北京市第四十三中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期1月月考試題

1、北京市第四十三中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期1月月考試題北京市第四十三中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期1月月考試題年級(jí)：姓名：19北京市第四十三中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期1月月考試題（含解析）本試卷共6頁，150分。考試時(shí)長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回。第一部分（選擇題 共40分）一、單選題1在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）abcd【答案】c【解析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出【詳解】解：復(fù)數(shù)i（2+i）2i1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2），故選：c【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于

2、基礎(chǔ)題2已知集合，則（ ）abcd【答案】c【解析】根據(jù)交集的定義可求得集合.【詳解】，因此，.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查交集的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3下列函數(shù)中，在區(qū)間上為減函數(shù)的是（ ）abcd【答案】c【解析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項(xiàng)中函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于a選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；對(duì)于b選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；對(duì)于c選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)；對(duì)于d選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性的判斷，熟悉一些常見的基本初等函數(shù)的單調(diào)性是判斷的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4函數(shù)的定義域?yàn)椋?）a或b或cd【答案】a

3、【解析】根據(jù)偶次根式被開方數(shù)非負(fù)可得出關(guān)于的不等式，即可解得函數(shù)的定義域.【詳解】由題意可得，解得或.因此，函數(shù)的定義域?yàn)榛?故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查具體函數(shù)定義域的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5圓心為且和軸相切的圓的方程是（ ）abcd【答案】a【解析】求出所求圓的半徑，可得出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】圓心為且和軸相切的圓的半徑為，因此，所求圓的方程為.故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求解，一般求出圓的圓心和半徑，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6為得到的圖象，只需要將的圖象（ ）a向左平移個(gè)單位 b向左平移個(gè)單位c向右平移個(gè)單位 d向右平移個(gè)單位【答案】d【解析】試題分析：因?yàn)椋詾?/p>

4、得到的圖象，只需要將的圖象向右平移個(gè)單位；故選d【考點(diǎn)】三角函數(shù)的圖像變換7某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為（ ）abcd【答案】b【解析】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，由此求出四棱錐的體積【詳解】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，畫出四棱錐的直觀圖，如圖所示：則該四棱錐的體積為.故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查了利用三視圖求幾何體體積的問題，是基礎(chǔ)題8已知點(diǎn)a(0，2)，b(2，0)若點(diǎn)p在函數(shù)的圖像上，則使得pab的面積為2的點(diǎn)p的個(gè)數(shù)為a4 b3 c2 d1【答案】a【解析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，以為底結(jié)合的面積計(jì)算出點(diǎn)到直線的距離，利用點(diǎn)到直線

5、的距離公式可得出關(guān)于的方程，求出方程的解，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)點(diǎn)，直線的方程是，由于的面積為2，則這個(gè)三角形中邊上的高滿足方程，即，由點(diǎn)到直線的距離公式得，即，解得有4個(gè)實(shí)根，故這樣的點(diǎn)c有4個(gè)故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的計(jì)算，涉及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題9設(shè)是等差數(shù)列，且公差不為零，其前項(xiàng)和為則“，”是“為遞增數(shù)列”的（ ）a充分而不必要條件b必要而不充分條件c充分必要條件d既不充分也不必要條件【答案】a【解析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】是等差數(shù)列，且公差不為零，其前項(xiàng)和為，充分性：，則對(duì)任意的恒成立，

6、則，若，則數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則必存在，使得當(dāng)時(shí)，則，不合乎題意；若，由且數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則對(duì)任意的，合乎題意.所以，“，”“為遞增數(shù)列”；必要性：設(shè)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，但數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“，”“為遞增數(shù)列”.因此，“，”是“為遞增數(shù)列”的充分而不必要條件.故選：a.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中等題10學(xué)業(yè)水平測(cè)試成績(jī)按照考生原始成績(jī)從高到低分為、五個(gè)等級(jí)某班共有名學(xué)生且全部選考物理、化學(xué)兩科，這兩科的學(xué)業(yè)水平測(cè)試成績(jī)?nèi)鐖D所示該班學(xué)生中，這兩科等級(jí)均為的學(xué)生有人，這兩科中僅有一科等級(jí)為的學(xué)生，其另外一科等級(jí)為，則該班（ ）a

7、物理化學(xué)等級(jí)都是的學(xué)生至多有人b物理化學(xué)等級(jí)都是的學(xué)生至少有人c這兩科只有一科等級(jí)為且最高等級(jí)為的學(xué)生至多有人d這兩科只有一科等級(jí)為且最高等級(jí)為的學(xué)生至少有人【答案】d【解析】根據(jù)題意分別計(jì)算出物理等級(jí)為，化學(xué)等級(jí)為的學(xué)生人數(shù)以及物理等級(jí)為，化學(xué)等級(jí)為的學(xué)生人數(shù)，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】根據(jù)題意可知，名學(xué)生減去名全和一科為另一科為的學(xué)生人（其中物理化學(xué)的有人，物理化學(xué)的有人），表格變?yōu)椋何锢砘瘜W(xué)對(duì)于a選項(xiàng)，物理化學(xué)等級(jí)都是的學(xué)生至多有人，a選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于b選項(xiàng)，當(dāng)物理和，化學(xué)都是時(shí)，或化學(xué)和，物理都是時(shí)，物理、化學(xué)都是的人數(shù)最少，至少為（人），b選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于c選項(xiàng)

8、，在表格中，除去物理化學(xué)都是的學(xué)生，剩下的都是一科為且最高等級(jí)為的學(xué)生，因?yàn)槎际堑膶W(xué)生最少人，所以一科為且最高等級(jí)為的學(xué)生最多為（人），c選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于d選項(xiàng)，物理化學(xué)都是的最多人，所以兩科只有一科等級(jí)為且最高等級(jí)為的學(xué)生最少（人），d選項(xiàng)正確.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查合情推理，考查推理能力，屬于中等題.二、填空題11已知雙曲線的一條漸近線方程為，則_【答案】【解析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出雙曲線的漸近線方程，結(jié)合題意可求得正實(shí)數(shù)的值.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由于該雙曲線的一條漸近線方程為，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12已

9、知向量，且，則_【答案】【解析】根據(jù)垂直向量的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】，且，則，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量垂直求參數(shù)，涉及垂直向量的坐標(biāo)表示，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13拋物線上到其焦點(diǎn)的距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_【答案】【解析】設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)拋物線的定義求得，并求出對(duì)應(yīng)的，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義得，解得，此時(shí).因此，拋物線上到其焦點(diǎn)的距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用拋物線的定義求點(diǎn)的坐標(biāo)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14在中，則_，的面積為_【答案】

10、【解析】利用余弦定理可求得的值，進(jìn)而可得出的值，最后利用三角形的面積公式可得出的面積.【詳解】由余弦定理得，則，因此，的面積為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，同時(shí)也考查了三角形面積的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15函數(shù)的定義域?yàn)?，其圖象如圖所示函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足，且當(dāng)時(shí)，給出下列三個(gè)結(jié)論： ；函數(shù)在內(nèi)有且僅有個(gè)零點(diǎn)；不等式的解集為其中，正確結(jié)論的序號(hào)是_【答案】【解析】利用奇函數(shù)和，得出函數(shù)的周期為，由圖可直接判斷；利用賦值法求得，結(jié)合，進(jìn)而可判斷函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可判斷的正誤；采用換元法，結(jié)合圖象即可得解，可判斷的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是

11、奇函數(shù)，所以，又，所以，即，所以，函數(shù)的周期為.對(duì)于，由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以，故正確；對(duì)于，令，可得，得，所以，函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)為和.因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，所以函數(shù)在內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)，分別是、，故錯(cuò)誤；對(duì)于，令，則需求的解集，由圖象可知，所以，故正確.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，涉及奇偶性、周期性和零點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)，考查學(xué)生分析問題的能力和數(shù)形結(jié)合能力，屬于中等題三、解答題16如圖，在四棱錐中，底面為正方形，、分別為、的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）利用中位線的性質(zhì)得出，然后利用線面平行的判定定理可證明出平面；（2）

12、以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；?）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以設(shè)直線與平面所成角為，所以因此，直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，同時(shí)也考查了利用空間向量法計(jì)算直線與平面所成的角，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.17.已知同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)： ； ； ； （）請(qǐng)指出這三個(gè)條件，并說明理由；（）求的面積解：（）同時(shí)滿足， 答題要點(diǎn)！ 理由如下

13、：若同時(shí)滿足，則 因?yàn)?，且， 所以 所以 ，矛盾所以不能同時(shí)滿足， 所以只能同時(shí)滿足， 因?yàn)?， 所以 ，故不滿足 故滿足 ， （）因?yàn)?， 所以 解得 或（舍） 所以的面積 18為貫徹十九大報(bào)告中“要提供更多優(yōu)質(zhì)生態(tài)產(chǎn)品以滿足人民日益增長的優(yōu)美生態(tài)環(huán)境需要”的要求，某生物小組通過抽樣檢測(cè)植物高度的方法來監(jiān)測(cè)培育的某種植物的生長情況現(xiàn)分別從、三塊試驗(yàn)田中各隨機(jī)抽取株植物測(cè)量高度，數(shù)據(jù)如下表（單位：厘米）： 組組組假設(shè)所有植株的生長情況相互獨(dú)立從、三組各隨機(jī)選株，組選出的植株記為甲，組選出的植株記為乙，組選出的植株記為丙（1）求丙的高度小于厘米的概率；（2）求甲的高度大于乙的高度的概率；（3）

14、表格中所有數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為從、三塊試驗(yàn)田中分別再隨機(jī)抽取株該種植物，它們的高度依次是、（單位：厘米）這個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的所有數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為，試比較和的大?。ńY(jié)論不要求證明）【答案】（1）；（2）；（3）【解析】設(shè)事件為“甲是組的第株植物”，事件為“乙是組的第株植物”，事件為“丙是組的第株植物”，、，可得出.（1）設(shè)事件為“丙的高度小于厘米”，可得，且、互斥，利用互斥事件的概率公式可求得結(jié)果；（2）設(shè)事件為“甲的高度大于乙的高度”，列舉出符合題意的基本事件，利用互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率；（3）根據(jù)題意直接判斷和的大小即可.【詳解】設(shè)事件為“甲是組的第株植物”，事件

15、為“乙是組的第株植物”，事件為“丙是組的第株植物”，、由題意可知，、（1）設(shè)事件為“丙的高度小于厘米”，由題意知，又與互斥，所以事件的概率；（2）設(shè)事件為“甲的高度大于乙的高度”由題意知所以事件的概率；（3）.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查互斥事件加法公式、相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中等題19已知函數(shù)，（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的極小值；（3）求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)【答案】（1）；（2）極小值；（3）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為【解析】（1）求出和的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得出該函數(shù)的極小值；（3）由當(dāng)時(shí)，以及，結(jié)

16、合函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）因?yàn)?，所以所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線為；（2）因?yàn)椋?，得或列表如下?極大值極小值所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值；（3）當(dāng)時(shí)，且由（2）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程、極值以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.20已知橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為、，焦距為（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、，設(shè)為直線上一點(diǎn)，且直線、的斜率的積為證明：點(diǎn)在軸上【答案】（1）；（2）見解析.【解析】（1）由

17、已知條件得出、的值，進(jìn)而可得出的值，由此可求得橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，可得，且，求出直線的斜率，進(jìn)而可求得直線與的方程，將直線直線與的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題設(shè)，得，所以，即故橢圓的方程為；（2）設(shè)，則，所以直線的斜率為，因?yàn)橹本€、的斜率的積為，所以直線的斜率為直線的方程為，直線的方程為聯(lián)立，解得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，則，所以點(diǎn)在軸上【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，同時(shí)也考查了點(diǎn)在定直線的證明，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中等題.21設(shè)數(shù)陣，其中、設(shè)，其中，且定義變換為“對(duì)于數(shù)陣的每一行，若其中有或，則將這一行中每個(gè)數(shù)都乘以；若其中沒有且沒有，則這一

18、行中所有數(shù)均保持不變”（、）表示“將經(jīng)過變換得到，再將經(jīng)過變換得到、 ，以此類推，最后將經(jīng)過變換得到”，記數(shù)陣中四個(gè)數(shù)的和為（1）若，寫出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣；（2）若，求的值；（3）對(duì)任意確定的一個(gè)數(shù)陣，證明：的所有可能取值的和不超過【答案】（1）；（2）；（3）見解析.【解析】（1）由，能求出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣；（2）由，求出數(shù)陣經(jīng)過變化后的矩陣，進(jìn)而可求得的值；（3）分和兩種情況討論，推導(dǎo)出變換后數(shù)陣的第一行和第二行的數(shù)字之和，由此能證明的所有可能取值的和不超過【詳解】（1），經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣；（2）經(jīng)變換后得，故；（3）若，在的所有非空子集中，含有且不含的子集共個(gè)，經(jīng)過變換后第一行均變?yōu)椤?/p>