因式分解式講義精講

1、教育學科教師輔導講義學員編號:學員姓名:年 級：初一輔導科目：數(shù)學課時數(shù)：1學科教師：授課類型復習授課日期及時段2016416 12:502:50教學目的1. 熟練掌握因式分解的有關概念和運算法則。2. 熟練地、靈活地運用因式分解進行計算。教學內容因式分解的常用方法第一部分：方法介紹多項式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應用于初等數(shù)學之中，是我們解決許多數(shù) 學問題的有力工具因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的， 而且對于培養(yǎng)學生的解題技能，發(fā)展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用初中數(shù)學教材中主要介紹了提取 公因式法、運用公式法、分

2、組分解法和十字相乘法本講及下一講在中學數(shù)學教材基礎上，對因式分解的方法、 技巧和應用作進一步的介紹.、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c)、運用公式法 在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a -b) = a2-b2a 2-b2=(a+b)(a -b);(2) (a b)2 = a2 2ab+b2a2 2ab+b2=(a b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b2) =a3+b3 a3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3a 3-b3=(a-b)(a

3、2+ab+b 2).下面再補充兩個常用的公式：(5) a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6) a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a 2+b2+c2-ab-bc-ca);(7) (a+ b)3= a3+3a2b+3ab2+ b3 (完全立方和公式)(8) (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 十字相乘例.已知a, b, c是 ABC的三邊，且a2 b2 c2ab bc ca，則 ABC的形狀是()A.直角三角形B等腰三角形C等邊三角形 D等腰直角三角形 三、分組分解法.（一）分組后能直接提公因式例1、分解因式： am an bm bn例2、分解因

4、式：2ax 10ay 5by bx練習:分解因式 1、a2 ab ac bc2、xy3. ab ac bdcd（二） 例3、分組后能直接運用公式 分解因式：ax ay例4、分解因式:a2 2abb2c2練習:分解因式3、x2 x9y23y4、2小z 2yz5. x5+x4+x3+x2+x+1綜合練習:2xy(2)2 axbx2 bx ax(3)x26xy9y216a2 8a(4) a2 6ab 12b 9b24a(5)a42a3a22(6) 4a x 4ay b2xb2y(7)2xyxz2yz y(8) a22ab2 2b2ab 1(9)y(y2)(m1)(m 1)(10) (ac)(ac)

5、b(b2a)(11)a2(b c) b2(a c) c2(ab) 2abc(12) ac3 3abc(13) xy -xz -y2+2yz-z2(14) a2 -b2 -c2 -2bc -2a+1四、十字相乘法（一）二次項系數(shù)為 1的二次三項式直接利用公式x2 (p q)x pq (x p)(x q)進行分解。特點：(1) 二次項系數(shù)是1;(2) 常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；(3) 一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和?？谠E：首尾分解，求和湊中，交叉相乘。例.已知Ov a 5,且a為整數(shù)，若2x2思考：十字相乘有什么基本規(guī)律?3x a能用十字相乘法分解因式，求符合條件的a .解析:例5、分解因式:x2 5

6、x 60例6、分解因式：x 7x 6練習5、分解因式(1)x214x 24(2) a2215a36(3) x 4x練習6、分解因式(1)x2x 2(2) y 2y 15(3) x 10x24(二)二次項系數(shù)不為1(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd的二次三項式，既然是二次式，就可以寫成，簡記口訣：首尾分解，交叉相乘,(ax+b)(cx+d)的形式。 求和湊中。2ax bx條件：(1) a(2)(3)分解結果：cbax2例7、分解因式:分析：a?C2a C2bx3x2解：3x2練習7、分解因式:a?C1c = (a1X11x 101Ci)(a2X C2)(-6) + 11x

7、10 = (x(1) 5x2(-5)= -112)(3x7x 65)(三)二次項系數(shù)為2(3) 10x217x 31的齊次多項式a31 -a2a1 C2(2)(4)CiC2 a 2C13x2 7x6y211y10例8、分解因式：a2分析：將b看成常數(shù),8ab 128b2的二次三項式，利用十字相乘法進行分解。把原多項式看成關于1“ 8b1-16b8b+(-16b)= -8b解：a2 8ab 128b2=a28b( 16b)a 8b ( 16b)=(a 8b)(a 16b)練習8、分解因式(1) x2 3xy 2y2(2) m22 2 26mn 8n (3) a ab 6b（四）二次項系數(shù)不為 1

8、的齊次多項式例 9、2x2 7xy 6y2-2y-3y(-3y)+(-4y)= -7y解：原式=(x 2y)(2x3y)2練習9、分解因式：（1）15x例 10、x2 y2 3xy 2把xy看作一個整體 1-11 -2(-1)+(-2)= -3解：原式=(xy 1)( xy 2)2 2 27xy 4y(2) a x 6ax 8綜合練習 10、( 1)8x6 7x3 1( 2)12x2 11xy 15y2（3）(x y)23(x y)102(4) (a b) 4a 4b 3（5）x2y2 5x2y 6x22 2(6) m 4mn 4n 3m 6n 2（7）2 x4xy4y2 2x4y3( 8)5

9、(a b)223(a2 b2) 10(a b)2（9）4x24xy6x 3y2 y10( 10)12(x y)2 11(x2 y2) 2(x y)2思考:分解因式：abcx2(a2b2c2)x abc五、換元法。例 13、分解因式(1)2005x2(200521)x 20052(2)(x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x 解：(1 )設 2005= a，則原式=ax2 (a21)x a=(ax 1)(x a)= （2005x1）（x2005）這種多項式屬（2）型如abcd e的多項式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘。 原式= （x2 7x 6）（x2 5x 6） x2設x25x6A

10、 ,則x27x 6 A 2x原式:=(A2x)Ax2= A2 2Ax x2=(Ax)2=(x2 6x6)2練習13、分解因式（1)(x2xyy2)2 4xy(x2 y2)(2)(x23x2)(4x2 8x 3)90(3)(a21)2(a25)24(a23)例 14、分解因式（1） 2x4 x3 6x2 x 2觀察：此多項式的特點一一是關于x的降幕排列，每一項的次數(shù)依次少1,并且系數(shù)成“軸對稱”于“等距離多項式”。方法:提中間項1的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元法。解：原式=2 /=x (2x2x16 -12)=x22(x212 )(x1-)6xxxx設殳X -t,則x212t22xx原

11、式=x2 2(t2 2)t 62 =x2t2t 10- 2 -212=x2 2t5 t2 = x2x5 xxx=x - 2x25 x - x12 =:2x25x2 x22x 1xx=(x 1)2(2x1)(x2)(2)x4 4x3 x24x1解：原式=2=x (x4x1 -)2 =x2x -124 x1 1xxxx設x1-y，則x2 122 y2xx原式=2/ 2 =x (y4y3)=x2(y1)(y3)2 “113)：2x 123x 1=x (x-1)(x -=xxxx練習14、( 1)6x47x336x27x6(2) x4 2x3 x212(x x2)例15、分解因式(1) x33x2 4

12、解法1拆項。解法2添項。原式=x31 3x23原式=x3 3x24x 4x4=(x 1)(x2x1)3(x1)(x1)=x(x2 3x4)=(x1)(x2 x 13x3)=x(x1)(x 4)4(x 1)=(x1)(x2=(x1)(x2 4x 4)=(x1)(x 2)2=(x 1)(x2)2(2)x9x6 x33解：原式=(x91)(x61) (x31)3=(x 1)(x6x3 31) (x1)(x3 1) (x31)3=(x 1)(x6x31 x311)2=(x 1)(xx1)(x6 2x33)六、添項、拆項、配方法。配方法：因式分解a2b2+4a+2b+3原式 =(a2+4a+4) -(b

13、2-2b+1)=(a+2)2 -(b-1)2=(a+b+1)(a -b+3)(4x 4)4x 4)用配方法把 2- 2分解因式分解因式 2x 8x 6練習(1)(3)15、x34x分解因式9x7x24224(2)(x1)(x1) (x 1)(4)xx2ax1axA4+xA2+2ax+1-aA2 = xA4+2xA2+1-xA2+2ax-aA2 =(xA2+1F2-(x-a)A2 =(xA2+1+x-a)(xA2+1-x+a)(5)(x y)4(6) 2a2b2 2a2c2 2b2c2 a4 b4 c4-但人2七人2)人2-2。人2但人2七人2)+。人4=但人2七人2-。人2)人2(7) x4

14、+ 4原式=x4 + 4x2 + 4 -4x2= (x2+2)2 -(2x)2= (x2+2x+2)(x2 -2x+2)422422(8) x - 23x y +y( 9) ( m - 1)( n - 1)+4 mn證明：設伉二次方程肢 +加+ c = O(tJ玉0)的兩根是中x2Ed b +b Aacb b 則X| ，勲-labc X-| + X = ? Hl Jfr = aa就是一=(Xj + x, X XjXjax1 + bx + c = a(y: + -v 十 )a a二(込+也)州xj j&r-.qX斗-隔)結論：在分解二次三項式必+丘+的因式分解時.可先用公式求岀方稈A +加M =

15、 0的兩根無心然后寫成當4 =62 -4負:仝0時，ax1 + &r+c?在實數(shù)范圍內可以分薛因式;當A = -4ac0時t ax2 + bx + c在實數(shù)范圍內不能分解因式七、待定系數(shù)法。首先判斷出分解因式的形式，然后設出相應整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項式因式分解。例16、分解因式x2 xy 6y2 x 13y 6分析：原式的前 3項x xy 6y可以分為(x 3y)(x 2y)，則原多項式必定可分為 (x 3y m)(x22解：設 x xy 6y x 13y6 = (x 3y m)(x 2y n)/ (x 3y m)( x 2y n) = x xy 6y (m n)x (3n

16、2m)y mn二 x2 xy 6y2 x 13y 6 = x2 xy 6y2 (m n)x (3n 2m)y mn2y n)對比左右兩邊相同項的系數(shù)可得3n 2m 13，解得mn 6原式=(x 3y 2)( x 2y 3)分解因式 x4 -x3 -5x2 -6x-4如果已知道這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。解：設 x4 -x3 -5x2 -6x-4=(x 2 +ax+b)(x 2 +cx+d)=x4 +(a+c)x 3 +(ac+b+d)x 2 +(ad+bc)x+bd從*而 a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4所以 解得 貝U x4 -3 -5x

17、2 -6x-4 =(x 2+x+1)(x 2 -2x-4)例17、( 1)當m為何值時，多項式 x2 y2(2)如果x3 ax2 bx 8有兩個因式為 mx 5y 6能分解因式，并分解此多項式。x 1和x 2，求a b的值。(1)分析:前兩項可以分解為(xy)(xy)，故此多項式分解的形式必為(x y a)(x y b)解：設x22y mx5y6=(xya)(xy b)則x22y mx5y62 =x2 y(ab)x (ba) y ababma 2a 2比較對應的系數(shù)可得：ba5 ,解得：b 3或b 3ab6m 1m 1當 m1時，原多項式可以分解；當m1時，原式=(x y2)(xy3);當m1

18、時，原式=(xy2)(xy3)(2)分析：x3 ax2 bx 8是一個三次式，所以它應該分成三個一次式相乘，因此第三個因式必為形如x c的一次二項式。解:設 x3 ax2 bx 8= (x1)(x2)(x c)則 x3 ax2 bx 8= x3(3c)x2(23c)x 2ca 3 ca7- b 2 3c解得b14,2c 8c4 a b=21練習17、(1 )分解因式x2 3xy10y2x9y2(2)分解因式x2 3xy2y25x7y6(3)已知：x2 2xy3y26x14yp能分解成兩個一次因式之積，求常數(shù)p并且分解因式。(4) k為何值時，x22xyky23x5y 2能分解成兩個一次因式的乘

19、積，并分解此多項式。8、求根法令多項式f(X)=O,求出其根為X1,X2 ,X3 ,Xn ,則多項式可因式分解為f(x)=(x-x 1 )(x-x 2)(X-X3)(X-Xn )(況下是試根法，并且一般試-3,-2,-1,0,1,2,3 這些數(shù)是不是方程的根)例 8、分解因式 2x4 +7x3 -2x2 -13x+6解：令 f(x)=2x 4 +7x3 -2x2 -13x+6=0 通過綜合除法可知，f(x)=O 根為，-3 , -2 , 1，2則 2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9:主元法先選定一個字母為主元，然后把各項按這個字母次數(shù)從高到低排列，

20、再進行因式分解。例 10、分解因式 a2 (b-c)+b 2 (c-a)+c 2 (a-b)分析：此題可選定 a為主元，將其按次數(shù)從高到低排列解: a2 (b-c)+b 2 (c-a)+c 2 (a-b)=a 2 (b-c)-a(b 2 -c 2)+bc(b-c)=(b-c) a 2 -a(b+c)+bc =(b-c)(a-b)(a-c)10雙十字相乘法十字相乘法是利用x2(a b)x ab (x a)(x b)這個公式，寫成兩排形式，把二次項系數(shù)的約數(shù)和常數(shù)項的約數(shù)進行十字交叉相乘，它們的和湊成一次項系數(shù)，那每一排即位多項式的一個因 式，因為呈十字交叉相乘，故稱為十字相乘法。運用雙十字乘法對

21、Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F型的多項式分解因式的步驟：1、用十字相乘法分解前三項組成的二次三項式；2、在這個十字相乘圖右邊再畫一個十字，把常數(shù)項分解為兩個因數(shù)，填在第二個十字的右端，使這兩個因數(shù)在第二個十字中交叉之積之和，等于原式中含y的一次項的系數(shù)E,同是還必須與第一個十字中左列的兩個因數(shù)交叉相乘，使其交叉之積之和等于原式中含x的一次項的系數(shù)D。一、用雙十字相乘法分解多項式 我們先看一下兩個多項式相乘的計算過程：計算(2x 3y 5)(3x y 1)。2x 3y 5)3x y 126 x 9xy15x22xy 3y5y2x 3y 5 2 26x 7xy 3y 13x 8y 52 2

22、(2x 3y 5)(3x y 1) 6x 7xy 3y 13x 8y 5從計算過程可以發(fā)現(xiàn)，乘積中的二次項6x2 7xy 3y2只和乘式中的一次項有關，而與常數(shù)項無 關；乘積中的一次項13x 8y，只和乘式中的一次項及常數(shù)項有關系；乘積中的常數(shù)項，只和乘式中 的常數(shù)項有關系。根據(jù)因式分解與整式乘法是相反變形的關系，我們來尋求多項式2x 3y3x 、y9xy 2xy 7 xy1、先用十字相乘法分解6x2 7xy 3y2。乂 -5y 3y 8 y6x2 7xy 3y213x 8y 5的分解因式的方法是：2、再將常數(shù)項一5的兩個因數(shù)寫在第二個十字的右邊3、 由于第2列與第3列交叉相乘之積的和等于8y

23、。再看第1列與第3列交叉相乘之積的和等 于13x，那么原式就可以分解成(2x 3y 5)(3x y 1)。綜上可知，雙十字相乘法的理論根據(jù)是多項式的乘法，在使用雙十字相乘法時，應注意它帶有 試驗性質，很可能需要經過多次試驗才能得到正確答案。例 1、分解因式 20x2 9xy 18y218x 33y 14。匚 4X 6- 15=9, 3X ( -7)+2 X 6=33,- 28+10=- 18,2)(5x 6y 7).20x2 9xy 18y2 18x 33y 14(4x 3y評注：在使用雙十字相乘法時，不必標出 x, y ,只需寫出x, y的系數(shù)就可以了。即第1列是x的系數(shù)的兩個因數(shù)；第2列是

24、y的系數(shù)的兩個因數(shù)；第3列是常數(shù)項的兩個因數(shù)。例2、分解因式15x2 20xy x 8y 2-3 X ( 2)+5 X 1 = 6+5= 1,. 15x220xy x 8y 2 = (3x 4y1)(5x 2)。例3、分解因式9x2 16y2 18x 40 y16。/ 3X ( -2)+3 X 8= 6+24=18,.9x216y218x40y 16 = (3x 4y8)(3x 4y 2)。例4、分解因式6x2 5xy 6y222xz 23yz 20z 。8-2 2X 5+3X ( - 4)=10 - 12=-2,.6x2 5xy 6y2 2xz 23yz220z(2x 3y 4z)(3x 2

25、y 5z)。評注：注意本題中的第3列是20z2的兩個因式,不要丟掉z。3-2例 5、分解因式 6x2 13xy 2y2 16x y 6。解法1: 6x213xy2y216xy 6(x2y3)(6x y2)解法2:6x213xy2y216xy6 6x2(13y16)x(2y2y 6)6x2(13y16)x(y2)(2y3)(x2y 3)( 6 xy 2) o1 22-3解法3:6x213xy2y216xy64-3=1(x 2y)(6xy)(16xy) 6(x2ym)(6x yn)(2y 3)(y 2)= 6x213xy2y2(6mn)x (m2n )ymn12y 18 y216 13y6mn 1

26、6m2n1解之，得m 3, n2 omn6 6x213xy2y216xy 6(x2y3)(6x y2) o評注：解法1是使用雙十字相乘法分解因式；解法 因式；解法3則使用了待定系數(shù)法。2將原多項式化成關于x的二次三項式分解練一練：用多種方法分解下式：2x2 xy y2 3y答案：(x y 1)(2x y 2)(1) 6x2 7xy 3y213x 8y 52 2x 2xy 8y 2x 14y 3 x2 8xy 15y2 2x 4y 32 2x 2xy 3y 3x y 2 4x2 12xy 9y2 2x 3y 62x2 7xy 22y2 5x 35y 3知識總結歸納因式分解是把一個多項式分解成幾個

27、整式乘積的形式，它和整式乘法互為逆運算，在初中代數(shù)中占有重要的地位和作用，在其它學科中也有廣泛應用，學習本章知識時，應注意以下幾點。1.因式分解的對象是多項式;2.因式分解的結果一定是整式乘積的形式;3.分解因式，必須進行到每一個因式都不能再分解為止;4.公式中的字母可以表示單項式，也可以表示多項式;5.結果如有相同因式，應寫成幕的形式;6.題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般指在有理數(shù)范圍內分解;7.因式分解的一般步驟是:(1)通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首先看有無公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個步驟都不能實施，可用分組分解法,分組的目的是使得分組后有公因

28、式可提或可利用公式法繼續(xù)分解;(2)若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆項(添項)等方法;F面我們一起來回顧本章所學的內容。1. 通過基本思路達到分解多項式的目的例1.分解因式x5 x4 x3 x2 x 1分析：這是一個六項式，很顯然要先進行分組，此題可把x5x4x3和x2x 1分別看成一組，此時六項式變成二項式，提取公因式后，再進一步分解;也可把x51分別看成一組，此時的六項式變成三項式，提取公因式后再進行分解。解一：原式(X5 x4 x3)(x21)x3(x2 x 1) (x31)(x(x21)(x 1)(x21)1)(x21)解二：原式=(x5 x4)(x

29、3x2)(X1)x4(x 1) (x 1)(x4x2(x 1)(X1)4(x 1)(x(x 1)(x2x 1)2x21)x 1)(x2x2x 1)2. 通過變形達到分解的目的例1.分解因式x3 3x2解一：將3x2拆成2x2x2，則有原式3 c 2z 2x 2x(x4)x2(x 2) (x2)(x2)2(x 2)(xx2)(x 1)(x 2)2解二:將常數(shù) 4拆成13 ,則有原式x31(3x23)(x 1)(x2 x1) (x1)(3x3)(x 1)(x2 4x4)(x 1)(x 2)23.在證明題中的應用例：求證：多項式(x24)(x210x 21)100的值一定是非負數(shù)分析：現(xiàn)階段我們學習

30、了兩個非負數(shù)，它們是完全平萬數(shù)、絕對值。本題要證明這個多項式是非負數(shù)，需要變形成完全平方數(shù)。證明：2 2(x24)(x210x 21)100(x 2)(x2)(x3)( x7)100(x 2)(x7)(x2)(x3)100(x2 5x 14)(x2 5x6) 100設yx2 5x，則原式(y i4)(y 6)100y2 8y 16 (y 4)2無論y取何值都有(y4)20(x24)(x210x21)100的值一定是非負數(shù)4.因式分解中的轉化思想例：分解因式：(a 2b c)3(a b)3 (b c)3分析：本題若直接用公式法分解,過程很復雜，觀察a+b, b+c與a+2b+c的關系，努力尋找一

31、種代換的方法。解：設 a+b=A, b+c=B,a+2b+c=A+B原式 (A B)3 A3 B332A3A B3AB2333B AB2 23A2B 3AB23AB (A B)3(a b)(b c)(a 2b c)說明：在分解因式時，靈活運用公式，對原式進行“代換”是很重要的。中考點撥例 1.在 ABC 中，三邊 a,b,c 滿足 a216b2 c2 6ab I0bc 0求證：a c 2b證明：a2 16b2 c2 6ab I0bc 0a2 6ab 9 b2 c2 10bc 25b20即(a 3b)2 (c 5b)20(a 8b c)(a 2b c) 0a b ca 8b c，即 a 8b c

32、 0于是有a 2b c 0即 a c 2b說明：此題是代數(shù)、幾何的綜合題，難度不大，學生應掌握這類題不能丟分。例2.已知：x12，則x31x3 x解: x313(x-)(x21 !)xxx1 r/1 2(x)(x)2 1xx212說明：利用x2 亠(x丄)22等式化繁為易。xx100，即要求它們的差小于零，把它們題型展示1.若x為任意整數(shù)，求證：(7x)(3x)(4 x )的值不大于 100。解：(7x)(3x)(4x2)100(x 7)(x2)(x3)( x 2)1002 2(x5x 14)(x5x 6)1002 2(x25x)8(x25x)162 2(x2 5x 4)20(7x)(3 x)

33、(4 x22) 100說明：代數(shù)證明問題在初二是較為困難的問題。一個多項式的值不大于的差用因式分解等方法恒等變形成完全平方是一種常用的方法。2.將a2但1)2但2a)2分解因式，并用分解結果計算6272422。解：a2 (a 1)2 但2 a)2a2 a2 2a 1 (a2 a)22(a2 a) 1 (a2 a)2(a2 a 1)26272422(3661)24321849說明：利用因式分解簡化有理數(shù)的計算。實戰(zhàn)模擬1. 分解因式：(1)3x510x438x3x210x8(2)(a23a3)(a23a 1)5(3)2 x2xy3y23x 5y2(4)3 x7x62.已知：xy 6,xy1,求:

34、x3 y3的值。3. 矩形的周長是28cm,兩邊x,y使x3 x2y xy2 y3 0，求矩形的面積。4. 求證：n3 5n是6的倍數(shù)。(其中n為整數(shù))5. 已知：a、b、c 是非零實數(shù)，且a2b2c 1，a(-)b(-丄)c(-)3，求 a+b+c 的值。b c c a a b6. 已知：a、b、c為三角形的三邊，比較 a2 b2 c2和4a2b2因式分解練習題精選一、填空：(30分)1、 若x2 2(m 3)x 16是完全平方式，則m的值等于。2 22、x x m (x n)貝U m =n=3、2x3y2與12x6y的公因式是4、 若 xm yn =(x y2)(x y2)(x2 y4)，貝y m=,