2019學年九年級數(shù)學上冊第四章圖形的相似知識講解及例題演練北師大版

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精圖形的位似-知識講解【學習目標】1、了解位似多邊形的概念,知道位似變換是特殊的相似變換,能利用位似的方法,將一個圖形放大或縮?。?、能在同一坐標系中,感受圖形放縮前后點的坐標的變化。【要點梳理】要點一、位似多邊形1。位似多邊形定義: 如果兩個相似多邊形任意一組對應頂點所在的直線都經過同一個點o，且每組對應點與點o 點的距離之比都等于一個定值k，例如，如下圖，oa=koa（k0），那么這樣的兩個多邊形叫做位似多邊形，點o叫做位似中心.要點詮釋：位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構成位似圖形。 2.位似圖形的性質:（1)位似圖形的對應

2、點相交于同一點,此點就是位似中心;（2) 位似圖形的對應點到位似中心的距離之比等于相似比； （3）位似圖形中不經過位似中心的對應線段平行.3。 平移、軸對稱、旋轉和位似四種變換的異同：圖形經過平移、旋轉或軸對稱的變換后,雖然對應位置改變了，但大小和形狀沒有改變，即兩個圖形是全等的;而位似變換之后圖形是放大或縮小的，是相似的4。 作位似圖形的步驟第一步：在原圖上找若干個關鍵點，并任取一點作為位似中心;第二步：作位似中心與各關鍵點連線； 第三步:在連線上取關鍵點的對應點，使之滿足放縮比例； 第四步：順次連接各對應點. 要點詮釋：位似中心可以取在多邊形外、多邊形內，或多邊形的一邊上、或頂點，下面是位

3、似中心不同的畫法。要點二、坐標系中的位似圖形 在平面直角坐標系中,將一個多邊形每個頂點的橫坐標、縱坐標都乘同一個數(shù)k（k0)，所對應的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標原點，它們的相似比為k|。要點詮釋：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心,相似比為k,那么位似圖形對應點的坐標等于原來點的坐標乘以（或除以）k或k?！镜湫屠}】類型一、位似多邊形1. 下列每組的兩個圖形不是位似圖形的是（）。a. b。 c. d. 【思路點撥】根據(jù)位似圖形的概念對各選項逐一判斷，即可得出答案【答案】d【解析】解：對應頂點的連線相交于一點的兩個相似多邊形叫位似圖形據(jù)此可得a、b、c三個圖形中的兩個圖形都

4、是位似圖形；而d的對應頂點的連線不能相交于一點,故不是位似圖形故選d【總結升華】位似與相似既有聯(lián)系又有區(qū)別，相似僅要求兩個圖形形狀完全相同；而位似是在相似的基礎上要求對應點的連線相交于一點舉一反三【變式】在小孔成像問題中， 根據(jù)如圖4所示，若o到ab的距離是18cm，o到cd的距離是6cm，則像cd的長是物ab長的（ ）.a. 3倍 b。 c。 d. 不知ab的長度，無法判斷【答案】c2. 利用位似圖形的方法把五邊形abcde放大1。5倍。abcde【答案與解析】即是要畫一個五邊形abcde，要與五邊形abcde相似且相似比a1b1c1d1e1為1。5。 畫法是： 1在平面上任取一點o。 2以

5、o為端點作射線oa、ob、oc、od、oe。3在射線oa、ob、oc、od、oe上分別取點a、b、c、d、e，使oa:oa ob：oboc：ocod：odoe：oe1.5. 4連結ab、bc、cd、de、ea.這樣：1.5. 則五邊形abcde為所求. 另外一種情況,所畫五邊形跟原五邊形分別在位似中心的兩側?！究偨Y升華】由本題可知,利用位似的方法，可以把一個多邊形放大或縮小。舉一反三【變式】在已知三角形內求作內接正方形【答案與解析】作法：（1）在ab上任取一點g，作gdbc；（2）以gd為邊，在abc內作一正方形defg;（3）連接bf，延長交ac于f；（4）作fgcb，交ab于g，從f、g分

6、別作bc的垂線fe， gd；四邊形defg即為所求類型二、坐標系中的位似圖形3。 如圖，在1010的正方形網格中，點a，b,c，d均在格點上，以點a為位似中心畫四邊形abcd，使它與四邊形abcd位似，且相似比為2（1）在圖中畫出四邊形abcd；（2）填空：acd是 三角形【思路點撥】（1）延長ab到b,使ab=2ab,得到b的對應點b，同樣得到c、d的對應點c,d，再順次連接即可;(2)利用勾股定理求出ac2=42+82=80,ad2=62+22=40,cd2=62+22=40,那么ad=cd，ad2+cd2=ac2，即可判定acd是等腰直角三角形【答案與解析】解：（1)如圖所示:（2）ac

7、2=42+82=16+64=80，ad2=62+22=36+4=40,cd2=62+22=36+4=40，ad=cd，ad2+cd2=ac2，acd是等腰直角三角形故答案為:等腰直角【總結升華】本題考查了作圖位似變換畫位似圖形的一般步驟為:確定位似中心，分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關鍵點；根據(jù)相似比，確定能代表所作的位似圖形的關鍵點；順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形同時考查了勾股定理及其逆定理等知識熟練掌握網格結構以及位似變換的定義是解題的關鍵4。 如圖abc的頂點坐標分別為a（1，1），b(2，3)，c(3，0)（1）以點o為位似中心畫def，使它與abc位似，且相似比為2(2

8、）在（1)的條件下，若m（a，b）為abc邊上的任意一點,則def的邊上與點m對應的點m的坐標為 【思路點撥】（1)把點a、b、c的橫、縱坐標都乘以2可得到對應點d、e、f的坐標,再描點可得def；把點a、b、c的橫、縱坐標都乘以2可得到對應點d、e、f的坐標，然后描點可得def;（2）利用以原點為位似中心的位似變換的對應點的坐標特征求解【答案與解析】解:（1)圖略；（2)點m對應的點m的坐標為（2a，2b)或（2a，2b）故答案為(2a，2b）或（2a,2b）【總結升華】本題考查了位似變換：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點,對應邊互相平行,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形,這個點叫做位似中心在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的