電路邱關(guān)源 第八章相量法

1、第第8 8章章 相量法相量法 復數(shù)復數(shù)8.1 正弦量正弦量8.2 相量法的基礎(chǔ)相量法的基礎(chǔ)8.3 電路定律的相量形式電路定律的相量形式8.4 首首 頁頁 本章重點本章重點 2. 2. 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 3. 3. 電路定理的相量形式電路定理的相量形式 l 重點：重點： 1. 1. 正弦量的表示、相位差正弦量的表示、相位差 返 回 1. 1. 復數(shù)的表示形式復數(shù)的表示形式 ) 1(j為為虛虛數(shù)數(shù)單單位位 F b Re Im a o |F| bajFeFFj)sin(cos| j baFj | j FeFF j |eFF 下 頁上 頁 代數(shù)式代數(shù)式 指數(shù)式指數(shù)式 極坐標式極坐標式

2、三角函數(shù)式三角函數(shù)式 8.1 8.1 復數(shù)復數(shù) 返 回 幾種表示法的關(guān)系：幾種表示法的關(guān)系： a b baF arctan | 22 或或 sin| cos| F b Fa 2. 2. 復數(shù)運算復數(shù)運算 加減運算加減運算 采用代數(shù)式采用代數(shù)式 下 頁上 頁 F b Re Im a o |F| baFj | j FeFF 返 回 則則 F1F2=(a1a2)+j(b1b2) 若若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 圖解法圖解法 下 頁上 頁 F1 F2 Re Im o F1+F2 -F2 F1 Re Im o F1-F2 F1+F2 F2 返 回 乘除運算乘除運算 采用極坐標式采用極坐標

3、式 若若 F1=|F1| 1 ，F(xiàn)2=|F2| 2 21 2 1 )j( 2 1 2j 2 j 1 22 11 2 1 | | | | | | 21 1 |F |F e F F eF eF F F F F 則則: : 2121 )( j 21 j 2 j 121 2121 FF eFFeFeFFF 下 頁上 頁 模相乘模相乘 角相加角相加 模相除模相除 角相減角相減 返 回 例例1 ?2510475 )226. 4 j063. 9()657. 3 j41. 3(原原式式 569. 0 j47.12 61. 248.12 解解 下 頁上 頁 例例2? 5 j20 j6)(4 j9)(17 35

4、220 解解 2 .126j2 .180原原式式 04.1462.20 3 .56211. 79 .2724.19 16.70728. 62 .126j2 .180 329. 6 j238. 22 .126j2 .180 365 .2255 .132j5 .182 返 回 旋轉(zhuǎn)因子旋轉(zhuǎn)因子 復數(shù)復數(shù) ej =cos +jsin =1 F ej F Re Im 0 F ej 下 頁上 頁 旋轉(zhuǎn)因子旋轉(zhuǎn)因子 返 回 j 2 sinj 2 cos , 2 2 j e j) 2 sin(j) 2 cos(, 2 2 j e 1)sin(j)cos(, j e +j, j, -1 都可以看成旋轉(zhuǎn)因子。都

5、可以看成旋轉(zhuǎn)因子。 特殊特殊旋轉(zhuǎn)因子旋轉(zhuǎn)因子 Re Im 0 F Fj Fj F 下 頁上 頁 注意 返 回 8.2 8.2 正弦量正弦量 1. 1. 正弦量正弦量 l瞬時值表達式瞬時值表達式 i(t)=Imcos(w t+y) t i 0 T l周期周期T 和頻率和頻率f 頻率頻率f ：每秒重復變化的次數(shù)。：每秒重復變化的次數(shù)。 周期周期T ：重復變化一次所需的時間。：重復變化一次所需的時間。 單位：赫單位：赫( (茲茲) )Hz 單位：秒單位：秒s T f 1 正弦量為周期函數(shù)正弦量為周期函數(shù) f(t)=f ( t+kT ) 下 頁上 頁 波形波形 返 回 l正弦電流電路正弦電流電路 激勵

6、和響應(yīng)均為同頻率的正弦量的線性電路激勵和響應(yīng)均為同頻率的正弦量的線性電路 （正弦穩(wěn)態(tài)電路）稱為正弦電路或交流電路。（正弦穩(wěn)態(tài)電路）稱為正弦電路或交流電路。 正弦穩(wěn)態(tài)電路在電力系統(tǒng)和電子技術(shù)領(lǐng)域正弦穩(wěn)態(tài)電路在電力系統(tǒng)和電子技術(shù)領(lǐng)域 占有十分重要的地位。占有十分重要的地位。 l研究正弦電路的意義研究正弦電路的意義 正弦函數(shù)是周期函數(shù)，其加、減、求導、正弦函數(shù)是周期函數(shù)，其加、減、求導、 積分運算后仍是同頻率的正弦函數(shù)；積分運算后仍是同頻率的正弦函數(shù)； 正弦信號容易產(chǎn)生、傳送和使用。正弦信號容易產(chǎn)生、傳送和使用。 下 頁上 頁 優(yōu) 點 返 回 正弦信號是一種基本信號，任何非正弦周期信正弦信號是一種基

7、本信號，任何非正弦周期信 號可以分解為按正弦規(guī)律變化的分量。號可以分解為按正弦規(guī)律變化的分量。 )cos()( k n 1k k w tkAtf 對正弦電路的分析研究具有重要的理對正弦電路的分析研究具有重要的理 論價值和實際意義。論價值和實際意義。 下 頁上 頁 結(jié)論 返 回 幅值幅值 ( (振幅、最大值振幅、最大值) )Im (2) (2) 角頻率角頻率 2. 2. 正弦量的三要素正弦量的三要素 (3)(3) 初相位初相位y T f 2 2w 單位：單位： rad/s ，弧度弧度/ /秒秒 反映正弦量變化幅度的大小。反映正弦量變化幅度的大小。 相位變化的速度，反映正弦量變化快慢。相位變化的速

8、度，反映正弦量變化快慢。 反映正弦量的計時起點，常用角度表示。反映正弦量的計時起點，常用角度表示。 i(t)=Imcos(w t+y) 下 頁上 頁返 回 同一個正弦量，計時起點不同，初相同一個正弦量，計時起點不同，初相 位不同。位不同。 一般規(guī)定一般規(guī)定：|y | 。 y =0 y =/2 y =/2 下 頁上 頁 i o wt y 注意 返 回 例例 已知正弦電流波形如圖，已知正弦電流波形如圖，w103rad/s， 1.1.寫出寫出 i(t) 表達式；表達式；2.2.求最大值發(fā)生的時間求最大值發(fā)生的時間t1 1 t i o 100 50 t1 解解 )10cos(100)( 3 ytti

9、ycos100500t 3y 由于最大值發(fā)生在計時起點右側(cè)由于最大值發(fā)生在計時起點右側(cè) 3 y ) 3 10cos(100)( 3 tti 有有最最大大值值當當 310 1 3 tms047. 1 10 3 3 1 t 下 頁上 頁返 回 3. 3. 同頻率正弦量的相位差同頻率正弦量的相位差 設(shè)設(shè) u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i) 相位差相位差 ：j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i 規(guī)定規(guī)定： |j | (180) 下 頁上 頁 等于初相位之差等于初相位之差 返 回 lj 0， u超前超前i j 角角，或或i 滯后

10、滯后 u j 角角, (u 比比 i 先先 到達最大值到達最大值) )； l j 0， i 超前超前 u j 角，或角，或u 滯后滯后 i j 角角, i 比比 u 先先 到達最大值）。到達最大值）。 下 頁上 頁返 回 w t u, i u i yu yi j o j 0， 同相同相 j = (180o ) ，反相反相 特殊相位關(guān)系特殊相位關(guān)系 w t u i o w t u i o j= /2：u 領(lǐng)先領(lǐng)先 i /2 w t u i o 同樣可比較兩個電壓或兩個電流的相位差。同樣可比較兩個電壓或兩個電流的相位差。 下 頁上 頁返 回 例例 計算下列兩正弦量的相位差。計算下列兩正弦量的相位差

11、。 )15 100sin(10)( )30 100cos(10)( )2( 0 2 0 1 tti tti )2 100cos(10)( )43 100cos(10)( ) 1 ( 2 1 tti tti )45 200cos(10)( )30 100cos(10)( )3( 0 2 0 1 ttu ttu )30 100cos(3)( )30 100cos(5)( )4( 0 2 0 1 tti tti 下 頁上 頁 解解 045)2(43j 43245j 000 135)105(30j )105100cos(10)( 0 2 tti 不能比較相位差不能比較相位差 21 ww 000 120

12、)150(30j )150100cos(3)( 0 2 tti 兩個正弦量兩個正弦量 進行相位比進行相位比 較時應(yīng)滿足較時應(yīng)滿足 同頻率、同同頻率、同 函數(shù)、同符函數(shù)、同符 號，且在主號，且在主 值范圍比較。值范圍比較。 結(jié)論 返 回 4. 4. 周期性電流、電壓的有效值周期性電流、電壓的有效值 周期性電流、電壓的瞬時值隨時間而變，為周期性電流、電壓的瞬時值隨時間而變，為 了衡量其平均效果工程上采用有效值來表示。了衡量其平均效果工程上采用有效值來表示。 l周期電流、電壓有效值定義周期電流、電壓有效值定義 R 直流直流I R交流交流 i ttiRW T d)( 2 0 TRIW 2 物物 理理

13、意意 義義 下 頁上 頁返 回 T tti T I 0 2 def d)( 1 下 頁上 頁 均方根值均方根值 定義電壓有效值：定義電壓有效值： T ttu T U 0 2 def d)( 1 l 正弦電流、電壓的有效值正弦電流、電壓的有效值 設(shè)設(shè) i(t)=Imcos(w t+ ) 返 回 ttI T I T d ) (cos 1 0 22 m w Tt t t tt T TT 2 1 2 1 d 2 ) (2cos1 d ) (cos 0 00 2 w w m m 2 m 707. 0 22 1 I IT I T I ) cos(2) cos()( m tItItiww II2 m 下 頁

14、上 頁返 回 同理，可得正弦電壓有效值與最大值的關(guān)系：同理，可得正弦電壓有效值與最大值的關(guān)系： UUUU2 2 1 mm 或或 若交流電壓有效值為若交流電壓有效值為 U=220V ， U=380V 其最大值為其最大值為 Um311V Um537V 下 頁上 頁 注意 工程上說的正弦電壓、電流一般指有效值，如工程上說的正弦電壓、電流一般指有效值，如 設(shè)備銘牌額定值、電網(wǎng)的電壓等級等。但絕緣水平、設(shè)備銘牌額定值、電網(wǎng)的電壓等級等。但絕緣水平、 耐壓值指的是最大值。因此，在考慮電器設(shè)備的耐耐壓值指的是最大值。因此，在考慮電器設(shè)備的耐 壓水平時應(yīng)按最大值考慮。壓水平時應(yīng)按最大值考慮。 返 回 測量中，

15、交流測量儀表指示的電壓、電流讀測量中，交流測量儀表指示的電壓、電流讀 數(shù)一般為有效值。數(shù)一般為有效值。 區(qū)分電壓、電流的瞬時值、最大值、有效值的區(qū)分電壓、電流的瞬時值、最大值、有效值的 符號。符號。 UUuIIi, , mm 下 頁上 頁返 回 8.3 8.3 相量法的基礎(chǔ)相量法的基礎(chǔ) 1. 1. 問題的提出問題的提出 電路方程是微分方程：電路方程是微分方程： 兩個正弦量的相加：如兩個正弦量的相加：如KCL、KVL方程運算：方程運算： )( d d d d 2 tuu t u RC t u LC C CC ) cos(2 111 ywtIi ) cos(2 222 ywtIi 下 頁上 頁 R

16、 L C + - uC iL u + - 返 回 i1 i1+i2 i3 i2 www角頻率角頻率 同頻的正弦量相加仍得到同頻的正弦量，同頻的正弦量相加仍得到同頻的正弦量， 所以，只需確定初相位和有效值。因此采用所以，只需確定初相位和有效值。因此采用 正弦量正弦量復數(shù)復數(shù) 下 頁上 頁 I1I2I3 有效值有效值 1 2 3 初相位初相位 變換的思想變換的思想 w t u, i i1 i2 o i3 結(jié)論 返 回 造一個復函數(shù)造一個復函數(shù) ) j( 2)( t IetF w 對對 F(t) 取實部取實部)() cos(2)(RetitItFw 任意一個正弦時間函數(shù)都任意一個正弦時間函數(shù)都 有唯

17、一與其對應(yīng)的復數(shù)函數(shù)。有唯一與其對應(yīng)的復數(shù)函數(shù)。 ) j( 2)( ) cos(2 t IetFtIi w w ) sin(2j) cos(2tItIww 無物理意義無物理意義 是一個正弦量是一個正弦量 有物理意義有物理意義 3. 3. 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 下 頁上 頁 結(jié)論 返 回 F(t) 包含了三要素包含了三要素：I、 、w， 復常數(shù)包含了兩個要素：復常數(shù)包含了兩個要素：I , 。 F(t) 還可以寫成還可以寫成 tt eIeIetF ww y jj 22)( j 復常數(shù)復常數(shù) 下 頁上 頁 正弦量對正弦量對 應(yīng)的相量應(yīng)的相量 ) cos(2)(IItIti w 相量的模表

18、示正弦量的有效值相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位相量的幅角表示正弦量的初相位 注意 返 回 ) cos(2)(UUtUtu w 同樣可以建立正弦電壓與相量的對應(yīng)關(guān)系：同樣可以建立正弦電壓與相量的對應(yīng)關(guān)系： 已知已知例例1 1 試用相量表示試用相量表示i, u . . )V6014t311.1cos(3 A)30314cos(4 .141 o o u ti 解解V60220 A,30100 oo UI 下 頁上 頁 例例2 試寫出電流的瞬時值表達式。試寫出電流的瞬時值表達式。 解解 A )15314cos(250 ti . 50Hz A,1550 fI 已已知知 返 回

19、在復平面上用向量表示相量的圖在復平面上用向量表示相量的圖 IItIti ) cos(2)( UUtUtu ) cos(2)(w l 相量圖相量圖 下 頁上 頁 U I +1 +j 返 回 4. 4. 相量法的應(yīng)用相量法的應(yīng)用 同頻率正弦量的加減同頻率正弦量的加減 )2Re() cos(2)( )2Re() cos(2)( j 2 222 j 1 111 t t eUtUtu eUtUtu w w w w jj 12 12 jjj 1212 ( ) ( )( )Re( 2)Re( 2) Re( 22)Re( 2() tt ttt u tu tu tU eU e U eU eUUe ww www

20、U 21 UUU 相量關(guān)系為：相量關(guān)系為： 下 頁上 頁 結(jié)論 同頻正弦量的加減運算變?yōu)閷?yīng)相量同頻正弦量的加減運算變?yōu)閷?yīng)相量 的加減運算。的加減運算。 返 回 i1 i2 = i3 321 III 下 頁上 頁 例例 V )60314cos(24)( V )30314cos(26)( o 2 1 ttu ttu V604 V 306 o 2 o 1 U U V )9 .41314cos(264. 9)()()( o 21 ttututu 604306 21 UUU 46. 3 j23 j19. 546. 6 j19. 7 V 9 .4164. 9 o 返 回 借助相量圖計算借助相量圖計算

21、+1 +j 30 1 U 60 2 U 9 .41 U 首尾相接首尾相接 下 頁上 頁 V604 V 306 o 2 o 1 UU +1 +j 9 .41 U 60 2 U 30 1 U 返 回 正弦量的微分、積分運算正弦量的微分、積分運算 ) cos(2 ii IItIiyyw j2Re 2Re d d d d j jtt eIe I tt i ww w tt e I te Iti j j j 2Re d 2Red ww w 微分運算微分運算 積分運算積分運算 2 j d d i II t i yww 2 j d i II tiy ww 下 頁上 頁返 回 例例 ) cos(2)( i tI

22、tiyw d 1 d d )( ti Ct i LRitu 用相量運算：用相量運算： j j C I ILIRU w w 把時域問題變?yōu)閺蛿?shù)問題；把時域問題變?yōu)閺蛿?shù)問題； 把微積分方程的運算變?yōu)閺蛿?shù)方程運算；把微積分方程的運算變?yōu)閺蛿?shù)方程運算； 可以把直流電路的分析方法直接用于交流電路?？梢园阎绷麟娐返姆治龇椒ㄖ苯佑糜诮涣麟娐?。 下 頁上 頁 R i(t) u(t) L + - C 相量法的優(yōu)點 返 回 正弦量正弦量相量相量 時域時域 頻域頻域 相量法只適用于激勵為同頻正弦量的非時變相量法只適用于激勵為同頻正弦量的非時變 線性電路。線性電路。 相量法用來分析正弦穩(wěn)態(tài)電路。相量法用來分析正弦穩(wěn)態(tài)

23、電路。 正弦波形圖正弦波形圖 相量圖相量圖 下 頁上 頁 注意 不不 適適 用用 線線 性性 線線 性性 w1 w2 非非 線性線性 w 返 回 8.4 8.4 電路定律的相量形式電路定律的相量形式 1. 1. 電阻元件電阻元件VCR的相量形式的相量形式 時域形式：時域形式： 相量形式：相量形式： ii RIUII R 相量模型相量模型 )cos(2)( i tItiw )cos(2)()( Ri tRItRituw uR(t) i(t) R + - 有效值關(guān)系有效值關(guān)系 相位關(guān)系相位關(guān)系 R + - RU I UR u 相量關(guān)系：相量關(guān)系： IRU R UR=RI u=i 下 頁上 頁返 回

24、 瞬時功率瞬時功率 iup RR 波形圖及相量圖波形圖及相量圖 i w t o uR pR R U I u=i URI 瞬時功率以瞬時功率以2w交變，始終大于零，表交變，始終大于零，表 明電阻始終吸收功率明電阻始終吸收功率 ) (cos22 2 Ri tIU ) (2cos1 Ri tIU 同同 相相 位位 下 頁上 頁返 回 時域形式：時域形式： 相量形式：相量形式： ) cos(2)( i tItiw ) 2 cos( 2 ) sin(2 d )(d )( i iL tIL tIL t ti Ltu ww ww 相量模型相量模型 相量關(guān)系：相量關(guān)系：IXILU LL jjw 2. 2. 電

25、感元件電感元件VCR的相量形式的相量形式 2 iLi LIUIIw 下 頁上 頁 有效值關(guān)系有效值關(guān)系： U=w L I 相位關(guān)系：相位關(guān)系： u=i +90 i(t) uL(t) L + - jw L + - LU I 返 回 感抗的性質(zhì)感抗的性質(zhì) 表示限制電流的能力；表示限制電流的能力； 感抗和頻率成正比。感抗和頻率成正比。 w XL 相量表達式相量表達式 XL=wL=2fL，稱為感抗，單位為稱為感抗，單位為 ( (歐姆歐姆) ) BL=-1/w L =-1/2fL， 稱為稱為感納，單位為感納，單位為 S 感抗和感納感抗和感納 ,jjILIXU L w 開開路路; ; 短短路路( (直直流

26、流) ) , , ; , 0 ,0 L L X X w w U L U L UBI L wwj 11 jj 下 頁上 頁返 回 功率功率 ) (2sin ) sin()cos( L mLmLL i ii tIU ttIUiup w ww w t i o uL pL 2 瞬時功率以瞬時功率以2w交變，有正有負，一周期內(nèi)剛交變，有正有負，一周期內(nèi)剛 好互相抵消，表明電感只儲能不耗能。好互相抵消，表明電感只儲能不耗能。 L U I i 波形圖及相量圖波形圖及相量圖 電壓超前電壓超前 電流電流90900 0 下 頁上 頁返 回 時域形式：時域形式： 相量形式：相量形式： )cos(2)( u tUtu

27、w ) 2 cos(2 ) sin(2 d )(d )( C u u tCU tCU t tu Cti ww ww 相量模型相量模型 iC(t) u(t) C + - U C I + - - Cj 1 相量關(guān)系：相量關(guān)系： IXI C U C j 1 j w 3. 3. 電容元件電容元件VCR的相量形式的相量形式 2 u C u CUIUUw 下 頁上 頁 有效值關(guān)系：有效值關(guān)系： IC=w CU 相位關(guān)系：相位關(guān)系： i=u+90 返 回 XC=-1/w C， 稱為容抗，單位為稱為容抗，單位為 ( (歐姆歐姆) ) B C = w C， 稱為容納，單位為稱為容納，單位為 S 容抗和頻率成反比

28、容抗和頻率成反比 w0， |XC| 直流開路直流開路( (隔直隔直) ) w ，|XC|0 高頻短路高頻短路 w |XC| 容抗與容納容抗與容納 相量表達式相量表達式 UCUBI I C IXU C C w w jj 1 jj 下 頁上 頁返 回 1 jj C I C IXU w 功率功率 )(2sin )sin()cos(2 C CC u uuC tUI ttUIuip w t iC o u pC 瞬時功率以瞬時功率以2w交變，有正有負，一周期交變，有正有負，一周期 內(nèi)剛好互相抵消，內(nèi)剛好互相抵消，表明電容只儲能不耗能。表明電容只儲能不耗能。 U C I u 波形圖及相量圖波形圖及相量圖 電

29、流超前電流超前 電壓電壓900 下 頁上 頁 2 返 回 4. 4. 基爾霍夫定律的相量形式基爾霍夫定律的相量形式 0)(ti 同頻率的正弦量加減可以用對應(yīng)的相量形式同頻率的正弦量加減可以用對應(yīng)的相量形式 來進行計算。因此，在正弦電流電路中，來進行計算。因此，在正弦電流電路中，KCL和和 KVL可用相應(yīng)的相量形式表示：可用相應(yīng)的相量形式表示： 流入某一結(jié)點的所有正弦電流用相量表示流入某一結(jié)點的所有正弦電流用相量表示 時仍滿足時仍滿足KCL；而任一回路所有支路正弦電壓用；而任一回路所有支路正弦電壓用 相量表示時仍滿足相量表示時仍滿足KVL。 0 2Re)( j 21 t eIIti w 0I 0

30、)(tu 0U 下 頁上 頁 表明 返 回 j . 5 C C C I U w 例例1 1 試判斷下列表達式的正、誤。試判斷下列表達式的正、誤。 Liu . 1w 0 05 cos5 . 2tiw mm j . 3CUIw L L L . 4 I U X LL j . 6ILU w t i Cu d d . 7 UI m U m m I U I U Cwj 1 L 下 頁上 頁返 回 例例2 已知電流表讀數(shù)：已知電流表讀數(shù)：A18A 下 頁上 頁 6AA2 A1 A0 Z1 Z2 U A2 C XZRZj , . 1 21 若若A0? 為何參數(shù)為何參數(shù) 21 , 2. ZRZ I0max=?

31、A0 為何參數(shù)為何參數(shù) 2L1 ,j 3. ZXZ A0I0min=? 為何參數(shù)為何參數(shù) 2L1 ,j . 4 ZXZ ? A2 A0 A1 解解A1068 1. 22 0 I A1468 2. max02 IRZ， A268 ,j 3. min0C2 IXZ A16 ,A8 ,j . 4 210C2 IIIXZ 1 ,IU 2 I 0 I 返 回 例例3)(:),5cos(2120)( titt u求求已已知知 解解 0 0120U 20j54 jj L X 10j 02. 05 1 jj C X 相量模型相量模型 下 頁上 頁 + _ 15 u 4H 0.02F i U j20 -j10 1 I 2 I 3 I I + _ 15 返 回 A9 .3610681268 10 1 20 1 15 1 120 0 jjj jj A)9 .365cos(210)( 0 tt i 下 頁上 頁 CL CLR jjX U X U