即：周期信號為實偶函數(shù)式，傅里葉級數(shù)展開式只含直流分 量和余弦分量，而不存在正弦項。 ( )()x txt 0 0 /2 00 /2 0 1 ()( )co

35、s() 2 0 T n T n a X nx tnt dt T b 0 0 1 ( )cos() 2 n n a x tant 是奇函數(shù)，在一個周期內(nèi)積分為0。 0 ( )sin()x tnt X 4. 對稱性質(zhì) （3）信號為實奇函數(shù) 于是有 則 即：周期信號為實奇函數(shù)式，傅里葉級數(shù)展開式只含正弦項， 而不存在直流分量和余弦分量。 ( )()x txt 0 0 /2 00 /2 0 ()( )sin() 2 0 T n T n jbj X nx tnt dt T a 0 1 ( )sin() n n x tbnt X 4. 對稱性質(zhì) （4）半周期對稱 半周期偶對稱（半周期重疊） 半周期偶對稱：

36、即信號沿時間軸前后平移半周期仍等于原信號，滿足 周期信號x(t)的周期為 ，而基本周期為 ，因此，其傅里葉級數(shù)表達式除了 直流分量只有余弦偶次諧波分量。 半周期奇對稱（半周期鏡像） 半周期奇對稱：即信號沿時間軸前后平移半周期等于原信號的鏡像，滿足 周期信號x(t)的周期為 。其傅里葉級數(shù)表達式只有正弦奇次諧波分量。 0 ()( ) 2 T x tx t 0 T 0 2 T 0 ()( ) 2 T x tx t 0 T X 4. 對稱性質(zhì) （4）半周期對稱 雙重對稱 信號除了具有半周期鏡像對稱外，同時還是時間的偶函數(shù)或奇函數(shù)，則前者 的傅里葉級數(shù)表達式只有余弦奇次諧波分量，后者只有正弦奇次諧波分

37、量。 由上三類信號的不同對稱關(guān)系，可以迅速判斷在傅里葉級數(shù)展開式中哪些 分量存在，從而減少不必要的計算。 X 5.時域微積分性質(zhì) 如果x(t)是周期 的周期信號，那么它的導(dǎo) 數(shù) 也是周期為 的周期信號，且它 們的頻譜有如下關(guān)系： 0 T () ()/x tdxt dt 0 T 0 00 ( )() ( )jn() x tX n x tX n 若 則 上述結(jié)論也可以推廣到高階導(dǎo)數(shù)和函數(shù)積分的情 況，即 ( ) 00 1 0 0 ( )()() () ( ),0 jn kk xtjnX n X n xtn X 1.3 非周期信號的頻譜 除了周期信號外，在自然界和實際工程領(lǐng) 域中還存在著一些非周期信

38、號，如語音信 號、爆炸產(chǎn)生的沖擊信號燈，這些非周期 信號能否分解為三角函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)這 樣的周期信號？如果能，應(yīng)該怎么分解呢？ X 1.3.1 從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換 引出 任何周期信號都可以看成是一個非周期信號周期延拓而成的， 而周期信號則可以看成是周期信號當(dāng)期周期趨于無窮大時的極限 情況。 假設(shè) 是周期為T的周期信號， 中每個周期信號波形都相 同，記為 ，二者的關(guān)系為： ( ) T x t ( ) T x t ( )x t ( )() ( )lim( ) T n T T x tx tnT x tx t X 1.3.1 從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換 周期信號 可以分解為傅里葉級數(shù)，有 ( )

39、 T x t 0 0 ( )() jnt T n xtX ne 其中 0 /2 0 /2 1 ()( ) T jnt T T X nx t edt T 將其代入上式，得到 00 00 /2 /2 /2 0 /2 1 ( )( ) ( ) 2 T jntjnt TT T n T jntjnt T T n xtxt edt e T xt edt e 當(dāng) 時， T X 1.3.1 從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換 0 (1)2 /Td ，即相鄰的兩根譜線間隔趨于無窮?。?0 (2) n ，即離散變量趨于連續(xù)變量； (3) ，即求和趨于積分。 則： 1 ( )( ) 2 j tj t x tx t edt e

40、d ()( ) j t X jx t edt ，稱為非周期信號的頻譜密 度函數(shù)。 X 1.3.1 從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換 頻譜密度函數(shù) 是連續(xù)頻率變量 的復(fù)函數(shù)，即 模 稱為幅度頻譜，幅角 稱為相位頻譜。 ( )X j () () |()| j X jX je |()|X j () X 1.3.1 從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換 傅里葉變換對 ()( ) 1 ( )() 2 j t j t X jx t edt x tX jed X 1.3.1 從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換 非周期信號x(t)存在傅里葉變換的條件：滿 足狄利克雷（Dirichlet）條件。 條件條件3:3:在一周期內(nèi)，信號絕對可積。在

41、一周期內(nèi)，信號絕對可積。 條件條件2 2：在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有 限個。限個。 條件條件1 1：在一周期內(nèi)，如果有間斷點存在，則間斷點的在一周期內(nèi)，如果有間斷點存在，則間斷點的 數(shù)目應(yīng)是有限個。數(shù)目應(yīng)是有限個。 X 1.3.1 從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換 小結(jié)： ( ) T x t：周期信號：周期信號非周期信號非周期信號 0 j 2 0 2 1 ()( )ed T nt TT F nx tt T 譜系數(shù) 連續(xù)譜，幅度無限小。連續(xù)譜，幅度無限小。離散譜離散譜 T 0 2 /T 譜線間隔 ( )x t d X 例1.3.1 求矩形脈沖信號的頻譜密

42、度， 并繪制出幅度頻譜和相位頻譜 E O f t t 22 解：由矩形脈沖信號圖， , 22 0, ( ) Et f t 其它 根據(jù)信號密度的定義是得 j 2 2 ed t FEt j 2 2 e j t E jj 22 ee . 2 j 2 E sin 2 2 E 2 Sa E X 例1.3.1 2 Sa EF幅度頻譜：幅度頻譜： 相位頻譜：相位頻譜： 2 21 4 0 0,1,2, 2 21 2 22 nn n nn X 21 f BB 或 例1.3.1 頻譜圖 Sa 2 FE 幅度頻譜幅度頻譜 相位頻譜相位頻譜 頻寬：頻寬： F E 2O42 204 2 F E 2O4 2 X 意義 傅

43、里葉變換具有惟一性。傅氏變換的性質(zhì)揭示了傅里葉變換具有惟一性。傅氏變換的性質(zhì)揭示了 信號的時域特性和頻域特性之間的確定的內(nèi)在聯(lián)系。信號的時域特性和頻域特性之間的確定的內(nèi)在聯(lián)系。 討論傅里葉變換的性質(zhì)，目的在于：討論傅里葉變換的性質(zhì)，目的在于： 了解特性的內(nèi)在聯(lián)系；了解特性的內(nèi)在聯(lián)系； 用性質(zhì)求用性質(zhì)求x( )； 1.3.2 傅里葉變換的性質(zhì) X 1奇偶虛實性 (1) 偶信號的頻譜為偶函數(shù)，奇信號的頻譜為奇函數(shù) (2) 實信號的頻譜是共軛對稱函數(shù)，即其幅度頻譜和實部為 偶函數(shù)，相位頻譜和虛部位奇函數(shù) X 2線性性質(zhì) 1122 ( )(),( )()x tXjx tXj若 1 122112212

44、( )( )( )( ),c x tc x tc Xc Xc c 則為常數(shù) tu 上述性質(zhì)說明，傅里葉變換時一種具有齊次性和疊加性的線 性運算，即 （1）若信號增加a倍，頻譜也相應(yīng)增大a倍； （2）多個信號相加的頻譜等于各單獨信號頻譜的疊加。 X ( )()tX j若x2jtx則X 2x( )t 則X 3對偶性 1 1性質(zhì)性質(zhì) 2 2 意義意義 ( )( ) X tXt 若形狀與相同， ( ) , 2 tx tt 則X的頻譜函數(shù)形狀與形狀相同， 幅度差。 x t若為偶函數(shù) X 例1 1 t 即 1 ,t 21 tF 2 jt 則 2 sgn( ), j Ft 已知 例2 2sgn() )sgn

45、(j 相移全通相移全通 網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò) X 4時移特性 ( )()tX j若x 0 ,t且 為常數(shù)，則 0 0 ()() j t x ttX je 上式表明，時域的時移對應(yīng)頻域的相移。 X 5頻移特性 ( )()tX j若x 0 ,且為常數(shù)，則 0 0 0 ( )( () jt x t eX j 上式表明，信號頻譜沿頻率軸左移或右移 ，則 在時域上，信號乘 或 。 0 0 0 jt e 0 0 jt e 頻移特性又稱為調(diào)制特性，在實際應(yīng)用中，通常將信號x(t) 乘正弦或者余弦信號，則在時域上用x(t)（調(diào)制信號）改變 正弦或余弦（載波信號）的幅度，形成調(diào)幅信號，而在頻 域上使 產(chǎn)生左右平移。 ()X

46、 j X 例1-3-3 已知矩形調(diào)幅信號已知矩形調(diào)幅信號 , cos 0t tGtf 試求其頻譜函數(shù)。試求其頻譜函數(shù)。脈寬為脈寬為 ，為為為矩形脈沖，脈沖幅度為矩形脈沖，脈沖幅度其中其中 , EtG 為為的的頻頻譜譜已已知知矩矩形形脈脈沖沖 GtG 2 Sa EG 解：解： 因為因為 tt tGtf 00 jj ee 2 1 為為頻頻譜譜根根據(jù)據(jù)頻頻移移性性質(zhì)質(zhì)， Ftf 00 2 1 2 1 GGF t tf o 2 2 E (a)矩形調(diào)幅信號的波形(a)矩形調(diào)幅信號的波形 X 頻譜圖 2 Sa 22 Sa 2 2 1 2 1 00 00 EE GGF 0 二二，向向左左、右右各各平平移移將

47、將包包絡(luò)絡(luò)線線的的頻頻譜譜一一分分為為 2 0 0 O 0 2 E F (b)矩形調(diào)幅信號的頻譜(b)矩形調(diào)幅信號的頻譜 X 6尺度變換性質(zhì) 意義意義 1 ( )( ),x tXx atXa aa 若則為非零函數(shù) (1) 0a1 時域壓縮，頻域擴展時域壓縮，頻域擴展a倍。倍。 X 7卷積定理 1122 (),()x tXjxtXj若 1212 xtxtXjXj 則 1212 1 x 2 txtXjXj 則 倍。倍。各頻譜函數(shù)卷積的各頻譜函數(shù)卷積的時間函數(shù)的乘積時間函數(shù)的乘積21 時域卷積定理時域卷積定理 時域卷積對應(yīng)頻域頻譜密度函數(shù)乘積。時域卷積對應(yīng)頻域頻譜密度函數(shù)乘積。 頻域卷積定理頻域卷積

48、定理 卷積定理揭示了卷積定理揭示了時間域時間域與與頻率域頻率域的運算關(guān)系，在通信的運算關(guān)系，在通信 系統(tǒng)和信號處理研究領(lǐng)域中得到大量應(yīng)用。系統(tǒng)和信號處理研究領(lǐng)域中得到大量應(yīng)用。 1122 (),()x tXjxtXj若 X 例1.3.3 111 ( )Sa 2 f tEf tftft F 已知，求的 頻譜密度函數(shù)。 222 11 Sa 2 Ff tFFE t 1( ) f t O 2 2 E 1 F E 2 04 2 o F 22 E 2 2 t 11 ftft 2 E O X X 8微分特性 ( )( )( )j( )x tXtX ，則x ( ) j() n n xtX一般情況下 ( )(

49、),x tX若 d j( ) d X tx t d j( ) d n n n X tx t 推廣推廣 （1）時域微分特性 （2）頻域微分特性 X 9時域積分性質(zhì) x tX若，則 00d j tX xx 時， 00dX 0 j tX Xx 時， X 時域積分性質(zhì)證明 j ded t t ft j ded t fu tt 變上限積分用帶時移的變上限積分用帶時移的 單位階躍的無限積分表單位階躍的無限積分表 示，成為示，成為 f tu t j edd t fu tt 交換積分順序交換積分順序 ， 即先求時移的單位階躍即先求時移的單位階躍 信號的傅里葉變換信號的傅里葉變換 t先 后 j 1 ed j f

50、 對積分變量而言為 常數(shù)，移到積分外 續(xù)續(xù) j 1 ed j f X j 1 ed j f 1 j F 1 j FF 0 j F F 則第一項為零則第一項為零如果如果,00 F 1 d0 jj tF fFF j 1 Ftutf 續(xù)續(xù) X 1.4 連續(xù)時間信號的復(fù)頻域分析 傅里葉變換要求信號應(yīng)滿足狄利克雷 （Dirichlet）條件，即描述信號的函數(shù)x(t) 在 上有定義，且絕對可積。 但一些重要的信號并不滿足這個條件，如： 指數(shù)增長型信號 、功率非周期信號等， 難以用傅里葉分析法對它們進行分析。 于是，將傅里葉分析從頻域推廣到復(fù)頻域， 構(gòu)造一種新變換，即拉普拉斯變換。 (,) (0) at e

51、a X 1從傅里葉變換到拉普拉斯變換 1 ( ) e t FFf t j ( )eed tt f tt : , )(e ),( 依傅氏變換定義依傅氏變換定義絕對可積條件絕對可積條件 后容易滿足后容易滿足為任意實數(shù)為任意實數(shù)乘以衰減因子乘以衰減因子信號信號 t tf 稱為復(fù)頻率。稱為復(fù)頻率。具有頻率的量綱具有頻率的量綱令令 , , j:s )j( F ttfsF ts de 則則 1拉普拉斯正變換 (j) ( ) ed t f tt X 2拉氏逆變換 j 1 eed 2 tt f tFj j 1 jed 2 t f tF j j : s對對積積分分限限：對對 je的傅里葉逆變換的傅里葉逆變換是是

52、對于對于 Ftf t t e 以以兩兩邊邊同同乘乘 jdd ; j: ss則則取常數(shù)，取常數(shù)，若若其中其中 j j 1 e d 2 j s t f tF ss ttfsFttfF tst dedej j 所所以以 X 3拉氏變換對 起因信號：起因信號：考慮到實際信號都是有考慮到實際信號都是有 j 1 j ed 1 e d 2 j s t s t F sL f tf tt f tLf tF ss 正變換 逆變換 sFtf:記記作作 ,0 相相應(yīng)應(yīng)的的單單邊邊拉拉氏氏變變換換為為系系統(tǒng)統(tǒng)采采用用 0 j 1 j ed 1 e d 2j s t s t F sL f tf tt f tLf tF s

53、s 稱稱為為象象函函數(shù)數(shù)。稱稱為為原原函函數(shù)數(shù)，sFtf j 0 ed t F f tt 所所以以 X 2拉氏變換的收斂 0 0e)(limtf t t 收斂域：收斂域：使使F(s)存在的存在的s的區(qū)域稱為收斂域。的區(qū)域稱為收斂域。 記為：記為：ROC(region of convergence) 實際上就是拉氏變換存在的條件；實際上就是拉氏變換存在的條件； O j 0 收斂坐標(biāo) 收斂軸 收斂區(qū) X 例1.4.1 討論下列雙邊信號的拉普拉斯變換及其收 斂域 (1) (2) | | ( ) t x te 解: (1)由雙邊拉普拉斯變換的定義得 0 | | 0 (1)0(1) 0 ( ) 11 | 11 tsttsttst stst X seedte edte edt ee ss | | ( ) t x te 式中第一項積分的收斂域為 ，第二項積分的收 斂域為 ，則整個積分的收斂域是