課程論文彈性力學(xué)有限元位移法原理

1、一、課程論文：彈性力學(xué)有限元位移法原理（30分）主要針對(duì)一維（直桿）問(wèn)題，撰寫一篇論文，對(duì)有限元位移法的原理作一般性概括和論述。要求論文論及但不限于下列內(nèi)容：1）彈性力學(xué)有限元位移法的數(shù)學(xué)、力學(xué)基礎(chǔ)和基本思想；2）有限元法求解的原理和過(guò)程，推導(dǎo)所有計(jì)算列式；對(duì)基本概念和符號(hào)進(jìn)行解釋和討論；3）收斂性、收斂準(zhǔn)則及其數(shù)學(xué)、力學(xué)意義的討論。彈性力學(xué)有限元位移法原理一、 有限單元法的起源有限單元法的形成可以追溯到20世紀(jì)50年代甚至更早些時(shí)間，基本思路來(lái)源于固體力學(xué)中矩陣位移法的發(fā)展和工程師對(duì)結(jié)構(gòu)相似性的直覺(jué)判斷。對(duì)不同結(jié)構(gòu)的桿系、不同的載荷，用矩陣位移法求解都可以得到統(tǒng)一的公式。在1952-1953

2、年期間，rwclough和mjturner在分析飛機(jī)三角翼振動(dòng)問(wèn)題時(shí)，提出了把平面應(yīng)力三角形或矩形板組合起來(lái)表達(dá)機(jī)翼剛度的方法，當(dāng)時(shí)被稱為直接剛度法。1956年mjturner，rwclough，hcmartin，ljtopp在紐約舉行的航空學(xué)會(huì)年會(huì)上發(fā)表論文stiffness and deflection analysis of complex structures(復(fù)雜結(jié)構(gòu)的剛度和變形分析)介紹了這種新的計(jì)算方法，從而將矩陣位移法推廣推廣到求解彈性力學(xué)平面應(yīng)力問(wèn)題。它們把平面板殼結(jié)構(gòu)劃分為一個(gè)個(gè)三角形和矩形的“單元”，利用單元中近似位移函數(shù)，求得單元節(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移關(guān)系的單元?jiǎng)偠染仃嚒?9

3、60年，rwclough在論文the finite element in plane stress analysis(平面應(yīng)力分析的有限元法)中首次提出了有限單元（finite element）這一術(shù)語(yǔ)，他也因此被稱為“有限單元之父”二、 有限元法的基本思想有限元法是一種結(jié)構(gòu)分析的方法，正如oczienkiewicz所說(shuō)的：“人類思維的限制在于不能通過(guò)一步運(yùn)算就掌握復(fù)雜環(huán)境和事物的行為。因此，先把所有系統(tǒng)分解為它們的元件或單元，這些元件的行為已經(jīng)被充分的了解，再把元件重新組裝成原來(lái)的系統(tǒng)來(lái)研究系統(tǒng)的行為”?？梢钥闯鲇邢拊ǖ幕舅枷胧菍⑦B續(xù)的求解區(qū)域離散為一組由有限個(gè)單元組成并按一定方式相互連

4、接在一起的單元組合體來(lái)加以分析。三、 有限單元法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)當(dāng)有限單元法成功的應(yīng)用于求解彈性力學(xué)平面問(wèn)題之后，下一步要解決的問(wèn)題就是能否把這種方法應(yīng)用于求解其他連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題。在尋找連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題近似算法的時(shí)候，數(shù)學(xué)家們發(fā)展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，變分原理和加權(quán)余量法。四、 有限元分析的基本步驟 建立研究對(duì)象的近似模型 將研究對(duì)象分割成有限數(shù)量的單元 用標(biāo)準(zhǔn)方法對(duì)每一個(gè)單元提出一個(gè)近似解 將所有單元按標(biāo)準(zhǔn)方法組合成一個(gè)與原有系統(tǒng)近似的系統(tǒng) 用數(shù)值方法求解這個(gè)近似系統(tǒng) 計(jì)算結(jié)果處理與結(jié)構(gòu)驗(yàn)證五、 一維桿的有限位移法分析本文以一維直桿的分析為例子，研究有限元位移法基本原理和求解過(guò)程。 虛

5、位移原理推到一維直桿單元的剛度方程如下圖所示一維直桿，已知直桿桿長(zhǎng)為l，橫截面積為a，材料彈性模量為e，所受軸向分布載荷集度為q(x)。桿端位移分別記為ui，uj，桿端力分別記為si，sj。aq(x)ijsisjuiujxa設(shè)局部坐標(biāo)系下桿中a點(diǎn)的坐標(biāo)為xa，因?yàn)橹挥袃蓚€(gè)邊界條件ui，uj，因此桿軸任意一點(diǎn)（例如a點(diǎn)）的位移可假設(shè)為 式中 a，b為待定常數(shù)。它們可由桿端位移條件來(lái)確定： 將式代入式可得： 若引入無(wú)量綱變量： 則式（3）可改寫成： 式中稱為形函數(shù)，矩陣n稱作形函數(shù)矩陣；矩陣ue稱為桿端位移矩陣或節(jié)點(diǎn)位移矩陣。由式（4）可以看出，形函數(shù)具有如下性質(zhì)：1、 本端為1，它端為零 2、

6、任意一點(diǎn)總和為1 現(xiàn)采用虛位移原理給出該桿單元的特性公式，設(shè)桿端i，j分別產(chǎn)生虛位移，由此引起的單元內(nèi)任意一點(diǎn)的虛位移為：又式中 b為應(yīng)變矩陣。由此可得 又根據(jù)虛位移原理：對(duì)任意虛位移，外力所做的總虛功恒等于變形體所接受的總虛變形功，即 所以有由 可得：即若記稱為該桿單元等效節(jié)點(diǎn)載荷；局部坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃?。所以可得單元?jiǎng)偠确匠蹋菏街袉卧獎(jiǎng)偠染仃嚨娘@式為：可見(jiàn)單元?jiǎng)偠染仃嚲哂袑?duì)稱性。即單元?jiǎng)偠染仃嚨拿恳粋€(gè)元素可寫成 將一維直桿離散為三個(gè)單元進(jìn)行分析現(xiàn)考慮下圖所示一維直桿：長(zhǎng)度為l，分為三個(gè)單元，每個(gè)單元長(zhǎng)度為h1，h2，h3；對(duì)于單元，節(jié)點(diǎn)位移分別為u1，u2，對(duì)應(yīng)形函數(shù)為n1，n2；由得：又對(duì)

7、于單元、，形函數(shù)n1=0；對(duì)單元，形函數(shù)n2=0；對(duì)單元，形函數(shù)n3=0；對(duì)于單元、，形函數(shù)n4=0。因此可得：式中分別對(duì)應(yīng)于單元，。且對(duì)于單元，對(duì)于單元，對(duì)于單元，所以所以單元整體剛度矩陣整體單元?jiǎng)偠染仃囋氐奈锢硪饬x為：j節(jié)點(diǎn)在x方向產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)i上需施加的節(jié)點(diǎn)力。又由單元等效節(jié)點(diǎn)載荷可得：每一節(jié)點(diǎn)等效載荷分別為：又對(duì)于單元、，形函數(shù)n1=0；對(duì)單元，形函數(shù)n2=0；對(duì)單元，形函數(shù)n3=0；對(duì)于單元、，形函數(shù)n4=0。所以有：以上四式可寫為：式中：，表示單元e的形函數(shù)；在本例子中，e=1、2、3，k=1、2；而且有he 表示單元長(zhǎng)度。所以有由單元?jiǎng)偠确匠炭傻茫豪杭僭O(shè)a, e,

8、l, a, 和 r 都等于1。且，則有，x1 = 0, x2 = 1 / 3, x3 = 2 / 3, x4 = 1,由整體單元?jiǎng)偠确匠痰茫簩?duì)于單元e（e=、）可寫出其位移函數(shù)：應(yīng)變?yōu)椋河?得每個(gè)單元的應(yīng)力：下圖1和圖2分別表示有限元解和精確解的比較：圖1 位移對(duì)比圖2 應(yīng)力對(duì)比二、分析與計(jì)算（40分）1、圖示兩個(gè)結(jié)構(gòu)和單元相似，方位相同的平面應(yīng)力有限元模型，兩模型的單元厚度和材料相同。兩個(gè)模型右端單元邊上受均勻剪切面力。對(duì)于下列2種情況，試根據(jù)有限元法和力學(xué)有關(guān)知識(shí)來(lái)分析兩個(gè)模型求解后對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的位移值和對(duì)應(yīng)單元的應(yīng)力值之間的關(guān)系：1）兩個(gè)模型面力的合力相等；2）兩個(gè)模型面力的集度相等。（10

9、分）解：建立坐標(biāo)系如圖所示，對(duì)（a）圖，各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)號(hào)x坐標(biāo)y坐標(biāo)點(diǎn)號(hào)x坐標(biāo)y坐標(biāo)1400420202402050032006020單元節(jié)點(diǎn)信息數(shù)組可記為單元，面積，由式 （a）可得 由式（b），單元幾何矩陣為為了計(jì)算簡(jiǎn)便，可設(shè)=0且為單位厚度，彈性矩陣大為簡(jiǎn)化，由式，可得由式（c），得單元的應(yīng)力矩陣由式（d），單元的單元?jiǎng)偠染仃嚍楦鶕?jù)單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)可得對(duì)（b）各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)號(hào)x坐標(biāo)y坐標(biāo)點(diǎn)號(hào)x坐標(biāo)y坐標(biāo)1200410102201050031006010單元節(jié)點(diǎn)信息數(shù)組可記為：?jiǎn)卧?，面積，由式（a）可計(jì)算出由式（b），單元幾何矩陣為由式（c）得單元的應(yīng)力矩陣由式（d）得單元的單元?jiǎng)偠染仃囃?/p>

10、由單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)可得綜上可知，兩個(gè)模型中的單元?jiǎng)偠染仃嚲嗤?，所以它們的總剛度矩陣也相同，?當(dāng)兩個(gè)模型面力的合力相等，它們的載荷列陣都為位移列陣為形成整體平衡方程 k=f位移約束條件為，將此約束條件引入整體剛度方程，對(duì)其用“化一置零法”處理。即由上式可知在這種情況下，兩種模型求解后對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的位移相等。有整體節(jié)點(diǎn)位移獲取單元節(jié)點(diǎn)位移，所以對(duì)應(yīng)的單元節(jié)點(diǎn)位移也相等。以單元為例，兩種模型應(yīng)力矩陣的關(guān)系，又由可得，模型（b）中單元的應(yīng)力是模型（a）的2倍，其它單元可得到類似的結(jié)論。當(dāng)兩個(gè)模型面力的集度相等，可設(shè)模型（a）右端受剪力的合力為2p，模型（b）右端受剪力的合力為p，則兩種模型的載荷列陣

11、分別為由上述內(nèi)容可得，進(jìn)而可知（a）模型中對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的位移是（b）模型的2倍。在單元中，所以由可知模型（a）和模型（b）中單元的應(yīng)力相等，其他單元可類似說(shuō)明。2、證明平面問(wèn)題三節(jié)點(diǎn)三角形單元發(fā)生剛體位移（小位移平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)）時(shí)，單元中將不產(chǎn)生應(yīng)力。（10分）證明：三節(jié)點(diǎn)三角形單元位移模式選取一次多項(xiàng)式： （1）在（1）的1式中帶入節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)得到節(jié)點(diǎn)i在x向的位移，同理可得， （2）解（2）式可得到廣義坐標(biāo)由節(jié)點(diǎn)位移表示的表達(dá)式： （3） 將求解的廣義坐標(biāo)（3）式代入（1）式，可將位移函數(shù)表示成節(jié)點(diǎn)位移的函數(shù) （4） 式中 （5）上式中式（4）寫成矩陣形式為 確定了剛體位移后，可以很方便的求得單元的

12、應(yīng)變和應(yīng)力。由此可知，單元應(yīng)變 （7）稱為應(yīng)變矩陣，l是平面問(wèn)題的微分算子。應(yīng)變矩陣b的分塊矩陣 （8） 對(duì)（5）式求導(dǎo)得： （9）代入（8）式得到： （10）三節(jié)點(diǎn)單元應(yīng)變矩陣是 （11） 式中是單元形狀的參數(shù)。當(dāng)單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)確定后，這些參數(shù)都是常數(shù)，因此b是常量陣。當(dāng)單元的節(jié)點(diǎn)位移確定后，由b轉(zhuǎn)換求得的單位應(yīng)變都是常數(shù)，也就是說(shuō)在載荷作用下單元中各節(jié)點(diǎn)具有同一的值，值及值。因此，三節(jié)點(diǎn)三角形單元稱為常應(yīng)變單元。應(yīng)變應(yīng)力可根據(jù)物理方程求得： （12） 其中成為應(yīng)力矩陣。將平面應(yīng)力彈性矩陣及式（11）代入式（12）可以得到計(jì)算平面應(yīng)力問(wèn)題的單元應(yīng)力矩陣。的分塊矩陣為 （13） 其中為材料常數(shù)。

13、對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題與應(yīng)變矩陣b相同，應(yīng)力矩陣s也是常量陣，即三節(jié)點(diǎn)三角形單元中各節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力是相同的。因此，平面問(wèn)題三節(jié)點(diǎn)三角形單元發(fā)生剛體位移（小位移平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)）時(shí)，單元中將不產(chǎn)生應(yīng)力。3、證明20節(jié)點(diǎn)六面體等參元在jacobi行列式為常數(shù)條件下的完全（精確）高斯積分方案是333階。（10分）證明：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃囆问?（a）式中的微分體積dv用d,d，d表示。將dv取為三個(gè)微分矢量d,d和d所成平行六面體的體積。在整體坐標(biāo)系中，各微分矢量表示為 于是上式可記為式中，是jacobi矩陣j行列式，即于是單元?jiǎng)偠染仃嚕╝）改寫為對(duì)于三維數(shù)值積分，則有n階高斯積分公式對(duì)（2n-1）次多項(xiàng)式被積函數(shù)可求得精

14、確積分。保證單元?jiǎng)偠染仃嚲_積分的積分階選擇，基本考慮是保證被積函數(shù)所有項(xiàng)次精確積分，這種積分方案稱為完全積分。所以如果，且，則上式給出精確的積分結(jié)果。對(duì)于20節(jié)點(diǎn)六面體等參單元，在d,d，d和各個(gè)不同方向上，選取2個(gè)積分點(diǎn)，即得到精確高斯積分方案是333。4、圖示一個(gè)一維直桿問(wèn)題，桿的截面積為a,彈性模量為e。桿受線性變化的軸向線分布力。試構(gòu)造一種三次桿單元（單元有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)間隔均勻，形函數(shù)可以由形函數(shù)性質(zhì)直接構(gòu)造或采用拉格朗日插值多項(xiàng)式）求解該問(wèn)題，整個(gè)桿用1個(gè)單元離散化。解出節(jié)點(diǎn)位移后，由單元有關(guān)方程導(dǎo)出單元上位移和應(yīng)力的分布函數(shù)，并將有限元解與精確解作比較。（10分）考慮題圖中的結(jié)

15、構(gòu)，由要求用4節(jié)點(diǎn)一維桿單元求解，單元的自由度為4。應(yīng)用里茲法假設(shè)位移場(chǎng)，在單元內(nèi)假設(shè)位移場(chǎng)應(yīng)是二次多項(xiàng)式，即：（）其中，為待定參數(shù)（稱為廣義坐標(biāo)）。為方便計(jì)算，采用題圖所示的局部坐標(biāo)系，則有單元（）對(duì)單元來(lái)說(shuō)，在上面的式中分別代入節(jié)點(diǎn)1、2、3、4的坐標(biāo)，可得節(jié)點(diǎn)1、2、3、4在方向上的位移、，即：其中，。用局部坐標(biāo)系表示為：其中，,。于是有： 解得：將上面求得的廣義坐標(biāo)代入原來(lái)假設(shè)的位移場(chǎng)，可將單元的位移函數(shù)表示成節(jié)點(diǎn)位移的函數(shù)，即整理得：將上式寫成矩陣形式為其中，插值函數(shù)矩陣，或稱形函數(shù)矩陣；單元的節(jié)點(diǎn)位移列陣（單元自由度）。顯然，整個(gè)桿上，由各單元上假設(shè)的位移場(chǎng)拼接而成的位移試探函數(shù)是

16、連續(xù)的，只要我們記住，得到的就是全域可能位移場(chǎng)。這樣的位移場(chǎng)已經(jīng)把節(jié)點(diǎn)位移自由度作為廣義坐標(biāo)。在單元上進(jìn)行總勢(shì)能計(jì)算：首先計(jì)算應(yīng)變?cè)趩卧獌?nèi)有式中，應(yīng)變矩陣：所以單元內(nèi)的應(yīng)變能為：由于節(jié)點(diǎn)位移列陣與無(wú)關(guān)，故有：式中，單元?jiǎng)偠染仃嚕狠d荷為，則載荷在單元內(nèi)表達(dá)為： 帶入外力功積分式，對(duì)單元計(jì)算外力功。單元外力功為：系統(tǒng)總勢(shì)能是單元的總應(yīng)變能減去單元外力功，則系統(tǒng)總勢(shì)能表達(dá)為：上式簡(jiǎn)寫為：應(yīng)用駐值條件：，得到節(jié)點(diǎn)平衡方程：，即解得：由此得到的位移場(chǎng)在節(jié)點(diǎn)處為精確解，而一般位置上均為近似值（小于精確解）。根據(jù)幾何方程求單元應(yīng)變，再利用物理方程求單元應(yīng)力。對(duì)單元有：于是可得單元節(jié)點(diǎn)處的應(yīng)力近似解如下：，該

17、問(wèn)題的位移和應(yīng)力的精確解分別為：于是可得單元節(jié)點(diǎn)處的應(yīng)力精確解如下：， 位移和應(yīng)力的計(jì)算結(jié)果與精確解的比較如圖2.1所示：圖2.1 受軸向力桿的精確結(jié)果和有限元結(jié)果由圖中可以看出，由于在求得結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移后，要通過(guò)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算來(lái)求單元的應(yīng)變和應(yīng)力，導(dǎo)致了精度的下降，因此位移的近似程度比應(yīng)力的近似程度更好。三、上機(jī)實(shí)驗(yàn)（30分）1、圖示一個(gè)簡(jiǎn)支梁平面應(yīng)力模型。梁截面為矩形，高度h=160mm，長(zhǎng)度l=1000mm，厚度t=10mm。上邊承受均布?jí)毫 =1n/mm2，材料e=206gpa，=0.29。x方向正應(yīng)力彈性力學(xué)理論解為：分別應(yīng)用3節(jié)點(diǎn)三角形單元、4節(jié)點(diǎn)線性等參元（完全積分、減縮積分、非協(xié)

18、調(diào)模式）、8節(jié)點(diǎn)二次等參元進(jìn)行下列數(shù)值實(shí)驗(yàn)：1）用較粗單元網(wǎng)格求解梁中部應(yīng)力分量的最大值和上下邊法向應(yīng)力分量，并對(duì)計(jì)算精度進(jìn)行比較；2）用密網(wǎng)格進(jìn)行上述計(jì)算并比較計(jì)算精度；3）對(duì)粗網(wǎng)格下梁中部最大位移進(jìn)行對(duì)比和分析?？偨Y(jié)出研究結(jié)論，撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告。（10分） 實(shí)驗(yàn)題目：簡(jiǎn)支梁平面應(yīng)力的數(shù)值實(shí)驗(yàn) 實(shí)驗(yàn)?zāi)康模翰煌瑔卧愋汀⒉煌W(wǎng)格密度對(duì)數(shù)值實(shí)驗(yàn)精度的影響建模概述：（1）設(shè)置單元類型：選擇平面4節(jié)點(diǎn)四邊形單元，如圖1.1所示： 圖1.1 定義單元（2）設(shè)置材料屬性，取彈性模量，泊松比，如圖1.2所示：圖1.2 設(shè)置材料彈性常數(shù)(3)建立幾何模型：通過(guò)創(chuàng)建關(guān)鍵點(diǎn)，生成1個(gè)矩形，如圖1.3所示：圖1.3

19、梁的幾何模型（4）設(shè)置單元尺寸并劃分網(wǎng)格：劃分時(shí)選擇三角形單元?jiǎng)澐?，如圖1.4所示： 圖1.4有限元網(wǎng)格圖（5）施加約束、載荷并求解：對(duì)模型左端線約束所有自由度，右端線約束y方向自由度，并在梁的上端施加的均布載荷，求解后如圖1.5所示： 圖1.5 施加載荷與約束的有限元模型（6）讀取結(jié)果：顯示x、y方向節(jié)點(diǎn)應(yīng)力強(qiáng)度云圖和y方向節(jié)點(diǎn)位移云圖，如圖1.6、1.7和1.8所示： 圖1.6 x方向應(yīng)力強(qiáng)度云圖 圖1.7 y方向應(yīng)力強(qiáng)度云圖 圖1.8 y方向節(jié)點(diǎn)位移云圖（7）當(dāng)選擇4節(jié)點(diǎn)線性等參單元時(shí)，大體步驟與上面相同，選擇單元類型和設(shè)置單元選項(xiàng)如下圖1.9、圖1.10所示：圖1.9 定義單元圖1.1

20、0 設(shè)置單元為完全積分劃分網(wǎng)格、施加約束、載荷并求解，如下圖1.11所示：圖1.11 完整的有限元模型讀取結(jié)果，如圖1.12、圖1.13和圖1.14所示：圖1.12 x方向應(yīng)力強(qiáng)度云圖圖1.13 y方向應(yīng)力強(qiáng)度云圖圖1.14 y方向節(jié)點(diǎn)位移云圖（8）當(dāng)選擇8節(jié)點(diǎn)二次等參時(shí)，選擇單元類型如下圖1.15所示： 圖1.15 定義單元圖1.16 x方向應(yīng)力強(qiáng)度云圖圖1.17 y方向應(yīng)力強(qiáng)度云圖圖1.18 簡(jiǎn)支梁的撓度云圖（9）用更密的網(wǎng)格對(duì)簡(jiǎn)支梁重新進(jìn)行仿真計(jì)算，步驟與上面相同，當(dāng)應(yīng)用3節(jié)點(diǎn)三角形單元時(shí)，施加約束、載荷并求解，求解后如圖1.19所示：圖1.19 完整的有限元模型讀取結(jié)果如圖1.20和圖

21、1.21所示：圖1.20 x方向的應(yīng)力強(qiáng)度云圖圖1.21 y方向的應(yīng)力強(qiáng)度云圖（10）當(dāng)應(yīng)用4節(jié)點(diǎn)線性等參單元時(shí)，對(duì)梁面網(wǎng)格劃分，施加約束、載荷并求解，求解后如圖1.22所示：圖1.22 完整的有限元模型讀取結(jié)果如圖1.23和圖1.24所示：圖1.23 x方向的應(yīng)力強(qiáng)度云圖圖1.24 y方向的應(yīng)力強(qiáng)度云圖（11）當(dāng)應(yīng)用8節(jié)點(diǎn)二次等參單元時(shí)，對(duì)梁面進(jìn)行網(wǎng)格劃分，施加約束、載荷并求解，求解后如圖1.25所示：圖1.25 完整的有限元模型讀取結(jié)果如圖1.26和圖1.27所示：圖1.26 x方向的應(yīng)力強(qiáng)度云圖圖1.27y方向的應(yīng)力強(qiáng)度云圖計(jì)算結(jié)果分析與結(jié)論：由理論計(jì)算公式可得，梁中部上邊（即，此時(shí)為壓

22、應(yīng)力），下邊（即，此時(shí)為拉應(yīng)力），中間（即）。對(duì)照上面幾種單元的仿真結(jié)果可知，單元結(jié)點(diǎn)數(shù)越多，網(wǎng)格密度越大，求解出的結(jié)果越精準(zhǔn)。分析可知，3節(jié)點(diǎn)三角形粗網(wǎng)格的精度最低，8節(jié)點(diǎn)二次等參單元密網(wǎng)格的精度最高，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與此相符。在粗網(wǎng)格下，梁中部最大位移隨著單元結(jié)點(diǎn)數(shù)的增多而增大，越來(lái)越接近精確解，8節(jié)點(diǎn)單元得出的位移最精確為。實(shí)驗(yàn)體會(huì)與總結(jié)：通過(guò)的簡(jiǎn)支梁的數(shù)值實(shí)驗(yàn)，可知：（1） 不同單元類型，不同的網(wǎng)格密度將對(duì)計(jì)算精度產(chǎn)生直接的影響。（2） 等參元選擇數(shù)值積分階次的重要性。它將直接影響計(jì)算的精度和計(jì)算工作量。（3） 要保證結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的非奇異性。2、一個(gè)空心球的外半徑，內(nèi)半徑。內(nèi)壁受均勻壓力。試

23、用有限元法計(jì)算該空心球體的應(yīng)力分布規(guī)律。要求分別應(yīng)用軸對(duì)稱二次單元建立軸對(duì)稱模型、應(yīng)用二次六面體單元建立三維模型求解。注意利用對(duì)稱面方便與簡(jiǎn)化建模。撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告。（10分）實(shí)驗(yàn)題目：有限元法計(jì)算該空心球體的應(yīng)力分布規(guī)律 實(shí)驗(yàn)?zāi)康模和ㄟ^(guò)空心球體的應(yīng)力分布實(shí)驗(yàn)說(shuō)明對(duì)稱性在建行模型和縮減計(jì)算量上的重要性建模概述：1、 應(yīng)用軸對(duì)稱二次單元建立軸對(duì)稱模型求解（1）設(shè)置有限元分析的單元類型。如圖所示選擇單元，如下圖2.1所示： 圖2.1 設(shè)置單元類型（2）設(shè)置單元選項(xiàng)，設(shè)置k3為axisymmetric（軸對(duì)稱單元），如圖2.2所示： 圖2.2 定義軸對(duì)稱單元對(duì)話框（3）設(shè)置材料屬性：取彈性模量e=，泊松

24、比，如圖2.3所示： 圖2.3定義材料屬性（4）建立幾何模型：由于空心球的對(duì)稱性，在默認(rèn)的工作平面（坐標(biāo)系）內(nèi)，建立一個(gè)外徑150mm、內(nèi)徑120mm、的1/4圓環(huán)面。如圖2.4所示： 圖2.4 創(chuàng)建圓環(huán)形截面（5）對(duì)環(huán)面進(jìn)行網(wǎng)格的劃分：厚度方向單元?jiǎng)澐謹(jǐn)?shù)為4，圓環(huán)面周向單元?jiǎng)澐謹(jǐn)?shù)為30，劃分后如圖2.5所示： 圖2.5 劃分網(wǎng)格（6）施加對(duì)稱約束和球內(nèi)的均勻載荷：對(duì)左邊豎直邊界和下邊界實(shí)行對(duì)稱約束，球內(nèi)壁施加壓力p=10mp。如圖2.6所示：圖2.6 施加約束和載荷（7）計(jì)算結(jié)果分析與結(jié)論進(jìn)行計(jì)算并進(jìn)行后處理：顯示球內(nèi)的應(yīng)力強(qiáng)度云圖，如圖2.7所示：圖2.7 空心球的應(yīng)力強(qiáng)度云圖從圖上可以看

25、出，在均勻載荷的作用下，空心球類的應(yīng)力呈層狀分布，最大應(yīng)力出現(xiàn)在球的內(nèi)表面為30.7 mp，最小應(yīng)力出現(xiàn)在球的外表面為15.7 mp，符合我們理論分析的結(jié)果，該計(jì)算是準(zhǔn)確的。2、 應(yīng)用二次六面體單元建立三維模型求解（1） 設(shè)置有限元分析的單元類型。如圖所示選擇實(shí)體類型的20節(jié)點(diǎn)六面體單元，如下圖2.8所示：（2）圖2.8 設(shè)置單元類型（2）設(shè)置材料屬性同上一種情況。（3）建立幾何模型：由于空心球關(guān)于3個(gè)坐標(biāo)面對(duì)稱，在默認(rèn)的工作平面（坐標(biāo)系）內(nèi)，建立一個(gè)外徑150mm、內(nèi)徑120mm、的1/4空心球。如圖2.9所示： 圖2.9 創(chuàng)建空心球（4）對(duì)實(shí)體進(jìn)行網(wǎng)格的劃分：厚度方向單元?jiǎng)澐謹(jǐn)?shù)為4，空心球

26、周向單元?jiǎng)澐謹(jǐn)?shù)為30，劃分后如圖2.10所示： 圖2.10 劃分網(wǎng)格（6）施加對(duì)稱約束和球內(nèi)的均勻載荷：對(duì)左邊界面、右邊界面和下邊界面實(shí)行對(duì)稱約束，球內(nèi)壁施加壓力p=10mp。如圖2.11所示： 圖2.11 施加約束和載荷（7）進(jìn)行計(jì)算并進(jìn)行后處理：顯示球內(nèi)的應(yīng)力強(qiáng)度云圖，如圖2.12所示： 圖2.12空心球的應(yīng)力強(qiáng)度云圖從圖上可以看出，在均勻載荷的作用下，空心球類的應(yīng)力呈層狀分布，最大應(yīng)力出現(xiàn)在球的內(nèi)表面為30.7 mp，最小應(yīng)力出現(xiàn)在球的外表面為15.7 mp，與上一種情況相符。實(shí)驗(yàn)體會(huì)與總結(jié)：通過(guò)空心球體的受力分析，當(dāng)實(shí)驗(yàn)對(duì)象為對(duì)稱的規(guī)則模型時(shí)，而且載荷也是對(duì)稱的，可以通過(guò)對(duì)稱性創(chuàng)建模型

27、，進(jìn)而減小計(jì)算規(guī)模，提高效率。3、一個(gè)矩形平板，長(zhǎng)1000mm,寬100mm，厚度10mm。材料的e=200gpa， 。板的一對(duì)短邊簡(jiǎn)支。進(jìn)行下列計(jì)算分析并撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告。1) 在相同的粗網(wǎng)格（厚度方向1層單元）下，分別用線性六面體全積分等參元和二次六面體等參元計(jì)算其前三階自由振動(dòng)頻率和振型，對(duì)計(jì)算結(jié)果作對(duì)比和分析。2) 采用適當(dāng)網(wǎng)格密度的8節(jié)點(diǎn)六面體非協(xié)調(diào)元，用隱式直接積分法對(duì)該平板進(jìn)行瞬態(tài)響應(yīng)研究。板的上表面受對(duì)稱三角形脈沖均布?jí)毫?，最大?.05mpa 。要求：（1）分別在載荷脈沖寬度為1毫秒、10毫秒、100毫秒、1秒情況下，選擇適當(dāng)時(shí)間步長(zhǎng)和求解時(shí)間，計(jì)算獲得平板下表面中心沿長(zhǎng)邊方向的

28、正應(yīng)力分量響應(yīng)曲線和最大值，再計(jì)算靜載荷下的該應(yīng)力值，探索該最大應(yīng)力隨載荷脈寬變化的規(guī)律；（2）板的厚度改為50mm，考察上述規(guī)律的變化，并進(jìn)行歸納和討論。（10分）實(shí)驗(yàn)題目：平板中部動(dòng)態(tài)應(yīng)力響應(yīng)規(guī)律研究 實(shí)驗(yàn)?zāi)康模浩桨逯胁縿?dòng)態(tài)應(yīng)力響應(yīng)最大值隨載荷脈寬變化（0.1毫秒1000毫秒）的規(guī)律研究建模概述：1） 建立10.10.01m矩形平板，如圖3.1所示：圖3.1 矩形平板實(shí)體模型 定義單元類型：線性單元8節(jié)點(diǎn)的六面體單元選擇brick-8node-45；二次單元20結(jié)點(diǎn)的六面體單元選擇brick-20node-95，如圖3.2所示： 圖3.2 單元定義 添加材料屬性：取彈性模量，泊松比，密度，

29、如圖3.3所示：圖3.3 定義材料屬性圖3.4 定義材料密度 劃分網(wǎng)格：對(duì)平板進(jìn)行100101六面體網(wǎng)格劃分，如圖3.5所示：圖3.5 平板六面體網(wǎng)格圖 分析類型選擇模態(tài)分析，并在板的兩個(gè)側(cè)邊施加全約束。指定分析類型，如圖3.6、圖3.7和圖3.8所示：圖3.6 設(shè)置模態(tài)分析圖 3.7 設(shè)置“block lanczos”圖3.8 “bloce lanczos method”設(shè)置 計(jì)算結(jié)果分析與結(jié)論a、求解并輸出各階自振頻率圖3.9 一次線性振動(dòng)頻率圖3.10 二次非線性振動(dòng)頻率開(kāi)始計(jì)算結(jié)果并輸出，計(jì)算完成后可以輸出各階自振頻率和各階振型圖。（共兩種分析方法，每種分析方法有各自的振動(dòng)頻率和振型圖

30、）。為了更直觀的看到不同階次的板的應(yīng)力及變形圖，下面分別列出了三階線性和非線性的應(yīng)力圖，便于觀察外形變化，又可以觀察到應(yīng)力分布情況。 圖3.11 一階線性振動(dòng)型態(tài) 圖3.12 一階二次振動(dòng)型態(tài) 圖3.13 二階線性振動(dòng)型態(tài) 圖3.14 二階二次振動(dòng)型態(tài) 圖3.15 三階線性振動(dòng)型態(tài) 圖3.16 三階二次振動(dòng)型態(tài)b、 結(jié)論：從線性和二次的自由振動(dòng)的各階型態(tài)的數(shù)值來(lái)看，各階相對(duì)應(yīng)的頻率相差很小，二次的等參單元的形態(tài)更接近于實(shí)際。2） 改變板的厚度，研究平板中部動(dòng)態(tài)應(yīng)力響應(yīng)最大值隨載荷脈寬變化（1毫秒1秒）的規(guī)律。 建模概述 首先，建立100010010mm矩形平板。 定義單元類型：線性非協(xié)調(diào)單元8

31、節(jié)點(diǎn)的六面體單元選擇brick-8node-45。 添加材料定義：取彈性模量ex=，泊松比，密度。 劃分網(wǎng)格：對(duì)平板進(jìn)行100101六面體網(wǎng)格劃分。 選擇分析類型和積分方法：選擇瞬態(tài)動(dòng)力分析，跳出的選項(xiàng)框選擇全積分。圖3.17 選擇分析類型圖3.18 選擇全積分方法 施加邊界約束：兩邊簡(jiǎn)支約束。 設(shè)置分析步長(zhǎng)及施加載荷：施加載荷時(shí)間分別設(shè)為0.2s、0.4s、1s、2s的時(shí)間進(jìn)行計(jì)算。首先要先設(shè)置一半的時(shí)間的加載斜坡載荷，最大值為50000pa，這個(gè)區(qū)間設(shè)為5步計(jì)算就可以了，設(shè)置好后點(diǎn)擊“write ls file”，記為第一步；然后再設(shè)置后一半時(shí)間的卸載斜坡載荷到0，這個(gè)區(qū)間也設(shè)為5步計(jì)算，

32、設(shè)置好后點(diǎn)擊write ls file，記為第二步，最后開(kāi)始分析計(jì)算。（將幾個(gè)脈寬變化分別計(jì)算得到數(shù)據(jù)）圖3.19 a)圖3.19 b)圖3.3 c)圖3.20 施加三角載荷 計(jì)算結(jié)果分析與結(jié)論：后處理及結(jié)果分析：一個(gè)脈寬的情況下，都是在載荷最大的時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)應(yīng)力的最大值，所以，下面我們主要分析在載荷最大的時(shí)刻的應(yīng)力云圖。圖3.21 脈寬為0.2s的0.1s時(shí)的應(yīng)力云圖脈寬為0.2s的0.1s時(shí)，板中部的動(dòng)態(tài)應(yīng)力響應(yīng)最大為232mpa。圖3.22 脈寬為0.4s的0.2s時(shí)的應(yīng)力云圖脈寬為0.4s的0.2s時(shí)，板中部的動(dòng)態(tài)應(yīng)力響應(yīng)最大為223mpa。圖3.23 脈寬為1 s的0.5s時(shí)的應(yīng)力云圖脈寬為1s的0.5s時(shí)，板中部的動(dòng)態(tài)應(yīng)力響應(yīng)最大為219mpa。圖3.24 脈寬為2s的1s時(shí)的應(yīng)力云圖脈寬為2s的1s時(shí)，板中部的動(dòng)態(tài)應(yīng)力響應(yīng)最大為219mpa。分析以上各種脈寬的載荷作用下板的中部的應(yīng)力情況，可以得出