函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)

1、1 9-5 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù) 2 定理定理 若冪級(jí)數(shù)若冪級(jí)數(shù) n n nx a 0 的收斂半徑的收斂半徑 ,0R )(xS數(shù) 則其和函則其和函 在收斂域上在收斂域上連續(xù)連續(xù)； 且在收斂區(qū)間內(nèi)可且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo)與與 逐項(xiàng)求積分逐項(xiàng)求積分, 運(yùn)算前后收斂半徑相同，運(yùn)算前后收斂半徑相同，即即 0 0 lim n n xx n a x 0 0 lim() n n xx n a x x 收斂域收斂域 0 ( ) n n n S xa x (,)xR R (,)xR R 0 () n n n a x 0 () n n n a x 0 0 ()d x n n n a xx 0

2、 0 ()d x n n n a xx 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 3 求部分和式的極限求部分和式的極限 二、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法二、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法 求和求和 逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分法逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分法 逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分 0 () n n n a x * ( )Sx 對(duì)和式積分或求導(dǎo)對(duì)和式積分或求導(dǎo) )(xS 難難 （在收斂區(qū)間內(nèi)）（在收斂區(qū)間內(nèi)） n n nx a 0 4 第五節(jié) 本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容: 一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù) 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù) 第九章 展開方法展開方法 直接展開法直接展開法 間接展開法間接展開法 5 則稱函數(shù)在該區(qū)間

3、內(nèi)能展開成冪級(jí)數(shù)則稱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級(jí)數(shù) 給定函數(shù)給定函數(shù) ( ),f x 如果能找到一個(gè)冪級(jí)數(shù)，使得如果能找到一個(gè)冪級(jí)數(shù)，使得 函數(shù)能展開成冪級(jí)數(shù)的定義函數(shù)能展開成冪級(jí)數(shù)的定義: 它在某區(qū)間內(nèi)收斂，且其和恰好就是給定的函數(shù)它在某區(qū)間內(nèi)收斂，且其和恰好就是給定的函數(shù) ( ),f x )(xf 0 n n n a x 例如例如: x e 23 11 1, 2!3! xxxx ln(1)x 23 , 11 23 xx xx 6 則稱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級(jí)數(shù)則稱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級(jí)數(shù) 給定函數(shù)給定函數(shù) ( ),f x 如果能找到一個(gè)冪級(jí)數(shù)，使得如果能找到一個(gè)冪級(jí)數(shù)，使得 函數(shù)能展開

4、成冪級(jí)數(shù)的定義函數(shù)能展開成冪級(jí)數(shù)的定義: 它在某區(qū)間內(nèi)收斂，且其和恰好就是給定的函數(shù)它在某區(qū)間內(nèi)收斂，且其和恰好就是給定的函數(shù) ( ),f x )(xf 0 n n n a x 問(wèn)題問(wèn)題: 1.如果能展開如果能展開, 是什么是什么? n a 2.展開式是否唯一展開式是否唯一? 3.在什么條件下才能展開成冪級(jí)數(shù)在什么條件下才能展開成冪級(jí)數(shù)? 7 則稱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級(jí)數(shù)則稱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級(jí)數(shù) 給定函數(shù)給定函數(shù) ( ),f x 如果能找到一個(gè)冪級(jí)數(shù)，使得如果能找到一個(gè)冪級(jí)數(shù)，使得 函數(shù)能展開成冪級(jí)數(shù)的定義函數(shù)能展開成冪級(jí)數(shù)的定義: 它在某區(qū)間內(nèi)收斂，且其和恰好就是給定的函數(shù)它在某

5、區(qū)間內(nèi)收斂，且其和恰好就是給定的函數(shù) ( ),f x )(xf 0 n n n a x 例如例如: x e 23 11 1, 2!3! xxxx x e 23 111 1( ) 2!3! n n xxxxRx n 無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù) 有限形式有限形式 表示函數(shù)表示函數(shù) 8 一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) )()( 0 xfxf)( 00 xxxf 2 0 0 )( !2 )( xx xf n n xx n xf )( ! )( 0 0 )( )(xRn 其中其中 )(xRn( 在在 x 與與 x0 之間之間) 稱為稱為拉格朗日余項(xiàng)拉格朗日余項(xiàng) . 1 0 ) 1( )( ! )

6、 1( )( n n xx n f 則在則在 若函數(shù)若函數(shù) 0 )(xxf在 的某鄰域內(nèi)具有的某鄰域內(nèi)具有 n + 1 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù), 此式稱為此式稱為 f (x) 的的 n 階泰勒公式階泰勒公式 , 該鄰域內(nèi)有該鄰域內(nèi)有 : 9 )( 0 xf)( 00 xxxf 2 0 0 )( !2 )( xx xf n n xx n xf )( ! )( 0 0 )( 為為f (x) 的的泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù) . 則稱則稱 待解決的問(wèn)題待解決的問(wèn)題 : 若函數(shù)若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有的某鄰域內(nèi)具有任意階任意階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù), 0 )(xxf在 當(dāng)當(dāng)x0 = 0 時(shí)時(shí), 泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù) 又稱為又稱為麥克勞林級(jí)數(shù)麥克

7、勞林級(jí)數(shù) . 0 )( ! )0( n n n x n f ( ) 0 0 0 ( )( ) ! n n n fx x x n )(xf n n n xx n xf )( ! )( 0 0 0 )( )(xf ( ) 0 0 0 ()( )( ) ! n n n n n fx xxR x n 10 定理定理1 . 各階導(dǎo)數(shù)各階導(dǎo)數(shù), )( 0 x 則則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的充要充要 條件條件是是 f (x) 的泰勒公式中的余項(xiàng)滿足的泰勒公式中的余項(xiàng)滿足:lim( )0. n n R x 證明證明: ( ) 0 0 0 () ( )() , ! n

8、 n n fx f xxx n )()()( 1 xRxSxf nn )(limxRn n )()(lim 1 xSxf n n ,0)( 0 xx ( ) 0 10 0 () ( )() ! k n k n k fx Sxxx k 令 )( 0 xx 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 的某一鄰域的某一鄰域 內(nèi)具有內(nèi)具有 11 定理定理2. 若若 f (x) 能展成能展成 x 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù), 則這種展開式是則這種展開式是 惟一惟一的的 , 且且 證證: 設(shè)設(shè) f (x) 所展成的冪級(jí)數(shù)為所展成的冪級(jí)數(shù)為 ),(,)( 2 210 RRxxaxaxaaxf n n 則則 ;2)( 1

9、 21 n nx naxaaxf)0( 1 fa ;) 1(!2)( 2 2 n nx annaxf)0( !2 1 2 fa ;!)( )( n n anxf)0( )( ! 1 n n n fa 顯然結(jié)論成立顯然結(jié)論成立 . )0( 0 fa ( ) 1 (0)(0,1,2,) ! n n afn n ， 12 0 0 1( )()n n n f xa xx ）用用可可構(gòu)構(gòu)造造， ( ) 0 0,1,2, 1 ()() ! n n afxn n 其其中中， ( ) 0 0 0 () 3( )()lim( )0 ! n n n n n fx f xxxRx n ）， 0 ()xx )(xf

10、0 n n n a x 問(wèn)題問(wèn)題: 1.如果能展開如果能展開, 是什么是什么? n a 2.展開式是否唯一展開式是否唯一? 3.在什么條件下才能展開成冪級(jí)數(shù)在什么條件下才能展開成冪級(jí)數(shù)? 13 二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù) 1. 直接展開法直接展開法 由泰勒級(jí)數(shù)理論可知, 展開成冪級(jí)數(shù)的步函數(shù))(xf 第一步第一步 第三步第三步 判別在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi)lim ( ) n n Rx 是否為 驟如下 : 展開方法展開方法 直接展開法直接展開法 利用泰勒公式利用泰勒公式 間接展開法間接展開法 利用已知其級(jí)數(shù)展開式的函數(shù)展開 利用已知其級(jí)數(shù)展開式的函數(shù)展開 0. ; ! )( 0

11、)( n xf a n n 第二步第二步 寫出泰勒級(jí)數(shù) , 并求出其收斂 半徑 R ; ( ) 0 0 0 () () ! n n n fx xx n lim( )0 n n R x 若若， ( ) 0 0 0 () ( )() . ! n n n fx f xxx n 14 例例1. 將函數(shù) x exf)(展開成 x 的冪級(jí)數(shù). 解解: ,)( )(xn exf), 1 ,0(1)0( )( nf n 1 其收斂半徑為 對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足 )(xRn e ! ) 1( n 1n x x e ! ) 1( 1 n x n 故 23 111 1, 2!3! xn exxxx n n

12、 Rlim ! 1 n ! ) 1( 1 n (,)x ( 在0與x 之間) x 2 !2 1 x 3 !3 1 x n x n! 1 故得級(jí)數(shù) ( )(0) ! n n f a n 0 1 ! n n x n ，0 )!1( lim 1 n x n n lim( )0. n n Rx 0 1 ,(,) ! xn n exx n 15 例例2. 將xxfsin)(展開成展開成 x 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù). 解解: )( )( xf n )0( )(n f 得級(jí)數(shù)得級(jí)數(shù): x )sin( 2 nx 其收斂半徑為 ,R對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足 )(xRn ) 1(sin( 2 n ! ) 1(

13、n 1n x ! ) 1( 1 n x n 21nk ),2, 1,0(k 3 !3 1 x 5 !5 1 x 21 1 (21)! ( 1)n n n x (,)x sin x n 0 2nk ( 1) , k ,0 3521 111 3!5!(21)! ( 1)n n n xxxx ( ) 0 (0) ! n n n f x n 21 0 1 (21)! sin( 1),(,) nn n n xxx 16 常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式（常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式（要求牢記！要求牢記?。?(3) ln(1)x 1 (1) 1x (4) x e (5) sin x (6) cos x 1 (2) 1 x

14、 23 0 1,( 1,1) n n xxxxx 23 0 1( 1),( 1,1) nn n xxxxx 2341 1 ( 1) ,( 1,1 234 n n n xxx xxx n 23 0 1 ! 1,(,) 2!3! n n n xx xxx 35 21 0 1 (21)! ( 1),(,) 3!5! nn n n xx xxx 24 2 0 1 (2 )! 1( 1),(,) 2!4! nn n n xx xx 17 2. 間接展開法間接展開法 函數(shù)函數(shù)已知展開式的新函數(shù)已知展開式的新函數(shù) 轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化 將所給函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)將所給函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù). 2 1 1x 例例1. 將函數(shù)將函數(shù)

15、展開成展開成 x 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù). 解解: 把把 x 換成換成 2 x 2 0 ( 1)n n n x (11).x , 得得 23 0 1 1 ( 1), 1 nn n xxxx x ( 1,1)x 2 1 1x 18 2 0 3 1 ,(,) ! 1 2!3! xn n exx x n x x x exf 2 )( x exxf 25 )( ),(,)2( ! 1 0 2 xx n e n n x n n x x n xex)2( ! 1 0 525 ， 5 0 ) 2( ! 1 nn n x n ),( x ( )2xf x ln2 ( ) x f xe 0 1 ( )( ln2) ,

16、(,) ! n n f xxx n 0 (ln2) ( ),(,) ! n n n f xxx n 19 )3)(2 ( 1 )( xx xf ， xx 3 1 2 1 1 1 x 1 2 111 22 x x ， 0 ) 2 ( 2 1 n n x 3 0 2 ( 1,1)1 n n xxxxx ， ) 2 , 2( x 65 1 )( 2 xx xf 3 1 1 3 1 3 1 x x ， 0 ) 3 ( 3 1 n n x ) 3 , 3( x )1 , 1( 2 x )1 , 1( 3 x )(xf 0 ) 2 ( 2 1 n n x 0 1 () 33 n n x ( 2,2);x

17、.) 3 1 2 1 ( 0 11 n n nn x 20 例例4. 將將sin x展成展成 4 x 解解: sinsin() 44 xx sincos()cossin() 4444 xx 1 cos()sin() 442 xx 1 2 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù). 2 0 1 (2 )! ( 1)() 4 nn n n x 21 0 1 (21)! ( 1)() 4 nn n n x 23 111 1 ()()() 42!43!42 xxx ()x 21 例例5處處展展開開成成泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在將將1 4 1 )( x x x xf 解解 ).1()1( )(n fx并求并求的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開成展

18、開成 )1(3 1 4 1 xx ) 3 1 1(3 1 x n n x ) 3 1 ( 3 1 0 31 x x x x x 4 1 )1( 4 1 1 1 0 3 )1( n n n x 31 x ! )1( )( n f n 于是于是. 3 ! )1( )( n n n f 故故, 3 1 n 0 1 3 )1( n n n x n n x 3 1 )1(的系數(shù)為的系數(shù)為 22 例例6. 將將在在x = 0處展為冪級(jí)數(shù)處展為冪級(jí)數(shù).)32ln()( 2 xxxf 解解:)1ln(2ln)1ln()( 2 3 xxxf )1ln(x )32)(1 ( 32 2 xx xx 1n n n x

19、 ) 11(x )1ln( 2 3 x n n n x n )( 2 3 ) 1( 1 1 )( 3 2 3 2 x 因此因此2ln)(xf 1n n n x n n n x n )( ) 1( 2 3 1 1 ln(1)x 1 1 ( 1) ,( 1,1 n n n xx n nn n x n )(1 1 2ln 2 3 1 )( 3 2 3 2 x 23 例例7. 將下列函數(shù)展開成將下列函數(shù)展開成 x 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù) 1 ( )arctan 1 x f x x 解解: ( )fx 2 1 1x 2 0 ( 1), nn n x ( 1,1)x ( )(0)f xf 2 0 0 ( 1)d x nn n xx 21 0 ( 1) 21 n n n x n x1 時(shí)時(shí), 此級(jí)數(shù)條件收斂此級(jí)數(shù)條件收斂, (0)