2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第九講 第1課時(shí) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系學(xué)案 新人教版

1、2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第九講 第1課時(shí) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系學(xué)案 新人教版2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第九講 第1課時(shí) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系學(xué)案 新人教版年級：姓名：第九講圓錐曲線的綜合問題第一課時(shí)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系知識梳理雙基自測知識點(diǎn)一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)從幾何角度看，可分為三類：無公共點(diǎn)，僅有一個(gè)公共 點(diǎn)及有兩個(gè)相異的公共點(diǎn)(2)從代數(shù)角度看，可通過將表示直線的方程代入二次曲線的方程消元后所得一元二次方程解的情況來判斷設(shè)直線l的方程為axbyc0，圓錐曲線方程f(x，y)0由消元，如消去y后得ax2bxc0，若a0，當(dāng)圓錐

2、曲線是雙曲線時(shí)，直線l與雙曲線的漸近線平行；當(dāng)圓錐曲線是拋物線時(shí)，直線l與拋物線的對稱軸平行(或重合)若a0，設(shè)b24ac當(dāng)_0時(shí)，直線和圓錐曲線相交于不同兩點(diǎn)；當(dāng)_0時(shí)，直線和圓錐曲線相切于一點(diǎn)；當(dāng)_0時(shí)，直線和圓錐曲線沒有公共點(diǎn)知識點(diǎn)二直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長問題(1)斜率為k(k不為0)的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)p1(x1，y1)、p2(x2，y2)，則所得弦長|p1p2|x1x2|或|p1p2|_|y1y2|_(2)當(dāng)斜率k不存在時(shí)，可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，直接運(yùn)算(利用兩點(diǎn)間距離公式)知識點(diǎn)三圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題遇到中點(diǎn)弦問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解在橢圓1(ab0)中，以p(

3、x0，y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k；在雙曲線1(a0，b0)中，以p(x0，y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k；在拋物線y22px(p0)中，以p(x0，y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k1判定直線與圓位置關(guān)系的關(guān)鍵是圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系2判定過定點(diǎn)的直線與橢圓的位置關(guān)系應(yīng)關(guān)注定點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系3判定過定點(diǎn)的直線與雙曲線的位置關(guān)系應(yīng)注意直線斜率與漸近線斜率的關(guān)系，過定點(diǎn)與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線可能與雙曲線相切，可能與漸近線平行4過定點(diǎn)與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線可能與拋物線相切，可能與對稱軸平行1(2021天津模擬)若雙曲線1(p0)的左焦點(diǎn)在拋物線y22px的準(zhǔn)線上，則p(

4、d)abc2d4解析因?yàn)殡p曲線1(p0)的左焦點(diǎn)為，拋物線y22px的準(zhǔn)線方程為x，所以，得p4，故選d2(2021寧夏模擬)直線l過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于a，b兩點(diǎn)，若線段ab的長是8，ab的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是2，則此拋物線的方程是(b)ay212xby28xcy26xdy24x解析設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，根據(jù)拋物線的定義可知|ab|(x1x2)p8又ab的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為2，2，x1x24，p4，所求拋物線的方程為y28x故選b3(2021安徽宣城調(diào)研)已知雙曲線c：1(a0，b0)的右焦點(diǎn)為f，若過點(diǎn)f且傾斜角為45的直線與雙曲線的右支有且只有一

5、個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線的離心率的取值范圍是(a)a，)b(，)c(2，)d(1，)解析雙曲線c：1(a0，b0)的右焦點(diǎn)為f，若過點(diǎn)f且傾斜角為45的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)則該直線的斜率的絕對值小于或等于漸近線的斜率，所以1，e22，e故選a4(2021貴陽市質(zhì)量監(jiān)測)已知拋物線x22py(p0)的焦點(diǎn)f是橢圓1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)，且該拋物線的準(zhǔn)線與橢圓相交于a，b兩點(diǎn)，若fab是正三角形，則橢圓的離心率為(c)abcd解析如圖，由|ab|，fab是正三角形，得2c，化簡可得(2a23b2)(2a2b2)0，所以2a23b20，所以，所以橢圓的離心率e故選c5(2019全國卷)已知拋

6、物線c：y23x的焦點(diǎn)為f，斜率為的直線l與c的交點(diǎn)為a，b，與x軸的交點(diǎn)為p(1)若|af|bf|4，求l的方程；(2)若3，求|ab|解析設(shè)直線l：yxt，a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)由題設(shè)得f，故|af|bf|x1x2又|af|bf|4，所以x1x2由可得9x212(t1)x4t20，則x1x2從而，得t所以l的方程為yx(2)由3可得y13y2由可得y22y2t0，所以y1y22，從而3y2y22，故y21，y13代入c的方程得x13，x2，即a(3,3)，b故|ab|考點(diǎn)突破互動探究考點(diǎn)一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系自主練透例1(1)(2021蘭州檢測)若直線mxny4和圓o

7、：x2y24沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)(m，n)的直線與橢圓1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為(b)a至多一個(gè)b2c1d0(2)(2021湖北武漢調(diào)研)已知不過原點(diǎn)o的直線交拋物線y22px于a，b兩點(diǎn)，若oa，ab的斜率分別為koa2，kab6，則ob的斜率為(d)a3b2c2d3(3)(2021遼寧沈陽二中月考)直線l：yk(x)與曲線x2y21(x0)相交于a，b兩點(diǎn)，則直線l傾斜角的取值范圍是(b)a0，)bcd解析(1)直線mxny4和圓o：x2y24沒有交點(diǎn)，2，m2n241m21，點(diǎn)(m，n)在橢圓1的內(nèi)部，過點(diǎn)(m，n)的直線與橢圓1的交點(diǎn)有2個(gè)，故選b(2)由題意可知，直線oa的方程為y2x，與拋物線方程

8、y22px聯(lián)立得得即a，則直線ab的方程為yp6，即y6x2p，與拋物線方程y22px聯(lián)立得得或所以b，所以直線ob的斜率為kob3故選d(3)直線l過定點(diǎn)(，0)，曲線x2y21(x0)的漸近線的傾斜角分別為，又直線的斜率存在，結(jié)合圖形可知選b名師點(diǎn)撥研究直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組的解的個(gè)數(shù)注意：(1)在沒有給出直線方程時(shí)，要對直線斜率不存在的情況進(jìn)行討論，避免漏解；(2)對于選擇題、填空題，常根據(jù)幾何條件，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解注：(1)研究直線與圓的位置關(guān)系，只需抓住圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系；(2)當(dāng)直線過定點(diǎn)時(shí)，注意定點(diǎn)與圓錐曲線的位

9、置關(guān)系；(3)注意“直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)”與“直線與拋物線相切”的區(qū)別考點(diǎn)二直線與圓錐曲線相交的弦的問題多維探究角度1弦長問題例2(2021河北質(zhì)檢)已知m(，0)，n(，0)，動點(diǎn)p滿足：直線pm與直線pn的斜率之積為常數(shù)設(shè)動點(diǎn)p的軌跡為曲線c(1)求曲線c的方程；(2)直線l與曲線c交于a，b兩點(diǎn)，線段ab的中垂線與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，0，求|ab|解析(1)設(shè)動點(diǎn)p(x，y)(x)，則kpm，kpn因?yàn)閗pmkpn，所以，即，即y21(x)，所以曲線c的方程為y21(x)(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)與題設(shè)矛盾，故直線l的斜率存在設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，l：ykx

10、t由得(2k21)x24ktx2t220所以x1x2，x1x28(2k2t21)02k2t210設(shè)a，b的中點(diǎn)為d(m，n)，則m，nkmt故線段ab的中垂線方程為yn(xm)當(dāng)x0時(shí)，yn，所以，化簡得12k22t因?yàn)?，得x1x2y1y20又y1y2(kx1t)(kx2t)k2x1x2kt(x1x2)t2，所以x1x2y1y2(k21)x1x2kt(x1x2)t2t20，化簡得2k223t2又12k22t，得t1或t(舍去)，所以k2所以|ab|名師點(diǎn)撥處理弦長問題的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)利用弦長公式求弦長要注意斜率k不存在的情形，若k不存在時(shí)，可直接求交點(diǎn)坐標(biāo)再求弦長(2)涉及焦點(diǎn)弦長時(shí)要注意

11、圓錐曲線定義的應(yīng)用變式訓(xùn)練1(2021四省八校質(zhì)檢)已知橢圓c：1(ab0)的左焦點(diǎn)為f(1,0)，且點(diǎn)在橢圓c上(1)求橢圓c的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)f的直線l與c相交于a，b兩點(diǎn)，直線m：x2，過f作垂直于l的直線與直線m交于點(diǎn)t，求的最小值和此時(shí)l的方程解析(1)由題意可得：，所以橢圓的方程為：y21(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l：x1，t(2,0)，a，b，此時(shí)，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：yk(x1)(k0)，且a(x1，y1)，b(x2，y2)，由(12k2)x24k2x2k220，則x1x2，x1x2，8(k21)0，所以|ab|x1x2|，由t，|tf|，所以(1k2k2，所以無

12、法取等號)所以的最小值為，此時(shí)l的方程為：x1角度2中點(diǎn)弦問題例3已知雙曲線1(a，b0)上的一點(diǎn)到雙曲線的左、右焦點(diǎn)的距離之差為4，若拋物線yax2上的兩點(diǎn)a(x1，y1)，b(x2，y2)關(guān)于直線yxm對稱，且x1x2，則m的值為(a)abc2d3解析由雙曲線的定義知2a4，得a2，所以拋物線的方程為y2x2因?yàn)辄c(diǎn)a(x1，y1)，b(x2，y2)在拋物線y2x2上，所以y12x，y22x，兩式相減得y1y22(x1x2)(x1x2)，不妨設(shè)x1x2，又a，b關(guān)于直線yxm對稱，所以1，故x1x2，而x1x2，解得x11，x2，設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)的中點(diǎn)為m(x0，y0)，

13、則x0，y0，因?yàn)橹悬c(diǎn)m在直線yxm上，所以m，解得m，選a名師點(diǎn)撥處理中點(diǎn)弦問題常用的求解方法變式訓(xùn)練2已知橢圓y21的左焦點(diǎn)為f，o為坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)過點(diǎn)f且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于a，b兩點(diǎn)，點(diǎn)a和點(diǎn)b關(guān)于直線l對稱，l與x軸交于點(diǎn)g，則點(diǎn)g橫坐標(biāo)的取值范圍是_解析設(shè)直線ab的方程為yk(x1)(k0)，代入y21，整理得(12k2)x24k2x2k220因?yàn)橹本€ab過橢圓的左焦點(diǎn)f且不垂直于x軸，所以方程有兩個(gè)不等實(shí)根設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab的中點(diǎn)n(x0，y0)，則x1x2，x0(x1x2)，y0k(x01)，因?yàn)辄c(diǎn)a和點(diǎn)b關(guān)于直線l對稱，所以直線l為ab的垂直平分線

14、，其方程為yy0(xx0)令y0，得xgx0ky0，因?yàn)閗0，所以xg0，即點(diǎn)g橫坐標(biāo)的取值范圍為故填角度3求直線的方程例4(2021廣東梅州質(zhì)檢)已知f為拋物線t：x24y的焦點(diǎn)，直線l：ykx2與t相交于a，b兩點(diǎn)(1)若k1，求|fa|fb|的值；(2)點(diǎn)c(3，2)，若cfacfb，求直線l的方程解析(1)由題意，可得f(0,1)，設(shè)a，b，聯(lián)立方程組，整理得x24kx80，則x1x24k，x1x28，又由|fa|fb|112顯然當(dāng)k1時(shí)，|fa|fb|10(2)由題意可知，(3，3)，由cfacfb，可得cos，cos，即，又|fa|1，|fb|1，|fc|3，整理得42(x1x2)

15、x1x20，即48k80，解得k，所以直線l的方程為3x2y40名師點(diǎn)撥設(shè)直線方程時(shí)一定要關(guān)注直線的斜率是否存在，若不能確定，應(yīng)分類求解，當(dāng)過點(diǎn)p(a，b)的直線不與x軸垂直時(shí)，可設(shè)其方程為yk(xa)b；當(dāng)過點(diǎn)p(a，b)的直線不與y軸垂直時(shí)，可設(shè)其方程為xm(yb)a變式訓(xùn)練3(2021廣西桂林、崇左模擬)橢圓m：1(ab0)的離心率e，過點(diǎn)a(a,0)和b(0，b)的直線與原點(diǎn)間的距離為(1)求橢圓m的方程；(2)過點(diǎn)e(1,0)的直線l與橢圓m交于c、d兩點(diǎn)，且點(diǎn)d位于第一象限，當(dāng)3時(shí)，求直線l的方程解析(1)據(jù)題知，直線ab的方程為bxayab0依題意得解得a22，b21，所以橢圓m

16、的方程為y21(2)設(shè)c(x1，y1)，d(x2，y2)(x20，y20)，設(shè)直線l的方程為xmy1(mr)代入橢圓方程整理得：(m22)y22my108m280，y1y2，y1y2由3，依題意可得：y13y2，結(jié)合得，消去y2解得m1，m1(不合題意)所以直線l的方程為yx1名師講壇素養(yǎng)提升“設(shè)而不求，整體代換”解決圓錐曲線問題例5(2021山西太原模擬)已知?jiǎng)狱c(diǎn)c到點(diǎn)f(1,0)的距離比到直線x2的距離小1，動點(diǎn)c的軌跡為e(1)求曲線e的方程；(2)若直線l：ykxm(km0)與曲線e相交于a，b兩個(gè)不同點(diǎn)，且5，證明：直線l經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)解析(1)由題意可得動點(diǎn)c到點(diǎn)f(1,0)的距離等

17、于到直線x1的距離，曲線e是以點(diǎn)(1,0)為焦點(diǎn)，直線x1為準(zhǔn)線的拋物線設(shè)其方程為y22px(p0)，1，p2，曲線e的方程為y24x(2)證明：設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得k2x2(2km4)xm20，x1x2，x1x2，(2km4)24m2k216(1km)05，x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m25，m24km5k20，mk或m5kkm0，則mk舍去，m5k，滿足16(1km)0，直線l的方程為yk(x5)，直線l必經(jīng)過定點(diǎn)(5,0)名師點(diǎn)撥對題目涉及的變量巧妙的引進(jìn)參數(shù)(如設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)、動直線方程等)，利用題目的條件和圓錐曲線方程組成二元二次方程組，再化為一元二次方程，從而利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行整體代換，達(dá)到“設(shè)而不求，減少計(jì)算”的效果變式訓(xùn)練4(2021福建龍巖質(zhì)檢)已知橢圓e的方程為y21，點(diǎn)a為長軸的右端點(diǎn)b，c為橢圓e上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)直線ab與直線ac的斜率kab和kac滿足：kab