第4章：連續(xù)體的振動

1、STDU DYNAMICS OF STRUCTURES Prof. Lanhe Wu Shijiazhuang Tiedao Univ. Dynamics of Structures STDU DYNAMICS OF STRUCTURES v第四章 連續(xù)系統(tǒng)的振動 具有連續(xù)分布的質(zhì)量和彈簧系統(tǒng)稱作連續(xù)系統(tǒng)或分布 質(zhì)量系統(tǒng)。連續(xù)系統(tǒng)具有無限多個自由度，其動力學(xué) 方程為偏微分方程，只對一些簡單情形才能求得精確 解。對于復(fù)雜的連續(xù)系統(tǒng)則必須利用各種近似方法簡 化為離散系統(tǒng)求解。 本章先討論以桿的縱向振動為代表的一類振動以及 梁的橫向振動，以掌握連續(xù)系統(tǒng)振動的一般規(guī)律， 然后介紹工程中常用的幾種近似方

2、法，包括集中質(zhì) 量法、假設(shè)模態(tài)法、模態(tài)綜合法和有限元法。本章 材料均為理想線彈性體，即材料為均勻的和各向同 性的，且在彈性范圍內(nèi)服從胡克定律 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 4.1 一維波動方程 基本假設(shè): 考慮圖示均質(zhì)直桿 1.所有連續(xù)體均為線性彈性體 2.材料均勻連續(xù)且各向同性 3.體系的振動變形都是微小變形 一.動力學(xué)方程 1.桿的縱向振動 設(shè) E 彈性模量為 S 橫截面積為 材料密度為l桿件長度為 假定振動過程中各截面保持平面，并忽略因縱向振 動引起的橫向變形 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 考慮微段的平衡 一維波動方程 u FESES

3、x d(d ) F S xuFxF x 而 將上式代入動力平衡方程整理得 2 u a u /aE 波速 2.弦的橫向振動 討論兩端固定，以張力F 拉緊的細弦的橫向振動 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 設(shè)弦單位長度的質(zhì)量為 l d l y x ( , )p x t 單位長度弦上橫向 的干擾力 以變形前弦的方向為x軸 振動過程中弦的張力不變 ( , )y x t設(shè)橫向撓度 對圖示微元體，列出 2 2 ddd l y xFxp x tx /yx 將代入整理得 2 / l ya yp 自由振動時0p 上式化為 2 y a y 一維波動方程 / l aF 波速 STDU DYNA

4、MICS OF STRUCTURES 3.軸的扭轉(zhuǎn)振動 設(shè)截面的二次極矩為 P I 材料的密度為 G剪切模量 建立圖示的坐標系( , )x t 扭轉(zhuǎn)角 該截面處的扭矩為 (/) P TGIx 對右圖示的微元體，列出 22 22 ddd PP IxGIxp x tx 自由振動時 22 22 dd PP IxGIx tx 化為一維波動方程 一維波動方程 2 a /aG 波速 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 4.桿的剪切振動 材料的密度為 G剪切模量 建立圖示的坐標系(/)(/) S FGSyx 對右圖示的微元體，列出 桿的剪切振動 x x dx S F d S S F Fx

5、 x y 當(dāng)桿的長度接近截面尺寸時，桿的 橫向振動主要引起剪切變形 假設(shè)振動過程中桿的橫截面始終保 持平行，稱作桿的剪切振動 22 22 dd yGSy S xx tx 截面形狀系數(shù) 2 y a y 一維波動方程 /()aG 波速 整理得 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 二.固有頻率和模態(tài)函數(shù) 以上四種物理背景不同的振動都歸結(jié)為同一數(shù)學(xué)模型， 即一維波動方程。以桿的縱向振動為代表，討論此數(shù)學(xué) 模型，所得結(jié)果也完全適用于其它振動問題。 現(xiàn)來求解一維波動方程 2 u a u 利用分離變量法，令 ( , )( )( )u x txq t 這個假設(shè)的實質(zhì)是:假設(shè)桿上各點作同步運

6、動 代入波動方程得 2 ( )( ) ( )( ) q tx a q tx ( )x 桿上距原點x處的截面縱向振動的振幅 ( )q t各截面振動隨時間的變化規(guī)律 等式兩邊是互相無關(guān)的函數(shù)，因些只能等于常數(shù) STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 記 22 ( )( ) ( )( ) q tx a q tx 上式可化為如下兩個常微分方程 2 ( )( )0q tq t 2 ( )( )0 xx a 思考:為什么這個常數(shù)為非正數(shù)? 通解: ( )sin()q tat 12 ( )sincos xx xCC aa 振動形態(tài)(模態(tài)) 常數(shù) 1 C 2 C 由桿的邊界條件確定 與有限自由

7、度系統(tǒng)不同，連續(xù)系統(tǒng)的模態(tài)為坐標的連 續(xù)函數(shù)，即模態(tài)函數(shù)。由于是表示各坐標振幅的相對 比值，模態(tài)函數(shù)內(nèi)可以包含一個任意常數(shù) STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 由頻率方程確定的固有頻率有無窮多個 (1,2,) i i i ( ) i x 一一對應(yīng) 第i階主振動 ( ) ( , )( )sin()(1,2,) i iiii ux taxti 系統(tǒng)的自由振動是無窮多個主振動的疊加 1 ( , )( )sin() iiii i u x taxt 其中積分常數(shù) i a和 i (1,2,)i 由系統(tǒng)的初始條件確定 以下討論幾種常見邊界條件下的固有頻率和模態(tài)函數(shù) 1.兩端固定 邊界條件

8、為 (0, )(0) ( )0utq t ( , )( ) ( )0u l tl q t ( )0q t 因 (0)0 ( )0l STDU DYNAMICS OF STRUCTURES (0)0 ( )0l 將 代入 12 ( )sincos xx xCC aa 可得 2 0C 1 sin0 l C a 和 因為 1 0C 故須有 sin0 l a 頻率方程 無窮多個固有頻率 i i a l (0,1,2,)i 模態(tài)函數(shù) ( )sin ii i x xC l (0,1,2,)i 由于模態(tài)表示的是各振幅比值,故可令這個常數(shù)等于1 ( )sin i i x x l (0,1,2,)i 2.兩端自

9、由 邊界條件為 (0, )(0) ( )0ESutESq t ( , )( ) ( )0ESu l tESl q t 因 (0)0 ( )0l ( )0ESq t STDU DYNAMICS OF STRUCTURES (0)0 ( )0l 將 代入 12 ( )sincos xx xCC aa 可得 1 0C 2 sin0 l C a 和 因為 2 0C 故須有 sin0 l a 頻率方程 無窮多個固有頻率 i i a l (0,1,2,)i 模態(tài)函數(shù) ( )cos ii i x xC l (0,1,2,)i 亦可令這個常數(shù)為1,有 ( )cos i i x x l (0,1,2,)i 3.

10、一端固定另一端自由 邊界條件為 (0, )(0) ( )0utq t ( , )( ) ( )0ESu l tESl q t 因 (0)0 ( )0l ( )0ESq t STDU DYNAMICS OF STRUCTURES (0)0 ( )0l 將 代入 12 ( )sincos xx xCC aa 可得 2 0C 1 cos0 l C a 和 因為 1 0C 故須有 cos0 l a 頻率方程 無窮多個固有頻率 21 22 i ia l (1,2,)i 模態(tài)函數(shù) 21 ( )sin 2 ii ix xC l (1,2,)i 亦可令這個常數(shù)為1,有 (0,1,2,)i 21 ( )sin

11、2 i ix x l STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 例例: 解解: 設(shè)桿的一端固定，另一端自由且有附加質(zhì)量 0 m 0 m ES l x O 如圖所示,試求桿縱向振 動的固有頻率和模態(tài) 邊界條件寫作 (0, )0ut 0 x lx l ESum u (0)0 2 0 ( )( )ESlml 將邊界條件代入 12 ( )sincos xx xCC aa 得到 2 0C 及頻率方程 0 cossin ESll m aaa 化作 1 tan ll aa 0 /mm mSl 其中 梁的總質(zhì)量 利用數(shù)值方法或作圖法可解出此方程，得到頻率 i STDU DYNAMICS OF S

12、TRUCTURES 相應(yīng)的模態(tài)函數(shù)為( )sin i i x x a (1,2,)i 因為數(shù)學(xué)模型相同，以上在各種邊界條件下導(dǎo)出的固有 頻率和模態(tài)函數(shù)也完全適用于弦的橫向振動、桿的扭轉(zhuǎn) 振動和梁的剪切振動。關(guān)于這類系統(tǒng)的受迫振動本節(jié)不 作討論，因為與下節(jié)梁的彎曲受迫振動的分析和計算方 法基本相同 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 4.2 Euler-Bernoulli梁的彎曲自由振動 一.動力學(xué)方程 考慮細直梁的彎曲振動 忽略梁的剪切變形和 截面繞中性軸轉(zhuǎn)動對 彎曲的影響 Euler-Bernoulli梁 設(shè)梁的長度為l密度為 截面積為( )S x E彈性模量為 ( )I

13、 x截面二次矩 ( , )f x t 單位長度梁上的橫向外力 ( , )m x t單位長度梁上的外力矩 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 取一微段,其受力圖如右圖 利用達朗伯原理列出微元體沿 y方向的動力學(xué)平衡方程 2 2 d(d )( , )d S SS Fy S xFFxf x tx tx 即 2 2 ( , ) S Fy f x tS xt 再列出微元體力矩方向的平衡方程 2 2 dd (d )d( , )dd( , )d0 22 S Mxyx MxMFxf x txS xm x tx xt 略去高階微量得到( , ) S M Fm x t x 將該式代入前面的式子

14、得到 ( , )Mmf x tSy STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 由材料力學(xué)知( , )( )( , )M x tEI x yx t ( , )Mmf x tSy 代入整理得 ( , )EIySyf x tm 動力學(xué)方程 若為等截面梁,則可化為( , )EIySyf x tm 若梁上無分布力矩,則化為( , )EIySyf x t 此方程含有對坐標的四階導(dǎo)數(shù)和對時間的二階導(dǎo)數(shù), 故求解時必須考慮四個邊界條件和兩個初始條件 二.固有頻率和模態(tài)函數(shù) 考慮梁的自由振動,此時梁上無荷載,動力學(xué)方程為 0EIySy STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 0EI

15、ySy 仍采用分離變量法，令 ( , )( )( )y x txq t 代入動力學(xué)方程,整理得到 ( )( ) ( ) ( ) EI xxq qS xx 該式兩邊分別為時間和坐標的孤立函數(shù),兩者互相無 關(guān),故只能等于常數(shù),記為 2 導(dǎo)出兩個常微分方程 2 ( )( )0q tq t 2 ( )( )( ) ( )0EI xxS xx 第一個方程的解為( )sin()q tat STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 第二個方程為變系數(shù)微分方程,一般情況下得不到解析解 考慮特殊情況,高梁為等截面梁,則第二個方程化為 2 ( )( )0EIxSx 42 S EI 令 4 ( )(

16、)0 xx 該方程的解可以確定梁的模態(tài)函數(shù)和固有頻率 設(shè)解的一般形式為( ) x xe 代入控制方程，導(dǎo)出本征方程 44 0 本征根為, i 對應(yīng)于4個線性獨立的特解 i-i , xxxx eeee coshsinh x exx i cosisin x exx 因為 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES cosh,sinh,cos,sinxxxx 亦可將作為基本解 于是原方程的通解為 1234 ( )cossincoshsinhxCxCxCxCx 積分常數(shù) (1,2,3,4) j Cj 及參數(shù) 應(yīng)滿足的頻率方程 由梁的邊界條件確定 可解出無窮多個固有頻率及模態(tài)函數(shù) i ( )

17、 i x (1,2,)i 構(gòu)成系統(tǒng)的主振動 ( ) ( , )( ) sin() i iiii yx taxt (1,2,)i 系統(tǒng)的自由振動是無窮多個主振動的線性疊加 1 ( , )( ) sin() iiii i y x taxt STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 其中,積分常數(shù) ii a 和和由初始條件確定 常見的約束狀況與邊界條件有以下幾種： l固定端 00 ()0,()0 xx 00 ()0,()0y xy x 即 0 （0）xl 或或 l簡支端 00 ()0,()0 xx 00 ()0,()0y xM x 即 l自由端 00 ()0,()0 xx 00 ()0

18、,()0 S M xFx 即 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 以下若無特殊說明,均假設(shè)梁為等截面梁 例例: 解解: 求兩端簡支梁的固有頻率和模態(tài) (0)0,(0)0 ( )0,( )0ll 1234 ( )cossincoshsinhxCxCxCxCx 已知梁的邊界條件為 代入 得 13 0CC 13 0CC 1234 cossincoshsinh0ClClClCl 13 0CC 1234 cossincoshsinh0ClClClCl 由前二式可解得 代入后二式有 24 24 sinsinh0 sinsinh0 ClCl ClCl STDU DYNAMICS OF S

19、TRUCTURES sinh0l 因為24 24 sinsinh0 sinsinh0 ClCl ClCl 故由式 可解得 4 0C 于是得頻率方程 及 2 sin0Cl 而 2 0C sin0l 解得i i l 2 2 i EIiEI SlS 得固有頻率 (1,2,)i (1,2,)i 1234 ( )cossincoshsinhxCxCxCxCx 將 13 0CC 4 0C 及 i 代入 得相應(yīng)的模態(tài)函數(shù) 2 ( )sin i i xCx l 由于模態(tài)表示各點振幅之間的比值,故可取 2 1C (1,2,)i STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 得模態(tài)函數(shù)( )sin i

20、i xx l (1,2,)i 其前幾階模態(tài)的形狀如下 第一階模態(tài) 第二階模態(tài) 第三階模態(tài) 第四階模態(tài) 沒有節(jié)點 一個節(jié)點 二個節(jié)點 三個節(jié)點 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 例例: 解解: 求懸臂梁的固有頻率和模態(tài) (0)0,(0)0 ( )0,( )0ll 1234 ( )cossincoshsinhxCxCxCxCx 已知梁的邊界條件為 代入 得 1324 ,CC CC 12 12 (coscosh)(sinsinh)0 (sinsinh)(coscosh)0 CllCll CllCll 以及 因為 12 ,C C不能全為零,故有 coscoshsinsinh 0

21、sinsinhcoscosh llll llll 展開化簡后，得到頻率方程 coscosh10ll STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 該方程為超越方程,不能求得精確解,可用作圖法或 者數(shù)值法求得其近似解 1 1.875l 2 4.694l 3 7.855l 21 2 i i l (3,4,)i 對應(yīng)的各階頻率為 2 4ii EI l Sl (1,2,)i 相應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)為 ( )coscosh(sinsinh) iiiiii xxxxx (1,2,)i coscosh sinsinh ii i ii ll ll 其中 其前三階模態(tài)圖如下 STDU DYNAMICS O

22、F STRUCTURES 第一階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài) 例例: 解解: 求兩端自由梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù) (0)0,(0)0 ( )0,( )0ll 已知梁的邊界條件為 利用前面相同的步驟可以導(dǎo)出頻率方程 coscosh1ll 0 0l 2 7.853l 21 2 i i l (3,4,)i 1 4.730l 解得 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 相應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)為 ( )coscosh(sinsinh) iiiiii xxxxx (0,1,2,)i coscosh sinsinh ii i ii ll ll 其中 例例: 解解: 圖示懸臂梁的自由端有彈性支承,試列

23、出其頻率方程 固定端的邊界條件化為 21 ( )( ),( )( )EIlklEIlkl (0)0,(0)0 梁右端的邊界條件為: 梁端的剪力和彎矩分別 等于直線彈簧的反力和 卷簧的反力矩,即: 21 ( , )( , ),( , )( , )EIyl tk y l tEIyl tk y l t 化為 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 1324 -,-CC CC 由固定端條件解得 由彈性支承端條件并考慮上式得 11 21 (coscosh)(sinsinh) (sinsinh)(coscosh)0 C EIllkll C EIllkll 3 12 3 22 (sinsin

24、h)(coscosh) (coscosh)(sinsinh)0 C EIllkll C EIllkll 因不全為零 1 C 2 C和導(dǎo)出頻率方程 1 coscosh1(cossinhsincosh) k llllll EI 2 (0)k 2 3 coscosh1(cossinhsincosh) k llllll EI 1 (0)k 或 若全為零 1 k 2 k和則退化為懸臂梁的頻率方程 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 例例: 解解: 固定端的邊界條件為 懸臂梁的自由端有附加質(zhì)量 ,試列出其頻率方程 0 m (0)0,(0)0 自由端應(yīng)有 0 ( , )( , ),( ,

25、 )0 I EIyl tFm y l tEIyl t 化為 2 0 ( )( ),( )0EIlmlEIl 利用與上例相同的方法可提頻率方程 coscosh1(sincoshcossinh)lllllll 其中 0 /mm mSl 說明說明: 上述分析沒有考慮梁的剪切變形和梁截面的轉(zhuǎn) 動慣性,因而只適用于細長梁/5l h 若不滿足此條件,宜用Timoshenko梁模型,剪切變形和梁 截面的轉(zhuǎn)動慣性都會使梁的固有頻率減小 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 三. 模態(tài)函數(shù)的正交性 討論細長梁，不限于等截面情形,設(shè) i ( ) i x j ( ) j x 2 ( ) ( )(

26、) ( )(1) iii EI xxS xx 它們必滿足 2 ( )( )( )( )(2) jjj EI xxS xx 對第(1)式,兩邊乘以 ( ) j x 并沿桿長積分 2 00 dd(3) ll jiiij EIxAx 左邊利用分部積分有 0000 dd llll jijijiji EIxEIEIEIx STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 0000 dd llll jijijiji EIxEIEIEIx 對于梁的簡單邊界條件,其撓度和剪力中必有一個為 零,轉(zhuǎn)角和彎矩中也必有一個為零,因而上式中的前兩 項必定等于零,故有 00 dd ll jiji EIxEIx 代入

27、(3)式得 2 00 dd(4) ll jiiij EIxSx 同理, 對第(2)式,兩邊乘以 ( ) i x 并沿桿長積分 得 2 00 dd(5) ll jijij EIxSx (4)式減去(5)式得 22 0 ()d0 l ijij Sx 如果ij 22 ij 則 0 d0 l ij Sx 再代回(4)式得 0 d0 l ji EIx STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 0 d0 l ij Sx 0 d0 l ij EIx 主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性 主振型關(guān)于剛度的正交性 四.主質(zhì)量和主剛度 ij ij 以上主振型的正交性條件要求ij 當(dāng)ij 時定義 2 P 0 ( )

28、 ( ) d l ii MS xxx 2 P 0 ( ) ( ) d l ii KEI xxx 第i階主質(zhì)量 第i階主剛度 2 00 dd ll jiiij EIxSx 由式知 P P i i i K M STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 與多自由度系統(tǒng)類似，也可以實現(xiàn)模態(tài)函數(shù)的簡正化 記 1/2 ( )( ) iiP xx M 若采用簡正模態(tài)函數(shù),則必有 2 0 ( ) ( ) d1 l i S xxx 22 0 ( ) ( ) d l ii EI xxx 簡正模態(tài)函數(shù) 模態(tài)的正交條件可寫為 0 d l ijij Sx 2 0 d l ijiji EIx (1,2,)i

29、 ij 為克羅內(nèi)克符號 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 當(dāng)梁的端部為簡支、固定或自由以外的其它復(fù)雜情形時， 則以上對正交性條件的推導(dǎo)和結(jié)論應(yīng)作相應(yīng)的改變。 對于一維波動方程描述的桿的縱向振動或軸的扭轉(zhuǎn)振動等 情形，也可以導(dǎo)出類似的正交性條件。 注: 4.3 Euler-Bernoulli梁的受迫振動 根據(jù)模態(tài)函數(shù)的正交性，可將多自由度系統(tǒng)的模態(tài)疊加法思想 應(yīng)用于連續(xù)系統(tǒng)。即將彈性體的振動表示為各階模態(tài)的線性組 合，用于計算系統(tǒng)在激勵作用下的響應(yīng)問題 梁的動力學(xué)方程為 ( , )EIySyf x tm 設(shè) 1 ( , )( )( ) jj j y x tx q t 代入動

30、力方程得 11 ( )( )( )( )( )( )( , )( , ) jjjj jj S xx q tEI xxq tf x tm x t STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 11 ( , )( , ) jjjj jj SqEIqf x tm x t 簡寫為 方程兩邊同時乘以 , i 并沿桿長積分 000 11 dd ( , )( , ) d lll jjijjii jj qSxqEIxf x tm x tx 利用模態(tài)的正交性,得到無窮多個完全解耦的方程 2 iiii qqQ 其中 0 ( ) ( , )( , ) ( )d l ii Q tf x tm x txx (

31、1,2,)i 第i個正則坐標方程 第i個廣義力 設(shè)梁的初始條件為 1 ( ,0)( )y xfx 2 ( ,0)( )y xfx 將此初始位移亦看作是各階模態(tài)的疊加 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 兩式分別乘以 i S 并沿桿長積分得 1 1 ( ,0)( )( )(0) jj j y xfxx q 2 1 ( ,0)( )( )(0) jj j y xfxx q 1 00 (0)( ) ( ,0) ( )d( )( ) ( )d ll iii qS x y xxxS x fxxx 2 00 (0)( ) ( ,0) ( )d( )( ) ( )d ll iii qS

32、x y xxxS x fxxx (1,2,)i 此二式即為廣義坐標的初始條件 系統(tǒng)廣義坐標的響應(yīng)為初始條件確定的自由振動和 激勵力產(chǎn)生的響應(yīng)的疊加。由杜哈梅積分公式及單 自由度結(jié)構(gòu)自由振動的解得到 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 0 (0)1 ( )( )sin()d(0)cossin t i iiiiii ii q q tQtqtt (1,2,)i 原來系統(tǒng)物理坐標的的響應(yīng)為 1 ( , )( ) ( ) ii i y x tx q t 如果作用的梁上的不是分布力和分布力矩，而是集中 力和集中力矩，如圖所示 作用力可表示為 01 ( , )( )()f x tF tx

33、 02 ( , )( )()m x tMtx 廣義作用力為 0102 0 ( )( ) ()( )() ( )d l ii Q tF txMtxxx STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 0102 0 ( )( ) ()( )() ( )d l ii Q tF txMtxxx 0102 00 ( ) () ( )d( )() ( )d ll ii F txxxMtxxx 0102 0 ( ) ()( )( )d () l ii F tMtxx 010202 0 0 ( ) ()( ) ( ) ()( )( ) ()d l l iii F tMtxxMtxxx 0102 0 (

34、 ) ()( )( ) ()d l ii F tM txxx 0102 ( ) ()( )() ii F tMt (1,2,)i STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 例例: 解解: 設(shè)等截面簡支梁受到初始位移 34 34 ( ,0)2 xxx y xA lll 的激勵，求梁的響應(yīng) 我們已知該梁的模態(tài)函數(shù)為 ( )sin i i xx l (1,2,)i 計算其主質(zhì)量 22 P 00 ( ) ( ) dsind 2 ll ii i xm MS xxxSx l 其簡正模態(tài)為 2 ( )sin i i x x ml 其中mSl 為梁的質(zhì)量 STDU DYNAMICS OF STR

35、UCTURES 2 i iEI lS 梁的固有頻率為 由于梁沒有初速度，也沒有干擾力，而只有初位移 廣義坐標的初位移為 0 (0)( ) ( ,0) ( )d l ii qS x y xxx 34 34 0 2 2sind l xxxi x SAx lllml 5 48 2(1,3,5,) () 0(2,4,6,) A mi i i 廣義坐標的響應(yīng)為 5 48 ( )(0)cos2cos () iiii A q tqtmt i (1,3,5,)i STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 系統(tǒng)物理坐標的響應(yīng)為 1 ( , )( ) ( ) ii i y x tx q t 5 1,

36、3,5, 248 sin2cos () i i i xA mt mli 5 1,3,5, 96 sincos () i i Ai x t il 例例: 解解: 設(shè)等截面簡支梁上通過一輛以速度 勻速駛過的車， 若忽略車輛的慣性，可以看作集中力 勻速沿橋梁 移動 v F 設(shè)梁上橋瞬時0t 梁的初位移和初速度皆為零 F v x x y 、E Il O 求梁的響應(yīng) 集中力荷載用脈沖函數(shù)表示為 ()(0/ ) ( , ) 0(/ ) Fxvttl v f x t tl v STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 簡支梁的固有頻率和簡正模態(tài)函數(shù)為 2 ( )sin i i x x ml 2

37、 i iEI lS 0 22 ( )()sindsin l i i xi v Q tFxvtxFt mlml 求出與廣義坐標相對應(yīng)的廣義力 (0/ )tl v 將廣義力和零初始條件代入杜哈梅積分 0 (0)1 ( )( )sin()d(0)cossin t i iiiiii ii q q tQtqtt 0 1 ( )sin()d t ii i Qt 0 12 sinsin()d t i i i v Ft ml STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 22 21 sinsin (/ ) ii ii Fi vi v tt m i v lll (0/ )tl v 梁的響應(yīng)為 1 (

38、, )( ) ( ) ii i y x tx q t 22 1 2 sinsinsin (/ ) ii i ii Fi vi vi x tt mi v llll (0/ )tl v 其中括號內(nèi)第一項為車輛載荷激起的受迫振動，第二 項為伴生自由振動 當(dāng)固有頻率 i 與激勵頻率/i v l 相等的時候?qū)a(chǎn)生第 i階共振，對應(yīng)的車速為/ i vl i 這時梁的振幅將隨時間增長，直到車輛離開橋梁 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 當(dāng) /tl v 后 梁作自由振動 其廣義坐標的初位移和初速度為 ( / ) i q l v( / ) i q l v 和 其振動的響應(yīng)可參考上例求得,此

39、處略去 例例: 圖示等截面簡支梁 0 sinMt 中點處受集中力偶 求梁的響應(yīng) 解解: 簡支梁的固有頻率和簡正模態(tài)函數(shù)為 2 ( )sin i i x x ml 2 i iEI lS 力偶荷載用脈沖函數(shù)表示為 0 ( , )(/2)m x tMxl STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 廣義坐標的動力學(xué)方程為 2 0 2 cossin 2 iiii ii qqQMt lm 其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 022 12 cossin 2 i i ii qMt lm 因此有 1 ( , )( ) ( ) ii i y x tx q t 022 1 212 sincossin 2 i i i xii Mt mllm 0 22 1 2 cossinsin 2 i i Miii x t mll 0