解直角三角形應用舉例

1、解直角三角形應用解直角三角形應用 -測高問題測高問題 鉛 垂 線俯角 仰角 水平線 視線 視線 在視線與水平線所成的角中，視線在水平線的上在視線與水平線所成的角中，視線在水平線的上 方的角叫做方的角叫做仰角仰角。視線在水平線下方的角叫做。視線在水平線下方的角叫做 俯角俯角。強調：仰角與俯角都是視線與水平線所成的強調：仰角與俯角都是視線與水平線所成的 角。角。 在假期里，同學們約好一起去爬山，他們走進大門在假期里，同學們約好一起去爬山，他們走進大門 后遠遠望見山頂?shù)暮筮h遠望見山頂?shù)腃 C處都覺得它好遠好高，能爬上去不處都覺得它好遠好高，能爬上去不 容易，出發(fā)時大家都充滿信心，但是有的同學在爬的過

2、容易，出發(fā)時大家都充滿信心，但是有的同學在爬的過 程中由于體力不支，在半山腰程中由于體力不支，在半山腰B B處就停下來，有的同學處就停下來，有的同學 則克服困難，堅持著爬到山頂則克服困難，堅持著爬到山頂C C處，處， 大門 ED C B A 例題例題 大門 ED C B A 如果此山的高度為如果此山的高度為500500米，在米，在A A處測得處測得C C處的仰處的仰 角為角為4545，如果要從頂點，如果要從頂點C C處到大門處到大門A A處建立一條處建立一條 空中索道，那么這條索道需要多少米？請你幫助空中索道，那么這條索道需要多少米？請你幫助 算一算。如果半山腰算一算。如果半山腰B B處的垂直

3、距離是處的垂直距離是200200米，米，A A 處到垂足處到垂足E E處的距離是處的距離是200 200 米，那么米，那么B B處的俯角處的俯角 是多少？是多少？ 3 M 練習：練習： 如圖如圖4,河對岸有水塔河對岸有水塔AB.在在C處測處測 得塔頂?shù)盟擜的仰角為的仰角為30,向塔前進向塔前進12m到達到達D, 在在D處測得處測得A的仰角為的仰角為45,求塔高求塔高. DC B A 4530 12m 圖圖4 圖圖4 解題步驟小結解題步驟小結 1 1、首先要弄清題意，結合實際問題中的示、首先要弄清題意，結合實際問題中的示 意圖分清題目中的已知條件和所求結論。意圖分清題目中的已知條件和所求結論。

4、 2 2、找出與問題有關的直角三角形，或通過作、找出與問題有關的直角三角形，或通過作 輔助線構造有關的直角三角形，把實際問題輔助線構造有關的直角三角形，把實際問題 轉化為解直角三角形的問題。轉化為解直角三角形的問題。 3 3、合理選擇直角三角形的元素之間的關、合理選擇直角三角形的元素之間的關 系求出答案。系求出答案。 問題問題1 1：在舊城改造中，要拆除一煙囪在舊城改造中，要拆除一煙囪ABAB，在地面上在地面上 事先劃定以事先劃定以B B為圓心，半徑與為圓心，半徑與ABAB等長的圓形危險區(qū)，等長的圓形危險區(qū)， 現(xiàn)在從離現(xiàn)在從離B B點點2121米遠的建筑物米遠的建筑物CDCD頂端頂端C C測得

5、測得A A點的仰點的仰 角為角為4545，到，到B B點的俯角為點的俯角為3030，問離，問離B B點點3030米遠的米遠的 保護文物是否在危險區(qū)內？保護文物是否在危險區(qū)內？ （ 約等于約等于1.7321.732） 3 30 45 B A C D E 問題問題2：如圖一個攝像儀器架在過街天橋上，檢查馬如圖一個攝像儀器架在過街天橋上，檢查馬 路行駛的車輛是否超速，已知攝像儀器路行駛的車輛是否超速，已知攝像儀器A到公路到公路L的的 垂直距離垂直距離AD為為21米，米，A到公路點到公路點C的俯角為的俯角為30， 到公路點到公路點B的俯角為的俯角為60，一輛汽車在公路，一輛汽車在公路L上沿上沿 CB方

6、向勻速行駛，測得它從點方向勻速行駛，測得它從點C到點到點B所用的時間所用的時間 為為0.4秒。秒。 （1)1)計算此車從點計算此車從點C到到B的速度的速度 v為每秒多少米為每秒多少米? ?（結果精確到（結果精確到 個位，個位， 約等于約等于1.7321.732） L 60 30 CD A B 3 (2)(2)如果此路段限定時速不超過如果此路段限定時速不超過 6060千米，判斷此車是否超速？千米，判斷此車是否超速？ 并說明理由。并說明理由。 同學們開動腦筋想一想，同學們開動腦筋想一想， 還可以涉及到哪些問題？還可以涉及到哪些問題？ 賽一賽：賽一賽： 以小組為單位，根據(jù)下列條件編寫一道有實際意義的

7、問題，看以小組為單位，根據(jù)下列條件編寫一道有實際意義的問題，看 看那一個小組編寫有創(chuàng)意，有意義。并且合乎實際情況。看那一個小組編寫有創(chuàng)意，有意義。并且合乎實際情況。 條件：一個仰角條件：一個仰角45，一個俯角，一個俯角30。結論可以由自己確定。結論可以由自己確定。 課后小結：課后小結： 本節(jié)課我們用解直角三角形的有關知識解決有關俯角、仰本節(jié)課我們用解直角三角形的有關知識解決有關俯角、仰 角的實際問題。角的實際問題。 你怎么理解俯角、仰角？你怎么理解俯角、仰角？ 在分析處理這類實際問題時，你應該采取怎樣的步驟呢？在分析處理這類實際問題時，你應該采取怎樣的步驟呢？ 除了以上知識你還有哪些收獲？有哪

8、些不解？談談你的除了以上知識你還有哪些收獲？有哪些不解？談談你的 看法?？捶?。 解直角三角形應用解直角三角形應用 -坡度問題坡度問題 45453 30 0 D D C C B BA A100 m100 m 課前練習課前練習1 1：A A 和和 B B 兩兩名名測測量量員員站在同一站在同一個個水水 平地面上平地面上觀測懸觀測懸崖崖頂。頂。由由 A A 測測得得懸懸崖崖頂頂?shù)难鼋堑难鼋?是是 3 300，而由而由 B B 測測得得懸懸崖頂崖頂頂頂?shù)难鼋鞘堑难鼋鞘?4545 ， 若若 A A、B B 及崖底及崖底 D D 成一成一直線直線及及 A A 和和 B B 相距相距 100m100m，求求懸

9、懸崖的高度崖的高度。（精確到。（精確到0.10.1米）米） 練習練習2: 從從20米高的甲樓頂米高的甲樓頂 A 處望乙樓處望乙樓 頂頂C處的仰角為處的仰角為30，望乙樓底，望乙樓底D處的處的 俯角為俯角為45，求乙樓的高度。（精確到，求乙樓的高度。（精確到 0.1 米）米） A C 水平線水平線 D B 甲甲 乙乙 20m 30 45 建建筑筑物物 塔塔 A A B B C C D D 20m20m 3 30 0 4 45 5 A A B B C C D D 20 m20 m 3 30 0 4 45 5 練習練習3 3：由一座建由一座建筑筑物物 的底部的底部A A測測得一座得一座 塔的塔的頂頂

10、部部D D的仰角的仰角 是是3 30 0。 由由該該塔塔 的底部的底部C C測測得得該該建建 筑筑物的物的頂頂部部B B的仰的仰 角是角是4 45 5。 如果如果 塔塔CDCD的高度是的高度是20m20m， 求求 (1)(1)A A和和C C之之間間的距的距離離； (2)(2)該該建建筑筑物的高度物的高度。 新概念：坡度、坡比新概念：坡度、坡比 A B h L 如圖：坡面的垂直高度如圖：坡面的垂直高度h和和 水平寬度水平寬度L的比叫坡度的比叫坡度 （或叫坡比）（或叫坡比） 用字母表示為用字母表示為 ， 坡面與水平面的夾角記作坡面與水平面的夾角記作（叫坡角）（叫坡角） 則則tan = L h i

11、 L h i 練習：練習： （1 1）一段坡面的坡角為）一段坡面的坡角為6060，則坡度，則坡度i=_;i=_; （2 2）已知一段坡面上，鉛直高度為）已知一段坡面上，鉛直高度為 ， 坡面長為坡面長為 ， 則坡度則坡度i i_,_,坡角坡角_。 3 32 3 30 3 3 你會算嗎？你會算嗎？ 1、坡角、坡角=45坡比坡比i= 3、坡比為、坡比為i=13，坡角，坡角的余弦值為的余弦值為 1 1 30 3 10 10 2、坡比為、坡比為,坡角坡角=1: 3 如圖，鐵路的路基橫斷面是等腰梯形，如圖，鐵路的路基橫斷面是等腰梯形， 斜坡斜坡ABAB的坡度為的坡度為1 1： ，坡面，坡面ABAB的水平的

12、水平 寬度為寬度為 米，基面米，基面ADAD寬寬2 2米，米， 求路基高求路基高AEAE、坡角、坡角B B和基底和基底BCBC的寬的寬. . 3 3 C 2 例例1 A B D E 3 F 例例2 2：如果你是修建三峽大壩的工程師，現(xiàn)在：如果你是修建三峽大壩的工程師，現(xiàn)在 有這樣一個問題請你解決：如圖，有這樣一個問題請你解決：如圖， 水庫大壩的橫斷面是水庫大壩的橫斷面是 梯形，壩頂寬梯形，壩頂寬6m6m，壩，壩 高高23m23m，斜坡，斜坡ABAB的坡度的坡度 i=13i=13，斜坡，斜坡CDCD的坡的坡 度度I=12.5I=12.5，求斜，求斜 坡壩底寬坡壩底寬ADAD和斜坡和斜坡ABAB

13、的長的長 練習練習1 1： 如圖，水庫大壩橫斷面是梯形，壩頂如圖，水庫大壩橫斷面是梯形，壩頂BCBC寬為寬為6m6m， 壩高壩高23m23m，斜坡，斜坡ABAB的坡度的坡度=1: =1: ，斜邊，斜邊CDCD的的 坡度為坡度為 =1:1 =1:1， 求斜坡求斜坡ABAB的長，坡角的長，坡角和壩底和壩底ADAD寬。寬。 3 AD B C EF 3:1i 1:1i 練習練習2:2:修建一條鐵路要經(jīng)過一座高山，修建一條鐵路要經(jīng)過一座高山， 需在山腰需在山腰B B處開鑿一條隧道處開鑿一條隧道BCBC。經(jīng)測量，。經(jīng)測量， 西山坡的坡度西山坡的坡度i i5:35:3，由山頂，由山頂A A觀測到點觀測到點

14、C C的俯角為的俯角為6060，ACAC的長為的長為60m60m，如圖所，如圖所 示，試求隧道示，試求隧道BCBC的長的長. . A A B BC C i = 5：3 練習練習3:利用土埂修筑一條渠道，在埂中間挖去深為利用土埂修筑一條渠道，在埂中間挖去深為 0.60.6米的一塊米的一塊( (圖圖6-356-35陰影部分是挖去部分陰影部分是挖去部分) )，已知渠道，已知渠道 內坡度為內坡度為11.511.5，渠道底面寬，渠道底面寬BCBC為為0.50.5米，求：橫斷面米，求：橫斷面 ( (等腰梯形等腰梯形)ABCD)ABCD的面積；修一條長為的面積；修一條長為100100米的渠道要挖米的渠道要挖

15、 去的土方數(shù)去的土方數(shù) v練習練習4.(2008 山東山東 聊城聊城)如圖，在平地上種如圖，在平地上種 植樹時，要求株距（相鄰兩樹間的水平距植樹時，要求株距（相鄰兩樹間的水平距 離）為離）為4m如果在坡度為如果在坡度為0.5的山坡上種的山坡上種 植樹，也要求株距為植樹，也要求株距為4m，那么相鄰兩樹間，那么相鄰兩樹間 的坡面距離約為（的坡面距離約為（ ） vA4.5mB4.6m C6mD8m 236. 25 A B C 45 練習練習5：在山腳：在山腳C處測得山頂處測得山頂A的仰角為的仰角為 45. .問題如下：（問題如下：（1）沿著水平地面向前）沿著水平地面向前 300m到達到達D點，在點，

16、在D點測得山頂點測得山頂A的仰角為的仰角為 60 ，求山高，求山高AB. .（2）沿著坡角為）沿著坡角為30 的斜坡前進的斜坡前進300m到達到達D點，在點，在D點測得山頂點測得山頂 A的仰角為的仰角為60 ，求山高，求山高AB. . D 60 x x3 300m 課堂小結課堂小結: : 1 1弄清坡度、坡角、水平距離、垂直距離等概念弄清坡度、坡角、水平距離、垂直距離等概念 的意義，明確各術語與示意圖中的什么元素對應，的意義，明確各術語與示意圖中的什么元素對應， 只有明確這些概念，才能恰當?shù)匕褜嶋H問題轉化只有明確這些概念，才能恰當?shù)匕褜嶋H問題轉化 為數(shù)學問題為數(shù)學問題 2 2認真分析題意、畫圖

17、并找出要求的直角三角形，認真分析題意、畫圖并找出要求的直角三角形， 或通過添加輔助線構造直角三角形來解決問題或通過添加輔助線構造直角三角形來解決問題 3 3選擇合適的邊角關系式，使計算盡可能簡單，選擇合適的邊角關系式，使計算盡可能簡單， 且不易出錯且不易出錯 4 4按照題中的精確度進行計算，并按照題目按照題中的精確度進行計算，并按照題目 中要求的精確度確定答案以及注明單位中要求的精確度確定答案以及注明單位 解直角三角形應用解直角三角形應用 -航海問題航海問題 方方向向角角 北 東 西 南 A A 5858 2828 B B 北偏東北偏東 5858 南偏西南偏西 2828 例題：某船自西向東航行

18、，在例題：某船自西向東航行，在A出測得某島在北偏東出測得某島在北偏東 60的方向上，前進的方向上，前進8千米測得某島在船北偏東千米測得某島在船北偏東45 的方向上，問（的方向上，問（1）輪船行到何處離小島距離最近？）輪船行到何處離小島距離最近？ （2）輪船要繼續(xù)前進多少千米？）輪船要繼續(xù)前進多少千米？ A 北 南 西東 北 南 西東 某船自西向東航行，在某船自西向東航行，在A出測得某島在北偏東出測得某島在北偏東60的的 方向上，前進方向上，前進8千米測得某島在船北偏東千米測得某島在船北偏東45 的方向的方向 上，問（上，問（1）輪船行到何處離小島距離最近？）輪船行到何處離小島距離最近？ （2）

19、輪船要繼續(xù)前進多少千米？）輪船要繼續(xù)前進多少千米？ 3045 8千米 A B C D 某船自西向東航行，在某船自西向東航行，在A出測得某島在北偏東出測得某島在北偏東60的的 方向上，前進方向上，前進8千米測得某島在船北偏東千米測得某島在船北偏東45 的方向的方向 上，問（上，問（1）輪船行到何處離小島距離最近？）輪船行到何處離小島距離最近？ （2）輪船要繼續(xù)前進多少千米？）輪船要繼續(xù)前進多少千米？ 解： 練習練習1：如圖所示，某船以每小時：如圖所示，某船以每小時36海里的速度海里的速度 向正東航行，在向正東航行，在A點測得某島點測得某島C在北偏東在北偏東60方方 向上，航行半小時后到向上，航行

20、半小時后到B點，測得該島在北偏東點，測得該島在北偏東 30方向上，已知該島周圍方向上，已知該島周圍16海里內有暗礁海里內有暗礁 （1）試說明）試說明B點是點是 否在暗礁區(qū)域外否在暗礁區(qū)域外 （2）若繼續(xù)向東）若繼續(xù)向東 航行，有無觸礁危航行，有無觸礁危 險？請說明理由險？請說明理由 北北 東東 A B C D 解：（解：（1）AB=360.5=18， ADB=60，DBC=30， ACB=30又又CAB=30， BC=AB=1816， B點在暗礁區(qū)域外點在暗礁區(qū)域外 （2）過）過C點作點作CHAF，垂足為，垂足為H，在，在RtCBH中，中， BCH=30， 令令BH=x，則，則CH=x，在，在

21、RtACH中，中，CAH=30， AH=CH， 18x=-x，x=9，CH=916， 船繼續(xù)向東航行有觸礁的危險船繼續(xù)向東航行有觸礁的危險 答：答：B點在暗礁區(qū)域外，船繼續(xù)向東航行有觸礁的危點在暗礁區(qū)域外，船繼續(xù)向東航行有觸礁的危 險險 練習練習2：如圖所示，氣象臺測得臺風中心在某港：如圖所示，氣象臺測得臺風中心在某港 口口A的正東方向的正東方向400公里處公里處,向西北方向向西北方向BD移動，移動， 距臺風中心距臺風中心300公里的范圍內將受其影響，問港公里的范圍內將受其影響，問港 口口A是否會受到這次臺風的影響？是否會受到這次臺風的影響？ A B D 東東 北北 45 C 練習練習3：正午

22、：正午10點整，一漁輪在小島點整，一漁輪在小島O的北偏東的北偏東30 方向，距離等于方向，距離等于10海里的海里的A處，正以每小時處，正以每小時10海里海里 的速度向南偏東的速度向南偏東60方向航行，那么漁輪到達小島方向航行，那么漁輪到達小島O 的正東方向是什么時間（精確到的正東方向是什么時間（精確到1分）？分）？ O A 30 60 南南 東東BC 北北 西西 練習練習4、一漁船上的漁民在一漁船上的漁民在A處看見燈塔在處看見燈塔在 北偏東北偏東60方向，這艘漁船以方向，這艘漁船以28海里海里/時的時的 速度向正東航行，半小時到速度向正東航行，半小時到B處處.在在B處看見處看見 燈塔燈塔M在北

23、偏東在北偏東15方向，求此時燈塔方向，求此時燈塔M與與 漁船的距離漁船的距離 ？ 練習練習5:如圖，一船在海面如圖，一船在海面C處望見一燈塔處望見一燈塔A，在它的，在它的 正北方向正北方向2海里處，另一燈塔海里處，另一燈塔B在它的北偏西在它的北偏西60的的 方向，這船向正西方向航行，已知方向，這船向正西方向航行，已知A、B兩燈塔的距兩燈塔的距 離為離為 海里，問在這條船的航線上是否存在一海里，問在這條船的航線上是否存在一 點使兩個燈塔點使兩個燈塔A、B同時分別在該點的東北、西北方同時分別在該點的東北、西北方 向上？向上？ 2sqrt(6) 練習練習6 已知，如圖，已知，如圖，C城市在城市在B城

24、市的正北方向，兩城市城市的正北方向，兩城市 相距相距100千米，計劃在兩城市間修筑一條高速公路（即千米，計劃在兩城市間修筑一條高速公路（即 線段線段BC），經(jīng)測量，森林保護區(qū)），經(jīng)測量，森林保護區(qū)A在在B城市的北偏東城市的北偏東 40的方向上，又在的方向上，又在C城市的南偏東城市的南偏東56方向上，已知方向上，已知 森林保護區(qū)森林保護區(qū)A的范圍是以的范圍是以A為圓心，半徑為為圓心，半徑為50千米的圓，千米的圓， 問：計劃修筑的這種高速公路會不會穿越保護區(qū)？為什問：計劃修筑的這種高速公路會不會穿越保護區(qū)？為什 么？么？ 練習練習7 已知，如圖，已知，如圖，C城市在城市在B城市的正北方向，兩城市城市的正北方向，兩城市 相距相距100千米，計劃在兩城市間修筑一條高速公路（即千米，計劃在兩城市間修筑一