2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 解析幾何 9.2 點(diǎn)與直線、兩條直線的位置關(guān)系學(xué)案北師大版

1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 解析幾何 9.2 點(diǎn)與直線、兩條直線的位置關(guān)系學(xué)案北師大版2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 解析幾何 9.2 點(diǎn)與直線、兩條直線的位置關(guān)系學(xué)案北師大版年級(jí)：姓名：9.2點(diǎn)與直線、兩條直線的位置關(guān)系必備知識(shí)預(yù)案自診知識(shí)梳理1.兩條直線的位置關(guān)系平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系包括三種情況.(1)兩直線平行對(duì)于直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1l2k1=k2,且b1b2.當(dāng)直線l1,l2不重合且斜率都不存在時(shí),l1l2.(2)兩條直線垂直對(duì)于直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1l2k1k2=-1.當(dāng)直線l1,l2中一條直線的斜率不

2、存在,而另一條直線的斜率為0時(shí),l1l2.(3)由一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法直線方程l1:a1x+b1y+c1=0(a12+b120);l2:a2x+b2y+c2=0(a22+b220)l1與l2平行的充要條件a1b2-a2b1=0,且b1c2-b2c10(或a1c2-a2c10)l1與l2垂直的充要條件a1a2+b1b2=0l1與l2相交的充要條件a1b2-a2b10l1與l2重合的充要條件a1b2-a2b1=0,且b1c2-b2c1=0(或a1c2-a2c1=0)2.兩條直線的交點(diǎn)直線l1和l2的交點(diǎn)坐標(biāo)即為兩直線方程組成的方程組a1x+b1y+c1=0,a2x+b2y+c2=0的解.

3、相交方程組有;平行方程組;重合方程組有.3.三種距離點(diǎn)點(diǎn)距點(diǎn)p1(x1,y1),p2(x2,y2)之間的距離|p1p2|=點(diǎn)線距點(diǎn)p0(x0,y0)到直線l:ax+by+c=0的距離d=線線距兩條平行線ax+by+c1=0與ax+by+c2=0間的距離d=1.三種常見(jiàn)的直線系方程(1)平行于直線ax+by+c=0的直線系方程為ax+by+c0=0(cc0);(2)垂直于直線ax+by+c=0的直線系方程為bx-ay+c0=0;(3)過(guò)兩條已知直線l1:a1x+b1y+c1=0和l2:a2x+b2y+c2=0的交點(diǎn)的直線系方程為a1x+b1y+c1+(a2x+b2y+c2)=0(r,這個(gè)直線系不

4、包括直線l2,解題時(shí),注意檢驗(yàn)l2是否滿足題意,以防漏解).2.四種常見(jiàn)的對(duì)稱(chēng)(1)點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(y,x),關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(-y,-x).(2)點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線x=a的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2a-x,y),關(guān)于直線y=b的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x,2b-y).(3)點(diǎn)(x,y)關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2a-x,2b-y).(4)點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線x+y=k的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(k-y,k-x),關(guān)于直線x-y=k的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(k+y,x-k).考點(diǎn)自診1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“”,錯(cuò)誤的畫(huà)“”.(1)如果直線l1與直線l2互相平行,那么這兩條直線的斜率相等.()(2)如果直

5、線l1與直線l2互相垂直,那么它們的斜率之積一定等于-1.()(3)點(diǎn)p(x1,y1)到直線y=kx+b的距離為|kx1+b|1+k2.()(4)直線外一點(diǎn)與直線上點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離.()(5)兩平行直線2x-y+1=0,4x-2y+1=0間的距離是0.()2.設(shè)ar,則“a=1”是“直線l1:ax+2y-1=0與直線l2:x+(a+1)y+4=0平行”的()a.充分不必要條件b.必要不充分條件c.充要條件d.既不充分又不必要條件3.(2020全國(guó)3,文8)點(diǎn)(0,-1)到直線y=k(x+1)距離的最大值為()a.1b.2c.3d.24.光線從點(diǎn)a(-3,5)射到x軸上,經(jīng)x軸

6、反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)b(2,10),則光線從a到b的距離為()a.52b.25c.510d.1055.已知傾斜角為的直線l與直線m:x-2y+3=0垂直,則cos 2=.關(guān)鍵能力學(xué)案突破考點(diǎn)兩直線的位置關(guān)系(多考向探究)考向1判斷兩直線的位置關(guān)系【例1】(2020天津靜海區(qū)聯(lián)考)“a=1”是“直線ax+2y-8=0與直線x+(a+1)y+4=0平行”的()a.充要條件b.充分不必要條件c.必要不充分條件d.既不充分又不必要條件考向2由兩直線的位置關(guān)系求參數(shù)【例2】(1)(2020安徽蕪湖四校聯(lián)考)若直線(2m-1)x+my+1=0和直線mx+3y+3=0垂直,則實(shí)數(shù)m的值為()a.1b.0c.2d.-

7、1或0(2)(2020陜西寶雞中學(xué)二模)若直線x+(1+m)y-2=0與直線mx+2y+4=0平行,則實(shí)數(shù)m的值為()a.1b.-2c.1或-2d.-32考向3由兩直線的位置關(guān)系求直線方程【例3】經(jīng)過(guò)兩條直線2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交點(diǎn),且垂直于直線3x+4y-7=0的直線的方程為.解題心得利用直線方程的一般式判斷兩直線的平行或垂直時(shí)可避免討論直線斜率不存在的情況,但要注意由a1b2-a2b1=0不能推出兩直線平行.根據(jù)兩直線平行求參數(shù)時(shí),要注意檢驗(yàn)求得的參數(shù)值是否滿足題意.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)求滿足下列條件的直線方程.過(guò)點(diǎn)p(-1,3)且平行于直線x-2y+3=0;已知a(1,2)

8、,b(3,1),線段ab的垂直平分線.(2)已知直線l1:ax+2y+6=0和直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0.當(dāng)l1l2時(shí),求a的值;當(dāng)l1l2時(shí),求a的值.考點(diǎn)兩條直線的交點(diǎn)和距離問(wèn)題【例4】(1)(2020廣東廣州模擬)已知點(diǎn)p(4,a)到直線4x-3y-1=0的距離不大于3,則a的取值范圍為.(2)(2020福建廈門(mén)模擬)若兩平行直線3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之間的距離為21313,則c的值是.解題心得利用距離公式應(yīng)注意(1)點(diǎn)p(x0,y0)到直線x=a的距離d=|x0-a|,到直線y=b的距離d=|y0-b|;(2)兩平行線間的距離公式要求兩條直線方程中x,y的

9、系數(shù)分別相等.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)已知a(2,0),b(0,2),若點(diǎn)c在函數(shù)y=x2的圖像上,則使得abc的面積為2的點(diǎn)c的個(gè)數(shù)為()a.4b.3c.2d.1(2)已知直線l過(guò)點(diǎn)p(-1,2),且點(diǎn)a(2,3),b(-4,5)到直線l的距離相等,則直線l的方程為.考點(diǎn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題(多考向探究)考向1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)【例5】過(guò)點(diǎn)p(0,1)作直線l,使它被直線l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的線段被點(diǎn)p平分,則直線l的方程為.考向2點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱(chēng)【例6】如圖,已知兩點(diǎn)a(4,0),b(0,4),從點(diǎn)p(2,0)射出的光線經(jīng)直線ab反射后射到直線ob上,再經(jīng)直線ob反射后又回到點(diǎn)p,則

10、光線所經(jīng)過(guò)的路程是()a.210b.6c.33d.25考向3線關(guān)于線的對(duì)稱(chēng)【例7】直線2x-y+3=0關(guān)于直線x-y+2=0對(duì)稱(chēng)的直線方程是()a.x-2y+3=0b.x-2y-3=0c.x+2y+1=0d.x+2y-1=0解題心得1.中心對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的兩個(gè)類(lèi)型及求解方法(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng):若點(diǎn)m(x0,y0)及n(x,y)關(guān)于點(diǎn)p(a,b)對(duì)稱(chēng),則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x=2a-x0,y=2b-y0,進(jìn)而求解.(2)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng):先在已知直線上取兩點(diǎn),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)坐標(biāo),再由兩點(diǎn)式得到所求直線方程.先在已知直線上取一點(diǎn),求出它關(guān)于已知點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),再利用兩對(duì)稱(chēng)直線平行,由

11、點(diǎn)斜式得到所求直線方程.2.軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的兩個(gè)類(lèi)型及求解方法(1)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng):若兩點(diǎn)p1(x1,y1)與p2(x2,y2)關(guān)于直線l:ax+by+c=0(a2+b20)對(duì)稱(chēng),則由方程組ax1+x22+by1+y22+c=0,b(x2-x1)-a(y2-y1)=0,可得到點(diǎn)p1關(guān)于l對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)p2的坐標(biāo).(2)直線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng):一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)來(lái)解決.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)已知直線l1:2x+y+2=0與l2:4x+by+c=0關(guān)于點(diǎn)p(1,0)對(duì)稱(chēng),則b+c=.(2)設(shè)光線l從點(diǎn)a(-4,3)出發(fā),經(jīng)x軸反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)b0,33,則光線l與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為,若該光線l經(jīng)x軸發(fā)生折射,折射角為

12、入射角的一半,則折射光線所在直線的縱截距為.(3)已知直線l:2x-3y+1=0,點(diǎn)a(-1,-2).求點(diǎn)a關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)a的坐標(biāo);求直線m:3x-2y-6=0關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的直線m的方程;求直線l關(guān)于點(diǎn)a(-1,-2)對(duì)稱(chēng)的直線l的方程.1.對(duì)于兩條直線的位置關(guān)系的判斷或求解:(1)若直線斜率均存在且不重合,則一定有l(wèi)1l2k1=k2.(2)若直線斜率均存在,則一定有l(wèi)1l2k1k2=-1.2.中心對(duì)稱(chēng)問(wèn)題(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)一般用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決.(2)直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng),可以在已知直線上任取兩點(diǎn),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式先求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)的坐標(biāo),再根據(jù)這兩點(diǎn)確定直線的方程;也可以先

13、求出一個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo),再利用兩對(duì)稱(chēng)直線平行關(guān)系,由點(diǎn)斜式得到所求直線即可.3.軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題(1)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)若兩點(diǎn)p1(x1,y1)與p2(x2,y2)關(guān)于直線l:ax+by+c=0對(duì)稱(chēng),一般由方程組a(x1+x22)+b(y1+y22)+c=0,y2-y1x2-x1(-ab)=-1可得到點(diǎn)p1關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)p2的坐標(biāo)(x2,y2)(其中b0,x1x2).(2)直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng),若兩直線平行,則可用距離公式解決;若兩直線不平行,則轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題.1.運(yùn)用兩平行直線間的距離公式時(shí),一定要統(tǒng)一兩個(gè)方程中x,y的系數(shù),還要清楚該公式其實(shí)是通過(guò)點(diǎn)到直線的距離公式推導(dǎo)而來(lái)的.2.在討

14、論直線的位置關(guān)系過(guò)程中,當(dāng)涉及含參數(shù)直線方程時(shí),一定不要遺漏斜率不存在、斜率為0等特殊情形.3.“l(fā)1l2a1a2+b1b2=0”適用于任意兩條互相垂直的直線.9.2點(diǎn)與直線、兩條直線的位置關(guān)系必備知識(shí)預(yù)案自診知識(shí)梳理1.平行、相交、重合2.唯一解無(wú)解無(wú)數(shù)個(gè)解3.(x2-x1)2+(y2-y1)2|ax0+by0+c|a2+b2|c1-c2|a2+b2考點(diǎn)自診1.(1)(2)(3)(4)(5)2.a當(dāng)a=1時(shí),直線l1:x+2y-1=0與直線l2:x+2y+4=0的斜率都是-12,截距不相等,所以兩直線平行,故前者是后者的充分條件.若兩直線平行,則a1=2a+1-14,解得a=1,或-2,所以

15、后者不能推出前者.故a=1是兩直線平行的充分不必要條件.3.b直線y=k(x+1)過(guò)定點(diǎn)(-1,0),當(dāng)過(guò)點(diǎn)(0,-1)與點(diǎn)(-1,0)的直線與直線y=k(x+1)垂直時(shí),點(diǎn)(0,-1)到直線y=k(x+1)的距離最大,故最大距離等于(0,-1)和(-1,0)兩點(diǎn)之間的距離,為2.故選b.4.c點(diǎn)b(2,10)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為b(2,-10),由對(duì)稱(chēng)性可得光線從a到b的距離為|ab|=(-3-2)2+5-(-10)2=510.故選c.5.-35直線m:x-2y+3=0的斜率是12,lm,直線l的斜率是-2,故tan=-2,223,cos=-55,cos2=2cos2-1=2-552-1=-3

16、5.關(guān)鍵能力學(xué)案突破例1a設(shè)直線l1:ax+2y-8=0,直線l2:x+(a+1)y+4=0.若l1與l2平行,則a(a+1)-2=0,即a2+a-2=0,解得a=1或a=-2.當(dāng)a=-2時(shí),直線l1的方程為-2x+2y-8=0,即x-y+4=0,直線l2的方程為x-y+4=0,此時(shí)兩直線重合,故a-2.當(dāng)a=1時(shí),直線l1的方程為x+2y-8=0,直線l2的方程為x+2y+4=0,此時(shí)兩直線平行.故“a=1”是“直線ax+2y-8=0與直線x+(a+1)y+4=0平行”的充要條件.故選a.例2(1)d(2)a(1)由題意可知m(2m-1)+3m=0,解得m=0或m=-1.故選d.(2)由題意

17、可知2-m(1+m)=0,解得m=-2或m=1.經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)m=-2時(shí),兩直線重合,不符合題意,舍去;當(dāng)m=1時(shí),符合題意.故m的值為1.故選a.例34x-3y+9=0(方法1)由2x+3y+1=0,x-3y+4=0,解得x=-53,y=79.故交點(diǎn)的坐標(biāo)為-53,79,因?yàn)樗笾本€與直線3x+4y-7=0垂直,所以所求直線的斜率為43.所以所求直線的方程為y-79=43x+53,即4x-3y+9=0.(方法2)由垂直關(guān)系可設(shè)所求直線方程為4x-3y+m=0.由2x+3y+1=0,x-3y+4=0,可解得交點(diǎn)的坐標(biāo)為-53,79.將點(diǎn)-53,79的坐標(biāo)代入4x-3y+m=0,得m=9,故所求直線

18、的方程為4x-3y+9=0.(方法3)由題意可設(shè)所求直線的方程為(2x+3y+1)+(x-3y+4)=0,即(2+)x+(3-3)y+1+4=0.因?yàn)樗笾本€與直線3x+4y-7=0垂直,所以3(2+)+4(3-3)=0,解得=2.所以所求直線的方程為4x-3y+9=0.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1解(1)設(shè)所求直線方程為x-2y+c=0(c3),將p(-1,3)的坐標(biāo)代入直線方程,得c=7.故所求直線方程為x-2y+7=0.由已知得線段ab的中點(diǎn)的坐標(biāo)為2,32,直線ab的斜率kab=2-11-3=-12,故線段ab的垂直平分線的斜率k=2,所以線段ab的垂直平分線的方程為y-32=2(x-2),即4x-2y

19、-5=0.(2)依題意,a(a-1)-12=0,a(a2-1)-160,即a2-a-2=0,a(a2-1)6,解得a=-1.故a的值為-1.依題意,a+2(a-1)=0,解得a=23.故a的值為23.例4(1)0,10(2)2或-6(1)由題意得,點(diǎn)p到直線的距離為|44-3a-1|16+9=|15-3a|5.由|15-3a|53,即|15-3a|15,得0a10.所以a的取值范圍為0,10.(2)依題意,63=a-2c-1,解得a=-4,c-2,則直線方程6x+ay+c=0可化為3x-2y+c2=0.又兩平行線之間的距離為21313,所以c2+132+(-2)2=21313,解得c=2或c=

20、-6.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)a(2)x+3y-5=0或x=-1(1)設(shè)點(diǎn)c(t,t2).由已知得直線ab的方程為x+y-2=0,|ab|=22,則點(diǎn)c到直線ab的距離d=|t+t2-2|2.因?yàn)閍bc的面積為2,所以1222|t2+t-2|2=2,即|t2+t-2|=2,即t2+t-2=2或t2+t-2=-2.解方程可知t的值有4個(gè),故滿足題意的點(diǎn)c有4個(gè).(2)(方法1)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由題意知|2k-3+k+2|k2+1=|-4k-5+k+2|k2+1,即|3k-1|=|-3k-3|,解得k=-13.所以直線l的方程為x+3y-

21、5=0.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為x=-1,符合題意.故直線l的方程為x+3y-5=0或x=-1.(方法2)當(dāng)abl時(shí),直線l的斜率k=kab=-13,則直線l的方程為y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0.當(dāng)直線l過(guò)ab的中點(diǎn)(-1,4)時(shí),又直線l過(guò)點(diǎn)p(-1,2),所以直線l的方程為x=-1.故直線l的方程為x+3y-5=0或x=-1.例5x+4y-4=0設(shè)l1與l的交點(diǎn)為a(a,8-2a),由題意知,點(diǎn)a關(guān)于點(diǎn)p的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)b(-a,2a-6)在l2上,把點(diǎn)b的坐標(biāo)代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.因?yàn)辄c(diǎn)a(4,0),p(0,1)在直線l上,所以直線l的方程為x+4y-4=0.例6a易得直線ab的方程為x+y=4,則點(diǎn)p關(guān)于直線ab的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為p1(4,2),點(diǎn)p關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為p2(-2,0).依題意,光線所經(jīng)過(guò)的路程為p1(4,2)與p2(-2,0)之間的距離,即|p1p2|=(4+2)2+(2-0)2=210.例7a設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)p(x,y),點(diǎn)p關(guān)于直線x-y+2=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為p(x0,y0),由x+x02-y+y02+2=0,x-x0=-(y-y0),得x0=y-2,y0=x+2.因?yàn)辄c(diǎn)p(x0,y0)在直線2x-y+3=0上,所以2(y-2)-(