齒輪嚙合原理-第四章

1、LOGO 齒輪嚙合原理齒輪嚙合原理 平面曲線平面曲線 小組成員小組成員： 譚譚 惠惠 文文 張張 軍軍 王王 成成 非非 羅羅 彩彩 煌煌 平面曲線平面曲線 齒輪嚙合原理齒輪嚙合原理 目目 錄錄 平面曲線的基本要素平面曲線的基本要素 1 幾種特別的平面曲線幾種特別的平面曲線 2 平面曲線的相關(guān)應(yīng)用平面曲線的相關(guān)應(yīng)用 3 4 平面曲線平面曲線 齒輪嚙合原理齒輪嚙合原理 齒輪嚙合原理齒輪嚙合原理 平面曲線平面曲線 1 平面曲線的基本要素平面曲線的基本要素 1.1 平面曲線的三種表示形式平面曲線的三種表示形式 1.2 平面曲線的切線平面曲線的切線 1.3 平面曲線的法線平面曲線的法線 1.4 平面曲

2、線的曲率平面曲線的曲率 齒輪嚙合原理齒輪嚙合原理 平面曲線平面曲線 1.1 平面曲線的三種表示形式平面曲線的三種表示形式 ( , )0F x y ( )yf x1）函數(shù)方程：函數(shù)方程：（顯函數(shù)曲線）（顯函數(shù)曲線） 2）二元方程：二元方程：（隱函數(shù)曲線）（隱函數(shù)曲線） 3）參數(shù)方程：參數(shù)方程：( ),( )xx tyy t（參數(shù)曲線）（參數(shù)曲線） 齒輪嚙合原理齒輪嚙合原理 平面曲線平面曲線 1.2 平面曲線的切線平面曲線的切線 曲線的切線指的是一條剛好觸碰到曲線上某一點(diǎn)的直線，曲線的切線指的是一條剛好觸碰到曲線上某一點(diǎn)的直線， 更準(zhǔn)確地說，當(dāng)切線經(jīng)過曲線上的某點(diǎn)（即切點(diǎn)）時，切線更準(zhǔn)確地說，當(dāng)切

3、線經(jīng)過曲線上的某點(diǎn)（即切點(diǎn)）時，切線 的方向與曲線上該點(diǎn)的運(yùn)動方向是相同的。的方向與曲線上該點(diǎn)的運(yùn)動方向是相同的。 曲線曲線C 切點(diǎn)切點(diǎn)P 切線切線 已知：平面曲線的方程式已知：平面曲線的方程式 和和P點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo) ( , )0F x y 00 ,x y 則：平面曲線的切線為：則：平面曲線的切線為： 00 00 00 , , x y F x y yyxx Fx y 齒輪嚙合原理齒輪嚙合原理 平面曲線平面曲線 1.3 平面曲線的法線平面曲線的法線 曲線的法線是垂直于曲線上一點(diǎn)的切線的直線，曲面曲線的法線是垂直于曲線上一點(diǎn)的切線的直線，曲面 上某一點(diǎn)的法線指的是經(jīng)過這一點(diǎn)并且與該點(diǎn)切平面垂直的

4、上某一點(diǎn)的法線指的是經(jīng)過這一點(diǎn)并且與該點(diǎn)切平面垂直的 那條直線（即向量）。那條直線（即向量）。 曲線曲線C 切點(diǎn)切點(diǎn)P 切線切線 法線法線 已知：平面曲線的方程式已知：平面曲線的方程式 和和P點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo) ( , )0F x y 00 ,x y 則：平面曲線的法線為：則：平面曲線的法線為： 0 0 0000 , yx xxyy FxyFxy 齒輪嚙合原理齒輪嚙合原理 平面曲線平面曲線 1.4 平面曲線的曲率平面曲線的曲率 用矢量函數(shù)用矢量函數(shù) ， 表示的曲線，式中表示的曲線，式中s是曲線的弧長。是曲線的弧長。 曲線上分別與曲線上分別與s和（和（s+ ）對應(yīng)的兩個相鄰的點(diǎn)）對應(yīng)的兩個相鄰的點(diǎn)

5、M和和N。 而而 是點(diǎn)是點(diǎn)M和和N處的兩條切線之間的夾角。當(dāng)點(diǎn)處的兩條切線之間的夾角。當(dāng)點(diǎn)N趨近于點(diǎn)趨近于點(diǎn)M時，時， 比值比值 的極限稱為曲線在點(diǎn)的極限稱為曲線在點(diǎn)M處的曲率。處的曲率。 2 r sC sE s s 齒輪嚙合原理齒輪嚙合原理 平面曲線平面曲線 2 幾種特殊的平面曲線幾種特殊的平面曲線 2.1 笛卡爾葉形線笛卡爾葉形線 2.2 心臟線心臟線 2.3 圓內(nèi)擺圓內(nèi)擺線線 2.4 阿基米德螺旋線阿基米德螺旋線 齒輪嚙合原理齒輪嚙合原理 平面曲線平面曲線 2.1 笛卡爾葉形線笛卡爾葉形線 方程式：方程式： 33 3xyaxy 漸近線：漸近線： 0 xya 圈套的面積：圈套的面積： 2

6、1 3 2 a S 曲線與漸近線之間的面積：曲線與漸近線之間的面積： 2 2 3 2 a S 齒輪嚙合原理齒輪嚙合原理 平面曲線平面曲線 2.2 心臟線心臟線 方程式：方程式： 極值點(diǎn)：極值點(diǎn)： 2 222222 2xyax xya y 它是使它是使OM = OP a的點(diǎn)的點(diǎn)M的軌跡（的軌跡（a為圓的直徑，為圓的直徑，P 為圓周上的一點(diǎn)）。它是圓外旋輪線的特例（動圓與定圓為圓周上的一點(diǎn)）。它是圓外旋輪線的特例（動圓與定圓 的直徑相等）的直徑相等） 33 3 , 44 C Daa 二重切線的切點(diǎn)：二重切線的切點(diǎn)： 33 , 44 E Fa 曲線長：曲線長： L L = 8 = 8a a 齒輪嚙合

7、原理齒輪嚙合原理 平面曲線平面曲線 2.3 圓內(nèi)擺線圓內(nèi)擺線 方程式：方程式： 曲線是一圓周沿另一圓周的內(nèi)部滾動而無滑動時，圓周曲線是一圓周沿另一圓周的內(nèi)部滾動而無滑動時，圓周 上一點(diǎn)上一點(diǎn)M所描成的軌跡。所描成的軌跡。 全曲線長：全曲線長：L = 6a 曲線所圍成的面積：曲線所圍成的面積： coscos sinsin ab xabtbt b ab yabtbt b 3 3 8 Sa 齒輪嚙合原理齒輪嚙合原理 平面曲線平面曲線 2.4 阿基米德螺旋線阿基米德螺旋線 方程式：方程式： 曲線為一動點(diǎn)以常速沿一射線運(yùn)動，而這一射線又以曲線為一動點(diǎn)以常速沿一射線運(yùn)動，而這一射線又以 定角速度繞極點(diǎn)轉(zhuǎn)動

8、時，該動點(diǎn)所描成的軌跡定角速度繞極點(diǎn)轉(zhuǎn)動時，該動點(diǎn)所描成的軌跡.曲線由兩曲線由兩 支曲線組成，它們關(guān)于支曲線組成，它們關(guān)于x軸對稱。軸對稱。 弧長：弧長： a v a 2 1 2 OM a LArsh 曲率半徑：曲率半徑： 3 3 2 2 1 2 Ra 扇形扇形M M1 1OMOM2 2的面積：的面積： 2 33 21 6 a S 齒輪嚙合原理齒輪嚙合原理 平面曲線平面曲線 3 3、平面曲線相關(guān)應(yīng)用、平面曲線相關(guān)應(yīng)用 平面曲線本身是沒有具體實物存在的，它只不過是我們?yōu)榱似矫媲€本身是沒有具體實物存在的，它只不過是我們?yōu)榱?理解事物，解決問題而抽象出來而又能代表問題，通過對曲理解事物，解決問題而

9、抽象出來而又能代表問題，通過對曲 線性質(zhì)的理解和應(yīng)用，從而解決問題。下面介紹幾種常見的線性質(zhì)的理解和應(yīng)用，從而解決問題。下面介紹幾種常見的 應(yīng)用。應(yīng)用。 齒輪嚙合原理齒輪嚙合原理 平面曲線平面曲線 3.13.1齒輪傳動中的應(yīng)用齒輪傳動中的應(yīng)用 齒輪是各種機(jī)械設(shè)備中應(yīng)用最為廣泛的一種機(jī)械傳動元件。齒輪是各種機(jī)械設(shè)備中應(yīng)用最為廣泛的一種機(jī)械傳動元件。 齒輪傳動水平的高低是衡量一個國家機(jī)械工業(yè)水平高低的重齒輪傳動水平的高低是衡量一個國家機(jī)械工業(yè)水平高低的重 要標(biāo)志。要標(biāo)志。 齒輪嚙合原理齒輪嚙合原理 平面曲線平面曲線 目前齒輪創(chuàng)新研究和發(fā)展的重點(diǎn)、難點(diǎn)集中在輪齒橫截面目前齒輪創(chuàng)新研究和發(fā)展的重點(diǎn)、難

10、點(diǎn)集中在輪齒橫截面 齒廓曲線形狀上，齒輪齒廓形狀是影響齒輪承載能力和使齒廓曲線形狀上，齒輪齒廓形狀是影響齒輪承載能力和使 用壽命的主要因素之一。用壽命的主要因素之一。 齒輪嚙合原理齒輪嚙合原理 平面曲線平面曲線 漸開線齒廓漸開線齒廓自從二百多年前出現(xiàn)后，就一直在工程實踐中自從二百多年前出現(xiàn)后，就一直在工程實踐中 居于絕對的統(tǒng)治地位，目前漸開線仍是各種齒輪中最主要居于絕對的統(tǒng)治地位，目前漸開線仍是各種齒輪中最主要 的齒廓曲線形式。利用數(shù)學(xué)微分幾何原理對漸開線曲線進(jìn)的齒廓曲線形式。利用數(shù)學(xué)微分幾何原理對漸開線曲線進(jìn) 行行曲率分析曲率分析，求得漸開線各點(diǎn)處曲率中心的分布，可以簡求得漸開線各點(diǎn)處曲率中

11、心的分布，可以簡 化齒輪傳動嚙合運(yùn)動機(jī)構(gòu)分析化齒輪傳動嚙合運(yùn)動機(jī)構(gòu)分析。另外對漸開線曲線進(jìn)行。另外對漸開線曲線進(jìn)行曲曲 率分析率分析，是對，是對漸開線齒輪進(jìn)行齒廓嚙合分析、齒形創(chuàng)新設(shè)漸開線齒輪進(jìn)行齒廓嚙合分析、齒形創(chuàng)新設(shè) 計及齒廓修形加工新工藝開發(fā)的基礎(chǔ)和前提計及齒廓修形加工新工藝開發(fā)的基礎(chǔ)和前提，對齒輪傳動，對齒輪傳動 的創(chuàng)新研究和發(fā)展具有重要意義。的創(chuàng)新研究和發(fā)展具有重要意義。 齒輪嚙合原理齒輪嚙合原理 平面曲線平面曲線 圖中所示，對于特定的漸開線，其基圓半徑為固定值，漸開圖中所示，對于特定的漸開線，其基圓半徑為固定值，漸開 線上各點(diǎn)處的壓力角線上各點(diǎn)處的壓力角 及曲率半徑及曲率半徑 可由

12、對應(yīng)位置的極徑可由對應(yīng)位置的極徑 根據(jù)理根據(jù)理 論公式計算求得。例如對于齒數(shù)為論公式計算求得。例如對于齒數(shù)為30、模數(shù)為、模數(shù)為2.0mm、分度圓、分度圓 壓力角為壓力角為20的漸開線標(biāo)準(zhǔn)齒輪，其基圓半徑為的漸開線標(biāo)準(zhǔn)齒輪，其基圓半徑為28.19mm，求，求 得壓力角及曲率半徑值沿漸開線齒廓的分布得壓力角及曲率半徑值沿漸開線齒廓的分布。 齒輪嚙合原理齒輪嚙合原理 平面曲線平面曲線 3.2 3.2 凸輪輪廓的應(yīng)用凸輪輪廓的應(yīng)用 凸輪機(jī)構(gòu)應(yīng)用廣泛。其最大優(yōu)點(diǎn)是只要適當(dāng)設(shè)計出凸輪的凸輪機(jī)構(gòu)應(yīng)用廣泛。其最大優(yōu)點(diǎn)是只要適當(dāng)設(shè)計出凸輪的 輪廓曲線，就可以使推桿實現(xiàn)各種預(yù)期的復(fù)雜運(yùn)動規(guī)律，輪廓曲線，就可以使

13、推桿實現(xiàn)各種預(yù)期的復(fù)雜運(yùn)動規(guī)律， 而且響應(yīng)快速，機(jī)構(gòu)簡單緊湊。而且響應(yīng)快速，機(jī)構(gòu)簡單緊湊。 齒輪嚙合原理齒輪嚙合原理 平面曲線平面曲線 設(shè)計方法有圖解法、解析法。由于圖解法難以滿足對凸輪機(jī)設(shè)計方法有圖解法、解析法。由于圖解法難以滿足對凸輪機(jī) 構(gòu)精度的要求，現(xiàn)多采用構(gòu)精度的要求，現(xiàn)多采用解析法解析法。用。用解析法設(shè)計凸輪輪廓曲解析法設(shè)計凸輪輪廓曲 線時需對該機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動分析，列矢量方程表達(dá)式，建立方線時需對該機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動分析，列矢量方程表達(dá)式，建立方 程，進(jìn)行數(shù)值求解，得到推桿的運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)等規(guī)律程，進(jìn)行數(shù)值求解，得到推桿的運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)等規(guī)律。 齒輪嚙合原理齒輪嚙合原理 平面曲線平面曲線 如

14、圖所示，為一通用凸輪如圖所示，為一通用凸輪 曲線的各項運(yùn)動規(guī)律曲線，曲線的各項運(yùn)動規(guī)律曲線， 通過對推桿位移規(guī)律曲線通過對推桿位移規(guī)律曲線 S的分析處理，可以得到的分析處理，可以得到 速度速度V、加速度、加速度a、躍度、躍度J 等的參數(shù)變化規(guī)律從，從等的參數(shù)變化規(guī)律從，從 而獲取凸輪的運(yùn)動情況。而獲取凸輪的運(yùn)動情況。 齒輪嚙合原理齒輪嚙合原理 平面曲線平面曲線 3.3 3.3 機(jī)械零件檢測應(yīng)用機(jī)械零件檢測應(yīng)用 機(jī)械零件自動檢測是制造業(yè)中生產(chǎn)系統(tǒng)的一個重要環(huán)節(jié)，機(jī)械零件自動檢測是制造業(yè)中生產(chǎn)系統(tǒng)的一個重要環(huán)節(jié)， 它從一定程度上決定了實現(xiàn)企業(yè)柔性制造自動化的進(jìn)程，它從一定程度上決定了實現(xiàn)企業(yè)柔性制

15、造自動化的進(jìn)程， 是制造業(yè)信息化的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。是制造業(yè)信息化的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。 一般認(rèn)為，構(gòu)成機(jī)械零件的基本元素是點(diǎn)、直線、圓、一般認(rèn)為，構(gòu)成機(jī)械零件的基本元素是點(diǎn)、直線、圓、 橢圓和曲線。當(dāng)前運(yùn)用計算機(jī)視覺技術(shù)對機(jī)械零件的檢測橢圓和曲線。當(dāng)前運(yùn)用計算機(jī)視覺技術(shù)對機(jī)械零件的檢測 和識別，絕大部分只是對零件的點(diǎn)、直線、圓和橢圓的研和識別，絕大部分只是對零件的點(diǎn)、直線、圓和橢圓的研 究，而其他形式的曲線的檢測和識別研究卻比較少。究，而其他形式的曲線的檢測和識別研究卻比較少。 齒輪嚙合原理齒輪嚙合原理 平面曲線平面曲線 3.4 3.4 在道路設(shè)計中的應(yīng)用在道路設(shè)計中的應(yīng)用 公路平面設(shè)計主線通常采用導(dǎo)線法，即

16、先用導(dǎo)線標(biāo)定線路走公路平面設(shè)計主線通常采用導(dǎo)線法，即先用導(dǎo)線標(biāo)定線路走 廊帶，然后采用直線、圓曲線和緩和曲線組合，將整個線路廊帶，然后采用直線、圓曲線和緩和曲線組合，將整個線路 串連起來。匝道平面設(shè)計則先定出起點(diǎn)坐標(biāo)和方位，然后根串連起來。匝道平面設(shè)計則先定出起點(diǎn)坐標(biāo)和方位，然后根 據(jù)地形特點(diǎn)選擇線形和設(shè)置線形參數(shù)分段向前推進(jìn)。據(jù)地形特點(diǎn)選擇線形和設(shè)置線形參數(shù)分段向前推進(jìn)。 齒輪嚙合原理齒輪嚙合原理 平面曲線平面曲線 道路設(shè)計通常在道路設(shè)計通常在同一線路坐標(biāo)系同一線路坐標(biāo)系中進(jìn)行，道路平面曲線元中進(jìn)行，道路平面曲線元 在線路坐標(biāo)系中的快速定位、中樁測設(shè)坐標(biāo)和道路中樁、在線路坐標(biāo)系中的快速定位、

17、中樁測設(shè)坐標(biāo)和道路中樁、 附屬結(jié)構(gòu)物施工放樣坐標(biāo)的準(zhǔn)確計算是廣大道路工程線路附屬結(jié)構(gòu)物施工放樣坐標(biāo)的準(zhǔn)確計算是廣大道路工程線路 設(shè)計人員、勘測人員以及道路施工放樣人員十分關(guān)心的問設(shè)計人員、勘測人員以及道路施工放樣人員十分關(guān)心的問 題，計算工具和測量儀器的改進(jìn)使這些問題正朝著積極的題，計算工具和測量儀器的改進(jìn)使這些問題正朝著積極的 方向發(fā)展。方向發(fā)展。 齒輪嚙合原理齒輪嚙合原理 平面曲線平面曲線 3.5 3.5 齒輪嚙合中常見的平面曲線齒輪嚙合中常見的平面曲線 在嚙合理論中常用到的平面曲線，除了直線和圓外還有在嚙合理論中常用到的平面曲線，除了直線和圓外還有 以下幾種常用曲線：以下幾種常用曲線：

18、廣義漸開線廣義漸開線 廣義擺線廣義擺線 廣義外擺線廣義外擺線 廣義內(nèi)擺線廣義內(nèi)擺線 齒輪嚙合原理齒輪嚙合原理 平面曲線平面曲線 廣義漸開線廣義漸開線 在平面上，一條動直線在平面上，一條動直線( (發(fā)生線發(fā)生線) )沿沿 一個固定的圓一個固定的圓( (基圓基圓) )作純滾動時，作純滾動時， 與動直線固連的一點(diǎn)的軌跡稱為漸與動直線固連的一點(diǎn)的軌跡稱為漸 開線開線( (該點(diǎn)在發(fā)生線上該點(diǎn)在發(fā)生線上) )，或延伸漸，或延伸漸 開線開線( (該點(diǎn)與基圓圓心位于發(fā)生線的該點(diǎn)與基圓圓心位于發(fā)生線的 同側(cè)同側(cè)) )，或縮短漸開線，或縮短漸開線( (該點(diǎn)與基圓該點(diǎn)與基圓 圓心位于發(fā)生線的異側(cè)圓心位于發(fā)生線的異側(cè)

19、) )。在圖中曲。在圖中曲 線線C C1 1、C C2 2、C C3 3分別是漸開線、延伸漸分別是漸開線、延伸漸 開線和縮短漸開線。廣義漸開線是開線和縮短漸開線。廣義漸開線是 這三種曲線的總稱。這三種曲線的總稱。 齒輪嚙合原理齒輪嚙合原理 平面曲線平面曲線 廣義擺線廣義擺線 在平面上，一個動圓在平面上，一個動圓( (發(fā)生圓發(fā)生圓) ) 沿一條固定的直線沿一條固定的直線( (基線基線) )作作 純滾動時，與動圓固連的一純滾動時，與動圓固連的一 點(diǎn)的軌跡稱為擺線點(diǎn)的軌跡稱為擺線( (該點(diǎn)在發(fā)該點(diǎn)在發(fā) 生圓上生圓上) )，或長幅擺線，或長幅擺線( (該點(diǎn)該點(diǎn) 在發(fā)生圓外在發(fā)生圓外) )，或短幅擺線，

20、或短幅擺線 ( (該點(diǎn)在發(fā)生圓內(nèi)該點(diǎn)在發(fā)生圓內(nèi)) )。圖中曲。圖中曲 線線C C1 1、C C2 2和和C C3 3分別是擺線、長分別是擺線、長 幅擺線和短幅擺線。廣義擺幅擺線和短幅擺線。廣義擺 線是這三種曲線的總稱。線是這三種曲線的總稱。 齒輪嚙合原理齒輪嚙合原理 平面曲線平面曲線 廣義外擺線廣義外擺線 在平面上，一個動圓在平面上，一個動圓( (發(fā)生圓發(fā)生圓) )沿一沿一 個固定的圓個固定的圓( (基圓基圓) )的外側(cè)，作外切的外側(cè)，作外切 或內(nèi)切純滾動時，與動圓固連的一或內(nèi)切純滾動時，與動圓固連的一 點(diǎn)的軌跡稱為外擺線點(diǎn)的軌跡稱為外擺線( (該點(diǎn)在發(fā)生圓該點(diǎn)在發(fā)生圓 上上) )，或長幅外擺線，或長幅外擺線( (該點(diǎn)與基圓圓該點(diǎn)與基圓圓 心位于發(fā)生圓的同側(cè)心位于發(fā)生圓的同側(cè)) )，或短幅外擺