工程力學第16講 彎曲內(nèi)力：不寫方程直接畫內(nèi)力圖

1、10103 3 剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系及應(yīng)用剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系及應(yīng)用 一、一、 剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系 1、支反力： 2 ql FF BYAY L q FAYFBY 2、內(nèi)力方程 qxqlxF s 2 1 )()0(lx 2 2 1 2 1 )(qxqlxxM )0(lx 3 3、討論：、討論： )( 2 1)( xFqxql dx xdM s )( )( xqq dx xdFs x 對dx 段進行平衡分析，有： 0)(d)(d)()( 0 xFxFxxqxF Y sss )(dd)(xFxxq s dx x q(x) q(x) M(x)+d

2、M(x) Fs(x)+d Fs(x) Fs(x) M(x) dx A y xq x xFs d d 剪力圖上某點處的切線斜率剪力圖上某點處的切線斜率 等于該點處荷載集度的大小。等于該點處荷載集度的大小。 q(x) M(x)+d M(x) Fs(x)+d Fs(x) Fs(x) M(x) dx A y 0)(d)()()(d( 2 1 )d( , 0)( 2 xMxMxMxxqxxF Fm s iA )( d )(d xF x xM s 彎矩圖上某點處的切線斜率等于該點處剪力的大小。彎矩圖上某點處的切線斜率等于該點處剪力的大小。 )( d )(d 2 2 xq x xM xq x xFs d d

3、 )( d )(d xF x xM s )( d )(d 2 2 xq x xM 二、微分關(guān)系的應(yīng)用二、微分關(guān)系的應(yīng)用 2 2、分布力、分布力q(x)=q(x)=常數(shù)時常數(shù)時剪力圖為一條斜直線； 彎矩圖為一條二次曲線。 1 1、分布力、分布力q(x)=0q(x)=0時時剪力圖為一條水平線； 彎矩圖為一條斜直線。 Fs圖：圖： M圖：圖： （1 1）當分布力的方向向上時）當分布力的方向向上時剪力圖為斜向上的斜直線； 彎矩圖為上凹的二次曲線。 Fs圖：圖： M圖：圖： M(x) 4 4、集中力偶處、集中力偶處剪力圖無變化；彎矩圖有突變， 突變值的大小等于集中力偶的大小。 5 5、彎矩極值處、彎矩極

4、值處剪力為零的截面、集中力作用的截面、 集中力偶作用的截面。 3 3、集中力處、集中力處剪力圖有突變，突變值等于集中力的大?。?彎矩圖有折角。 （2 2）當分布力的方向向下時）當分布力的方向向下時剪力圖為斜向下的斜直線； 彎矩圖為下凹的二次曲線。 Fs圖：圖： M圖：圖： M(x) 外力外力 無分布荷載段均布載荷段集中力集中力偶 q=0 q0q0 Fs Fs0 x 斜直線 增函數(shù) x Fs x F s 降函數(shù) x Fs C Fs1 Fs2 Fs1Fs2=F 自左向右突變 x Fs C 無變化 斜直線 M x 增函數(shù) x M 降函數(shù) 曲線 x M 盆狀墳狀 x M 自左向右折角 自左向右突變 x

5、 M 折向與F同向 三、剪力、彎矩與分布力之間關(guān)系的應(yīng)用圖三、剪力、彎矩與分布力之間關(guān)系的應(yīng)用圖 M mMM 12 與 m 同 x M1 M2 例例 用簡易作圖法畫下列各圖示梁的內(nèi)力圖。 控制點控制點: :端點、分段點（外力變化點）和駐點（極值點）等端點、分段點（外力變化點）和駐點（極值點）等。 四、簡易法作內(nèi)力圖法（利用微分規(guī)律）四、簡易法作內(nèi)力圖法（利用微分規(guī)律）: : 利用內(nèi)力和外力的 關(guān)系及特殊點的內(nèi)力值來作圖的方法。 基本步驟基本步驟：1、外力圖； 2、剪力圖；集中力突變，無集中力處水平直 線、傾斜直線或曲線。 3、彎矩圖；集中力偶處突變，無集中力偶處 根據(jù)剪力圖積分一次來畫。 左端

6、點：剪力圖有突變，突變值左端點：剪力圖有突變，突變值 等于集中力的大小。等于集中力的大小。 右端點：彎矩圖有突變，突變值右端點：彎矩圖有突變，突變值 等于集中力的大小。等于集中力的大小。 qa2 2 2 3 qa qa x M aa qa q A 解解：1、確定支反力（可省略） 左側(cè)段左側(cè)段：剪力圖為一條水平線； 彎矩圖為一條斜直線 右側(cè)段右側(cè)段：剪力圖為斜向上的斜直線； 彎矩圖為上凹的二次曲線。 2、畫內(nèi)力圖 Fy m 2 2 3 ; 0qamF Y F s x Fs Fs(x) x 2kN 2kN 解解：1、支反力 )( 2);( 2 04321210 02120 kNFkNF FM FF

7、Y BYAY AYB BYAY 2、畫內(nèi)力圖 AC段段：剪力圖為一條水平線； 彎矩圖為一條斜直線 BD段段：剪力圖為斜向下的斜直線； 彎矩圖為下凹的二次曲線。 CD段段：剪力圖為零； 彎矩圖為一條水平線。 A、C、B 截面剪力圖有突變；截面剪力圖有突變； 突變值的大小為其集中力的值。突變值的大小為其集中力的值。 1kN/m A B C D 2kN 2m1m1m FAYFBY M(x) x 2kN、m 2kN、m 1m4m 10kN/m 20kN 40kN、m C B A 解解：1、支反力 FAYFBY ).(25);(35 044052024100 0410200 kNFkNF FM FFY

8、BYAY AYB BYAY 2、畫內(nèi)力圖 CA段段：剪力圖為一條水平線； 彎矩圖為一條斜直線 AB段段：剪力圖為斜向下的斜直線； 彎矩圖為下凹的二次曲線。 C、A、B 截面剪力圖有突變；截面剪力圖有突變； 大小為其集中力的值。大小為其集中力的值。A截面彎截面彎 矩圖有突變；大小為其集中力矩圖有突變；大小為其集中力 偶的值。偶的值。Q=0處處M有極值有極值 20 15 25 Fs(x) x （kN） M(x) x kNm 20 2.5m 31.25 20 解：求支反力 2 ; 2 qa F qa F DYAY 0; 2 M qa s F 左端點A： 2 2 1 ; 2 qaM qa s FB點左

9、： 2 2 1 ; 2 qaM qa s F B點右： 2 2 1 ; 2 qaM qa s F C點左： M 的駐點： 2 8 3 ; 0qaM s F 2 2 1 ; 2 qaM qa s FC點右： 0 ; 2 1 Mqa s F右端點D： Fs x qa/2 qa/2 qa/2 + qa2 qa AB C D x M 3qa2/8 q qa2/2 qa2/2 qa2/2 FAYFDY aaa 104 按疊加原理作彎矩圖按疊加原理作彎矩圖 二、疊加原理：二、疊加原理：多個載荷同時作用于結(jié)構(gòu)而引起的內(nèi)力等于每個 載荷單獨作用于結(jié)構(gòu)而引起的內(nèi)力的代數(shù)和。 一、前提條件一、前提條件：小變形、梁

10、的跨長改變忽略不計；所求參數(shù)（內(nèi) 力、應(yīng)力、位移）必然與荷載滿足線性關(guān)系。即 在彈性限度內(nèi)滿足虎克定律。 三、步驟：三、步驟：1、梁上的幾個荷載分解為單獨的荷載作用； 2、分別作出各項荷載單獨作用下梁的彎矩圖； 3、將其相應(yīng)的縱坐標疊加即可（注意：不是圖注意：不是圖 形的簡單拼湊）。形的簡單拼湊）。 例例 按疊加原理作彎矩圖(AB=L，力F作用在梁AB的中點處）。 q F AB F q =+ A A B B x M2 8 2 qL + x M84 2 qLFL = x M1 4 FL 四、對稱性與反對稱性的應(yīng)用：四、對稱性與反對稱性的應(yīng)用： 對稱結(jié)構(gòu)在對稱載荷作用下對稱結(jié)構(gòu)在對稱載荷作用下 F

11、s 圖反對稱，圖反對稱，M 圖對稱；圖對稱； 對稱結(jié)構(gòu)在反對稱載荷作用下對稱結(jié)構(gòu)在反對稱載荷作用下 Fs 圖對稱，圖對稱，M 圖反對稱。圖反對稱。 例例7 作下列圖示梁的內(nèi)力圖。 FL F FL LL LL LL 0.5F 0.5F 0.5F 0.5F F 0 Fs x Fs1 x Fs2 x 0.5F 0.5F 0.5F + F F 0.5F F LL 0.5F FL LL 0.5F 0.5F FL LL F 0 M2 x 0.5FL 0.5FL M1 x 0.5FL M x FL 例例 繪制下列圖示梁的彎矩圖。 2F aa F = 2F F + M1 x = 2Fa x M2 + 2Fa

12、x MFa q q = + + x M2 3qa2/2 x M1 = qa2/2 a a q q x M qa2 F L/2L/2 FL/2 x M FL/2 x M2 + FL/2 = FL/4 x M1 = + F FL/2 50kN aa 20kNm 20kNm = + 50kN 20kNm 20kNm x M2 + 50kNm = 20kNm x M1 M x 20kNm 30kNm 20kNm 105 平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖 一、平面剛架一、平面剛架 平面剛架：平面剛架：軸線由同一平面折線組成的剛架。軸線由同一平面折線組成的剛架。 特點：特點：剛架各桿的內(nèi)力有：

13、剛架各桿的內(nèi)力有：Fs、M、FN。 1、剛架：由剛性節(jié)點聯(lián)成的框架 2、節(jié)點：兩桿之間的交點。 3、剛性節(jié)點：兩桿之間聯(lián)接處的夾角不變的節(jié)點（聯(lián)接處不 能有轉(zhuǎn)動）。用填角表示，以與鉸支節(jié)點區(qū)別。 4、框架：由許多桿組成的，其軸線是由幾段折線組成的結(jié)構(gòu)。 二、平面剛架內(nèi)力圖規(guī)定二、平面剛架內(nèi)力圖規(guī)定： 彎矩圖彎矩圖：畫在各桿的受壓壓一側(cè)，不注明正、負號。 剪力圖及軸力圖剪力圖及軸力圖：可畫在剛架軸線的任一側(cè)（通常正 值畫 在剛架的外側(cè)），但須注明正、負號。 三、平面曲桿：三、平面曲桿：軸線為一條平面曲線的桿件。 四、平面曲桿內(nèi)力圖規(guī)定四、平面曲桿內(nèi)力圖規(guī)定： 彎矩圖彎矩圖：使軸線曲率增加的彎矩規(guī)

14、定為正值；反之為負值。 要求畫在曲桿軸線的法線方向，且在曲桿受壓壓的一側(cè)。 剪力圖及軸力圖剪力圖及軸力圖：與平面剛架相同。 例例 試作圖示剛架的內(nèi)力圖。 F1 F2 a l A B C FN 圖 F2+ Fs 圖 F1 + F1a M 圖 F1a+ F2 l F1 F1a 例例 已知：如圖所示，F(xiàn)及R 。試繪制Fs、M、FN 圖。 O FR q m m x 解解：建立極坐標，O為極點，OB 極軸，q表示截面mm的位置。 )(0 )cos1 ()cos()(qqqqFRRRFFxM )(0 cos)( 2 qqqFFFN )(0 sin)( 1 qqqFFFs A B F1 F F2 A B O

15、 M圖 O O + Fs圖 FN圖 2FR F F + q m m xO F R A B )(0 )cos1 ()cos()(qqqqFRRRFFxM )(0 cos)(qqqFFN )(0 sin)(qqqFFs F 例例 改內(nèi)力圖之錯。 a2aa q qa2 A B 4 7 ; 4 qa F qa F BYAY Fs x x M + qa/4qa/4 3qa/4 7qa/4 qa2/4 5qa2/4 3qa2/2 49qa2/32 FAyFBy 例例 已知 Fs 圖，求外荷載及M圖（梁上無集中力偶）。 Fs(kN) x 1m1m2m 2 3 1 5kN1kN q=2kN/m + + q=2

16、kN/m M(kNm) x 1 1 1.25 彎曲內(nèi)力小結(jié)彎曲內(nèi)力小結(jié) 一、一、彎曲的概念彎曲的概念： 受力特點受力特點作用于桿件上的外力都垂直于桿的軸線。 變形特點變形特點桿軸線由直線變?yōu)橐粭l平面的曲線。 二、平面彎曲的概念：二、平面彎曲的概念： 受力特點受力特點作用于桿件上的外力都垂直于桿的軸線，且都在 梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)（通過或平行形心主軸上且過 彎曲中心）。 變形特點變形特點桿的軸線在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)由直線變?yōu)橐粭l平 面曲線。 三、彎曲內(nèi)力的確定三、彎曲內(nèi)力的確定 1、內(nèi)力的正負規(guī)定內(nèi)力的正負規(guī)定: : （1 1）、截面法）、截面法截開；代替；平衡。 剪力剪力Fs: :在保留段內(nèi)任取一

17、點，如果剪力的方向?qū)ζ潼c之矩為 順時針的，則此剪力規(guī)定為正值，反之為負值。 彎矩彎矩M：使梁微段變成上凹下凸形狀的為正彎矩；反之為負值。 2、內(nèi)力的計算：、內(nèi)力的計算： 注意的問題注意的問題a a、在截開面上設(shè)正的內(nèi)力方向。、在截開面上設(shè)正的內(nèi)力方向。 b b、在截開前不能將外力平移或簡化。、在截開前不能將外力平移或簡化。 （2 2）、簡易法求內(nèi)力：）、簡易法求內(nèi)力： Fs=Fs=F Fi i（一側(cè)）（一側(cè)） ， M=M=m mi i。（一側(cè)）。（一側(cè)）。 左上右下剪力為正，左順右逆彎矩為正。左上右下剪力為正，左順右逆彎矩為正。 重點 四、剪力方程、彎矩方程四、剪力方程、彎矩方程： Fs=Fs

18、(xFs=Fs(x）剪力方程 M=M(x) M=M(x) 彎矩方程 注意注意：不能用一個函數(shù)表達的要分段，不能用一個函數(shù)表達的要分段， 分段點為集中力作用點、集中力偶作用點、分段點為集中力作用點、集中力偶作用點、 分布力的起點、終點。分布力的起點、終點。 五、五、 剪力、彎矩與分布荷載間的剪力、彎矩與分布荷載間的微分微分關(guān)系關(guān)系 xq x xFs d d )( d )(d xF x xM s )( d )(d 2 2 xq x xM 六、微分關(guān)系的應(yīng)用六、微分關(guān)系的應(yīng)用 1 1、分布力、分布力q(x)=0q(x)=0時時剪力圖為一條水平線； 彎矩圖為一條斜直線。 2 2、分布力、分布力q(x)

19、=q(x)=常數(shù)時常數(shù)時剪力圖為一條斜直線； 彎矩圖為一條二次曲線。 難點 重點 （1 1）當分布力的方向向上時）當分布力的方向向上時剪力圖為斜向上的斜直線； 彎矩圖為上凹的二次曲線。 3 3、集中力處、集中力處剪力圖有突變，突變值等于集中力的大小； 彎矩圖有折角。 （2 2）當分布力的方向向下時）當分布力的方向向下時剪力圖為斜向下的斜直線； 彎矩圖為下凹的二次曲線。 Fs圖：圖： M圖：圖： M(x) Fs圖：圖： M圖：圖： M(x) 七、剪力圖和彎矩圖：七、剪力圖和彎矩圖： 1、利用方程畫、利用方程畫剪力圖和彎矩剪力圖和彎矩圖圖 步驟：（1）、利用靜力方程確定支座反力。 （2）、根據(jù)荷載分段列出剪力方程、彎矩方程。 （3）、根據(jù)剪力方程、彎矩方程判斷剪力圖、彎矩圖的 形狀描點繪出剪力圖、彎矩圖。 （4）、確定最大的剪力值、彎矩值。 4 4、集中力偶處、集中力偶處剪力圖無變化；彎矩圖有突變， 突變值的大小等于集中力偶的大小。 5 5、彎矩極值處、彎矩極值處剪力為零的截面、集中力作用的截面、 集中力偶作用的截面。 控制點控制點: :端點、分段點（外力變化點）和駐點（極值點）等端點、分段點（外力變化點）和駐點（極值點）等。 2 2、簡易法作內(nèi)力圖（利用微分規(guī)律）、簡易法作內(nèi)力圖（利用微分規(guī)律） 基本步驟基本步驟：（1）、確