空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一輪數(shù)學(xué)精品課件

1、 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 一、直線與平面垂直一、直線與平面垂直 1.直線與平面垂直的定義直線與平面垂直的定義 如果直線如果直線l與平面與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們 就說直線就說直線l與平面與平面互相垂直，記作互相垂直，記作 .直線直線l叫做叫做 平面平面的垂線，平面的垂線，平面叫做直線叫做直線l的垂面的垂面.直線與平面垂直時直線與平面垂直時, 它們唯一的公共點它們唯一的公共點P叫做垂足叫做垂足. 根據(jù)定義，過一點根據(jù)定義，過一點 直線與已知平面垂直線與已知平面垂 直；過一點直；過一點 與已知直線

2、垂直與已知直線垂直. l 有且只有一條有且只有一條 有且只有一個平面有且只有一個平面 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 2.判定定理和性質(zhì)定理 （1）判定定理：）判定定理： ，則，則 該直線與此平面垂直該直線與此平面垂直. （2）性質(zhì)定理：）性質(zhì)定理： . 一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直 垂直于同一個平面的兩條直線平行垂直于同一個平面的兩條直線平行 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 判定判定性質(zhì)性質(zhì) 圖圖 形形 條條 件件 (b(b為

3、為a a內(nèi)的內(nèi)的 任一條直線任一條直線) 結(jié)結(jié) 論論 n nm m O On nm m n na am ma a , , , , , = a ab ba a, ,/ / /a ab ba a, ,/ / /a ab ba a, , b bb ba a, , a aa aa aa aa ab b b ba a b ba a/ / / 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 3. 3.直線和平面所成的角直線和平面所成的角 一條直線一條直線PA和一個平面和一個平面相相 交，交， ，這條直線叫做這個平面的斜，這條直線叫做這個平面的斜 線，斜線和平面的交

4、點線，斜線和平面的交點A叫做斜足叫做斜足.過斜線上斜足以外的過斜線上斜足以外的 一點向平面引垂線一點向平面引垂線PO，過垂足，過垂足O和斜足和斜足A的直線的直線AO叫做叫做 斜線在這個平面上的射影斜線在這個平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上平面的一條斜線和它在平面上 的的 ，叫做這條直線和這個平面所成的，叫做這條直線和這個平面所成的 角角. 一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角 是是 ；一條直線和平面平行；一條直線和平面平行,或在平面內(nèi)，我們或在平面內(nèi)，我們 說它們所成的角是說它們所成的角是 的角的角. 二、平面與平面垂直二、平面與平面垂直 1.二

5、面角二面角 但不和這個平面垂直但不和這個平面垂直 射影所成的銳角射影所成的銳角 直角直角 0 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二 面角面角.以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面 內(nèi)內(nèi) ，這兩條射線所成的角，這兩條射線所成的角 叫二面角的平面角叫二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角平面角是直角的二面角叫直二面角. 2.兩個平面垂直的定義 一般地一般地,兩個平面相交，如果它們所成的二面角兩個平面相交，如果它

6、們所成的二面角 是是 ，就說這兩個平面互相垂直，就說這兩個平面互相垂直.記作記作 . 3.兩個平面垂直的判定與性質(zhì) （1）判定定理）判定定理 ， 則這兩個平面垂直則這兩個平面垂直. 分別作垂直于棱的兩條射線分別作垂直于棱的兩條射線 直二面角直二面角 一個平面過另一個平面的垂線一個平面過另一個平面的垂線 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 （2）性質(zhì)定理）性質(zhì)定理 兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)兩個平面垂直，則一個平面內(nèi) 與另一個平面垂直與另一個平面垂直. 垂直于交線的直線垂直于交線的直線 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考

7、一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 判定判定性質(zhì)性質(zhì) 圖圖 形形 條條 件件 直二面角 結(jié)結(jié) 論論 a aa aa aa aa aa a l la a a aa aa a, , l la al la a a aa a , , , , =a a = , , 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 如圖如圖,AB為圓為圓O的直徑的直徑,C為圓周為圓周 上異于上異于AB的任一點的任一點,PA面面 ABC,問問:圖中共有多少個圖中共有多少個Rt? 找出直角三角形找出直角三角形,也就是找出圖中的線線垂直也就是找出圖中的線線垂直. 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)

8、系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 PA面面ABC, PAAC,PABC,PAAB. AB為圓為圓O的直徑的直徑,ACBC. 又又ACBC,PABC,PAAC=A, BC面面PAC. PC平面平面PAC,BCPC. 故圖中有四個直角三角故圖中有四個直角三角 形形:PAC,PBC,PAB,ABC. 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 線線垂直可由線面垂直的性質(zhì)推得線線垂直可由線面垂直的性質(zhì)推得,直線直線 和平面垂直和平面垂直,這條直線就垂直于平面內(nèi)所有直線這條直線就垂直于平面內(nèi)所有直線,這是尋這是尋 找線線垂直的重

9、要依據(jù)找線線垂直的重要依據(jù). 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 如圖如圖,已知矩形已知矩形ABCD,過過A作作SA平面平面AC,再過再過A作作 AESB交交SB于于E,過過E作作EFSC交交SC于于F. (1)求證求證:AFSC; (2)若平面若平面AEF交交 SD于于G,求證求證:AGSD. 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 (1)SA平面平面AC,BC平面平面AC, SABC, 四邊形四邊形ABCD為矩形為矩形,ABBC,BC平面平面SAB, BCAE,又又SBAE,AE平面平面

10、SBC, AESC,又又EFSC, SC平面平面AEF,AFSC. (2)SA平面平面AC,SADC, 又又ADDC,DC平面平面SAD,DCAG, 又由又由(1)有有SC平面平面AEF,AG平面平面AEF, SCAG,AG平面平面SDC, AGSD. 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 如圖所示，已知如圖所示，已知PA矩形矩形ABCD所在平面，所在平面，M，N分別分別 是是AB，PC的中點的中點. （1）求證：）求證：MNCD； （2）若）若PDA= ， 求證：求證：MN 平面平面PCD. 4 45 5 （1）因）因M為為AB中點，只要證

11、中點，只要證ANB為等腰為等腰 三角形，則利用等腰三角形的性質(zhì)可得三角形，則利用等腰三角形的性質(zhì)可得MNAB. （2）已知）已知MNCD，只需再證，只需再證MNPC，易看出，易看出 PMC為等腰三角形，利用為等腰三角形，利用N為為PC的中點，可得的中點，可得MNPC. 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 (1)如圖如圖,連接連接AC，AN，BN， PA平面平面ABCD，PAAC， 在在RtPAC中，中，N為為PC中點，中點， AN= PC. PA平面平面ABCD， PABC，又，又BCAB， PAAB=A, BC平面平面PAB，BCPB，

12、從而在從而在RtPBC中，中，BN為斜邊為斜邊PC上的中線，上的中線， BN= PC.AN=BN,ABN為等腰三角形為等腰三角形, 又又M為底邊的中點為底邊的中點,MNAB,又又ABCD,MNCD. 2 2 1 1 2 2 1 1 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 (2)連接連接PM,CM，PDA=45,PAAD,AP=AD. 四邊形四邊形ABCD為矩形為矩形,AD=BC，PA=BC. 又又M為為AB的中點，的中點，AM=BM. 而而PAM=CBM=90,PM=CM. 又又N為為PC的中點，的中點，MNPC. 由（由（1）知，）知，MNC

13、D，PCCD=C, MN平面平面PCD. 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 垂直問題的證明，其一般規(guī)律是垂直問題的證明，其一般規(guī)律是“由已知由已知 想性質(zhì)，由求證想判定想性質(zhì)，由求證想判定”，也就是說，根據(jù)已知條件，也就是說，根據(jù)已知條件 去思考有關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有去思考有關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有 關(guān)的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結(jié)合起關(guān)的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結(jié)合起 來來. 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 如圖所示如圖所示,

14、RtABC的斜邊為的斜邊為AB，過，過A作作AP平面平面 ABC，AEPB于于E，AFPC于于F.求證：求證：PB平面平面 AEF. 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 AP平面平面ABCAPBC BCAC APCA=A AFPC AEPB BCAF AF面面PBC AFPB BCPC=C AFAE=A BC面面APC AF面面APC PB面面AEF. 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 如圖如圖,ABC為正三角形，為正三角形，EC平面平面ABC，BDEC且且 EC=CA=2BD,M為為

15、EA中點中點.求證：求證： （1）平面）平面BDM平面平面ACE； （2）平面）平面DEA平面平面ECA. 要證面面垂直，首先想到判定定理，轉(zhuǎn)為要證面面垂直，首先想到判定定理，轉(zhuǎn)為 證線面垂直，再轉(zhuǎn)換為證線線垂直證線面垂直，再轉(zhuǎn)換為證線線垂直. 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 (1)取取CA中點中點N，連結(jié)，連結(jié)MN,BN，在，在ACE中，中， M,N分別為分別為AE,AC中點，中點， MNEC，MN= EC. 而而BDEC，BD= EC, BD MN,B,D,M,N四點共面四點共面. EC平面平面ABC，BN平面平面ABC， ECBN

16、. 又又BNAC，BNEC，ACEC=C, BN面面ECA. 又又BN面面BMD，平面平面BMD平面平面ACE. 2 2 1 1 2 2 1 1 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 證明線面垂直的方法：證明一個面過另一證明線面垂直的方法：證明一個面過另一 個面的垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，個面的垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直， 一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線， 則借助中點、高線與添加輔助線解決則借助中點、高線與添加輔助線解決. (2)DMBN，BN平面平面A

17、CE, DM平面平面ACE. 又又DM平面平面DEA，平面平面DEA平面平面ACE. 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐PABCD中，底面中，底面ABCD是是 DAB=60,且邊長為且邊長為a的菱形的菱形,側(cè)面?zhèn)让鍼AD為正三角形，為正三角形， 其所在平面垂直于底面其所在平面垂直于底面ABCD. （1）若）若G為為AD邊的中點，邊的中點， 求證：求證：BG平面平面PAD； （2）求證：）求證：ADPB; （3）求二面角）求二面角ABCP的大小；的大小； （4）若）若E為為BC邊的中點，邊的中點， 能否在棱能否在

18、棱PC上找到一點上找到一點F， 使平面使平面DEF平面平面ABCD?并證明你的結(jié)論并證明你的結(jié)論. F P G E D C B A 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 （1）：在菱形在菱形ABCD中，中，DAB=60，G為為 AD的中點，的中點，BGAD. 又平面又平面PAD平面平面ABCD，平面，平面PAD平面平面ABCD=AD， BG平面平面PAD. （2）：連結(jié)：連結(jié)PG.因為因為PAD為正三角形，為正三角形，G為為AD 的中點，得的中點，得PGAD. 由（由（1）知）知BGAD,PGBG=G,PG平面平面PGB，BG 平面平面PGB

19、，AD平面平面PGB. PB平面平面PGB，ADPB. 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 （3）由（）由（2）得）得AD平面平面PGB. 在菱形在菱形ABCD中，中，ADBC， BC平面平面PGB. 而而PB平面平面PGB，BG平面平面PGB， BCPB，BCBG， PBG為二面角為二面角ABCP的平面角的平面角. 在在PAD中，中，PG= a， 在菱形在菱形ABCD中，中，BG= a， 在在RtPGB中，中，PBG=45, 二面角二面角ABCP為為45. 2 2 3 3 2 2 3 3 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾

20、何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 （4）當(dāng)）當(dāng)F為為PC的中點時，滿足平面的中點時，滿足平面DEF平面平面 ABCD.證明如下：證明如下： 取取PC的中點的中點F，連結(jié)，連結(jié)DE，EF，DF， 則由平面幾何知識知，在則由平面幾何知識知，在PBC中，中，F(xiàn)EPB， 在菱形在菱形ABCD中，中，GBDE,而而FE平面平面DEF，DE 平面平面DEF，F(xiàn)EDE=E, 平面平面DEF平面平面PGB. 由（由（1），），PG平面平面ABCD，而，而PG平面平面PGB， 平面平面PGB平面平面ABCD. 平面平面DEF平面平面ABCD. 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪

21、數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 如圖如圖,在正方體在正方體ABCD A1B1C1D1中中, 求求A1B與平面與平面A1B1CD所成所成 的角的角. 求線面角的關(guān)鍵是確定直線在平面上的射求線面角的關(guān)鍵是確定直線在平面上的射 影影,及直線與射影所成的銳角及直線與射影所成的銳角. 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 連結(jié)連結(jié)BC1交交B1C于于O,連結(jié)連結(jié)A1O. 在正方體在正方體ABCDA1B1C1D1中各個面為正方形中各個面為正方形,設(shè)其棱長設(shè)其棱長 為為a. A1B1B1C1 A1B1平面平面BCC1B1 A1B1B1B BC1平面平面BCC1

22、B1 A1B1BC1 BC1B1C A1O為為A1B在平面在平面A1B1CD內(nèi)的射影內(nèi)的射影 BA1O為為A1B與平面與平面A1B1CD所成的角所成的角 在在RtA1BO中，中，A1B= a，OB= a sinBA1O= BA1O為銳角為銳角 A1B與平面與平面A1B1CD所成的角為所成的角為30. BC1平面平面A1B1CD BA1O=30 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 B BA A O OB B 1 1 = 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 求直線和平面所成的角時求直線和平面所成的角時,應(yīng)注意的問題應(yīng)注意的問題 是：是：(1

23、)先判斷直線和平面的位置關(guān)系先判斷直線和平面的位置關(guān)系.(2)當(dāng)直線和平面當(dāng)直線和平面 斜交時斜交時,常用以下步驟常用以下步驟:構(gòu)造構(gòu)造作出或找到斜線與射作出或找到斜線與射 影所成的角影所成的角;設(shè)定設(shè)定論證所作或找到的角為所求的論證所作或找到的角為所求的 角角;計算計算常用解三角形的方法求角常用解三角形的方法求角;結(jié)論結(jié)論點點 明斜線和平面所成的角的值明斜線和平面所成的角的值. 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐PABCD中，底面為直角梯形，中，底面為直角梯形， BC,BAD=90,PA底面底面,且且 PA=

24、AD=AB=2BC,M，N分別為，分別為，PB的中點的中點. (1)求證：求證：DM; (2)求求CD與平面所成的角與平面所成的角 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 （1）證明：）證明：是的中點，是的中點， PB, 平面，平面， ， 從而從而平面，平面， DM平面平面ADMN， . 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 (2)取的中點，連結(jié)，則取的中點，連結(jié)，則， 與平面所成的角和與平面所與平面所成的角和與平面所 成的角相等成的角相等. 平面，平面， BGN是與平面所成的角是與平面所成的

25、角. 在在tBGN中，中，sinBGN= . 故與平面所成的角是故與平面所成的角是arcsin . 5 5 1010 BGBG BNBN = 5 5 1010 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 如圖如圖,直角三角形直角三角形ABC的斜邊的斜邊 AB在平面在平面內(nèi)內(nèi),AC,BC與平面與平面 所成的角分別為所成的角分別為30和和 45,求求ABC所在平面與平所在平面與平 面面所成的銳二面角所成的銳二面角. 由線面角想到射影由線面角想到射影,利用三垂線定理作二面利用三垂線定理作二面 角的平面角角的平面角. 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何

26、高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 作作CC平面平面,C為垂足為垂足,作作CDAB 于于D,連連 結(jié)結(jié)CD,CDAB,CDC是所求二面角的平面角是所求二面角的平面角. 由由CC可知可知,CAC=30,CBC=45,設(shè)設(shè)CC=h, 在在RtCCA和和RtCCB中中,AC=2h,BC= h, 又又ACBC,AB= h, CD=(ACBC)AB= h, sinCDC= ,且且CDC為銳角為銳角. CDC=60, ABC所在平面與所在平面與所成的二面角為所成的二面角為60. 2 2 6 6B BC CA AC C 2 22 2 =+ 3 3 2 2 2 2 3 3 C CD D C C

27、C C = 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 求二面角的大小求二面角的大小,一般先作出二面角的一般先作出二面角的 平面角平面角.此題是利用二面角的平面角的定義作出此題是利用二面角的平面角的定義作出 AOC為二面角為二面角ABDC的平面角的平面角,通過解通過解AOC 所在的三角形求得所在的三角形求得AOC.其解題過程為其解題過程為:作作AOC 證證AOC是二面角的平面角是二面角的平面角計算計算AOC,簡記為簡記為 “作、證、算作、證、算”. 空間中垂直關(guān)系空間中垂直關(guān)系-立體幾何高考一立體幾何高考一 輪數(shù)學(xué)精品課件輪數(shù)學(xué)精品課件 如圖所示，如圖所示，PA平面平面ABCD，四邊，四邊 形形ABCD是矩形，是矩形，PA=AD=a,M,N分分 別是別是AB，PC的中點的中點. （1）求平面）求平面PCD與平面與平面ABCD所成所成 的二面角的大小；的二面角的大小； （2）求證：平面）求證：平