2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題43 舉重若輕——立體幾何問題的空間向量方法（I）

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精專題43 舉重若輕-立體幾何問題的空間向量方法(i)【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】利用空間向量證明平行或垂直是高考的熱點(diǎn)，內(nèi)容以解答題中的一問為主，主要圍繞考查空間直角坐標(biāo)系的建立、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算能力和分析解決問題的能力命制試題,以多面體為載體、證明線面(面面）的平行(垂直)關(guān)系是主要命題方向空間的角與距離的計(jì)算（特別是角的計(jì)算)是高考熱點(diǎn)，一般以大題的條件或一小問形式呈現(xiàn)，考查用向量方法解決立體幾何問題，將空間幾何元素之間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，并通過計(jì)算解決立體幾何問題距離問題往往在與有關(guān)面積、體積的計(jì)算中加以考查此類問題往往屬于“證算并重題，即第一問用幾何法證明平行關(guān)

2、系或垂直關(guān)系，第二問則通過建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量方法進(jìn)一步求角或距離。本專題首先通過例題說明利用空間向量證明平行或垂直問題的方法與技巧.（一）建立直角坐標(biāo)系的原則：如何選取坐標(biāo)軸1、軸的選取往往是比較容易的，依據(jù)的是線面垂直，即軸要與坐標(biāo)平面垂直，在幾何體中也是很直觀的,垂直底面高高向上的即是,而坐標(biāo)原點(diǎn)即為軸與底面的交點(diǎn)2、軸的選取：此為坐標(biāo)是否易于寫出的關(guān)鍵，有這么幾個(gè)原則值得參考：（1）盡可能的讓底面上更多的點(diǎn)位于軸上（2）找角：軸要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直條件（3）找對(duì)稱關(guān)系:尋找底面上的點(diǎn)能否存在軸對(duì)稱特點(diǎn)3、常用的空間直角坐標(biāo)系滿足軸成右手系，所以在標(biāo)軸時(shí)要注意

3、。4、同一個(gè)幾何體可以有不同的建系方法，其坐標(biāo)也會(huì)對(duì)應(yīng)不同.但是通過坐標(biāo)所得到的結(jié)論(位置關(guān)系，角）是一致的.5、解答題中，在建立空間直角坐標(biāo)系之前，要先證明所用坐標(biāo)軸為兩兩垂直（即一個(gè)線面垂直底面兩條線垂直)，這個(gè)過程不能省略.6、與垂直相關(guān)的定理與結(jié)論：(1）線面垂直： 如果一條直線與一個(gè)平面上的兩條相交直線垂直，則這條直線與該平面垂直 兩條平行線，如果其中一條與平面垂直，那么另外一條也與這個(gè)平面垂直 兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面上垂直交線的直線與另一個(gè)平面垂直 直棱柱:側(cè)棱與底面垂直(2)線線垂直（相交垂直）： 正方形，矩形,直角梯形 等腰三角形底邊上的中線與底邊垂直(三線合一) 菱形的

4、對(duì)角線相互垂直 勾股定理逆定理：若，則 (二)坐標(biāo)的書寫：建系之后要能夠快速準(zhǔn)確的寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，按照特點(diǎn)可以分為3類1、能夠直接寫出坐標(biāo)的點(diǎn)（1） 坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，例如在正方體(長度為1）中的點(diǎn)，坐標(biāo)特點(diǎn)如下：軸： 軸： 軸： 規(guī)律：在哪個(gè)軸上，那個(gè)位置就有坐標(biāo),其余均為0（2）底面上的點(diǎn):坐標(biāo)均為，即豎坐標(biāo),由于底面在作立體圖時(shí)往往失真，所以要快速正確寫出坐標(biāo)，強(qiáng)烈建議在旁邊作出底面的平面圖進(jìn)行參考:以上圖為例：則可快速寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，位置關(guān)系清晰明了 2、空間中在底面投影為特殊位置的點(diǎn)： 如果在底面的投影為，那么(即點(diǎn)與投影點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相同） 由這條規(guī)律出發(fā),在寫空間中的點(diǎn)時(shí)，可看下在底面的投

5、影點(diǎn)，坐標(biāo)是否好寫。如果可以則直接確定了橫縱坐標(biāo),而豎坐標(biāo)為該點(diǎn)到底面的距離。例如：正方體中的點(diǎn)，其投影為,而所以,而其到底面的距離為,故坐標(biāo)為以上兩個(gè)類型已經(jīng)可以囊括大多數(shù)幾何體中的點(diǎn)，但總還有一些特殊點(diǎn)，那么就要用到第三個(gè)方法：3、需要計(jì)算的點(diǎn) 中點(diǎn)坐標(biāo)公式：，則中點(diǎn),圖中的等中點(diǎn)坐標(biāo)均可計(jì)算 利用向量關(guān)系進(jìn)行計(jì)算（先設(shè)再求）：向量坐標(biāo)化后,向量的關(guān)系也可轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而可以求出一些位置不好的點(diǎn)的坐標(biāo)，方法通常是先設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，再選取向量，利用向量關(guān)系解出變量的值，例如：求點(diǎn)的坐標(biāo),如果使用向量計(jì)算，則設(shè)，可直接寫出,觀察向量，而 ， （三）刻畫直線與平面方向的向量1、直線：用直

6、線的方向向量刻畫直線的方向問題，而方向向量可由直線上的兩個(gè)點(diǎn)來確定例如：，則直線的方向向量為 2、平面：用平面的法向量來刻畫平面的傾斜程度，何為法向量？與平面垂直的直線稱為平面的法線,法線的方向向量就是平面的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？（1)所需條件：平面上的兩條不平行的直線（2）求法：（先設(shè)再求）設(shè)平面的法向量為，若平面上所選兩條直線的方向向量分別為，則可列出方程組： 解出的比值即可例如：，求所在平面的法向量解：設(shè)，則有 ,解得: （四)空間向量可解決的立體幾何問題（用表示直線的方向向量,用表示平面的法向量）1、判定（證明）類（1）線面平行： （2）線面垂直：（3）面面平行：(4）面

7、面垂直：2、計(jì)算類:(1）兩直線所成角： （2）線面角：（3）二面角：或(視平面角與法向量夾角關(guān)系而定）（4）點(diǎn)到平面距離：設(shè)為平面外一點(diǎn),為平面上任意一點(diǎn),則到平面的距離為，即在法向量上投影的絕對(duì)值。(五）點(diǎn)的存在性問題：在立體幾何解答題中，最后一問往往涉及點(diǎn)的存在性問題，即是否在某條線上存在一點(diǎn),使之滿足某個(gè)條件，本講主要介紹使用空間向量解決該問題時(shí)的方法與技巧1、理念：先設(shè)再求-先設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo),再想辦法利用條件求出坐標(biāo)2、解題關(guān)鍵:減少變量數(shù)量-可表示空間中的任一點(diǎn)，但題目中所求點(diǎn)往往是確定在某條線或者某個(gè)平面上的，所以使用三個(gè)變量比較“浪費(fèi)”（變量多，條件少，無法求解），要考慮減少

8、變量的個(gè)數(shù)，最終所使用變量的個(gè)數(shù)可根據(jù)如下條件判斷：(1）直線（一維)上的點(diǎn)：用一個(gè)變量就可以表示出所求點(diǎn)的坐標(biāo)（2)平面（二維）上的點(diǎn):用兩個(gè)變量可以表示所求點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律：維度=所用變量個(gè)數(shù)3、如何減少變量：(1）直線上的點(diǎn)（重點(diǎn)）：平面向量共線定理-若使得 例：已知，那么直線上的某點(diǎn)坐標(biāo)可用一個(gè)變量表示,方法如下：三點(diǎn)中取兩點(diǎn)構(gòu)成兩個(gè)向量因?yàn)樵谏?，所?-共線定理的應(yīng)用（關(guān)鍵)，即僅用一個(gè)變量表示（2）平面上的點(diǎn)：平面向量基本定理若不共線,則平面上任意一個(gè)向量，均存在，使得: 例：已知，則平面上的某點(diǎn)坐標(biāo)可用兩個(gè)變量表示，方法如下：，故，即（六）方法與技巧1.證明直線與平面平行，只須證明直線

9、的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零,或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面，然后說明直線在平面外即可這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為了數(shù)量的計(jì)算問題2.證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直，而直線與平面垂直，平面與平面垂直可轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直證明3.要證明兩線垂直，需轉(zhuǎn)化為兩線對(duì)應(yīng)的向量垂直，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為證明兩向量的數(shù)量積為零,這是證明兩線垂直的基本方法，線線垂直是證明線面垂直，面面垂直的基礎(chǔ)4。證明線面垂直，可利用判定定理如本題解法5。用向量證明兩個(gè)平面垂直,關(guān)鍵是求出兩個(gè)平面的法向量，把證明面面垂直轉(zhuǎn)化為法向量垂直【經(jīng)典例題】例1。 如圖,空間四邊形中, .求證：

10、 ?！敬鸢浮孔C明見解析【解析】試題分析:利用三個(gè)不共面的向量作為基底,利用空間向量的數(shù)量積為0，證明向量垂直，即線線垂直。，,，.例2.【2018屆甘肅省西北師范大學(xué)附屬中學(xué)沖刺診斷】如圖，三棱柱中，側(cè)面 側(cè)面,，為棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)。（1） 求證:平面; (2） 若,求三棱柱的體積.【答案】（1）見解析(2）【解析】分析:（1)由acc1是等邊三角形可得ahcc1，所以ahaa1,利用面面垂直的性質(zhì)得ah平面abb1a1，故aha1d，在矩形abb1a1中，由aa1=ab可證a1dab1，從而a1d平面ab1h(2)取中點(diǎn)，連結(jié)，則，所以面.利用求解即可詳解：(1)連結(jié),因?yàn)闉檎切?為棱

11、的中點(diǎn), 所以，從而,又面 面,所以,又，所以，設(shè),則， 由及，可得平面。 （2)方法一：取中點(diǎn)，連結(jié)，則,所以面。 所以， 所以三棱柱的體積為. 方法二：取中點(diǎn),連結(jié)，因?yàn)闉檎切?，所以，點(diǎn)睛:求錐體的體積要充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面,將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，注意求體積的一些特殊方法分割法、補(bǔ)形法、等體積法. 割補(bǔ)法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時(shí),常用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決等積法：等積法包括等面積法和等體積法等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積）通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高

12、時(shí)，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形（或三棱錐)的高，而通過直接計(jì)算得到高的數(shù)值例3。在邊長是2的正方體中，分別為的中點(diǎn). 應(yīng)用空間向量方法求解下列問題。 xzy （1）求ef的長 （2)證明:平面； （3）證明: 平面。【答案】（1)（2）根據(jù)題意,關(guān)鍵是能根據(jù)向量法來得到即可。（3）對(duì)于題目中，則可以根據(jù)線面垂直的判定定理來的得到.【解析】試題分析：解（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系xzy 4分（2） 而 平面 8分（3） 又 平面。 12分例4.【山東省煙臺(tái)市2018年春季高考第一次模擬】 如圖，在四棱錐中，平面，（1）求證：平面； （2)求證：平面平面；(3)設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，求

13、證平面 【答案】(1)見解析；（2)見解析;（3)見解析。面，所以，且，所以面（2），,又面，面，,又， ，又面，面面（3）在中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，又 面，面, 面例5?！?018屆山東省桓臺(tái)第二中學(xué)4月月考】如圖，已知三棱錐的三條側(cè)棱, ， 兩兩垂直， 為等邊三角形, 為內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)在的延長線上，且（）證明: ；（)證明： ;(）若，求二面角的余弦值【答案】（)證明見解析；()證明見解析;（） .【解析】試題分析:（）由已知條件利用勾股定理得, ，得進(jìn)行證明;（）取的中點(diǎn)，連接、，通過證明平面來證得結(jié)論；（)以、所在的直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量的夾

14、角的余弦值，結(jié)合圖形即可得結(jié)論，所以平面所以（）如圖建立空間坐標(biāo)系因?yàn)?，可設(shè),則由（）同理可得因?yàn)?，所?所以設(shè)(）所以，所以平面的法向量為設(shè)平面的法向量為則取則所以， 例6。如圖,在四棱錐中，底面為直角梯形， ，平面底面， 為中點(diǎn), 是棱上的點(diǎn)， 。（）若點(diǎn)是棱的中點(diǎn),求證： 平面；()求證:平面平面；（)若二面角為，設(shè),試確定的值.【答案】（i）詳見解析；（ii）詳見解析；（iii）。【解析】試題分析：（）連接交于,連接，證得,再利用線面平行的判定定理，證得平面；（）因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，得到,進(jìn)而得到平面，利用面面垂直的判定定理,即可證明平面平面；（）以為原點(diǎn)，以的方向分別為軸， 軸的正方向,建立

15、如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量和平面中, ，利用向量的夾角公式，即可求得的值。試題解析:（）因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以四邊形為平行四邊形,所以.因?yàn)?所以，即.又因?yàn)槠矫嫫矫?且平面平面，所以平面,因?yàn)槠矫?則點(diǎn)， ， , ,平面的一個(gè)法向量。設(shè),則,，因?yàn)樗栽谄矫嬷校?，因?yàn)槎娼菫?，所?所以。例7【2018屆湖南省郴州市一中十二月月考】已知長方體中， 為的中點(diǎn)， 在棱上， , 。（1)若異面直線與互相垂直,求的長;（2)當(dāng)四棱錐的體積為時(shí)，求證：直線平面.【答案】（1）；(2）見解析.【解析】試題分析：如圖，以為原點(diǎn),分別以所在的直線為軸、軸、軸建立空間試題解析：（1）如圖，以為

16、原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系。則， ， ， ， , ， .設(shè),則， ，因?yàn)?，所以，?解得.所以，當(dāng)異面直線與互相垂直時(shí)， .（2）證明：因?yàn)槭情L方體， 在棱上,所以平面，所以四棱錐的體積 ，解得.此時(shí)為的中點(diǎn)，所以。因?yàn)?所以，因?yàn)橹本€平面，所以直線平面。例8。 【2018屆天津市河?xùn)|區(qū)二?！咳鐖D，在四棱錐中，pa底面abcd，ad|bc，adcd,bc=2，ad=cd=1,m是pb的中點(diǎn)(1）求證:am平面pcd；（2）求證:平面acm平面pab；（3）若pc與平面acm所成角為30，求pa的長【答案】(1)見解析.（2)見解析.（3) ?！窘馕觥糠治觯?1)利用向

17、量法證明即得am|平面pcd.(2）利用向量法證明，即得平面acm平面pab.(3)利用向量法解答，根據(jù)pc與平面acm所成角為30得到關(guān)于關(guān)于a的方程，解方程得到a的值，再求pa的長.詳解：(1）如圖以c為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系c-xyz,a（1，1,0）,b（0，2，0），c（0,0，0),d（1，0，0),p（1，1,a）（a0)m（）,=（1，1，a），=（1，0，0）設(shè)平面pcd法向量為， 令,則， (0，0，a），=(-1，1，0）設(shè)平面pab法向量為， 令，則=（1，1，0），所以。 所以平面acm平面pab 。 （3）由題得=（1，1，a），所以 解得 ，所以pa的長為 . 點(diǎn)

18、睛：（1）本題主要考查空間平行垂直關(guān)系的證明,考查空間角的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力、空間想象能力和轉(zhuǎn)化能力。 （2)證明空間位置關(guān)系常用的有幾何法和向量法,求空間的角常用的有幾何體（找、作、證、指、求）和向量法.例9.【2018屆天津市河北區(qū)二?！咳鐖D,由直三棱柱和四棱錐構(gòu)成的幾何體中,，平面平面（i）求證：;（ii）若m為中點(diǎn),求證：平面;(iii）在線段bc上(含端點(diǎn)）是否存在點(diǎn)p,使直線dp與平面所成的角為？若存在,求得值,若不存在,說明理由?！敬鸢浮?1)見解析;（2)見解析；（3）不存在這樣的點(diǎn)p?！窘馕觥糠治觯?i）由,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，從而可證明；（i

19、i)由于，建立空間直角坐標(biāo)系，利用的方向向量與平面 的法向量數(shù)量積為零可得平面 ；（iii）由（ii）可知平面的法向量,設(shè)，利用空間向量夾角余弦公式列方程可求得，從而可得結(jié)論。詳解：證明：(i)在直三棱柱中，平面 平面平面，且平面平面平面 （ii)在直三棱柱中， 令 則為的中點(diǎn)， 又平面，平面 （iii)由（ii）可知平面的法向量 解得 故不存在這樣的點(diǎn)p，使得直線dp與平面所成的角為點(diǎn)睛：本題主要考查利用空間向量的證明與求值，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利

20、用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.例10?！?018屆北京市海淀區(qū)二?！咳鐖D，在三棱柱中，平面， ,分別是的中點(diǎn).（）證明：；（）證明：平面；（）求與平面所成角的正弦值。【答案】（)證明見解析；（）證明見解析;（）?！窘馕觥糠治觯海?先證明平面，再證明。( ) 取的中點(diǎn),連接、因?yàn)槠矫?，所?（）取的中點(diǎn)，連接、因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)，所以me，且me在三棱柱中，,且，所以mead,且me=ad，所以四邊形adem是平行四邊形,所以deam又平面，平面， 所以平面（）在三棱柱中,，因?yàn)?所以在平面內(nèi),過點(diǎn)作，即,

21、得，令，得,故設(shè)直線de與平面所成的角為，則sin ，所以直線與平面所成角的正弦值為. 【精選精練】1。已知平面的法向量為， ，則直線與平面的位置關(guān)系為（ ）a。 b。 c。 與相交但不垂直 d. 【答案】a【解析】.本題選擇a選項(xiàng)。2。在空間直角坐標(biāo)系中,已知，, , ,則直線與的位置關(guān)系是( ）a. 垂直 b。 平行 c. 異面 d。 相交但不垂直【答案】b3已知直線 的方向向量為 ，平面 的法向量為 ，且 ,則 _【答案】【解析】因?yàn)橹本€ 的方向向量,平面 的法向量， ，所以,即，解得，故答案為.4已知平面是不重合的兩個(gè)面，下列命題中,所有正確命題的序號(hào)是_。若， 分別是平面的法向量，則

22、;若， 分別是平面， 的法向量，則；若是平面的法向量， 與共面，則；若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直?！敬鸢浮空_命題的序號(hào)實(shí)數(shù)。故答案為：。5已知空間三點(diǎn)，若，且分別與垂直,則向量_【答案】或【解析】由題意得，設(shè)，則，解得或所以或答案： 或6【2018屆遼寧省重點(diǎn)高中協(xié)作校三?！咳鐖D,在長方體 中，點(diǎn)在棱上，,點(diǎn)為棱的中點(diǎn),過 的平面 與棱 交于 ,與棱 交于 ，且四邊形 為菱形。(1）證明：平面 平面；（2)確定點(diǎn) 的具體位置（不需說明理由），并求四棱錐 的體積。【答案】(1）見解析(2）為棱上靠近的三等分點(diǎn)，為棱中點(diǎn)，【解析】分析：（1)要證平面 平面 ，即證平面 ，即證

23、，； (2)為棱上靠近的三等分點(diǎn)，為棱中點(diǎn)，利用等體積法(2)為棱上靠近的三等分點(diǎn),為棱中點(diǎn),所以的面積。于是四棱錐的體積.7如圖，在四棱錐p-abcd中，底面abcd為菱形，bad=60，q為ad的中點(diǎn)。(）若pa=pd，求證：平面pqb平面pad；（）點(diǎn)m在線段pc上，pm=tpc，試確定實(shí)數(shù)t的值，使pa平面mqb；(）在（）的條件下，若平面pad平面abcd，且pa=pd=ad=2，求二面角mbq-c的大小。【答案】（)見解析；(） ;（）60.【解析】試題分析：（）證明平面內(nèi)的直線，垂直平面內(nèi)兩條相交的直線,即可證明平面平面；（）連交于，由，可得 ，再由平面推出，即可求出的值;(）以

24、為坐標(biāo)原點(diǎn)，以， , 所在的直線為， , 軸,建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出求出平面與平面的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式即可求解.因?yàn)?，所以平面pqb平面pad。（）連接ac,交bq于點(diǎn)n。由aqbc,可得anqcnb,所以。因?yàn)閜a平面mqb， ,平面pac平面mqb=mn,所以pamn.所以，即，所以. (）由pa=pd=ad=2,q為ad的中點(diǎn),則pqad，又平面pad平面abcd,所以pq平面abcd。以q為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以qa，qb，qp所在的直線為x，y，z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則a(1，0，0）, ，q(0,0，0)， 。， 。所以。故二面角mbqc的大小為60。 8如圖,四

25、邊形為矩形，四邊形為直角梯形,，,，。（1)求證：;(2）求證：平面;（3）若二面角的大小為，求直線與平面所成的角?！敬鸢浮浚?）證明見解析；(2）證明見解析;（3）30.【解析】試題分析:（1）根據(jù)矩形性質(zhì)得，再由條件，利用線面垂直判定定理得平面，即得結(jié)論（2)先根據(jù)線線平行得線面平行：平面,平面，再根據(jù)線面平行得面面平行:平面平面，即得線面平行(3）過作與的延長線垂直，則根據(jù)二面角定義得就（），平面，平面，平面四邊形是矩形，又平面，平面,平面，又，平面,平面平面,平面，平面(）過作與的延長線垂直，是垂足，連結(jié) ,就是二面角的平面角，,，直線與平面所成的角為9【2018屆北京市房山區(qū)高三上期

26、末】如圖幾何體admbcn中， 是正方形， ， ， ， ， .（）求證： ；（）求證： ； (）求二面角的余弦值。【答案】（）見解析;（)見解析；（） .【解析】試題分析：(）說明，利用直線與平面平行的判定定理即可證明平面；(）說明，結(jié)合，證明平面，推出，證明，即可證明面；（)法1：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出面的法向量,利用向量的數(shù)量積求解二面角的余弦值；法2：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示;求出面的法向量，利用向量的數(shù)量積求解二面角的余弦值。 ， ， 。（）法1:以點(diǎn)d為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示;令， 由圖可知二面角為銳角二面角的余弦值為.法2：以點(diǎn)

27、c為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示；由（）；設(shè)面的法向量， 令， 由圖可知二面角為銳角二面角的余弦值為.點(diǎn)睛：用向量法解決立體幾何問題的注意點(diǎn):（1）建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)要判斷是否具備了兩兩垂直的三條直線，否則要先給出證明；（2）求線面角時(shí)要借助直線的方向向量和平面的法向量夾角余弦值的絕對(duì)值求出線面角的正弦值；求二面角時(shí)，要借助兩平面法向量夾角的余弦值來求出二面角的余弦值,但在解題時(shí)要借助于圖形來判斷二面角為銳角還是鈍角10【2018屆北京市昌平區(qū)高三上期末】如圖，在四棱錐pabcd中，底面abcd是邊長為2的菱形，abc60，為正三角形，且側(cè)面pab底面abcd， 為線段的中點(diǎn)， 在線段上。（i)當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，求證:pb / 平面acm；（ii）求證： ；（iii）是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為60，若存在,求出的值;若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】（）見解析；（）見解析；()當(dāng)時(shí)，二面角的大小為60。【解析】試題分析:（1) 連接bd交ac于h點(diǎn),由三角形中位線性質(zhì)得mh / bp ，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論(2）由面面垂直性質(zhì)定理得pe平面abcd，即得;（3）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)列各點(diǎn)坐標(biāo),由方程組解得各面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求法向量夾角,再根據(jù)二面角與法