2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第7章 三角函數(shù) 7.1 7.1.1 任意角學(xué)案 蘇教版必修第一冊(cè)

1、2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第7章 三角函數(shù) 7.1 7.1.1 任意角學(xué)案 蘇教版必修第一冊(cè)2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第7章 三角函數(shù) 7.1 7.1.1 任意角學(xué)案 蘇教版必修第一冊(cè)年級(jí)：姓名：7.1角與弧度7.1.1任意角學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1了解任意角的概念，了解兩角的和、互為相反角和兩角的差的概念2理解象限角的概念及終邊相同的角的含義(重點(diǎn))3掌握判斷象限角及表示終邊相同的角的方法(難點(diǎn))1通過終邊相同角的計(jì)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)2借助任意角的終邊位置的確定，提升邏輯推理素養(yǎng).初中對(duì)角的定義是：射線oa繞端點(diǎn)o按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周回到起始位置，在這個(gè)過程中可以得到03

2、60范圍內(nèi)的角但是現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見超出0360范圍的角例如體操中有“前空翻轉(zhuǎn)體540”，主動(dòng)輪和被動(dòng)輪的旋轉(zhuǎn)方向不一致，如何定義角才能解決這些問題呢？知識(shí)點(diǎn)1任意角的概念(1)角的概念：一個(gè)角可以看作平面內(nèi)一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形射線的端點(diǎn)稱為角的頂點(diǎn)，射線旋轉(zhuǎn)的開始位置和終止位置稱為角的始邊和終邊(2)角的分類：按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為如下三類：類型定義圖示正角按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角負(fù)角按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角零角一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，稱它形成了一個(gè)零角1.如果一個(gè)角的始邊與終邊重合，那么這個(gè)角一定是零角嗎？提示不一定，若角的終邊未作旋轉(zhuǎn)，則這個(gè)角是零

3、角若角的終邊作了旋轉(zhuǎn)，則這個(gè)角就不是零角(3)兩角的和、互為相反角、兩角的差：對(duì)于兩個(gè)任意角，將角的終邊旋轉(zhuǎn)角(當(dāng)是正角時(shí)，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)；當(dāng)是負(fù)角時(shí)，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)；當(dāng)是零角時(shí)，不旋轉(zhuǎn))，這時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角稱為與的和，記作.射線oa繞端點(diǎn)o分別按逆時(shí)針方向、順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角稱為互為相反角角的相反角記為，于是有()1.如圖，角_，_.240120是按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的，為240，是按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的，為120.知識(shí)點(diǎn)2象限角與軸線角(1)象限角：以角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系這樣，角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角(2)軸

4、線角：終邊在坐標(biāo)軸上的角2.思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)180是第二象限角()(2)30是第四象限角()(3)第一象限內(nèi)的角都小于第二象限內(nèi)的角()提示(1)180是軸線角(3)如375120，而375和120分別是第一、二象限內(nèi)的角答案(1)(2)(3)知識(shí)點(diǎn)3終邊相同的角與角終邊相同的角的集合為|k360，kz2.終邊相同的角一定相等嗎？其表示法唯一嗎？提示終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同終邊相同的角的表示方法不唯一3.與215角終邊相同的角的集合可表示為_|k360215，kz由終邊相同的角的表示可知與215角終邊相同的角的集合是|k360215，kz 類型

5、1角的概念辨析【例1】(1)給出下列說法：銳角都是第一象限角；第一象限角一定不是負(fù)角；小于180的角是鈍角、直角或銳角；始邊和終邊重合的角是零角其中正確說法的序號(hào)為_(把正確說法的序號(hào)都寫上)(2)已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，作出下列各角，并指出它們是第幾象限角420.855.510.(1)銳角是大于0且小于90的角，終邊落在第一象限，是第一象限角，所以正確；350角是第一象限角，但它是負(fù)角，所以錯(cuò)誤；0角是小于180的角，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，所以錯(cuò)誤；360角的始邊與終邊重合，但它不是零角，所以錯(cuò)誤(2)解作出各角的終邊，如圖所示：由圖可知：420是第

6、一象限角855是第二象限角510是第三象限角1理解角的概念的關(guān)鍵與技巧(1)關(guān)鍵：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念(2)技巧：判斷命題為真需要證明，而判斷命題為假只要舉出反例即可2象限角的判定方法(1)在坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的角，觀察終邊的位置，確定象限(2)第一步，將寫成k360(kz,0360)的形式；第二步，判斷的終邊所在的象限；第三步，根據(jù)的終邊所在的象限，即可確定的終邊所在的象限提醒：理解任意角這一概念時(shí)，要注意“旋轉(zhuǎn)方向”決定角的“正負(fù)”，“旋轉(zhuǎn)幅度”決定角的“絕對(duì)值大小”跟進(jìn)訓(xùn)練1時(shí)鐘走了3小時(shí)20分，則時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)過的角的度數(shù)為_，分針轉(zhuǎn)過的角的度數(shù)為_1001 20

7、0時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30，分針每小時(shí)轉(zhuǎn)360，由于旋轉(zhuǎn)方向均為順時(shí)針方向，故轉(zhuǎn)過的角度均為負(fù)值，又3小時(shí)20分等于小時(shí)，故時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為30100；分針轉(zhuǎn)過的角度為3601 200. 類型2終邊相同的角與象限角【例2】已知1 910.(1)把寫成k360(kz,0360)的形式，并指出它是第幾象限角；(2)求，使與的終邊相同，且7200；(3)若與終邊相同的最大負(fù)角、最小正角分別為1，2，求12.思路點(diǎn)撥(1)把寫成k360(kz,0360)的形式后，判斷所在的象限即可(2)將寫成k360(kz,0360)的形式，用觀察法驗(yàn)證k的不同取值即可解(1)法一：1 9106360250，1 910角與2

8、50角終邊相同，6360250，它是第三象限角法二：設(shè)k360(kz)，則1 910k360(kz)令1 910k3600，解得k5.k的最大整數(shù)解為k6，相應(yīng)的250，于是2506360，它是第三象限角(2)由(1)知令250k360(kz)，取k1，2就得到符合7200的角：250360110，250720470.故110或470.(3)因?yàn)榕c終邊相同的角為k360250 (kz)所以取k1,0得與終邊相同的最大負(fù)角為1110，最小正角為2250，所以12140.1把任意角化為k360(kz且0360)的形式，關(guān)鍵是確定k，可以用觀察法(的絕對(duì)值較小)，也可用除法2要求適合某種條件且與已知

9、角終邊相同的角時(shí)，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構(gòu)建不等式求出k的值3終邊相同的角常用的三個(gè)結(jié)論(1)終邊相同的角之間相差360的整數(shù)倍(2)終邊在同一直線上的角之間相差180的整數(shù)倍(3)終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90的整數(shù)倍提醒：kz，即k為整數(shù)這一條件不可少跟進(jìn)訓(xùn)練2在0360范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角(1)150；(2)650；(3)95015.解(1)因?yàn)?50360210，所以在0360范圍內(nèi)，與150角終邊相同的角是210角，它是第三象限角(2)因?yàn)?50360290，所以在0360范圍內(nèi)，與650角終邊相同的角是

10、290角，它是第四象限角(3)因?yàn)?5015336012945，所以在0360范圍內(nèi)，與95015角終邊相同的角是12945角，它是第二象限角3在與10 030角終邊相同的角中，求滿足下列條件的角(1)最大的負(fù)角；(2)360720內(nèi)的角解與10 030角終邊相同的角的一般形式為10 030k360(kz)(1)由10 030k3600.得k36010 030，所以k，又kz，故所求的最大負(fù)角為50.(2)由36010 030k360720，得10 390k3609 310，又kz，解得k28，27，26.當(dāng)k28時(shí)，10 0302836050，當(dāng)k27時(shí)，10 03027360310，當(dāng)k2

11、6時(shí)，10 03026360670，故所求的角的值為50，310，670. 類型3區(qū)域角的表示【例3】已知，如圖所示分別寫出終邊落在oa，ob位置上的角的集合；寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合解終邊落在oa位置上的角的集合為|9045k360，kz|135k360，kz；終邊落在ob位置上的角的集合為|30k360，kz由題干圖可知，陰影部分(包括邊界)的角的集合是由所有介于30，135之間的與之終邊相同的角組成的集合，故該區(qū)域可表示為|30k360135k360，kz1.(變條件)若將本例改為如圖所示的圖形，那么終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合如何表示？解在0360范圍內(nèi)，終

12、邊落在陰影部分(包括邊界)的角為60105與240285，所以所有滿足題意的角為|k36060k360105，kz|k360240k360285，kz|2k180602k180105，kz|(2k1)18060(2k1)180105，kz|n18060n180105，nz故角的取值集合為|n18060n180105，nz2.(變條件)若將本例改為如圖所示的圖形，那么陰影部分(包括邊界)表示的終邊相同的角的集合如何表示？解在0360范圍內(nèi)，陰影部分(包括邊界)表示的范圍可表示為：150225，則所有滿足條件的角為|k360150k360225，kz表示區(qū)間角的三個(gè)步驟第一步：先按逆時(shí)針的方向找到

13、區(qū)域的起始和終止邊界；第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的360360范圍內(nèi)的角和，寫出最簡(jiǎn)區(qū)間x|x，其中360；第三步：起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角，再加上360的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合跟進(jìn)訓(xùn)練4寫出終邊落在如圖所示陰影部分的角的集合解法一：設(shè)終邊落在陰影部分的角為，角的集合由兩部分組成：|k36030k360105，kz|k360210k360285，kz，角的集合應(yīng)當(dāng)是集合與的并集：|k36030k360105，kz|k360210k360285，kz|2k180302k180105，kz|(2k1)18030(2k1)180105，kz|2k180302k180105或(2k1)1

14、8030(2k1)180105，kz|n18030n180105，nz法二：與30角終邊在同一條直線上的角的集合為|k18030，kz與18075105角終邊在同一條直線上的角的集合為|k180105，kz，結(jié)合圖形可知，陰影部分的角的集合為|k18030k180105，kz 類型4角，n(nn*)所在象限的確定【例4】已知是第二象限角，求角所在的象限解法一：是第二象限角，k36090k360180(kz)3604536090(kz)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，令k2n(nz)，得n36045n36090，這表明是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，令k2n1(nz)，得n360225n360270，這表明是第三象限

15、角為第一或第三象限角法二：如圖，先將各象限分成2等份，再從x軸正向的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則標(biāo)有二的區(qū)域即為的終邊所在的區(qū)域，故為第一或第三象限角在本例條件下，求角2的終邊的位置解是第二象限角，k36090k360180(kz)k7201802k720360(kz)角2的終邊在第三或第四象限或在y軸的非正半軸上倍角、分角所在象限的判定思路(1)已知角終邊所在的象限，確定n終邊所在的象限，可依據(jù)角的范圍求出n的范圍，再直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可注意不要漏掉n的終邊在坐標(biāo)軸上的情況(2)已知角終邊所在的象限，確定終邊所在的象限，分類討論法要對(duì)k的取值分以下幾種情況進(jìn)行討論：k被n

16、整除；k被n除余1；k被n除余2，k被n除余n1.然后方可下結(jié)論幾何法依據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，簡(jiǎn)單直觀跟進(jìn)訓(xùn)練5已知與330角的終邊相同，判斷是第幾象限角解由k360330(kz)，可得k120110 (kz)若k 3n(nz)，則n360110(nz)，與110角的終邊相同，是第二象限角；若k3n1(nz)，則n360230(nz)，與230角的終邊相同，是第三象限角若k3n2(nz)，則n360350(nz)，與350角的終邊相同，是第四象限角所以是第二或第三或第四象限角1(多選題)以下說法，其中正確的有()a75是第四象限角b265是第三象限角c475是第二象限角 d315是第一象限角abcd由終邊相同角的概念知：a、b、c、d都正確2與45角終邊相同的角是()a45b225c395d315d因?yàn)?5315360，所以與45角終邊相同的角是315.330角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，把終邊按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)2周，所得角是_690由題意知，所得角是302360690.4已知990630，且角與120角的終邊相同，則_.960角與120角的終邊相同，k360120，kz.又990630，990k360