第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換

1、1 1 系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 第四章第四章 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換連續(xù)時(shí)間傅立葉變換 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換 傅立葉級(jí)數(shù)與傅立葉變換之間的關(guān)系 傅立葉變換的性質(zhì) 2 2 在工程應(yīng)用中有相當(dāng)廣泛的信號(hào)是非周期在工程應(yīng)用中有相當(dāng)廣泛的信號(hào)是非周期 信號(hào)，本章要解決的問(wèn)題有兩個(gè)：信號(hào)，本章要解決的問(wèn)題有兩個(gè)： 4.0 4.0 引引 言言 1. 1. 對(duì)非周期信號(hào)應(yīng)該如何進(jìn)行分解？對(duì)非周期信號(hào)應(yīng)該如何進(jìn)行分解？ 2. 2. 什么是非周期信號(hào)的頻譜表示？什么是非周期信號(hào)的頻譜表示？ 3 3 4.1 4.1 非周期信號(hào)的表示非周期信號(hào)的表示 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換連續(xù)時(shí)間傅立葉變換 本節(jié)主要內(nèi)容本節(jié)主要內(nèi)

2、容 非周期信號(hào)傅里葉變換公式推導(dǎo)非周期信號(hào)傅里葉變換公式推導(dǎo) 傅里葉變換的收斂條件傅里葉變換的收斂條件 常見(jiàn)信號(hào)的傅里葉變換常見(jiàn)信號(hào)的傅里葉變換 4 4 包絡(luò)的譜線間隔包絡(luò)的譜線間隔 ，被采樣的間隔越來(lái)越小，被采樣的間隔越來(lái)越小 。 一一. .從傅立葉級(jí)數(shù)到傅立葉變換從傅立葉級(jí)數(shù)到傅立葉變換 0 T 0 10 0 00 10 22 k Tk aT Tk Tk a kk sinsin a b (a) 01 4TT(b) 01 8TT 0 0 20 2 0 4 0 4 0 k aT0 k aT0 k aT 0 當(dāng)當(dāng) 周期矩形脈沖周期矩形脈沖: 1 10 1, 0, / 2 tT x t TtT 頻

3、譜系數(shù)為：頻譜系數(shù)為： 4.1 非周期信號(hào)的表示 非周期信號(hào)的表示 5 5 周期趨近于無(wú)窮大時(shí)，即周期趨近于無(wú)窮大時(shí)，即 時(shí)，原來(lái)時(shí)，原來(lái) 的的周期方波就趨近于一個(gè)矩形脈沖周期方波就趨近于一個(gè)矩形脈沖，此時(shí)傅里，此時(shí)傅里 葉系數(shù)的采樣間隔也越來(lái)越密集，因此，傅里葉系數(shù)的采樣間隔也越來(lái)越密集，因此，傅里 葉系數(shù)更加趨近于包絡(luò)函數(shù)。葉系數(shù)更加趨近于包絡(luò)函數(shù)。 0 T 非周期信號(hào)傅里葉表示的基本思想：非周期信號(hào)傅里葉表示的基本思想： 把非周期信號(hào)當(dāng)作一個(gè)周期信號(hào)在周期任意把非周期信號(hào)當(dāng)作一個(gè)周期信號(hào)在周期任意 大時(shí)的極限來(lái)看待，并且研究這個(gè)周期信號(hào)傅里大時(shí)的極限來(lái)看待，并且研究這個(gè)周期信號(hào)傅里 葉表

4、示式的極限特性。葉表示式的極限特性。 4.1 非周期信號(hào)的表示 非周期信號(hào)的表示 6 6 它在 時(shí)可以是有限的。 周期性矩形脈沖信號(hào)將演變成為 非周期的單個(gè)矩形脈沖信號(hào)，即 txtx)( )( tx :周期性矩形脈沖信號(hào)； tx :等于一個(gè)周期內(nèi)的 ，具有有限持續(xù)期。)( tx dtetxaT tjk T T k 0 0 0 2 2 0 ，時(shí)當(dāng) 0 T 考查 的變化: k aT 0 0 T 0 T令 由 4.1 非周期信號(hào)的表示 非周期信號(hào)的表示 7 7 得 即 j t Xjx t edt 表明：表明：1.而非周期信號(hào)的頻譜是周期信號(hào)頻譜的包絡(luò)；而非周期信號(hào)的頻譜是周期信號(hào)頻譜的包絡(luò)； 2.周

5、期信號(hào)的頻譜系數(shù)，是與它對(duì)應(yīng)的非周期信號(hào)周期信號(hào)的頻譜系數(shù)，是與它對(duì)應(yīng)的非周期信號(hào) 頻譜的等間隔樣本，并與之成正比。頻譜的等間隔樣本，并與之成正比。 周期延拓后周期 信號(hào)的頻譜系數(shù) dtetxaT tjk k T 0 0 0 lim 0 0 00 11 k k aX jX jk TT 非周期信號(hào)的傅立葉變換非周期信號(hào)的傅立葉變換 )( 令 jX 4.1 非周期信號(hào)的表示 非周期信號(hào)的表示 具有頻譜隨頻率分布的 物理含義，因而稱其為頻譜密度函數(shù)。 000 0 ,0 0 ()limlim k k TTf a X jTa f 8 8 k tjk k tjk k tjk k ejkXejkX T ea

6、tx 000 0 000 2 11 根據(jù)周期信號(hào)的傅立葉系數(shù)表示： 當(dāng) 0 T 時(shí)， 0 0 2 ,d T 0 ,k 于是 1 ( )() 2 j t x tX jed txtx)( 傅里葉逆變換傅里葉逆變換 dejXtx tj 2 1 )( 此時(shí) 4.1 非周期信號(hào)的表示 非周期信號(hào)的表示 上式表明，非周期信號(hào)可以分解成無(wú)數(shù)多個(gè)頻率連續(xù)上式表明，非周期信號(hào)可以分解成無(wú)數(shù)多個(gè)頻率連續(xù) 分布的、振幅為分布的、振幅為 的復(fù)指數(shù)信號(hào)之和。的復(fù)指數(shù)信號(hào)之和。 djX 2 1 9 9 和傅立葉級(jí)數(shù)的收斂條件一致，也有相應(yīng) 的兩組條件： 表明表明: :能量有限的信號(hào)其傅立葉變換一定存在。能量有限的信號(hào)其傅

7、立葉變換一定存在。 1.1.平方可積條件平方可積條件 二二. .傅立葉變換的收斂傅立葉變換的收斂 若 2 ( )x tdt ，則 存在()X j 4.1 非周期信號(hào)的表示 非周期信號(hào)的表示 1 ( )() 2 j t j t X jx t edt x tX jed 傅立葉變換對(duì)公式：傅立葉變換對(duì)公式： 1010 b. 在任何有限區(qū)間內(nèi)， 只有有限個(gè)極值點(diǎn)，且 極值有限。 ( )x t c. 在任何有限區(qū)間內(nèi)， 只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)。 ( )x t 和周期信號(hào)的情況一樣，當(dāng)和周期信號(hào)的情況一樣，當(dāng) 的傅立葉變換存在，其傅的傅立葉變換存在，其傅 立葉變換在立葉變換在 的連續(xù)處收斂于信號(hào)本身的連續(xù)

8、處收斂于信號(hào)本身, ,在間斷點(diǎn)處收斂于左在間斷點(diǎn)處收斂于左 右極限的平均值，在間斷點(diǎn)附近會(huì)產(chǎn)生右極限的平均值，在間斷點(diǎn)附近會(huì)產(chǎn)生GibbsGibbs現(xiàn)像?，F(xiàn)像。 ( )x t ( )x t 2. 2. DirichletDirichlet 條件條件 ( )x t dt a. 絕對(duì)可積條件： ( )x t 注意：這些條件只是傅立葉變換存在的充分條件，這兩 組條件并不等價(jià)。 4.1 非周期信號(hào)的表示 非周期信號(hào)的表示 1111 三、三、 常用信號(hào)的傅立葉變換：常用信號(hào)的傅立葉變換： 例例1 1.( )( ),0 at x te u t a 實(shí)信號(hào)，求傅立葉變換，畫(huà)出其模、相位特性圖。 0 () a

9、tj t X je edt 1 22 1 (), ()X jX jtg a a 則模：相位： ( )x t t 0 1 aa 0 1/a ()X j 2 2a 2 2 aa ()X j dtetxjX tj 解: 4.1 非周期信號(hào)的表示 非周期信號(hào)的表示 0 atj t t ee aj 1 aj 1212 例例2.2.( ),0 at x tea ，求其傅里葉變換。 結(jié)論結(jié)論: :實(shí)偶信號(hào)實(shí)偶信號(hào) 的傅立葉變換是的傅立葉變換是 實(shí)偶函數(shù)實(shí)偶函數(shù), ,如圖如圖 示信號(hào)的頻譜。示信號(hào)的頻譜。 ()()X jX j則模： ( )x t t 1 0 0 0 ( ) a t j ta t j t Xj

10、ee d te e d t 解 ： ()0X j ()X j 2 a 1 a aa 0 22 0 112 ( ) a t jta t jt a Xjee d t ee d t aj aj a 4.1 非周期信號(hào)的表示 非周期信號(hào)的表示 1313 例例3.3. ( )( )x tt，求其傅里葉變換。 ()( )1 j t Xjt edt 解： 這表明 中包括了所有的頻率成分,所有 頻率分量的幅度、相位都相同。因此單位沖激響 應(yīng) 才能完全描述一個(gè)LTI系統(tǒng)特性， 才在 信號(hào)與系統(tǒng)分析中具有如此重要的意義。 0 ( ) t t ()X j 0 ( ) t ( )h t( ) t 1 4.1 非周期信

11、號(hào)的表示 非周期信號(hào)的表示 1414 例例4.4.求矩形脈沖的傅里葉變換: 1 1 1, ( ) 0, tT x t tT 。 1 1 1111 111 1 22 ()2()2() T j t T Sin TTSin TT X jedtTSaTTSinc T 解： 將 中的 代之以 再乘以 ,即是相應(yīng)周期信號(hào)的頻譜。()X j 0 k 0 1 T 0111 01 0001 22 () k SinkTTT aSa kT TTkT ( )x t t 1 T 1 T 1 0 ( )x t t 1 2T 1 2T 1 0 ()X j 0 1 T 1 2T 1 2T ()X j 1 2 T 1 4T 脈

12、寬變寬時(shí) 4.1 非周期信號(hào)的表示 非周期信號(hào)的表示 1515 例例5.理想低通濾波器 ()X j WW 1 0 ( )x t t W 0 W 1 ( )()() 2 W j t W SinWtWWWt x te dSaWtSinc t 1 ( )() 2 j t x tX jed 解：由 1, () 0, W X j W ，求其時(shí)域表達(dá)式。 4.1 非周期信號(hào)的表示 非周期信號(hào)的表示 1616 4.1 非周期信號(hào)的表示 非周期信號(hào)的表示 結(jié)論：信號(hào)在時(shí)域和頻域之間有相反關(guān)系結(jié)論：信號(hào)在時(shí)域和頻域之間有相反關(guān)系, ,即信號(hào)即信號(hào) 在時(shí)域脈沖越窄在時(shí)域脈沖越窄, ,則其頻譜主瓣越寬則其頻譜主瓣越

13、寬, ,反之亦然。反之亦然。 對(duì)偶情況如下圖所示對(duì)偶情況如下圖所示: : 1717 分析：分析：1 1）不滿足收斂條件，不能由傅立葉變換公式求；）不滿足收斂條件，不能由傅立葉變換公式求； 2 2）該信號(hào)在時(shí)域持續(xù)無(wú)限長(zhǎng)，根據(jù)上例，在頻域）該信號(hào)在時(shí)域持續(xù)無(wú)限長(zhǎng)，根據(jù)上例，在頻域 可能無(wú)限窄，即傅立葉變換可能是沖激信號(hào)；可能無(wú)限窄，即傅立葉變換可能是沖激信號(hào)； 3 3）用頻域的一個(gè)沖激信號(hào)）用頻域的一個(gè)沖激信號(hào) ，求對(duì)應(yīng)時(shí)域信號(hào)。，求對(duì)應(yīng)時(shí)域信號(hào)。 可以想象，如果 ， 將趨向于一個(gè)沖激；反之時(shí) 域無(wú)限長(zhǎng)時(shí)，頻域可能是個(gè)沖激。 例例6 6：求 的傅立葉變換 。 1x t Xj 11 22 j t

14、x ted 12 FT x t 1 2 FT 1 ( )() 2 j t x tX je d 解：由傅氏反變換公式：，的時(shí)域信號(hào)為: 4.1 非周期信號(hào)的表示 非周期信號(hào)的表示 1818 4.24.2周期信號(hào)的傅立葉變換周期信號(hào)的傅立葉變換 周期信號(hào)不滿足收斂條件, 不能用4.1節(jié)非周期信 號(hào)的傅立葉變換公式求其傅里葉變換。 但是周期信號(hào)在時(shí)域的持續(xù)時(shí)間是無(wú)限長(zhǎng)的，那么 其頻域可能是一系列的沖激，而原點(diǎn)處的沖激對(duì)應(yīng)的是 常數(shù)（課件4.1節(jié)例6所示），所以這里觀察頻移的沖激 對(duì)應(yīng)的時(shí)域信號(hào)。 0 2 1919 頻移的沖激信號(hào)： 傅立葉反變換得： tjtj edetx 0 0 2 2 1 0 2j

15、X 表明：周期性復(fù)指數(shù)信 號(hào)的頻譜是一個(gè)沖激。 0 0 2 F jkt ek 0 0 ( )2() F jkt kk kk x ta eak 即周期信號(hào)的傅立葉變換為：即周期信號(hào)的傅立葉變換為： 0 ()2() k k Xjak 這表明這表明, ,周期信號(hào)的傅立葉變換由一系列沖激組成周期信號(hào)的傅立葉變換由一系列沖激組成, ,每一個(gè)沖激分別每一個(gè)沖激分別 位于信號(hào)各次諧波的頻率處位于信號(hào)各次諧波的頻率處, ,其強(qiáng)度正比于傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)其強(qiáng)度正比于傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù) 。 k a 0 0 2 F jt e 4.2周期信號(hào)的傅立葉變換 周期信號(hào)的傅立葉變換 2020 例例1 1： 00 0 1 ( ) 2

16、 jtjt x tSintee j 00 () ()()X j j ()X j 0 0 j j 0 求周期信號(hào) 解解： 的傅里葉變換。 0 ()2() k k X jak 代入周期信號(hào)的傅立葉變換公式： 4.2周期信號(hào)的傅立葉變換 周期信號(hào)的傅立葉變換 1-1 11 ( )=0 22 kk - x taaaa jj 的頻譜系數(shù) 為：，其他 例例2.2. 00 0 1 ( )cos 2 jtjt x ttee 求 1-1 1 =0 2 k a aa，其他，則 00 () ()()X j 的傅立葉變換。 解解： ()X j 0 0 0 例例2.2. 00 0 1 ( )cos 2 jtjt x t

17、tee 求 的傅立葉變換。 例例2.2. 2121 例例3.3.( )() n x ttnT 求的傅立葉變換。 2 22 22 111 ( )( ) TT jkt T k TT at edtt dt TTT 解： 22 ()() k X jk TT 0 ()2() k k X jak 4.2周期信號(hào)的傅立葉變換 周期信號(hào)的傅立葉變換 2222 例例4.4.周期性矩形脈沖的傅里葉變換。周期性矩形脈沖的傅里葉變換。 0 ()2() kk k X jaka 解：由，先求 4.2周期信號(hào)的傅立葉變換 周期信號(hào)的傅立葉變換 2323 周期信號(hào)的傅立葉變換存在條件： 周期信號(hào)不滿足無(wú)窮時(shí)間內(nèi)的絕對(duì)可積條件

18、； 引入沖激信號(hào)后，周期信號(hào)的傅立葉變換是存在的； 周期信號(hào)的頻譜是離散的，其頻譜密度，即傅立葉變 換是一系列沖激。 4.2周期信號(hào)的傅立葉變換 周期信號(hào)的傅立葉變換 2424 4.3 4.3 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換的性質(zhì)連續(xù)時(shí)間傅立葉變換的性質(zhì) 討論連續(xù)時(shí)間傅立葉變換的性質(zhì), 揭示信號(hào)時(shí)域、頻域特 性間的關(guān)系,同時(shí)掌握和運(yùn)用這些性質(zhì)，以簡(jiǎn)化傅立葉變換對(duì) 的求取。 j j FF x tXy tY 一一. .線性線性 如果 jb j b YaXtytax 則 二二. .時(shí)移時(shí)移 jXtx如果 0 0 t eXttx j j 則 表明：信號(hào)的時(shí)移只影響表明：信號(hào)的時(shí)移只影響 它的相頻特性，其相頻特它的

19、相頻特性，其相頻特 性會(huì)增加一個(gè)線性相移。性會(huì)增加一個(gè)線性相移。 4.3 連續(xù)時(shí)間 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換傅立葉變換性質(zhì)性質(zhì) 2525 三三. .共軛對(duì)稱性共軛對(duì)稱性 , jXtx 如果 j- Xtx 則 證明： j dtetxX tj dtetxdtetxX tjtj j 1. 若 tx 是實(shí)信號(hào)， txtx txFdtetxX tj j- 即得證。 則 jj -XX 兩邊同取共軛 在上述結(jié)論的基礎(chǔ)上，有如下推論： 4.3 連續(xù)時(shí)間 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換傅立葉變換性質(zhì)性質(zhì) 2626 用直角坐標(biāo)表示實(shí)信號(hào)頻譜 jImjRejXjXX j-Rej-RejReXXX 實(shí)部偶函數(shù) j-Imj-ImjImX

20、XX 虛部奇函數(shù) 用極坐標(biāo)表示實(shí)信號(hào)頻譜： j jj Xj eXX 則由 j-j-jXXX jj-XX 由由，傅里葉變換的實(shí)部和虛部分別為： jj-XX 得 j-j-j XXX 即相位是奇函數(shù) 即模是偶函數(shù) jX 4.3 連續(xù)時(shí)間 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換傅立葉變換性質(zhì)性質(zhì) 2727 2. 若 txtx信號(hào)是實(shí)偶函數(shù)，則 jdtetxX tj j- Xdexdtetx jtj 表明：偶信號(hào)的傅里葉變換是偶函數(shù) 對(duì)實(shí)信號(hào)j j- XX j X是關(guān)于的實(shí)偶信號(hào) 結(jié)論：實(shí)偶信號(hào)的傅里葉 變換是實(shí)偶函數(shù) 3. 若 txtx信號(hào)是實(shí)奇函數(shù)，則其傅里葉變換有 ()()X jXj * ()()X jXj 結(jié)論：實(shí)

21、奇信號(hào)的傅里葉 變換是純虛的奇函數(shù) 對(duì)偶函數(shù) 4.3 連續(xù)時(shí)間 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換傅立葉變換性質(zhì)性質(zhì) j -jXX 2828 4. 若實(shí)函數(shù)用奇、偶函數(shù)之和表示( )( )( ) eo x tx tx t 由傅里葉變換的線性： 對(duì)偶函數(shù)部分： 傅里葉變換是一個(gè)實(shí)數(shù) 對(duì)奇函數(shù)部分： 傅里葉變換是一個(gè)純虛的奇函數(shù) 且有 且有 jjj oe XXX j ee Xtx jRejXXe jImjXjXo j oo Xtx 4.3 連續(xù)時(shí)間 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換傅立葉變換性質(zhì)性質(zhì) 2929 例:求 的頻譜。 ( )u t ( )( )( ) eo u tu tu t 0 1 ( ) 2 1 ( )( ) 2

22、 e u t u tSgn t ， 1 0 ( )u t t 1/2 0 ( ) e u t t -1/2 1/2 0 ( ) o u t t 0 ( ) 0 t t et f t et (其中0) 提示：符號(hào)函數(shù)sgn(t) 可看作 是下述函數(shù)在取極限趨近0時(shí) 的一個(gè)特例: 4.3 連續(xù)時(shí)間 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換傅立葉變換性質(zhì)性質(zhì) 解： 3030 解:實(shí)部的傅里葉變換為： 由于 虛部傅里葉變換為： 信號(hào)的傅里葉變換為： 4.3 連續(xù)時(shí)間 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換傅立葉變換性質(zhì)性質(zhì) 3131 四四. .時(shí)域微分與積分時(shí)域微分與積分 ()()x tX j ( ) () dx t jXj dt 時(shí)域微分特

23、性時(shí)域微分特性 (提示： 1 ( )() 2 j t x tX jed 兩邊對(duì) 微分) t 例：例：已知 由時(shí)域積分特性可得 ( )u t 1 ( )()(0)() t xdXjX j 時(shí)域積分特性時(shí)域積分特性 若 則 1t 1 dtettF tj 提示： 4.3 連續(xù)時(shí)間 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換傅立葉變換性質(zhì)性質(zhì) 1 () j 3232 五五. .時(shí)域和頻域的尺度變換時(shí)域和頻域的尺度變換 若( )()x tXj則 1 ()()x atX j aa 當(dāng) 時(shí),有 1a ( )()xtXj 尺度變換特性表明：信號(hào)如果在時(shí)域擴(kuò)展 a 倍，則其 頻域帶寬相應(yīng)壓縮 a 倍，反之,信號(hào)在時(shí)域中壓縮a倍，則 其

24、帶寬相應(yīng)擴(kuò)展a 倍。其含義：信號(hào)的波形在時(shí)域中壓縮a 倍，即信號(hào)隨時(shí)間變化加快a倍，所以它包含的頻率分量增 加a倍，所以頻譜展寬a倍。 從理論上證明了時(shí)域與頻域的相反關(guān)系。 4.3 連續(xù)時(shí)間 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換傅立葉變換性質(zhì)性質(zhì) 3333 時(shí)域中的壓縮（擴(kuò)展）等于頻域中的擴(kuò)展（壓縮） 4.3 連續(xù)時(shí)間 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換傅立葉變換性質(zhì)性質(zhì) 3434 六六. .對(duì)偶性對(duì)偶性 -xjtX2若若( )()x tXj則則 證明證明 4.3 連續(xù)時(shí)間 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換傅立葉變換性質(zhì)性質(zhì) 3535 jF jF 4.3 連續(xù)時(shí)間 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換傅立葉變換性質(zhì)性質(zhì) 3636 由對(duì)偶關(guān)系，可以方便地將時(shí)域

25、的某些特征對(duì)偶到頻域。 例如：從時(shí)移到移頻。 由對(duì)偶性質(zhì) j 2- x tX X jtx ; e- 0 t-j xttjX2 0 右邊時(shí)移得 再次對(duì)偶得 0 22x tX j 0 -j t - e ； 由反轉(zhuǎn)性質(zhì) j - ;x tXx tXj 0 j t 0 ex tX j 這就是移頻特性。 4.3 連續(xù)時(shí)間 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換傅立葉變換性質(zhì)性質(zhì) 3737 七七. . 帕斯瓦爾定理帕斯瓦爾定理 若 , jXtx則則 表明：信號(hào)能量既可以在時(shí)域求得，也可以在頻域求得。表明：信號(hào)能量既可以在時(shí)域求得，也可以在頻域求得。 2 jX表示了信號(hào)能量在頻域的分布，因而稱其為表示了信號(hào)能量在頻域的分布，因而

26、稱其為“能量能量 譜密度譜密度”函數(shù)。函數(shù)。 4.3 連續(xù)時(shí)間 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換傅立葉變換性質(zhì)性質(zhì) 3838 4.4 卷積性質(zhì) jXjXtxtx jXtxjtx 2121 2211 ,X)( 證明：設(shè) dtxxtxtxty 2121 dtedtxxdtetytyF tjtj 21 一一. . 卷積性質(zhì)卷積性質(zhì) 12 j t xx tedtd 交換積分次序 則 jXjXdexjX j 1212 得證 12 j xX jed 3939 可以看出，頻率響應(yīng)控制著在每一個(gè)頻率 上，輸入 傅里葉變換復(fù)振幅的變化。 例如頻率選擇性濾波器，在一定的頻率范圍內(nèi)， 從而通帶內(nèi)的各頻率分量通過(guò)系統(tǒng)后，其分量不被

27、衰減或變 換；在阻帶使 ,以消除該頻率范圍內(nèi)分量。 x th tX jH j 由卷積性質(zhì)， j t Hjh t edt 系統(tǒng)頻率響應(yīng): 1jH 0jH 4.4 卷積性質(zhì) 卷積性質(zhì) Y j y t 4040 用傅里葉分析法研究LTI系統(tǒng)時(shí)， 一般僅限于穩(wěn)定系 統(tǒng)，因?yàn)榉€(wěn)定系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 才存在。 ()Hj 二二. . 系統(tǒng)互聯(lián)時(shí)的頻率響應(yīng)系統(tǒng)互聯(lián)時(shí)的頻率響應(yīng): : 1. 級(jí)聯(lián) 12 ( )( )*( )h th th t 12 ()()()H jHjHj 1( )Hj 2( )Hj 1( ) h t 2( ) h t 對(duì)不穩(wěn)定系統(tǒng)的研究，在9章用拉普拉斯變換法討論。 4.4 卷積性質(zhì) 卷積性質(zhì)

28、2.并聯(lián): 12 ( )( )( )h th th t 12 ()()()H jHjHj 2( )Hj 1( )Hj + + 4141 三三. LTI. LTI系統(tǒng)的頻域分析法系統(tǒng)的頻域分析法: : j t H jh t edt 4.4 卷積性質(zhì) 卷積性質(zhì) ()()()Y jX jH j 已知任意兩個(gè)，可求第三個(gè)量，然后反變換求其時(shí)域表達(dá)。 例例1515.已知LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為 求已 知輸入為 時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng) 。 0 ,h tt t x t 解：解： 0 j t t t edt 0 j t e 0 j t Y jX jH jX je 1 0 y tFY jx t t 例例1616.已知微

29、分系統(tǒng) ，求系統(tǒng)頻率響應(yīng) Y j Y jj X jH j X j .H j ( ) () dx t j X j dt 解：解：由微分性質(zhì) dx t y t dt y t 4242 例例1717.已知積分系統(tǒng) ，求系統(tǒng)頻率響應(yīng)。 4.4 卷積性質(zhì) 卷積性質(zhì) t y tx t dt 解：解：由積分性質(zhì) 1 ( )()(0) () t xdXjX j 11 ()(0) ( ) ( ) Y j Y jX jXH j jX jj 例例1919.已知輸入 和單位沖激響應(yīng) 求輸出。 解解: ,0 bt x te u t b ,0 at hte ut a 11 , FTFT btat x te u th te

30、 u t bjaj 1 ()Y jX jH j bjaj 111 b a a jb j 1 atat y t e u te u t b a 例例4.184.18參看書(shū)參看書(shū)P225P225 4343 卷積性質(zhì)： 時(shí)域卷積-頻域相乘 利用對(duì)偶性：利用對(duì)偶性：時(shí)域相乘時(shí)域相乘-頻域卷積頻域卷積 4.5 相乘性質(zhì): (調(diào)制性質(zhì)) jXjXtxtx jXtxjtx 2121 2211 2 1 ,X)( 相乘性質(zhì)相乘性質(zhì) 幅度調(diào)制：幅度調(diào)制：兩個(gè)信號(hào)在時(shí)域相乘，可以看成是由一個(gè)信號(hào) 控制另一個(gè)信號(hào)的幅度。 其中一個(gè)信號(hào)為載波載波，另一個(gè)是調(diào)制信號(hào)調(diào)制信號(hào)（有用信號(hào)）。 4444 jXtxjtx 2211

31、 ,X)( 2211 22xjtXxjtX , 21 2 21 4xxjtXjtX 證明：已知 根據(jù)對(duì)偶性 由卷積性質(zhì)得 再次由對(duì)偶性 相乘性質(zhì)得證。 - jxjtXXtx2 4.5 相乘性質(zhì) 相乘性質(zhì): (調(diào)制性質(zhì)調(diào)制性質(zhì)) 兩邊同除以 ，并由反轉(zhuǎn)性質(zhì)可得 2 4 4545 例例1.1.復(fù)指數(shù)調(diào)制復(fù)指數(shù)調(diào)制 00 0 ( )X,2 ( ) jtjt x tjex t e ，求頻譜。 例例2.2. 正弦幅度調(diào)制，正弦幅度調(diào)制，其中 解： 正弦幅度調(diào)制，等效于在頻域?qū)⒄{(diào)正弦幅度調(diào)制，等效于在頻域?qū)⒄{(diào) 制信號(hào)的頻譜搬移到載頻位置。制信號(hào)的頻譜搬移到載頻位置。 求調(diào)制后信號(hào) 的頻譜。 )()()(t

32、ptstr 00 2 1 jSjR 00 2 1 2 1 jSjS 由 000 tFjPcos)( 4.5 相乘性質(zhì) 相乘性質(zhì): (調(diào)制性質(zhì)調(diào)制性質(zhì)) 0 00 ( )X* 2 =X jt x t ejj 解： 4646 例例3.3. 同步解調(diào)。從上例 中恢復(fù)出原信號(hào) 。頻域?yàn)V波 00 2 1 2 1 jSjSjR 0000 111 222 S jS j 解：已知 這里用正弦信號(hào)再次調(diào)制： 000 2 1 jRttrcos 000 tF cos tr ts 4.5 相乘性質(zhì) 相乘性質(zhì): (調(diào)制性質(zhì)調(diào)制性質(zhì)) 00 2 4 1 2 4 1 2 1 jSjSjS 4747 其中 用一個(gè)頻率特性為

33、的系 統(tǒng)，即可從 恢復(fù)出原信號(hào)。 jH tr 1 2 R jP j 4.5 相乘性質(zhì) 相乘性質(zhì): (調(diào)制性質(zhì)調(diào)制性質(zhì)) 4848 例例4.4.中心頻率可變的帶通濾波器。 1 X2 2 X c c Y jj j tf 1 W2 2 W c c F jj j e c jt c -j e t c t 2 e c j c 0 0 1 0 0 0 0 理想低通濾波器 4.5 相乘性質(zhì) 相乘性質(zhì): (調(diào)制性質(zhì)調(diào)制性質(zhì)) 4949 相當(dāng)于直接用一個(gè)帶通濾波器，從 中濾出 的頻率。表明整個(gè)系統(tǒng)相當(dāng)于一個(gè)中心頻率為 的 帶通濾波器，改變 即可實(shí)現(xiàn)中心頻率可變。 jX c c 0 c c 0 c 等效帶通濾波器等效帶通濾波器 4.5 相乘性質(zhì) 相乘性質(zhì): (調(diào)制性質(zhì)調(diào)制性質(zhì)) 4.6 4.6 傅立葉變換性質(zhì)與傅立葉變換對(duì)列表傅立葉變換性質(zhì)與傅立葉變換對(duì)列表 (P234)(P234) 5050 5151 5252 4.7 由線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng) k k M k k k k N k k dt txd b dt tyd a 00 線性常系數(shù)微分方程描述的LTI系統(tǒng)： 如何從上述微