3324419679復(fù)變函數(shù)期末復(fù)習(xí)改

1、復(fù)變函數(shù)期末復(fù)習(xí)一 知識點(diǎn)1第一章主要掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、三角形式、指數(shù)形式及其運(yùn)算。2 第二章主要掌握函數(shù)的解析性，會判斷函數(shù)是否是解析函數(shù)，會求解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3第三章掌握復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算，掌握柯西積分公式。4 第四章掌握復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，會把一個(gè)函數(shù)展開成泰勒級數(shù)。5 第五章掌握將函數(shù)展開為洛朗級數(shù)，掌握孤立奇點(diǎn)的分類及判斷。6第六章掌握留數(shù)的計(jì)算，掌握用留數(shù)計(jì)算積分，掌握利用留數(shù)計(jì)算三類實(shí)積分。二 例題選講1 解方程。知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)方程的解法解 因此方程的根為2求的三次方根。知識點(diǎn)：利用復(fù)數(shù)的三角形式。解 =，所以它的三次方根為當(dāng)時(shí)，它的根為當(dāng)時(shí)，它的根為=當(dāng)時(shí)，它

2、的根為。3設(shè)，試證明：。知識點(diǎn)： 利用證明：，又因?yàn)?，所以? 證明。知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)模的計(jì)算，復(fù)數(shù)模共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系。證明：=。5 三點(diǎn)適合條件，試證明三點(diǎn)是一個(gè)內(nèi)接于單位圓周的正三角形的頂點(diǎn)。知識點(diǎn)：利用平行四邊形公式。解：由得 = 所以，同理，所以三點(diǎn)是一個(gè)內(nèi)接于單位圓周的正三角形的頂點(diǎn)。6 試證明：。知識點(diǎn)：利用證明：對于兩個(gè)復(fù)數(shù)，我們有 = =.7 試證在復(fù)平面上解析，并求其導(dǎo)數(shù)。知識點(diǎn)：利用柯西黎曼條件。解：設(shè)，則，.這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，且滿足柯西黎曼條件，所以在復(fù)平面上解析，其導(dǎo)數(shù)為。8 函數(shù)在區(qū)域d內(nèi)解析，并且在d內(nèi)為常數(shù)，試證明在d內(nèi)必為常數(shù)。知識點(diǎn)：利用柯西黎曼條件，利用導(dǎo)數(shù)恒為

3、0，則函數(shù)應(yīng)該為常數(shù)。解：設(shè)，則因?yàn)樵赿內(nèi)為常數(shù)，可以設(shè)，即，兩邊關(guān)于求導(dǎo)數(shù)得而，所以上式可以化為如果，則在d為常數(shù)0，如果，則方程組的系數(shù)行列是不為0，齊次方程只有零解，所以 ，在d為常數(shù)。9 設(shè)函數(shù)在區(qū)域d內(nèi)解析，并且也在區(qū)域d內(nèi)解析，試證明在d 內(nèi)必為常數(shù)。 知識點(diǎn)：利用柯西黎曼條件，利用導(dǎo)數(shù)恒為0，則函數(shù)應(yīng)該為常數(shù)。解：設(shè)，則函數(shù)在區(qū)域d內(nèi)解析，所以也在區(qū)域d內(nèi)解析，所以所以 ，在d為常數(shù)。10證明函數(shù)在平面上解析，并求其導(dǎo)數(shù)。知識點(diǎn)：利用柯西黎曼條件，利用雙曲函數(shù)的定義。解：，以上四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在復(fù)平面上連續(xù)，且滿足柯西黎曼條件在平面上解析，其導(dǎo)數(shù)為。11 指明滿足條件的z所構(gòu)成的點(diǎn)集。

4、用復(fù)數(shù)方程表示曲線解：原式即為，記得，表示一個(gè)圓周的外部或內(nèi)部。12求極限。知識點(diǎn)：這是型，用洛必達(dá)法則。解 =3。13 極限。知識點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)的極限的計(jì)算解 =。14 將在內(nèi)展開成冪級數(shù)。知識點(diǎn)：利用，以及逐項(xiàng)求導(dǎo)，將分式寫成部分分式的和。解 設(shè)=， 去分母得 取，得 取，得取，得 所以= =。15 將函數(shù)在內(nèi)展開成洛朗級數(shù)。知識點(diǎn)： 利用。注意要求展開成什么形式。解 = =16設(shè)函數(shù)，求函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的留數(shù)。知識點(diǎn)：函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處留數(shù)的定義和計(jì)算。解：因?yàn)槎? 所以是它的一階極點(diǎn)， 17計(jì)算積分。知識點(diǎn)：利用留數(shù)定理。解 被積函數(shù)在圓周內(nèi)只有一級極點(diǎn)和二級極點(diǎn)，所以=18分。知識點(diǎn)：利

5、用留數(shù)定理或柯西積分公式。解：被積函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)，這兩個(gè)極點(diǎn)都在圓周內(nèi)因此= 而=5而，所以=。19計(jì)算積分。知識點(diǎn)：利用留數(shù)定理或柯西積分公式。解；由得，這些點(diǎn)都是函數(shù)的一階極點(diǎn)，而只有時(shí)奇點(diǎn)才在內(nèi)。= 而，所以。20計(jì)算積分。知識點(diǎn)：利用柯西積分公式或者利用留數(shù)定理.解 被積函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)，這兩個(gè)極點(diǎn)都在圓周內(nèi)因此=而=同理，所以=21計(jì)算積分解 在上半平面內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn)，它是二階極點(diǎn)。所以=，=因此=22計(jì)算積分，其中。知識點(diǎn)；令，則,然后化成復(fù)變函數(shù)沿閉曲線的積分，用留數(shù)定理來計(jì)算。解 令，則，被積函數(shù)有兩個(gè)一級極點(diǎn) 因?yàn)橹挥?，所以只有在單位圓內(nèi)，所以=23 計(jì)算積分。知識點(diǎn)：利用留數(shù)

6、定理計(jì)算實(shí)的積分。解：被積函數(shù)有四個(gè)極點(diǎn)，只有極點(diǎn)在上半平面內(nèi)所以=。24證明：對于復(fù)數(shù)，當(dāng)時(shí)，。證明 因?yàn)?。 有因?yàn)?。 25設(shè)函數(shù)在解析,并且它不恒為常數(shù).證明：若為的m階零點(diǎn)的充要條件是為的m階極點(diǎn). 證明：必要性：若為的m階零點(diǎn)，則其中在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)解析且，所以， 在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)解析且，所以為的m階極點(diǎn). 充分性：若為的m階極點(diǎn).，則可以表示為 ，且在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)解析且，從而所以為的m階零點(diǎn)。 26 設(shè)為整函數(shù)且存在正整數(shù)以及正數(shù)，使得任意復(fù)數(shù)有，則函數(shù)是一個(gè)次數(shù)至多為次得多項(xiàng)式或常數(shù)證明：在復(fù)平面上任取一點(diǎn)，則在上解析由柯西不等式得，其中，所以令得到由的任意性，得到所以函數(shù)是

7、一個(gè)次數(shù)至多為次得多項(xiàng)式或常數(shù)。27計(jì)算積分解 令，則，被積函數(shù)有兩個(gè)一級極點(diǎn) 因?yàn)橹挥?，所以只有在單位圓內(nèi)，所以=28 設(shè)為整函數(shù)且存在正整數(shù)以及正數(shù)，使得任意復(fù)數(shù)有，則函數(shù)是一個(gè)次數(shù)至多為次得多項(xiàng)式或常數(shù)證明：在復(fù)平面上任取一點(diǎn)，則在上解析由柯西不等式得，其中，所以令得到由的任意性，得到所以函數(shù)是一個(gè)次數(shù)至多為次得多項(xiàng)式或常數(shù)。29 函數(shù)在半圓上連續(xù)，且在上一致成立，證明：其中。證明：因?yàn)樵谏弦恢鲁闪?，所以，?dāng)時(shí)候?qū)σ磺?，有?dāng)時(shí)候所以30 設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，試證。解：設(shè)函數(shù)，則，而解析函數(shù)的實(shí)部與虛部是調(diào)和函數(shù)，所以有。31 設(shè)分別是函數(shù)的階零點(diǎn),問在有何性質(zhì)? 解: 證若為的階零點(diǎn).則在的某個(gè)鄰域內(nèi),其中在的某個(gè)鄰域內(nèi)解析,當(dāng)時(shí),.因此為可去奇點(diǎn).當(dāng)時(shí), 因此為階零點(diǎn).當(dāng)時(shí), 因此為階極點(diǎn).32 設(shè)為整函數(shù)且存在正數(shù)，使得任意復(fù)數(shù)有