信號與系統(tǒng)(第4章)

1、 4.1 引言 第4章 拉普拉斯變換、連續(xù)時間系統(tǒng)的s域分析 以以傅里葉變換傅里葉變換為基礎(chǔ)的頻域分析方法的優(yōu)點在于：它為基礎(chǔ)的頻域分析方法的優(yōu)點在于：它 給出的結(jié)果有著清楚的物理意義給出的結(jié)果有著清楚的物理意義 ，但也有不足之處，但也有不足之處， 傅里葉變換只能處理符合傅里葉變換只能處理符合狄利克雷條件狄利克雷條件的信號，而有的信號，而有 些信號是不滿足絕對可積條件的，因而其信號的分析些信號是不滿足絕對可積條件的，因而其信號的分析 受到限制；受到限制； 另外在求時域響應(yīng)時運用傅里葉反變換對頻率進(jìn)行的另外在求時域響應(yīng)時運用傅里葉反變換對頻率進(jìn)行的 無窮積分求解困難。無窮積分求解困難。 ttfd

2、 )(d 2 1 )( 1j tfFeFtf t 為了解決對不符合狄氏條件信號的分析，第三章中引為了解決對不符合狄氏條件信號的分析，第三章中引 入了廣義函數(shù)理論去解釋傅里葉變換，同時，還可利入了廣義函數(shù)理論去解釋傅里葉變換，同時，還可利 用本章要討論的拉氏變換法擴(kuò)大信號變換的范圍。用本章要討論的拉氏變換法擴(kuò)大信號變換的范圍。 優(yōu)點優(yōu)點： 求解比較簡單，特別是對系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行變換求解比較簡單，特別是對系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行變換 時，初始條件被自動計入，因此應(yīng)用更為普遍。時，初始條件被自動計入，因此應(yīng)用更為普遍。 缺點缺點： 物理概念不如傅氏變換那樣清楚。物理概念不如傅氏變換那樣清楚。 本章內(nèi)容及

3、學(xué)習(xí)方法 本章首先由本章首先由傅氏傅氏變換引出變換引出拉氏拉氏變換，然后對拉氏變換，然后對拉氏正正 變換、拉氏變換、拉氏反反變換及拉氏變換的變換及拉氏變換的性質(zhì)性質(zhì)進(jìn)行討論。進(jìn)行討論。 本章本章重點重點在于，以拉氏變換為工具對系統(tǒng)進(jìn)行在于，以拉氏變換為工具對系統(tǒng)進(jìn)行復(fù)頻復(fù)頻 域分析域分析。 最后介紹最后介紹系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)以及以及H(s)零極點零極點概念，并根據(jù)他概念，并根據(jù)他 們的分布研究們的分布研究系統(tǒng)特性系統(tǒng)特性，分析，分析頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)，還要簡略介紹，還要簡略介紹 系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定性穩(wěn)定性問題。問題。 注意與傅氏變換的注意與傅氏變換的對比對比，便于理解與記憶。，便于理解與記憶。 4.2

4、拉普拉斯變換的定義、 收斂域 主要內(nèi)容 從傅里葉變換到拉普拉斯變換從傅里葉變換到拉普拉斯變換 拉氏變換的收斂拉氏變換的收斂 一些常用函數(shù)的拉氏變換一些常用函數(shù)的拉氏變換 一從傅里葉變換到拉普拉斯變換 t tfFF e)( 1 ttf tt dee)( j : , )(e ),( 依依傅傅氏氏變變換換定定義義絕絕對對可可積積條條件件 后后容容易易滿滿足足為為任任意意實實數(shù)數(shù)乘乘以以衰衰減減因因子子信信號號 t tf 稱稱為為復(fù)復(fù)頻頻率率。具具有有頻頻率率的的量量綱綱令令 , , j:s )j( F ttfsF ts de 則則 1拉普拉斯正變換 ttf td e)( )j( 2拉氏逆變換 de

5、2 1 e jtt jFtf dej 2 1 j t Ftf j j : s對對積積分分限限：對對 je的的傅傅里里葉葉逆逆變變換換是是對對于于 Ftf t t e 以以兩兩邊邊同同乘乘 jdd ; j: ss則則取取常常數(shù)數(shù)，若若其其中中 j j de j2 1 ssFtf ts ttfsFttfF tst dedej j 所所以以 3拉氏變換對 起因信號：起因信號：考慮到實際信號都是有考慮到實際信號都是有 j j 1 de j2 1 de ts ts ssFtfLtf ttftfLsF 逆變換逆變換 正變換正變換 sFtf:記作記作 ,0 相相應(yīng)應(yīng)的的單單邊邊拉拉氏氏變變換換為為系系統(tǒng)統(tǒng)采

6、采用用 j j 1 0 de j2 1 de ts ts ssFtfLtf ttftfLsF 稱為象函數(shù)。稱為象函數(shù)。稱為原函數(shù)，稱為原函數(shù)，sFtf ttfF t de j 0 所所以以 二拉氏變換的收斂 0 0e)(limtf t t 收斂域：收斂域：使使F(s)存在的存在的s的區(qū)域稱為收斂域。的區(qū)域稱為收斂域。 記為：記為：ROC(region of convergence) 實際上就是拉氏變換存在的條件；實際上就是拉氏變換存在的條件； O j 0 收斂坐標(biāo)收斂坐標(biāo) 收收斂斂軸軸 收收斂斂區(qū)區(qū) 4.3 拉普拉斯變換的基本性質(zhì) 主要內(nèi)容 線性線性 原函數(shù)微分原函數(shù)微分 原函數(shù)積分原函數(shù)積分

7、延時（時域平移）延時（時域平移） s域平移域平移尺度變換尺度變換 初值初值終值終值 卷積卷積對對s域微分域微分 對對s域積分域積分 一線性 )()()()( ,),()( ),()( 22112211 212211 sFKsFKtfKtfKL KKsFtfLsFtfL 則則 為為常常數(shù)數(shù)，若若 tt ttf j j ee 2 1 )cos()( ss tL j 1 j 1 2 1 cos 22 s s 已知已知 則則 s L t 1 e 同理同理 22 sin s tL 例題：例題： 二原函數(shù)微分 )0()( d )(d ),()( fssF t tf LsFtfL則則若若 )0()0()(

8、)0(0 d )(d 2 2 fsfsFs ffsFs t tf L 1 0 )(1 )0()( d )(d n r rrnn n fssFs t tf L 推廣：推廣： 證明：證明： )(0 deede 000 ssFf ttsftfttf ststst 電感元件的s域模型 )()(),()(sVtvLsItiL LLLL t ti Ltv L L d )(d )( )0()()0()()( LLLLL LisIsLissILsV )(tiL )(tvL L sI L Ls 0 L Li sVL 電感元件的電感元件的s模型模型 應(yīng)用原函數(shù)微分性質(zhì)應(yīng)用原函數(shù)微分性質(zhì) 設(shè)設(shè) 三原函數(shù)的積分 ，則

9、，則若若)()(sFtfL s f s sF fL t )0()( d)( 1 證明：證明： fff tt ddd 0 0 0 1 f 00 dedtf st t t st t st ttf s f s 0 0 0 de 1 d e t st ttf s 0 de 1 s f0 1 s sF 4.4 拉普拉斯逆變換 主要內(nèi)容 由象函數(shù)求原函數(shù)的三種方法由象函數(shù)求原函數(shù)的三種方法 部分分式法求拉氏逆變換部分分式法求拉氏逆變換 兩種特殊情況兩種特殊情況 一由象函數(shù)求原函數(shù)的三種方法 (1)(1)部分分式法部分分式法 (2)(2)利用留數(shù)定理利用留數(shù)定理圍線積分法圍線積分法 (3)(3)數(shù)值計算方法

10、數(shù)值計算方法利用計算機利用計算機 二F(s)的一般形式 01 1 1 01 1 1 )( )( )( bsbsbsb asasasa sB sA sF n n n n m m m m ai,bi為實數(shù)，為實數(shù)，m,n為正整數(shù)。為正整數(shù)。 , 為為有有理理真真分分式式當(dāng)當(dāng)sFnm :式式具具有有如如下下的的有有理理分分式式形形通通常常sF )()( )()( )( )( )( 21 21 nn mm pspspsb zszszsa sB sA sF 分解分解 零點零點 極點極點 0)(0)( sFsA因因為為 的的零零點點稱稱為為的的根根是是sFsAzzzz m ,0, 321 的極點的極點稱為

11、稱為的根的根是是sFsBpppp n ,0, 321 )(0)(sFsB因因為為 三拉氏逆變換的過程 的極點的極點找出找出sF 展成部分分式展成部分分式將將sF tf查查拉拉氏氏變變換換表表求求 2.含e-s的非有理式 2 1 1 1 )( 1 ss sF )(ee)()( 2 1 1 1 tusFLtf tt 所所以以 )2(ee2 )2(2)2( 1 tutftf tt 所所以以 。求求解解時時利利用用時時移移性性質(zhì)質(zhì)，項項不不參參加加部部分分分分式式運運算算 e s s s sF ss 2 1 2 2 e)( 23 e 4.5 用拉普拉斯變換法分析 電路、s域元件模型 主要內(nèi)容 用拉氏變

12、換法分析電路的步驟用拉氏變換法分析電路的步驟 微分方程的拉氏變換微分方程的拉氏變換 利用元件的利用元件的s域模型分析電路域模型分析電路 一. 用拉氏變換法分析電路的步驟 列列s域方程（可以從兩方面入手）域方程（可以從兩方面入手） 列時域微分方程，用微積分性質(zhì)求拉氏變換；列時域微分方程，用微積分性質(zhì)求拉氏變換； 直接按電路的直接按電路的s域模型建立代數(shù)方程。域模型建立代數(shù)方程。 求解求解s域方程。域方程。 )()(tfsF，得到時域解答。，得到時域解答。 求響應(yīng)的步驟 畫畫0- -等效電路，求起始狀態(tài)；等效電路，求起始狀態(tài)； 畫畫s域等效模型；域等效模型； 列列s域方程（代數(shù)方程）；域方程（代數(shù)

13、方程）； 解解s域方程，求出響應(yīng)的拉氏變換域方程，求出響應(yīng)的拉氏變換V(s)或或I(s)； 拉氏反變換求拉氏反變換求v(t)或或i(t)。 例例4-5-2 例例4-5-3 4.6 系統(tǒng)函數(shù)(網(wǎng)絡(luò)函數(shù))H(s) 系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù) LTI互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù) 并聯(lián)并聯(lián) 級聯(lián)級聯(lián) 反饋連接反饋連接 2.H(s)的幾種情況 策動點函數(shù)：策動點函數(shù)：激勵與響應(yīng)在同一端口時激勵與響應(yīng)在同一端口時 )( )( )( 1 1 sV sI sH 策動點導(dǎo)納策動點導(dǎo)納 )( )( )( 1 1 sI sV sH 策動點阻抗策動點阻抗 單端口單端口 網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò) sI1 sV1 1 1 雙端口雙端口 網(wǎng)

14、絡(luò)網(wǎng)絡(luò) sI1 sV1 1 1 sI2 sV2 2 2 )( )( )( 1 2 sV sI sH 轉(zhuǎn)移導(dǎo)納轉(zhuǎn)移導(dǎo)納 )( )( )( 1 2 sI sV sH 轉(zhuǎn)移阻抗轉(zhuǎn)移阻抗 )( )( )( 1 2 sV sV sH 電壓比電壓比 )( )( )( 1 2 sI sI sH 電流比電流比 轉(zhuǎn)移函數(shù)：轉(zhuǎn)移函數(shù)：激勵和響應(yīng)激勵和響應(yīng)不不在同一端口在同一端口 4.應(yīng)用：求系統(tǒng)的響應(yīng) 3求H(s)的方法 )()()()()(thtetrthsH 方方法法一一： )()()()(trsEsHsR 方方法法二二： sHth sE sR sH sE sR sH 利用網(wǎng)絡(luò)的利用網(wǎng)絡(luò)的s域元件模型圖，列域

15、元件模型圖，列s域方程域方程 微分方程兩端取拉氏變換微分方程兩端取拉氏變換 二LTIS互聯(lián)的系統(tǒng)函數(shù) ththth 21 )()()( 21 sHsHsH )()()( : 21 ththth 時域時域 )()()( : 21 sHsHsH 頻頻域域 sH1 sH 2 sE sR sH1 sH 2 sE sR 1LTI系統(tǒng)的并聯(lián) 2LTI系統(tǒng)的級聯(lián) 4.7 由系統(tǒng)函數(shù)零、極點分布決 定時域特性 序言序言 H(s)零、極點與零、極點與h(t)波形特征波形特征 H(s) 、E(s)的極點分布與自由響的極點分布與自由響 應(yīng)、強迫響應(yīng)特性的對應(yīng)應(yīng)、強迫響應(yīng)特性的對應(yīng) 一序言 沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)h(t)與

16、系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)H(s) 從時域和變換域兩方從時域和變換域兩方 面表征了同一系統(tǒng)的面表征了同一系統(tǒng)的本性本性。 在在s域域分析中，借助系統(tǒng)函數(shù)在分析中，借助系統(tǒng)函數(shù)在s平面平面零點與極點零點與極點 分布的研究，可以簡明、直觀地給出系統(tǒng)響應(yīng)的許多分布的研究，可以簡明、直觀地給出系統(tǒng)響應(yīng)的許多 規(guī)律。系統(tǒng)的規(guī)律。系統(tǒng)的時域、頻域特性時域、頻域特性集中地以其系統(tǒng)函數(shù)的集中地以其系統(tǒng)函數(shù)的 零、極點分布表現(xiàn)出來。零、極點分布表現(xiàn)出來。 主要優(yōu)點：主要優(yōu)點： 1可以預(yù)言系統(tǒng)的時域特性；可以預(yù)言系統(tǒng)的時域特性； 2便于劃分系統(tǒng)的各個分量便于劃分系統(tǒng)的各個分量 （自由強迫，瞬態(tài)穩(wěn)態(tài)）；（自由強迫，瞬態(tài)穩(wěn)態(tài)

17、）； 3可以用來說明系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)特性?？梢杂脕碚f明系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)特性。 一階極點 在原點，在原點，0, 1 )( 1 p s sH)()()( 1 tusHLth ap as sH 1 , 1 )( , 0),(e)(, , 0 ),(e)(, , 0 指數(shù)增加指數(shù)增加在右實軸上在右實軸上 指數(shù)衰減指數(shù)衰減在左實軸上在左實軸上 atutha tutha at at 在虛軸上在虛軸上,j,)( 1 22 p s sH )(sin)(，等幅振蕩，等幅振蕩ttuth , )( )( 22 s sH 共軛根共軛根,j,j 21 pp 當(dāng)當(dāng) ，極點在左半平面，衰減振蕩，極點在左半平面，衰減振蕩 當(dāng)當(dāng)

18、，極點在右半平面，增幅振蕩，極點在右半平面，增幅振蕩 0 0 二階極點 , 1 )( 2 極極點點在在原原點點 s sH )(,),()(thtttuth 極點在實軸上，極點在實軸上，, )( 1 )( 2 as sH 0)(, 0),(e)( thttutth t 在虛軸上，在虛軸上，, )( 2 )( 222 s s sH 增增幅幅振振蕩蕩 )(,),(sin)(thtttutth , t )(sH 有實際物理意義的物理系統(tǒng)都是有實際物理意義的物理系統(tǒng)都是因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)，即隨，即隨 ， 這表明的極點位于這表明的極點位于左左半平面，由此可知，半平面，由此可知， 收斂域收斂域包括虛軸包括虛軸

19、， 均存在，兩者可通用，只均存在，兩者可通用，只 需需 將即可。將即可。 )(j FsF和和 js 0th 4.8 由系統(tǒng)函數(shù)零、極點分布 決定頻響特性 定義定義 幾種常見的濾波器幾種常見的濾波器 根據(jù)根據(jù)H(s)零極圖繪制系統(tǒng)的頻響特性曲線零極圖繪制系統(tǒng)的頻響特性曲線 一定義 所謂所謂“頻響特性頻響特性”是指系統(tǒng)在正弦信號激勵下穩(wěn)態(tài)響是指系統(tǒng)在正弦信號激勵下穩(wěn)態(tài)響 應(yīng)隨頻率的變化情況。應(yīng)隨頻率的變化情況。 H j 前提：穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。前提：穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。 有實際意義的物理系統(tǒng)都是穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。有實際意義的物理系統(tǒng)都是穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。 0lim th t 時域：時域： 頻域：頻域：H(s

20、)的全部極點落在的全部極點落在s左半平面。左半平面。 其收斂域包括虛軸：其收斂域包括虛軸： 拉氏變換拉氏變換 存在存在 傅里葉變換傅里葉變換 存在存在 tEtesH 0m sin ，激勵源，激勵源設(shè)系統(tǒng)函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)函數(shù)為 000mmm sin tHEtr 0 j 00 0 ej j HH s sH 其中其中 HH s sH j ejj j H j H(s)和頻響特性的關(guān)系 頻響特性頻響特性 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 幅頻特性幅頻特性 相相頻特性（相移特性）頻特性（相移特性） 二幾種常見的濾波器 O jH c O jH c O jH 1c 2c O jH 1c 低低通通濾濾波波器器高高通通濾濾波波器器 帶帶通通濾濾波波器器帶帶阻阻濾濾波波器器 通通帶帶阻阻帶帶 截截止止頻頻率