經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念與性質(zhì)

1、引言引言 正如有限中包含著無(wú)窮級(jí)數(shù)正如有限中包含著無(wú)窮級(jí)數(shù), ,而無(wú)限中呈現(xiàn)極限而無(wú)限中呈現(xiàn)極限 一樣一樣, ,無(wú)限之靈魂居于細(xì)微之處無(wú)限之靈魂居于細(xì)微之處, ,而最緊密地趨近而最緊密地趨近 極限卻并無(wú)止境極限卻并無(wú)止境. .區(qū)分無(wú)窮大之中的細(xì)節(jié)令人喜區(qū)分無(wú)窮大之中的細(xì)節(jié)令人喜 小中見(jiàn)大小中見(jiàn)大, ,多么偉大的神力多么偉大的神力. . -雅克雅克. .伯努利伯努利 無(wú)窮級(jí)數(shù)是數(shù)與函數(shù)的一種重要表達(dá)形式無(wú)窮級(jí)數(shù)是數(shù)與函數(shù)的一種重要表達(dá)形式, ,也是微也是微 積分理論研究積分理論研究無(wú)窮無(wú)窮 級(jí)數(shù)在表達(dá)函數(shù)、級(jí)數(shù)在表達(dá)函數(shù)、 研究函數(shù)的性質(zhì)、研究函數(shù)的性質(zhì)、 計(jì)算函數(shù)值以計(jì)算函數(shù)值以 及求解微分方

2、程等方面及求解微分方程等方面 悅悅! 與實(shí)際應(yīng)用中極其有力的工具與實(shí)際應(yīng)用中極其有力的工具. . 都有著重要的應(yīng)用都有著重要的應(yīng)用. . 的另一種形式的另一種形式, ,但無(wú)論在研究極限的存在性還是在但無(wú)論在研究極限的存在性還是在 計(jì)算這種極限的時(shí)候計(jì)算這種極限的時(shí)候, ,這種形式都顯示出很大的優(yōu)這種形式都顯示出很大的優(yōu) 本章先介紹無(wú)窮級(jí)數(shù)的一些基本內(nèi)容本章先介紹無(wú)窮級(jí)數(shù)的一些基本內(nèi)容, ,然后再討論然后再討論 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), ,并著重討論如何將函數(shù)并著重討論如何將函數(shù) 展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的問(wèn)題展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的問(wèn)題. . 越性越性. 研究無(wú)窮級(jí)數(shù)及其和研究無(wú)窮級(jí)數(shù)及其和

3、, ,可以說(shuō)是研究數(shù)列及其極限可以說(shuō)是研究數(shù)列及其極限 一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出 二、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念二、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 三、等比級(jí)數(shù)及其在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用三、等比級(jí)數(shù)及其在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用 四、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)四、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 五、小結(jié)五、小結(jié) 第一節(jié)第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì) 一、問(wèn)題的提出 我們?cè)谇懊嫠鶎W(xué)的定積分，所表達(dá)的是我們?cè)谇懊嫠鶎W(xué)的定積分，所表達(dá)的是 一類和式極限。一類和式極限。 有限和的極限實(shí)際上是無(wú)窮多個(gè)數(shù)相加有限和的極限實(shí)際上是無(wú)窮多個(gè)數(shù)相加 之和，所謂和式極限存在是指無(wú)窮多項(xiàng)相之和，所謂和式極限存在是指無(wú)窮多項(xiàng)相 加之和是一個(gè)有限數(shù)。加

4、之和是一個(gè)有限數(shù)。 下面我們將專門(mén)研究無(wú)窮和的問(wèn)題，并下面我們將專門(mén)研究無(wú)窮和的問(wèn)題，并 把無(wú)窮多個(gè)數(shù)相加的式子稱為無(wú)窮級(jí)數(shù)，把無(wú)窮多個(gè)數(shù)相加的式子稱為無(wú)窮級(jí)數(shù)， 簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)。簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)。 “一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭” ” ，如，如 果把每天截取的棒長(zhǎng)相加，到第果把每天截取的棒長(zhǎng)相加，到第n n天所得之棒天所得之棒 長(zhǎng)之和為：長(zhǎng)之和為： n n S 2 1 2 1 2 1 2 1 32 此時(shí)上式中的加項(xiàng)無(wú)窮增多，成為無(wú)窮多個(gè)此時(shí)上式中的加項(xiàng)無(wú)窮增多，成為無(wú)窮多個(gè) 數(shù)相加的式子，這就是級(jí)數(shù)。數(shù)相加的式子，這就是級(jí)數(shù)。 計(jì)算棒長(zhǎng)計(jì)算棒長(zhǎng) n n S 顯然總的棒長(zhǎng)小于顯然

5、總的棒長(zhǎng)小于1 1，并且，并且n n的值愈大，其數(shù)值的值愈大，其數(shù)值 愈接近于愈接近于1 1；當(dāng)；當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 的極限為的極限為1 1。 二、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念二、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 設(shè)有無(wú)窮數(shù)列設(shè)有無(wú)窮數(shù)列 , 321 n uuuu 稱和式稱和式 1 321 n nn uuuuu(1) 為為(常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù), ,簡(jiǎn)稱為簡(jiǎn)稱為級(jí)數(shù)級(jí)數(shù). .其中其中 n u 稱為級(jí)稱為級(jí) 數(shù)的數(shù)的一般項(xiàng)一般項(xiàng)或或通項(xiàng)通項(xiàng). .級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(1)的前的前n項(xiàng)的和項(xiàng)的和 n i inn uuuus 1 21 (2) 稱為級(jí)數(shù)稱為級(jí)數(shù)(1)的前的前n項(xiàng)項(xiàng)部分和部分和. . 時(shí)時(shí), , 當(dāng)當(dāng) 依次取依次取 n3

6、 , 2 , 1 它們構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列它們構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列, n s即即 , 11 us , 212 uus ， 3213 uuus ， nn uuus 21 n s數(shù)列數(shù)列稱為稱為部分部分和和數(shù)列數(shù)列. . 例例1 寫(xiě)出級(jí)數(shù)寫(xiě)出級(jí)數(shù). 8642 7 642 5 42 3 2 1 一般項(xiàng)一般項(xiàng). . 解解分母是偶數(shù)的連乘積，分母是偶數(shù)的連乘積， 而且第一項(xiàng)為偶數(shù)，而且第一項(xiàng)為偶數(shù)， 二項(xiàng)是兩個(gè)偶數(shù)之積，二項(xiàng)是兩個(gè)偶數(shù)之積， 第三項(xiàng)是三個(gè)偶數(shù)之積，第三項(xiàng)是三個(gè)偶數(shù)之積， .， ， 第第nn項(xiàng)是個(gè)項(xiàng)是個(gè)偶數(shù)之積，偶數(shù)之積，故可寫(xiě)成故可寫(xiě)成, !)!2( n 而分子為奇數(shù)，而分子為奇數(shù)，故第故第n項(xiàng)

7、為項(xiàng)為 . 12 n 于是該級(jí)數(shù)的于是該級(jí)數(shù)的 一般項(xiàng)為一般項(xiàng)為 . !)!2( 12 n n un 的的 第第 例例2 已知級(jí)數(shù)已知級(jí)數(shù) 1n n u, 87 18 1 n n 的前的前n項(xiàng)的部分和項(xiàng)的部分和 n s 求這個(gè)級(jí)數(shù)求這個(gè)級(jí)數(shù). . 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?n s nn uuuu 121 . 所以所以 , 1nn us . 1 nn ss n u 從而從而 0 1 87 18 , 1 1 87 18 1 2 , 8 1 1 u 1 s 2 u 12 ss 3 u 23 ss 1 8 1 87 18 2 3 , 8 1 2 . , 8 1 1 n 2 1 1 87 18 87 18 n n

8、 n n 1 nn ss n u . 故所求級(jí)數(shù)為故所求級(jí)數(shù)為 . 8 1 . 8 1 8 1 1 12 n . . 2. 2. 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散 定義定義 如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 1n n u 的部分和數(shù)列的部分和數(shù)列 n s存在極限存在極限, s 即即,limssn n 則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)則稱無(wú)窮級(jí)數(shù) 1n n u 收斂收斂, ,極限極限s稱為稱為 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 1n n u的的和和, ,并寫(xiě)成并寫(xiě)成 n uuus 21 如果如果 n s沒(méi)有極限沒(méi)有極限, ,則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)則稱無(wú)窮級(jí)數(shù) 1n n u 發(fā)散發(fā)散. . 發(fā)散發(fā)散, ,如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 1n n u 收斂于收斂于, s則部分和則部

9、分和, ssn 們之間的差們之間的差 21nnnn uussr(3) 稱為級(jí)數(shù)的稱為級(jí)數(shù)的余項(xiàng)余項(xiàng). .顯然有顯然有 , 0lim n n r 而而是用是用| n r n s 近似代替近似代替 所產(chǎn)生的所產(chǎn)生的誤差誤差. . s 注注: :按定義按定義, ,級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 1n n u n s與數(shù)列與數(shù)列同時(shí)收斂或同時(shí)同時(shí)收斂或同時(shí) 它它 例例3 討論級(jí)數(shù)討論級(jí)數(shù) . )1( 1 . 32 1 21 1 nn 的收斂性的收斂性. . 解解 n u )1( 1 nn , 1 11 nn )1( 1 . 32 1 21 1 nn 1 11 . 3 1 2 1 2 1 1 nn . 1 1 1 n 所以所

10、以 n n s lim 1 1 1lim n n , 1 即題設(shè)級(jí)數(shù)收斂，即題設(shè)級(jí)數(shù)收斂， n s 其和為其和為1. 解解 )12)(12( 1 nn un), 12 1 12 1 ( 2 1 nn )12()12( 1 53 1 31 1 nn sn ) 12 1 12 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 3 1 1( 2 1 nn ) 12 1 1( 2 1 limlim n s n n n ), 12 1 1( 2 1 n , 2 1 . 2 1 , 和和為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂 證明證明 級(jí)數(shù)的部分和級(jí)數(shù)的部分和 )1()2()(dnadadaasn d nn na 2 )

11、1( 顯然顯然 n n slim 故所給算術(shù)級(jí)數(shù)是發(fā)散的故所給算術(shù)級(jí)數(shù)是發(fā)散的 . n 1 3 1 2 1 1 是是發(fā)發(fā)散散的的 證證明明調(diào)調(diào)和和級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 例例6 nnn ss nn 2 1 2 1 1 1 2 , 2 1 2 n n .,s其其和和為為假假設(shè)設(shè)調(diào)調(diào)和和級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂 )lim( 2nn n ss 于于是是 ss , 0 .級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散 )( 2 1 0 n便便有有 .這這是是不不可可能能的的 證明一證明一反證法反證法 證明證明二二 1 1 s 2 1 1 2 s 4 1 3 1 2 1 1 4 s 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 8 s 2

12、2 1 4 1 4 1 2 1 1 2 3 1 8 1 8 1 8 1 8 1 4 1 4 1 2 1 1 .lim不不存存在在，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散子子序序列列無(wú)無(wú)極極限限，所所以以 n n s 三、等比級(jí)數(shù)及其在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用三、等比級(jí)數(shù)及其在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用 1.等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）定義等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）定義 無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù) 叫做等比級(jí)數(shù)（又稱幾何級(jí)數(shù)）叫做等比級(jí)數(shù)（又稱幾何級(jí)數(shù)）. . 12 0 n n n axaxaxaax )0( a 其中其中 叫做公比叫做公比. x 定定理理 （1 1）當(dāng)當(dāng)1| x時(shí)時(shí)， 0n n ax收收斂斂，且且其其和和為為 x a axs n n 10 （2

13、 2）當(dāng)當(dāng)1| x時(shí)時(shí)， 0n n ax發(fā)發(fā)散散 2.等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）斂散性定理等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）斂散性定理 時(shí)時(shí)如如果果1 x x axa n 1 , 11x ax x a n 12 n n axaxaxas 證證明明 0n n ax的的部部分分和和 12 n n axaxaxas ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 0lim n n x x a sn n 1 lim ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x n n xlim n n slim 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散 時(shí)時(shí)如如果果1 x ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x nasn 發(fā)散發(fā)散 aaaa級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)變變?yōu)闉?不不存存在在 n s n lim 發(fā)散發(fā)散 綜上綜上 發(fā)發(fā)散散

14、時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 收收斂斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,1 ,1 0 x x n n ax 例：例： 1 1 1 24212 n n n 1 2 1 2 1 xx，公比公比 . 3 2 1 1 x 級(jí)數(shù)收斂，且其和為級(jí)數(shù)收斂，且其和為 .122級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散，公比公比 xx n n n n n 2 1 8 1 4 1 2 1 1 2 1 0 解解 nn n u 12 32 , 3 4 4 1 n 已知級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)，已知級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)， , 3 4 q公比公比 , 1| q .原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散 解解 （1 1）以以年年復(fù)復(fù)利利計(jì)計(jì)算算利利息息 總總的的現(xiàn)現(xiàn)值值 n 05. 1 3 05. 1 3 05. 1 3

15、3 2 63 （百百萬(wàn)萬(wàn)元元） （2 2）以以連連續(xù)續(xù)復(fù)復(fù)利利計(jì)計(jì)算算利利息息 總總的的現(xiàn)現(xiàn)值值 205. 005. 0 )(333ee 5 .61 （百百萬(wàn)萬(wàn)元元） 四、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)四、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì) 1 在級(jí)數(shù)中去掉、在級(jí)數(shù)中去掉、 加上或改變有限項(xiàng)加上或改變有限項(xiàng), ,不會(huì)不會(huì) 改變級(jí)數(shù)的收斂性改變級(jí)數(shù)的收斂性. . 證證 這里只證明這里只證明“改變級(jí)數(shù)的前面有限項(xiàng)不會(huì)改改變級(jí)數(shù)的前面有限項(xiàng)不會(huì)改 變級(jí)數(shù)的收斂性變級(jí)數(shù)的收斂性”, , 其它兩種情況容易由此結(jié)果其它兩種情況容易由此結(jié)果 設(shè)有級(jí)數(shù)設(shè)有級(jí)數(shù) nkk n n uuuuuu 121 1 (1) 得到一個(gè)新的級(jí)數(shù)

16、得到一個(gè)新的級(jí)數(shù) nkk uuvvv 121 (2) 推出推出. . 若改變它的前若改變它的前 個(gè)有限項(xiàng)個(gè)有限項(xiàng), , k 設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù)(1)的前的前 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 n, n A , 21 auuu k 則則 nkn uuaA 1 設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù)(2)的前的前 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 n, n B, 21 bvvv k 則則 nkkn uuvvvB 121 bauuuuu nkk 121 baAn 于是于是, ,數(shù)列數(shù)列 n A n B與與具有相同的收斂性具有相同的收斂性, ,即級(jí)數(shù)即級(jí)數(shù) (1)與與(2)具有相同的收斂性具有相同的收斂性. . 性質(zhì)性質(zhì) 2 如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù)、 1n n u 1n n v

17、分別收斂于和分別收斂于和，、BA 則對(duì)任意常數(shù)則對(duì)任意常數(shù) ，、 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 1 )( n nn vu 收斂收斂, ,且且 .)( 1 BAvu n nn 證證設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù) 、 1n n u 1n n v 及及 1 )( n nn vu 的部分和的部分和 分別為分別為 nn BA 、 及及 , n s 則則 )()()( 2211nnn vuvuvus )()( 2121nn vvvuuu )()( 2121nn vvvuuu nn BA 于是于是)(limlim nn n n n BAs 11n n n n vuBA 因此因此 1 )( n nn vu 收斂收斂, ,且且 111 )( n n

18、 n n n nn vuvu .BA 結(jié)論結(jié)論: : 收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減. . 問(wèn)題問(wèn)題: :1.1.級(jí)數(shù)一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散能否得出肯定結(jié)論？級(jí)數(shù)一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散能否得出肯定結(jié)論？ 2.2.兩個(gè)級(jí)數(shù)都發(fā)散能否得出肯定結(jié)論？?jī)蓚€(gè)級(jí)數(shù)都發(fā)散能否得出肯定結(jié)論？ （1.1.發(fā)散；發(fā)散；2.2.不一定不一定. .) ) .ws)vu( wsvu1 1n nn 1n n 1n n 收收斂斂，且且其其和和為為則則 ，和和分分別別收收斂斂于于，設(shè)設(shè)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)推推論論 設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù) 1n n u 收斂，收斂， 1n n v 發(fā)散，發(fā)散，證明：證明： 1 )( n nn vu

19、 發(fā)散發(fā)散. . 證證 用反證法用反證法, , 已知已知 1n n u 收斂收斂, , 假定假定 1 )( n nn vu 收斂收斂, , nnn uvu )( n v由由 1n n v收斂收斂, , 這與題設(shè)矛盾這與題設(shè)矛盾, , 所以級(jí)數(shù)所以級(jí)數(shù) 1 )( n nn vu 發(fā)散發(fā)散. . 與 級(jí) 數(shù) 性 質(zhì) 得 知與 級(jí) 數(shù) 性 質(zhì) 得 知 例如例如: :1.1.級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 2.2.級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 發(fā)散發(fā)散 2 2 1 n n 1 1 3 2 n n n 1 1 3 2 2 n n 1 1 3 2 2 n n . 6 . 1n4 4 3 )1(2 1n 2n 1n 的的和和求求級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1 3 2

20、 n n 3 1 1 3 2 1 1 1 3 )1( n n n 3 1 1 3 1 4 1 解解 例例9 1 2 14 4 n n 1 12 2 12 2 n nn 12 2 12 2 5 2 3 2 3 2 2 nn sn 12 2 2 n n n n s n lim 14 4 1 2 2 . 4 3 原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂，且且其其和和為為 是否收斂？是否收斂？ 判別級(jí)數(shù)判別級(jí)數(shù) 10n 1 2 1 102 1 2 1 10 1 2 1 n2 收斂，收斂， 1 2 1 n n 解解 發(fā)發(fā)散散 1 10 1 n n 發(fā)發(fā)散散 1 10 1 2 1 n n n .原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散 例例10

21、 證明證明 )()( 54321 uuuuu , 21 s .limlimssn n m m 則則 , 52 s , 93 s , nm s 注意注意 1.收斂級(jí)數(shù)可以加括弧，但收斂級(jí)數(shù)去括弧后收斂級(jí)數(shù)可以加括弧，但收斂級(jí)數(shù)去括弧后 所成的級(jí)數(shù)不一定收斂所成的級(jí)數(shù)不一定收斂. )11()11(例例如如 1111 2 2. .如如果果加加括括弧弧后后所所成成的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散, ,則則原原來(lái)來(lái)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)也也發(fā)發(fā)散散. . 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散 3.正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 加括弧與去括弧均不加括弧與去括弧均不 影響其斂散性影響其斂散性. )0( 1 n n n uu 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂. 0lim n n u 證明證明 1n n us, 1 nnn ssu則 1 limlimlim n n n n n n ssu 0 ss 性性質(zhì)質(zhì)5 5 （級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂的的必必要要條條件件） 如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1n n u 收收斂斂，則則當(dāng)當(dāng) n時(shí)時(shí)它它的的一一般